期中易錯題壓軸題專項復習【21大題型】（考試范圍：第7~9章）【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1對頂角、鄰補角、三線八角】 2【考點2兩條直線垂直】 3【考點3平行線的判定與性質】 4【考點4命題與定理】 6【考點5平移】 7【考點6平方根、立方根】 8【考點7無理數】 9【考點8實數與數軸】 10【考點9實數的運算】 11【考點10平面直角坐標系中點的坐標特征】 12【考點11用坐標表示平移】 12【壓軸篇】 14【考點12相交線中的角度計算】 14【考點13平行線中的折疊問題】 15【考點14平行線中的拐點問題】 17【考點15探究角度之間的關系】 18【考點16平行線中的旋轉問題】 20【考點17無理數的整數與小數部分的計算】 21【考點18平面直角坐標系中的面積計算】 22【考點19平面直角坐標系中的規律探究】 24【考點20平行線中的多結論問題】 25【考點21新定義問題】 27【考點22閱讀理解類問題】 29【易錯篇】【考點1對頂角、鄰補角、三線八角】【例1】（24-25七年級·河北秦皇島·期末）光線從空氣射入玻璃時，光的傳播方向發生了改變，一部分光線通過玻璃表面反射形成反射光線，一部分光線穿過玻璃發生了折射，如圖所示，由科學實驗知道，∠1=∠2，∠4<∠3，下列結論正確的是（

）

A．∠1與∠2是對頂角 B．∠4與∠3是對頂角C．∠3=∠5 D．∠4=∠5【變式1-1】（24-25七年級·廣東河源·階段練習）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內角；③∠4與∠1是內錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【變式1-2】（24-25七年級·河南南陽·期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF=39°，則∠EOF的度數為．【變式1-3】（24-25七年級·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE、OF分別是(1)∠DOE的補角是；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數．【考點2兩條直線垂直】【例2】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（

）A．線段PC的長是點C到直線PA的距離B．線段AC的長是點A到直線PC的距離C．PA、PB、PC三條線段中，PB最短D．線段PB的長是點P到直線a的距離【變式2-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）數學源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25七年級·湖北宜昌·期末）如圖，點A，B，C是直線l上的三點，點P在直線l外，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，則點P到直線l的距離是

【變式2-3】（24-25七年級·河南鄭州·期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，則∠COE的度數是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【考點3平行線的判定與性質】【例3】（24-25七年級·江蘇泰州·期末）一塊木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下（OG⊥AD），支持力N的方向與斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向與斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f與重力G方向的夾角∠1=120°，則斜面的坡角∠2的度數是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式3-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）已知∠1=∠2，下列圖形中，能確定AB∥CD的是（A．B．C． D．【變式3-2】（24-25七年級·山西晉中·期末）已知：如圖，∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°（1）求證：∠2=∠4；（2）試求出∠ADC的度數．請根據解答過程，在橫線上填出數學式，在括號內填寫相應理由．（1）證明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（①）∴∠2=∠4；（②）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（③）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已證）∴∠3+∠4=180°，（④）∴⑤，（⑥）∴∠ADF=∠⑦∴∠ADC的度數為⑧．【變式3-3】（24-25七年級·遼寧沈陽·期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點E，在邊AE上取點F，連結DF，使∠1=∠D．(1)求證：DF∥BC；(2)當∠A=40°，∠DFE=36°時，求∠2的度數．【考點4命題與定理】【例4】（24-25七年級·江蘇揚州·期末）下列選項是命題的是（

）A．作直線AB∥CD B．今天的天氣好嗎？C．連接A、B兩點 D．同角的余角相等【變式4-1】（24-25七年級·山東淄博·期中）命題“同角的余角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式是（

）A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等C．如果兩個角是同角，那么這兩個角是余角 D．如果兩個角互余，那么這兩個角相等【變式4-2】（24-25七年級·河北石家莊·期末）老師布置了一項作業，對一個真命題進行證明，下面是小云給出的證明過程：

證明：如圖，∵b⊥a，∴∠1=90°．∵c⊥a，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴b∥c.已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（

）A．在同一平面內，若b⊥a，且c⊥a，則b∥c B．在同一平面內，若b∥c，且b⊥a，則c⊥aC．兩直線平行，同位角不相等 D．兩直線平行，同位角相等【變式4-3】（24-25七年級·北京東城·期中）某學校舉辦科技節活動，有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能機器人“項目比賽，該項目只設置一個一等獎，在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學對這四個參賽團隊獲獎結果預測如下：小張說：“甲或乙團隊獲得一等獎”；小王說：“丁團隊獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團隊獲得一等獎”．若這四位同學只有兩位預測結果是對的，則獲得一等獎的團隊是．【考點5平移】【例5】（24-25七年級·廣東深圳·期末）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=60°，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△A′B′C′（平移后點A，B，C的對應點分別是點（A′，B′，C′A．20° B．40° C．80° D．120°【變式5-1】（24-25七年級·重慶·期末）如圖，將△ABC向右平移得到△DEF，且點B，E，C，F在同一條直線上，若A．2 B．3 C．5 D．6【變式5-2】（24-25七年級·河北承德·期中）如圖所示第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經過平移而得，那么第4個圖案中有白色六邊形地面磚________塊，第n個圖案中有白色地面磚________塊，則下列選項中正確的是（

）A．16,4n B．17,4+n C．18,4n+2【變式5-3】（24-25七年級·浙江臺州·期末）如圖，從起點A到終點B有多條路徑，其中第一條路徑為線段AB，其長度為a，第二條路徑為折線ACB，其長度為b，第三條路徑為折線ADEFGHIJKLB，其長度為c，第四條路徑為半圓弧ACB，其長度為d，則這四條路徑的長度關系為（

）A．a<b<c<d B．a<c<d<b C．a<b=c<d D．a<b<c=d【考點6平方根、立方根】【例6】（24-25七年級·江蘇揚州·期末）（1）計算：16+（2）解方程：2x?1【變式6-1】（24-25七年級·河南鶴壁·期末）下列說法正確的是（

）A．1的平方根是1 B．?6不是36的平方根C．2不是有理數 D．?2是8的立方根【變式6-2】（24-25七年級·浙江紹興·期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網中．（1）求S陰（2）在5×5的正方形網中作一個邊長為13的正方形．【變式6-3】（24-25七年級·山西太原·期末）王紅與王亮設計了一個數值轉換器，輸入的x>0，流程如下：下面是他們得到的相關結論，其中是真命題的是（

）A．若輸入x的值是8，則輸出y的值是2B．若輸出y的值是3，則輸入x的值是9C．若輸入x的值是64，則輸出y的值是3D．若輸入x的值是1，則輸不出y的值【考點7無理數】【例7】（24-25七年級·安徽安慶·期中）滿足?3<x<310的整數x【變式7-1】（24-25七年級·山東泰安·期末）在實數?3，0，A．2 B．3 C．4 D．5【變式7-2】（24-25七年級·甘肅天水·期末）因為22<5<32，可以肯定2<5<3，也就是5在2與3之間．依據這一方法，對2.22<5<2.32，可以肯定2.2<5A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 【變式7-3】（24-25七年級·遼寧本溪·期末）解答題，在學習第二章第4節《估算》后，某數學愛好小組探究110的近似值的過程如下：∵∴10<∵面積為110的正方形的邊長是110∴設110=10+x，其中0<x<1畫出示意圖，如圖所示．根據示意圖，可得圖中正方形的面積為S正方形又∵S∴10當0<x<1時，可忽略x2，得100+20x≈110，解得x≈0.5∴110(1)求13.8的整數部分；(2)仿照該數學愛好小組的探究過程，求13.8的近似值（結果保留1位小數）．（要求：畫出示意圖，標注數據，并寫出求解過程）【考點8實數與數軸】【例8】（24-25七年級·浙江杭州·期中）實數a在數軸上對應點A的位置如圖所示，若b=a?

（1）b的值是．（2）10b+2的平方根是【變式8-1】（24-25七年級·山西長治·期中）數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到達點A，此時點A表示的數是．【變式8-2】（24-25七年級·浙江杭州·期中）數軸上點A表示的數是?2，點B，C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等．若點B表示的數是3，則點C表示的數是．【變式8-3】（24-25七年級·廣東江門·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示．化簡a2?【考點9實數的運算】【例9】（24-25七年級·河北邯鄲·期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．【變式9-1】（24-25七年級·重慶云陽·期末）計算：?12025+【變式9-2】（24-25七年級·湖北十堰·期末）計算：(1)25(2)2【變式9-3】（24-25七年級·山東煙臺·期末）（1）若m2=?72，（2）a是?27的立方根和16的算術平方根的和，b是比3?47大且最相鄰的整數，請求出5a+b【考點10平面直角坐標系中點的坐標特征】【例10】（24-25七年級·山東菏澤·期中）若點A的坐標x,y滿足條件x?12+y+2=0，則點A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式10-1】（24-25七年級·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，第一象限內一點m,2m?1到x軸和y軸的距離相等，則m=．【變式10-2】（24-25七年級·山東日照·期末）將正整數按如圖所示的規律排列下去（第k排恰好排k個數），若用有序實數對n,m表示第n排，從左到右第m個數，如4,3表示的實數為9，17可用有序實數對6,2表示，則2024可用有序實數對表示為．【變式10-3】（24-25七年級·山東濟南·期中）已知點P2m?6,m+1，試分別根據下列條件直接寫出點P(1)點P在y軸上；(2)點P的縱坐標比橫坐標大5；(3)在（2）的條件下，直線PQ∥y軸，且PQ=4，直接寫出點Q的坐標．【考點11用坐標表示平移】【例11】（24-25七年級·吉林松原·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B、C三點的坐標分別為?5,4、?3,0、0,2．(1)在圖中畫出△ABC．(2)△ABC面積為________．(3)如圖，△A′B【變式11-1】24-25七年級·安徽安慶·期中）在平面直角坐標系中，若A，B兩點的坐標分別是?5,4，3,1，將點B向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度得到點C，則點A與點C（

）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱C．關于原點對稱 D．以上都不對【變式11-2】（24-25七年級·安徽蚌埠·期末）將點Pm?2,3向右平移3個單位長度到P′，且P′在y軸上，那么mA．1 B．?1 C．?3 D．?5【變式11-3】（24-25七年級·遼寧丹東·期末）如圖在平面直角坐標系中將?ABCD向右平移得到?A1B1C1D1，其中點A坐標為2,3，點C坐標2,1，點D坐標1,1，點C1【壓軸篇】【考點12相交線中的角度計算】【例12】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，直線AB與直線CD交點O，OE⊥DC，OE平分∠AOF．(1)如圖1，求證：OC平分∠BOF；(2)如圖2，OG，OP，OK，在直線AB的下方，若OK平分∠COG，OP平分∠BOG，【變式12-1】（24-25七年級·江蘇南京·期末）已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD平分∠BOC．(1)如圖①，若∠AOB=80°，則∠BOC=______°，∠AOD=______°．(2)如圖②，若∠AOB=140°，求∠AOD的度數；(3)若∠AOB=n°，直接寫出∠AOD的度數（用含n的代數式表示），及相應的n的取值范圍．【變式12-2】（24-25七年級·廣東廣州·期末）如圖，點O為直線AB上一點，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．(1)求∠AOD的度數；(2)作射線OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE(3)在（2）的條件下，作∠FOH＝90°，使射線OH在∠BOE的內部，且∠DOF＝3∠BOH，直接寫出∠AOH的度數．【變式12-3】（24-25七年級·云南曲靖·期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內部．(1)①當OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數；②當OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數量關系．【考點13平行線中的折疊問題】【例13】（24-25七年級·浙江臺州·期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應點為C′，D′，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應點為A′

(1)若C′、D′在直線AD的上方，當α=50°且滿足C′(2)在（1）的條件下，猜想直線EF和GH的位置關系，并證明(3)在點G，H運動的過程中，若C′H∥B′【變式13-1】（24-25七年級·北京·期中）學習了平行線后，小龍同學想出了“過已知直線m外一點P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的（如圖（1）～（4））．請你觀察圖（1）～（4），完成下面的填空題和選擇題．第一次折疊后（如圖（2）所示），得到的折痕AB與直線m之間的位置關系是____________；將正方形紙展開，再進行第二次折疊（如圖（3）所示），得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是______；再將正方形紙展開（如圖（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直線即為過點P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小明畫平行線的依據有（

）①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內錯角相等：③同位角相等，兩直線平行；

④內錯角相等，兩直線平行．A．①②

B．②③

C．③④

D．①④【變式13-2】（24-25七年級·山西晉中·期中）綜合與實踐折紙是一門古老而有趣的藝術，小明在課余時間進行了關于折紙中角的問題的探索．初步探索（1）如圖1，四邊形紙片ABCD中，AB∥DC,BC∥AD,∠C=100°，點E是線段DC上一點，將紙片ABCD沿BE折疊，點C的對應點為點C′，測得∠EBC′=20°，求深入探究（2）如圖2，小明將紙片換成一張長方形紙片ABCD（∠A=∠B=∠C=∠D=90°），點E，F分別是線段AD，BC上的一點，他先將紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為點A′,B′，A′B′與線段AD交于點G，點H是線段DC上一點，再將紙片沿GH折疊，點D的對應點為點D′，使得點【變式13-3】（24-25七年級·廣西南寧·期中）綜合與實踐——折紙中的數學：我們在七年級上冊第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進行了簡單的計算與推理．七年級下冊第五章學習了平行線的性質與判定后，我們進行了長方形紙條的折疊與平行線的探究，今天我們繼續探究——折紙與平行線．如圖1，長方形紙條ABMN中，AB∥MN，AN∥BM．第一步，將長方形紙條折疊，使折痕經過點A，得到折痕AC，再將紙片展平；第二步，如圖2，將折痕AC折到AE處，點B落在B′處；第三步，如圖3，將∠NED對折，使點M落在M′處，點N落在N′處，(1)如圖2：①若∠CDA=36°，則∠B②若∠CDA=α，則∠B′EN=(2)如圖2，AC和DE有怎樣的位置關系，并說明理由．(3)如圖3，折痕AD和EF有怎樣的位置關系，請說明理由．【考點14平行線中的拐點問題】【例14】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，AB∥CD，∠EAF=2∠FAB，∠ECF=2∠FCD，∠AFC=16°，則∠AEC的度數為．【變式14-1】（24-25七年級·四川南充·期中）如圖，已知AB∥CD，∠PAQ=2∠BAQ，∠PCD=3∠QCD，∠AQC=98°，則∠P=．【變式14-2】（24-25七年級·湖北恩施·期中）如圖，若∠BAP=90°?α，∠APD=90°+α，且∠BAE=∠CPF，∠E=12α+20°，∠F=2α?10°，則【變式14-3】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）[問題情境]在綜合實踐課上，老師組織班上的同學開展了探究兩角之間數量關系的數學活動，如圖1，已知直線AB∥CD，點E、G分別為直線AB、CD上的點，點F是平面內任意一點，連接EF、GF．[探索發現]（1）當∠F=60°時，求證：∠AEF+∠FGC=60°；[拓展探究]（2）如圖2點P、Q分別是直線CD上的點，且∠PFQ=∠EFG=90°，直線MN∥FG，交FQ于點K，“智勝小組”探究∠FKN與∠PFE之間的數量關系．請寫出它們的關系，并說明理由．【考點15探究角度之間的關系】【例15】（24-25七年級·湖南永州·期中）已知，AB∥CD，點E為射線(1)如圖1，若∠EAF=25°，∠EDG=45°，則∠AED=．(2)如圖2，當點E在FG延長線上時，此時CD與AE交于點H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關系，并說明理由．(3)如圖3，當點E在FG延長線上時，DP平分∠EDC，且∠EAP:∠BAP=1:2，∠AED=32°，∠P=30°，求∠EKD的度數并說明理由．【變式15-1】（24-25七年級·福建福州·期中）已知直線EF∥MN，點A、B分別為EF，MN上的動點，且BD平分∠CBN交EF于(1)如圖1，若∠FDB=110°，∠EAC=60°，①直接寫出∠DBN的度數；②求∠MBC與∠ACB的度數．(2)如圖2，延長AC交直線MN于G，GH平分∠AGB交DB于點H，寫出∠ACB與∠GHB的關系，并說明理由．【變式15-2】（24-25七年級·福建福州·期中）如圖，已知AB∥CD，CH平分∠BCD交AB于E點，點F是CH上一動點（點F在

(1)如圖1，當AF∥CB時，若∠BCE=3(2)如圖2，當AF⊥CE時，判斷∠A與∠B數量上有何關系？并說明理由；(3)若∠A=α°，∠ABC=β°，分別作∠AFC和∠ABC的平分線FG和BG且交于點G，如圖3，求出∠MGB的度數（用含α°和β°的式子表示）．【變式15-3】（24-25七年級·江蘇·期末）如圖①，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別相交于A，B兩點，l4和l1，l2分別交于C，D兩點，(1)若∠1=22°，∠2=33°，則∠3=．(2)試找出∠1，∠2，∠3之間的等量關系，并說明理由；(3)應用（2）中的結論解答以下問題：如圖②，點A在B處北偏東40°的方向上，在C處的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度數；(4)如果點P在直線l3上且在A，B兩點外側運動時，其他條件不變，試探究∠1，∠2，∠3之間的關系（點P和A，B【考點16平行線中的旋轉問題】【例16】（24-25七年級·江蘇徐州·期末）如圖，把一副三角板如圖1擺放，∠B=60°,∠D=45°，點C在邊OA上，將圖中的△AOB繞點O按每秒3°的速度沿順時針方向勻速旋轉一周，在旋轉的過程中，旋轉的時間為t秒．(1)如圖2，求當t為多少秒時，AB∥(2)如圖3，當t=___________秒時，AB∥【變式16-1】（24-25七年級·河北石家莊·期中）為美化我市夜景，在兩棟樓體上安置了兩座可旋轉探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射，若燈A轉動的速度是每秒2°，燈B轉動的速度是每秒1°．假定兩棟樓的墻面是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=°；(2)若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線第一次到達BQ之前，求A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行．(3)若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點C，在燈B射線第一次到達BQ之前，直接寫出轉動的時間為多少秒時，∠ACB=90°．【變式16-2】（24-25七年級·貴州遵義·期中）今年春節期間，為了營造節日氛圍，各地紛紛上演各種“燈光秀”．“燈光秀”為了強化燈光效果，某地在河的兩岸安置了可旋轉探照燈．如圖1，燈A射線AE自AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線BF自BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射．若燈A轉動的速度是3°/秒，燈B轉動的速度是1°/秒，兩燈同時轉動，轉動時間為t秒，假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)∠EAN=______°（用含t的式子表示）；(2)當t=55時，求∠BCA的度數；(3)如圖2，在燈A射線已轉過AB但未到達AN時．若兩燈射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，在轉動過程中，∠BCD:【變式16-3】（24-25七年級·浙江·期末）將一塊三角板ABC（∠ACB=90°，∠A=30°）按如圖①所示放置在銳角∠POQ=α內，使直角邊BC落在OQ邊上．現將三角板ABC繞點B逆時針以每秒m°的速度旋轉t秒（直角邊BC旋轉到如圖②所示的位置），過點A作MN∥OQ交射線OP于點M，AD平分∠MAB，且在旋轉過程中，當t=3秒時，AB⊥OQ．(1)求m的值；(2)當t=4秒時，求∠NAC的度數；(3)在某一時刻，當BC∥OP時，試求出∠ADO與α之間的數量關系．【考點17無理數的整數與小數部分的計算】【例17】（24-25七年級·浙江寧波·期中）19?35的整數部分為a，小數部分為b，則2a?b=【變式17-1】（24-25七年級·江蘇蘇州·階段練習）如圖1，把兩個面積為1dm2的小正方形沿對角線剪開，拼成一個面積為2dm2的大正方形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為1dm(1)某同學把長為2，寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的一個大正方形.仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面積及其邊長x的值；(2)若c為（1）中x的整數部分，求c的平方根．【變式17-2】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）大家知道2是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分我們不能全部地寫出來，于是小平用2?1來表示2的小數部分，你同意小平的表示方法嗎？事實上小平的表示方法是有道理的，因為2的整數部分是1，用這個數減去其整數部分，差就是小數部分．請解答：若15的整數部分為a，小數部分為b(1)求a，b的值；(2)求a2【變式17-3】（24-25七年級·浙江杭州·期中）以下是小明與老師之間的對話：小明：張老師，我們知道6是無理數，無理數就是無限不循環小數，那該如何表示出它的小數部分呢？老師：小明，因為6的整數部分是2，所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，即6?2根據上述對話內容，解答下面的問題：已知7+11=x+y，其中x是整數，且(1)x=________；y=________；(2)求3x+11【考點18平面直角坐標系中的面積計算】【例18】（24-25七年級·安徽安慶·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為0,4，點B的坐標為4,0，過點C3,0作直線CD⊥x軸，垂足為C，交線段AB于點D，過點A作AE⊥CD，垂足為E，連接BE(1)求△ABE的面積；(2)點P為直線CD上一動點，當S△PAB=S【變式18-1】（24-25七年級·甘肅酒泉·期中）如圖，已知A?2,0，B4,0，(1)求△ABC的面積；(2)設P為x軸上一點，若S△APC=1【變式18-2】（24-25七年級·安徽安慶·期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為3,5,3,0，將線段AB向下平移2個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到線段CD，連接(1)直接寫出點C,D的坐標；(2)M,N分別是線段AB,CD上的動點，點M從點A出發向點B運動，速度為每秒1個單位長度，點N從點D出發向點C運動，速度為每秒0.5個單位長度，若兩點同時出發，求幾秒后MN∥x軸；(3)若P是x軸上的一個動點，當三角形CDP的面積是三角形BDP面積的2倍時，求點P的坐標．【變式18-3】（24-25七年級·安徽安慶·期末）如圖①，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標為5,0，將AO向上平移4個單位長度，再向左平移3個單位長度得到對應線段BC．連接AB,AC,OC．(1)點B的坐標為_______，點C的坐標為_______；(2)在x軸上是否存在一點D，使得三角形ABD的面積等于三角形AOC面積的一半？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖②，若P是直線AB上的一個動點，連接OP,PC，當點P在直線AB上運動時，請直接寫出∠CPO,∠BCP，∠AOP之間的數量關系．【考點19平面直角坐標系中的規律探究】【例19】（24-25七年級·河南鄭州·期中）2024年沙特阿拉伯國慶節期間，中國無人機表演團隊震撼全球，6000架無人機編隊劃破夜空，展示了中國“智造”實力．無人機表演并非簡單的編程或燈光秀，而是涉及到多項技術的深度融合．這其中就包括了精準的定位技術．如圖，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長度，無人機按圖中“→”方向飛行，P10,0，P20,1，P31,1，A．(?505,506) B．(?506,?506) C．(506,?506) D．(506,506)【變式19-1】（24-25七年級·廣西梧州·期末）如圖，將點A1(1,1)向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點A2；將點A2向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點A3；將點A3向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點A4A．22023 B．22024 C．22025【變式19-2】（24-25七年級·山東東營·期末）在平面直角坐標系中，直線l：y=x+1與y軸交于點A1，依次作正方形A1B1C1O，正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2【變式19-3】（24-25七年級·江蘇連云港·期中）如圖．在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為1,1，弧AA1是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；弧A1A2是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧；弧A2A3是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧；弧A3A4是以點A為圓心，AA．1,2025 B．1,2024 C．2025,0 D．2024,0【考點20平行線中的多結論問題】【例20】（24-25七年級·四川眉山·期末）已知直線AB∥CD，點P在直線AB,?CD之間，連接AP,①如圖1，若∠APC=α，∠PAB=β，則∠PCD=360°?α?β；②如圖2，點Q在AB,?CD之間，當∠QAP=∠QAB，∠QCP=∠QCD，則③如圖2，點Q在AB,?CD之間，當∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，則④如圖3，∠PAB的角平分線交CD于M，且AM∥PC，點N在直線AB,CD之間，連接CN,MN，∠PCN=n∠NCD，∠AMN=1n∠NMD，n>1，則∠P和∠N的關系為∠N∠P=n?1A．1 B．2 C．3 D．4【變式20-1】（24-25七年級·廣東廣州·期末）如圖，點E在BA延長線上，EC與AD交于點F，且∠E=∠DCE，∠B=∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，點M是線段CB上的一動點，點N是線段MB上一點且滿足∠MNF=∠MFN，FK平分∠EFM．下列結論：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式20-2】（24-25七年級·山東威海·期中）如下圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結論：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=1

A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④【變式20-3】（24-25七年級·重慶云陽·期中）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內部有射線GM，GM平分∠

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點21新定義問題】【例21】（24-25七年級·北京房山·期末）在平面內，對于∠P和∠Q，給出如下定義：若存在一個常數tt>0，使得∠P+t∠Q=180°，則稱∠Q是∠P的“t系數補角”．例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，則∠Q

(1)若∠P=90°，在∠1=60°，∠2=45°，(2)在平面內，AB∥CD，點E為直線AB上一點，點F為直線①如圖1，點G為平面內一點，連接GE，GF，∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系數補角”，求②如圖2，連接EF．若H為平面內一動點（點H不在直線AB，CD，EF上），∠EFH與∠FEH兩個角的平分線交于點M．若∠BEH=α，∠DFH=β，∠N是∠EMF的“2系數補角”，直接寫出∠N的大小的所有情況（用含【變式21-1】（24-25七年級·福建龍巖·期中）新定義：若無理數T的被開方數(T為正整數)滿足n2<T<n+12(其中n為正整數)，則稱無理數T的“青一區間”為n,n+1；同理規定無理數?T的“青一區間”為(?n?1,?n)．例如：因為12<2<22(1)17的“青一區間”為；?23的“青一區間”為(2)若無理數a(a為正整數)的“青一區間”為2,3，a+3的“青一區間”為3,4，求3a+1(3)實數x，y，滿足關系式：x?3+2023+y?4【變式21-2】（24-25七年級·江西贛州·期中）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點P到x軸、y軸的距離的較大值稱為點P的“長距”，點Q到x軸、y軸的距離相等時，稱點Q為“角平分線點”．(1)點A?3,5(2)若點B4?2a,?2是“角平分線點”，求a(3)若點C?2,3b?2的長距為4，且點C在第二象限內，點D的坐標為9?2b,?5，請判斷點D【變式21-3】（24-25七年級·江蘇鹽城·期中）定義：若∠α、∠β是同旁內角，并且∠α,∠β滿足∠β=∠α+20°，則稱∠β是∠α的內聯角．(1)如圖1，已知∠β是∠α的內聯角．①當∠α=60°時，∠β=_____°；②當直線l1∥l(2)如圖2，已知∠β是∠α的內聯角，點O是線段GH上一定點．①∠DHG是∠BGH的內聯角嗎？請說明理由；②過點O的直線分別交直線CD、AB于點P、Q，若∠α=60°且∠EOP是圖中某個角的內聯角．請直接寫出∠EOP是哪個角的內聯角，以及此時∠EOP的度數．【考點22閱讀理解類問題】【例22】（24-25七年級·北京豐臺·期末）閱讀下列材料：如圖，點P是線段AB，CD所在直線之間的一點，且AB∥CD，連接PA，AC．小馬同學通過觀察，度量，提出猜想：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．接著他時猜想進行了證明，證明思路是：如圖1，過點P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD．根據平行線的性質，可得∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，從而得證∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．請你參考小馬同學的證明思路，完成下列問題(1)如圖2，點P是線段AB，CD所在直線上方的一點，且AB∥CD，連接PA，PC．用等式表示∠BAP，∠APC，∠PCD之間的數量關系，并說明理由；(2)在（1）的條件下，∠BAP和∠PCD的角平分線所在直線交于點M．在圖3中補全圖形，用等式表示∠AMC與∠APC之間的數量關系．【變式22-1】（24-25七年級·江西南昌·期中）請認真閱讀下面的材料，再解答問題．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定義，可給出四次方根、五次方根的定義．比如：若x2=aa≥0，則x叫a的二次方根；若x3=a，則x叫a的三次方根；若x(1)依照上面的材料，請你給出五次方根的定義：______；(2)625的四次方根為______；?243的五次方根為______；(3)求下列x的值：①14②32x【變式22-2】（24-25七年級·重慶江北·期末）閱讀材料：對于平面直角坐標系xOy中的圖形G和圖形G上的任意點Px,y，給出如下定義：將點Px,y平移到P′x+a,y?a稱為將點P進行“a型平移”，點P′稱為將點P進行“a型平移”的對應點；將圖形G上的所有點進行“a例如：將點Px,y平移到P′x+1,y?1稱為將點P進行“1型平移”，將點Px,y平移到P′已知點A1,1和點B(1)將點A1,1進行“1型平移”后的對應點A′的坐標為________；將線段AB進行“?1型平移”后得到線段A′(2)若線段AB進行“a型平移”后與坐標軸有公共點，求a的取值范圍．(3)已知點C4,0，D6,?2，將線段CD進行“1型平移”后得到的對應線段為C′D′，在坐標軸上確定一點M【變式22-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）閱讀下列材料，并完成相應任務．如圖1，物理學中把經過入射點O并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角．在反射現象中，反射角等于入射角．因為法線ON垂直于反射面，且反射角r=入射角i，所以∠1=∠2(依據)．利用這個規律，人們制造了潛望鏡，圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB，CD是平面鏡，m是射入潛望鏡的光線，n是經平面鏡兩次反射后離開潛望鏡的光線，在反射現象中，蘊含了豐富的數學道理．

任務：(1)上述材料中的“依據”指的是______；如圖2，若入射光線m與反射光線n平行，則AB與CD的位置關系是______．(2)改變兩面平面鏡AB，CD之間的位置關系，經過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關系會隨之改變．如圖3，將平面鏡AB與CD在B處相接，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線n和光線m平行，且∠1=48°，求∠6的度數．

專題13.5期中易錯題壓軸題專項復習【21大題型】（考試范圍：第7~9章）【人教版2025】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1對頂角、鄰補角、三線八角】 2【考點2兩條直線垂直】 5【考點3平行線的判定與性質】 7【考點4命題與定理】 11【考點5平移】 13【考點6平方根、立方根】 17【考點7無理數】 20【考點8實數與數軸】 22【考點9實數的運算】 24【考點10平面直角坐標系中點的坐標特征】 27【考點11用坐標表示平移】 29【壓軸篇】 32【考點12相交線中的角度計算】 32【考點13平行線中的折疊問題】 42【考點14平行線中的拐點問題】 50【考點15探究角度之間的關系】 54【考點16平行線中的旋轉問題】 63【考點17無理數的整數與小數部分的計算】 69【考點18平面直角坐標系中的面積計算】 72【考點19平面直角坐標系中的規律探究】 79【考點20平行線中的多結論問題】 83【考點21新定義問題】 91【考點22閱讀理解類問題】 100【易錯篇】【考點1對頂角、鄰補角、三線八角】【例1】（24-25七年級·河北秦皇島·期末）光線從空氣射入玻璃時，光的傳播方向發生了改變，一部分光線通過玻璃表面反射形成反射光線，一部分光線穿過玻璃發生了折射，如圖所示，由科學實驗知道，∠1=∠2，∠4<∠3，下列結論正確的是（

）

A．∠1與∠2是對頂角 B．∠4與∠3是對頂角C．∠3=∠5 D．∠4=∠5【答案】C【分析】本題主要考查了對頂角的定義、余角的定義等知識點，掌握對頂角和余角的定義成為解題的關鍵．根據對頂角的性質可判定A、B選項，再根據余角的定義可判定C、D選項．【詳解】解：由對頂角的定義可知∠1和∠2不是對頂角，∠3和∠4也不是對頂角，即A、B選項不符合題意；∵∠1=∠2，∠3=90°?∠1,∠5=90°?∠2，∴∠3=∠5，即C選項符合題意；∵∠4<∠3，∴∠4<∠5，即D選項不符合題意．故選C．【變式1-1】（24-25七年級·廣東河源·階段練習）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內角；③∠4與∠1是內錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方的角，這樣的兩個角稱為同位角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的兩側，這樣的一對角叫做內錯角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的同側，這樣的一對角叫做同旁內角，進行判斷即可．【詳解】解：①由同位角的概念得出：∠A與∠1是同位角，正確；②由同旁內角的概念得出：∠A與∠B是同旁內角，正確；③由內錯角的概念得出：∠4與∠1不是內錯角，錯誤；④由內錯角的概念得出：∠1與∠3是內錯角，錯誤．故正確的有2個，是①②，故選：A．【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，理解和掌握同位角、內錯角、同旁內角的意義是正確判斷的前提．【變式1-2】（24-25七年級·河南南陽·期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF=39°，則∠EOF的度數為．【答案】77°/77度【分析】本題考查了對頂角相等，與角平分線有關的計算，垂線的定義．先由OF平分∠BOD，以及∠AOC+∠DOF=39°，求得∠DOF=13°，再利用垂線的性質求得∠EOF=77°，據此求解即可．【詳解】解：∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∵∠AOC+∠DOF=39°，∠AOC=∠BOD∵∠DOF=∠BOF=1∵OE⊥AB∴∠BOE=90°，∴∠EOF=90°?∠FOB=90°?13°=77°，故答案為：77°．【變式1-3】（24-25七年級·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE、OF分別是(1)∠DOE的補角是；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數．【答案】(1)∠AOE或∠COE(2)∠AOE=149°，∠DOF=59°【分析】本題主要考查了鄰補角、角平分線、幾何圖形中角度計算等知識，弄清圖形中各角的關系是解題關鍵．（1）根據角平分線的定義可得∠DOE=∠BOE，再根據補角的定義結合圖形找出答案即可；（2）根據角平分線的定義計算即可求出∠BOE，然后根據補角的和等于180°列式計算即可求出∠AOE的值，先求出∠AOD的值，再根據角平分線的定義解答即可．【詳解】（1）解：∵OE是∠BOD的平分線，由角平分線的性質可得∠DOE=∠BOE，又∵∠BOE＋∠AOE=180°，∴∠DOE＋∴∠DOE的補角是∠AOE或∠COE．故答案為：∠AOE或∠COE；（2）由題意可得∠BOE=1∴∠AOE=180°?31°=149°，∵∠BOD=62°，∴∠AOD=180°?62°=118°，∵OF是∠AOD的平分線，∴∠DOF=1【考點2兩條直線垂直】【例2】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（

）A．線段PC的長是點C到直線PA的距離B．線段AC的長是點A到直線PC的距離C．PA、PB、PC三條線段中，PB最短D．線段PB的長是點P到直線a的距離【答案】B【分析】本題考查了點到直線的距離，垂線段最短，掌握直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離是解題的關鍵．根據點到直線的距離判斷A、B、D選項；根據垂線段最短判斷C選項．【詳解】解：A、線段PC的長是點C到直線PA的距離，故選項A正確，不合題意；B、應是線段AP的長是點A到直線PC的距離，而不是AC，故選項B不正確，符合題意；C、PA、PB、PC三條線段中，垂線段最短，即PB最短，選項C正確，不合題意；D、線段PB的長是點P到直線a的距離，選項D正確，不合題意；故選：B．【變式2-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）數學源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質，根據垂線段最短，線段的性質分別判斷即可．熟記垂線段最短是解題的關鍵．【詳解】解：A、彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數學常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；B、木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；C、測量跳遠成績是求腳后跟到起跳線的距離，數學常識為垂線段最短，故該選項符合題意；D、兩釘子固定木條，數學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；故選：C．【變式2-2】（24-25七年級·湖北宜昌·期末）如圖，點A，B，C是直線l上的三點，點P在直線l外，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，則點P到直線l的距離是

【答案】4【分析】本題考查了點到直線的距離的定義．根據點到直線的距離的定義，直線外一點到直線的垂線段長度叫做點到直線的距離，判斷PA=4cm是點P到直線l【詳解】解：∵直線外一點到直線的垂線段長度叫做點到直線的距離，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm∴點P到直線l的距離是4cm故答案為：4．【變式2-3】（24-25七年級·河南鄭州·期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，則∠COE的度數是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【答案】D【分析】本題考查了垂線，平角的知識，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．根據垂直定義可得：∠BOE=90°，然后利用平角定義進行計算，即可解答．【詳解】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠DOB=43°，∴∠COE=180°?∠BOE?∠DOB=47°，故選：D．【考點3平行線的判定與性質】【例3】（24-25七年級·江蘇泰州·期末）一塊木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下（OG⊥AD），支持力N的方向與斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向與斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f與重力G方向的夾角∠1=120°，則斜面的坡角∠2的度數是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．先根據平行線的性質求出∠OEB，根據對頂角相等求出∠AEG，再根據OG⊥AD，即可求出∠2．【詳解】解：如圖OG交AB于點E，∵OC∥AB，∴∠1+∠OEB=180°，∵∠1=120°，∴∠OEB=180°?120°=60°，∴∠AEG=60°，∵OG⊥AD，∴∠AGE=90°，∴∠2=90°?60°=30°，故選：B．【變式3-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）已知∠1=∠2，下列圖形中，能確定AB∥CD的是（A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定，如果兩條直線被第三條直線所截，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補都可以判定兩條被截直線平行，解決本題的關鍵是判斷∠1和∠2是由哪兩條直線被截形成的角．【詳解】解：A選項：∠1和∠2是直線AE、DF被直線DA所截形成的同位角，當∠1=∠2時，根據同位角相等，兩直線平行可證AE∥DF，不能證明B選項：∠1和∠2是直線AB、CD被直線AC所截形成的內錯角，當∠1=∠2時，根據內錯角相等，兩直線平行可證AB∥C選項：∠1和∠2不是直線AB、CD被第三條直線所截形成的角，當∠1=∠2時，不能判斷AB∥D選項：∠1和∠2不是直線AB、CD被第三條直線所截形成的角，當∠1=∠2時，不能判斷AB∥故選：B．【變式3-2】（24-25七年級·山西晉中·期末）已知：如圖，∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°（1）求證：∠2=∠4；（2）試求出∠ADC的度數．請根據解答過程，在橫線上填出數學式，在括號內填寫相應理由．（1）證明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（①）∴∠2=∠4；（②）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（③）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已證）∴∠3+∠4=180°，（④）∴⑤，（⑥）∴∠ADF=∠⑦∴∠ADC的度數為⑧．【答案】（1）同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；（2）垂直的定義；等量代換；AD∥EF；同旁內角互補，兩直線平行；EFC；90°【分析】本題考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定及性質是解決問題的關鍵．（1）證明DP∥AC可得∠2=∠4；（2）由垂直的定義得∠EFC=90°，由等量代換得∠3+∠4=180°，從而AD∥EF，然后根據平行線的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（同位角相等，兩直線平行）∴∠2=∠4；（兩直線平行，內錯角相等）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（垂直的定義）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已證）∴∠3+∠4=180°，（等量代換）∴AD∥EF，（同旁內角互補，兩直線平行）∴∠ADF=∠EFC∴∠ADC的度數為90°．故答案為：（1）同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等；（2）垂直的定義；等量代換；AD∥EF；同旁內角互補，兩直線平行；EFC；90°.【變式3-3】（24-25七年級·遼寧沈陽·期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點E，在邊AE上取點F，連結DF，使∠1=∠D．(1)求證：DF∥BC；(2)當∠A=40°，∠DFE=36°時，求∠2的度數．【答案】(1)見解析(2)88°【分析】本題主要考查三角形內角和定理和平行線的性質與判定，靈活運用三角形內角和等于180°和平行線的判定和性質定理是解決問題的關鍵．（1）根據CD平分∠ACB得到∠DCB=∠1，再由∠1=∠D等量代換推出∠DCB=∠D，根據“內錯角相等，兩直線平行．”即可得證；（2）先根據平行線的性質求出∠B的度數，然后根據三角形內角和定理求出∠ACB的度數，由CD平分∠ACB推出∠1的度數，最后根據三角形內角和定理即可求出∠2的度數．【詳解】（1）證明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠1，又∠1=∠D，∴∠DCB=∠D，∴DF∥BC．（2）解：∵DF∥BC，∠DFE=36°，∴∠B=∠DFE=36°，在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°，∴∠ACB=180°?40°?36°=104°，又∵CD平分∠ACB，∴∠1=1∴∠2=180°?40°?52°=88°．【考點4命題與定理】【例4】（24-25七年級·江蘇揚州·期末）下列選項是命題的是（

）A．作直線AB∥CD B．今天的天氣好嗎？C．連接A、B兩點 D．同角的余角相等【答案】D【分析】根據命題的定義對各選項進行判斷.【詳解】解：A、作線段AB∥CD為描述性語言，不是命題；B、今天的天氣好嗎？語句為疑問句，不是命題；C、連接A、B兩點為描述性語言，不是命題；D、同角的余角相等，是命題，故選：D.【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.命題的“真”“假”是就命題的內容而言.任何一個命題非真即假.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可.【變式4-1】（24-25七年級·山東淄博·期中）命題“同角的余角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式是（

）A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等C．如果兩個角是同角，那么這兩個角是余角 D．如果兩個角互余，那么這兩個角相等【答案】B【分析】根據命題由題設和結論組成，把條件“兩個角是同角的余角”寫在如果的后面，把結論“這兩個角相等”寫在那么的后面即可．【詳解】命題“同角的余角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式是“如果兩個角是同角的余角，那么這兩個角相等”．故選B．【點睛】本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題．【變式4-2】（24-25七年級·河北石家莊·期末）老師布置了一項作業，對一個真命題進行證明，下面是小云給出的證明過程：

證明：如圖，∵b⊥a，∴∠1=90°．∵c⊥a，∴∠2=90°，∴∠1=∠2，∴b∥c.已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（

）A．在同一平面內，若b⊥a，且c⊥a，則b∥c B．在同一平面內，若b∥c，且b⊥a，則c⊥aC．兩直線平行，同位角不相等 D．兩直線平行，同位角相等【答案】A【分析】閱讀證明可以得到答案．【詳解】解：根據證明過程可知，證明的真命題是b⊥a，且c⊥a，則b∥c，故選：A．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是能分清命題的題設與結論．【變式4-3】（24-25七年級·北京東城·期中）某學校舉辦科技節活動，有甲、乙、丙、丁四個團隊參加“智能機器人“項目比賽，該項目只設置一個一等獎，在評獎揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學對這四個參賽團隊獲獎結果預測如下：小張說：“甲或乙團隊獲得一等獎”；小王說：“丁團隊獲得一等獎”；小李說：“乙、丙兩個團隊均未獲得一等獎”；小趙說：“甲團隊獲得一等獎”．若這四位同學只有兩位預測結果是對的，則獲得一等獎的團隊是．【答案】丁【分析】先閱讀理解題意，再逐一進行檢驗進行簡單的合情推理即可．【詳解】解：①若獲得一等獎的團隊是甲團隊，則小張、小李、小趙預測結果是對的，與題設矛盾，即假設錯誤，②若獲得一等獎的團隊是乙團隊，則小張預測結果是對的，與題設矛盾，即假設錯誤，③若獲得一等獎的團隊是丙團隊，則四人預測結果都是錯的，與題設矛盾，即假設錯誤，④若獲得一等獎的團隊是丁團隊，則小李、小王預測結果是對的，與題設相符，即假設正確，即獲得一等獎的團隊是：丁；故答案為：丁．【點睛】本題考查了推理與論證，正確進行簡單的合情推理是解題關鍵．【考點5平移】【例5】（24-25七年級·廣東深圳·期末）如圖，在銳角△ABC中，∠BAC=60°，將△ABC沿著射線BC方向平移得到△A′B′C′（平移后點A，B，C的對應點分別是點（A′，B′，C′A．20° B．40° C．80° D．120°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質，一元一次方程的應用．根據△ABC的平移過程，分點E在BC上和點E在BC外兩種情況，根據平移的性質得到AB∥A′B′，根據平行線的性質得到∠AC【詳解】解：第一種情況：如圖，當點B′在BC上時，過點C作CG∵△A′B′∴AB∥∵CG∥∴CG∥AB∥①當∠ACA∴設∠CA′B∵CG∥AB∴∠ACG=∠BAC=60°,∠A∵∠ACG=∠ACA∴2x+x=60°，解得：x=20°，∴∠ACA②當∠CA∴設∠CA′B∴∠ACG=∠BAC=60°,∠A∵∠ACG=∠ACA∴x+1解得：x=40°，∴∠ACA第二種情況：當點B′在△ABC外時，過點C作CG∵△A′B′∴AB∥∵CG∥∴CG∥AB∥①當∠ACA設∠CA′B∴∠ACG=∠BAC=60°,∠A∵∠ACA∴2x=x+60°，解得：x=60°，∴∠AC②當∠CA由圖可知，∠CA綜上所述，∠ACA′=20°或40°故選：C．【變式5-1】（24-25七年級·重慶·期末）如圖，將△ABC向右平移得到△DEF，且點B，E，C，F在同一條直線上，若A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了平移的性質，根據平移距離得到相應線段的長度是解題的關鍵．根據平移的性質可得AD=BE=CF，BF=BE+CF+EC，然后列式求解即可．【詳解】解：∵△ABC向右平移得到△DEF，∴點A、B、C的對應點分別為D、E、F，∴AD=BE=CF，∵BF=BE+CF+EC，EC=2，BF=8，∴AD=3，故選：B【變式5-2】（24-25七年級·河北承德·期中）如圖所示第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經過平移而得，那么第4個圖案中有白色六邊形地面磚________塊，第n個圖案中有白色地面磚________塊，則下列選項中正確的是（

）A．16,4n B．17,4+n C．18,4n+2【答案】C【分析】由圖可知，每一個圖案比前一個圖案多4個白色的六邊形，1個黑色的六邊形，根據規律解題即可．【詳解】解：由圖可知，每一個圖案比前一個圖案多4個白色的六邊形，∴第n個圖案白色六邊形的個數為：6+4n?1∴第4個圖案白色六邊形的個數為：4×4+2=18，故選C．【點睛】本題考查圖形的規律類問題，通過圖形找到相應的數字規律是解題的關鍵．【變式5-3】（24-25七年級·浙江臺州·期末）如圖，從起點A到終點B有多條路徑，其中第一條路徑為線段AB，其長度為a，第二條路徑為折線ACB，其長度為b，第三條路徑為折線ADEFGHIJKLB，其長度為c，第四條路徑為半圓弧ACB，其長度為d，則這四條路徑的長度關系為（

）A．a<b<c<d B．a<c<d<b C．a<b=c<d D．a<b<c=d【答案】C【分析】根據兩點之間，線段最短可知a最小，根據平移的性質可知b=AC+BC=c，根據圓的定義，可得c＜d．據此解答即可．【詳解】解：根據兩點之間，線段最短可知a最小，根據平移的性質可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LB=c，由圓的定義可知c＜d，∴a<b=c<d；故選：C【點睛】本題主要考查了平移的性質以及三角形的三邊關系，理清題意的解答本題的關鍵．【考點6平方根、立方根】【例6】（24-25七年級·江蘇揚州·期末）（1）計算：16+（2）解方程：2x?1【答案】（1）4；（2）x=3或x=?1【分析】本題考查實數的運算，平方根，熟練掌握相關運算法則及定義是解題的關鍵．（1）利用算術平方根及立方根的定義計算即可；（2）將原方程整理后利用平方根的定義解方程即可．【詳解】解：（1）原式=4+3?3=4；（2）原方程整理得：x?12則x?1=±2，∴x?1=2或x?1=?2，解得：x=3或x=?1．【變式6-1】（24-25七年級·河南鶴壁·期末）下列說法正確的是（

）A．1的平方根是1 B．?6不是36的平方根C．2不是有理數 D．?2是8的立方根【答案】C【分析】此題考查平方根的定義，有理數的定義，立方根定義，根據平方根的定義，無理數的定義，立方根定義分別判斷即可得到答案．【詳解】解：A.1的平方根是±1，故該項原說法錯誤；B.?6是36的平方根，故該項原說法錯誤；C.2不是有理數是無理數，故該項原說法正確；D.?2不是8的立方根，故該項原說法錯誤；故選：C．【變式6-2】（24-25七年級·浙江紹興·期末）已知小正方形的邊長為1，在4×4的正方形網中．（1）求S陰（2）在5×5的正方形網中作一個邊長為13的正方形．【答案】（1）10；（2）見解析【分析】（1）用大正方形的面積減去四個小三角形的面積即可得出陰影部分面積；（2）邊長為13的正方形，則面積為(13)2【詳解】解：（1）S陰故答案為：10；（2）邊長為13的正方形，則面積為(13則每個三角形的面積為14則作圖如下：.【點睛】本題主要考查了作圖-應用與設計作圖，解決本題的關鍵是利用網格求出周圍四個小三角形的邊長．【變式6-3】（24-25七年級·山西太原·期末）王紅與王亮設計了一個數值轉換器，輸入的x>0，流程如下：下面是他們得到的相關結論，其中是真命題的是（

）A．若輸入x的值是8，則輸出y的值是2B．若輸出y的值是3，則輸入x的值是9C．若輸入x的值是64，則輸出y的值是3D．若輸入x的值是1，則輸不出y的值【答案】D【分析】本題主要考查了命題真假的判斷、程序流程圖與代數式求值等知識點，正確求得把x的值代入得出輸出y的值是解題的關鍵．把x的值代入得出輸出y的值，據此逐項判斷即可．【詳解】解：A、若輸入x的值是8，則輸出y的值是22B、若輸出y的值是3，則輸入x的值是3，故該選項說法錯誤，不是真命題；C、若輸入x的值是64，則輸出y的值是2，故該選項說法錯誤，不是真命題；D、若輸入x的值是1，則輸不出y的值，說法正確，是真命題．故選：D．【考點7無理數】【例7】（24-25七年級·安徽安慶·期中）滿足?3<x<310的整數【答案】?1、0、1、2【分析】本題考查估算無理數的大小，理解算術平方根、立方根的意義是解題關鍵．根據算術平方根、立方根的意義估算?3，3【詳解】解：∵12=1，2∴1<3∴?2<?3∵23=8，3∴2<3∴滿足?3<x<310的整數x有?1、0、故答案為：?1、0、1、2．【變式7-1】（24-25七年級·山東泰安·期末）在實數?3，0，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】此題主要考查了立方根和無理數的定義，熟知無理數的常見形式是解題的關鍵．首先計算3?64【詳解】解：3?64∴根據無理數的定義可知：7，π2，0.131331331…∴無理數的個數是3個．故選：B．【變式7-2】（24-25七年級·甘肅天水·期末）因為22<5<32，可以肯定2<5<3，也就是5在2與3之間．依據這一方法，對2.22<5<2.32，可以肯定2.2<5A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 【答案】B【分析】本題考查了估算無理數的大小，能估算出10的范圍是解答本題的關鍵．利用估算無理數大小的方法即可求得答案．【詳解】解：∵3.16∴3.16<10故選：B．【變式7-3】（24-25七年級·遼寧本溪·期末）解答題，在學習第二章第4節《估算》后，某數學愛好小組探究110的近似值的過程如下：∵∴10<∵面積為110的正方形的邊長是110∴設110=10+x，其中0<x<1畫出示意圖，如圖所示．根據示意圖，可得圖中正方形的面積為S正方形又∵S∴10當0<x<1時，可忽略x2，得100+20x≈110，解得x≈0.5∴110(1)求13.8的整數部分；(2)仿照該數學愛好小組的探究過程，求13.8的近似值（結果保留1位小數）．（要求：畫出示意圖，標注數據，并寫出求解過程）【答案】(1)3(2)13.8【分析】本題主要考查了估計無理數的大小，理解示例并合理解答是解題關鍵．（1）判斷出9<（2）仿造示例畫出圖形，可得S正方形【詳解】（1）解：∵9∴3<13.8∴13.8（2）解：根據題意畫出示意圖，標注數據如下：∵面積為13.8的正方形的邊長是13.8，且3<13.8<4∴設13.8=3+x，其中0<x<1根據示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形又∵S∴3當0<x<1時，可忽略x2，得9+6x≈13.8，解得x≈0.8∴13.8【考點8實數與數軸】【例8】（24-25七年級·浙江杭州·期中）實數a在數軸上對應點A的位置如圖所示，若b=a?

（1）b的值是．（2）10b+2的平方根是【答案】10?2【分析】本題主要考查了實數與數軸、平方根及實數的性質，熟知數軸上的點所表示數的特征及平方根的定義是解題的關鍵．（1）根據數軸上點A的位置，得出數a的取值范圍，再結合絕對值的性質即可解決問題．（2）根據（1）中求出的b的值，結合平方根的定義即可解決問題．【詳解】解：（1）由所給數軸可知，2<a<3，所以a?10<0，則b=10（2）由（1）知，10b+2所以10b+2的平方根是±故答案為：（1）10?2；（2）±【變式8-1】（24-25七年級·山西長治·期中）數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上表示，張老師作了如圖所示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到達點A，此時點A表示的數是．【答案】π【分析】本題考查用數軸上的點表示實數，數軸上兩點間的距離，根據題意，直徑為單位1的圓從數軸上的原點沿著數軸無滑動地順時針滾動一周到達點A，則OA的長為圓的周長，求圓的周長即可．明確OA長度的實際意義是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵直徑為單位1的圓從數軸上的原點沿著數軸無滑動地順時針滾動一周到達點A，∴OA=π×1∴點A表示的數是π．故答案為：π．【變式8-2】（24-25七年級·浙江杭州·期中）數軸上點A表示的數是?2，點B，C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等．若點B表示的數是3，則點C表示的數是．【答案】?4?3/【分析】本題考查了實數與數軸，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．先畫出圖形，再求出AC,AB的長，然后根據數軸的性質求解即可得．【詳解】解：由題意，畫出數軸如下：∵數軸上點A表示的數是?2，點B表示的數是3，∴AB=3∵點B,C分別位于點A的兩側，且到點A的距離相等,∴AC=AB=3∴點C表示的數是?2?3故答案為：?4?3【變式8-3】（24-25七年級·廣東江門·期中）實數a、b在數軸上的位置如圖所示．化簡a2?【答案】?2a【分析】本題考查了利用絕對值和二次根式的性質進行化簡，掌握性質是解題的關鍵．由數軸可得a<0<b，a?b<0，根據a2【詳解】解：由數軸知：a<0<b，∴a?b<0，∴a==?a?b+b?a=?2a，故答案為：?2a．【考點9實數的運算】【例9】（24-25七年級·河北邯鄲·期中）任意給出一個非零實數m，按如圖所示的程序進行計算．(1)當m=1時，輸出的結果為________．(2)當實數m的一個平方根是﹣3時，求輸出的結果．【答案】(1)0(2)-2【分析】（1）將m=1代入流程圖，逐步計算即可；（2）根據題意求出m的值，代入流程圖計算即可求出值．【詳解】（1）解：當m=1時，12（2）根據題意得：m=?3∴32【點睛】此題考查了實數的運算，以及平方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【變式9-1】（24-25七年級·重慶云陽·期末）計算：?12025+【答案】3?2/【分析】本題考查實數的運算，根據乘方和絕對值運算法