2024—2025學年河南省新鄉市長垣市九年級上學期期中數學考試試卷

一、單選題(★)1.下列圖案是中心對稱圖形的是（）

A．B．C．D．(★)2.關于的方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別為（）

A．1，，5B．1，3，C．1，，0D．1，，(★★)3.如圖是蔬菜塑料大棚及其正面的示意圖．示意圖中曲線可近似看作一條拋物線，四邊形為矩形且支架，，，均垂直于地面．已知米，米，以所在的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系（規定一個單位長度代表1米），若點M的坐標為，則拋物線的表達式為（）

A．B．C．D．(★★)4.如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉得到．當落在上時，的度數為（）

A．B．C．D．(★★)5.若關于的方程（其中）的解是，，且滿足，則的值是（）

A．2或B．3或C．2D．(★★★)6.如圖，在等邊三角形中，有一點P，連接、、，將繞點B逆時針旋轉得到，連接、，有如下結論：①；②是等邊三角形；③如果，那么．以上結論正確的是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③(★★★)7.若關于的二次函數的圖象與軸有兩個公共點，則滿足條件的的值可以是（）

A．B．0C．1D．(★)8.二次函數的圖象的頂點坐標是（）

A．B．C．D．(★★★)9.如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上，若，兩點的橫坐標分別為，（），下列結論正確的是（）

A．B．C．D．(★)10.如圖，在正方形網格中，，，，，，，，，，是網格線交點，若與中心對稱，則其對稱中心是（）

A．點B．點C．點D．點二、填空題(★)11.點關于原點對稱的點的坐標是________．(★★)12.拋物線與坐標軸有_________個交點．(★★★)13.新定義：關于x的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．例如：與是“同族二次方程”．現有關于x的一元二次方程與是“同族二次方程”，則代數式的最小值是________．(★★★)14.如圖，在中，，將繞點順時針旋轉得到，則線段的長度是________．(★★★)15.如圖，在平面直角坐標系中，菱形的一邊在x軸上，拋物線經過點C、D，則點B的坐標為____________．三、解答題(★★)16.解方程(1)．(2)（用配方法解）．(★★★)17.已知關于x的方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)如果方程有一個根為，求方程的另一個根及的值．(★★★)18.已知二次函數（b，c為常數）的圖象經過點，對稱軸為直線．(1)求二次函數的表達式；(2)若點向上平移2個單位長度，向左平移m（）個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當時，二次函數的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．(★★★)19.某企業設計了一款旅游紀念工藝品，每件的成本是60元，為了合理定價，投放市場進行試銷，據市場調查，當銷售單價是100元/件時，每天的銷售量是80件，若銷售單價每降低1元，每天就可多售出4件，但要求銷售單價不得低于成本．(1)寫出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元/件）之間的函數關系式．(2)求出當銷售單價定為多少元/件時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？(★★★)20.如圖，在四邊形中，，點E是上一點，點D與點C關于點E成中心對稱，連接并延長，與的延長線交于點F．(1)E是線段的，點A與點F關于點成中心對稱；(2)若，求證：是等腰三角形．(★★★)21.閱讀下列材料：方程兩邊同時除以，得，即．因為，所以．根據以上材料解答下列問題：(1)已知方程，則_____；_____．(2)若m是方程的根，求的值．(★★★)22.如圖，在中，，以為邊向右側作等邊，把繞點按順時針方向旋轉后得到，若．(1)求的度數；(2)求的長．(★★★)23.數學小組在學習了二次函數后，進一步查閱其相關資料進行學習：材料一：給出如下定義：與坐標軸不平行的直線與拋物線有兩個交點時，稱直線與拋物線相交；直線與拋物線有且只有一個交點時，稱直線與拋物線相切，這個交點稱作切點；直線與拋物線沒有交點時，稱直線與拋物線相離．材料二：判斷：拋物線與直線的位置關系聯立得．根據一元二次方程根的判別式①當時，拋物線與直線有兩個交點，則直線與拋物線相交（如圖1）．②當時，拋物線與直線有且只有一個交點，則直線與拋物線相切．直線叫做拋物線的切線，交點叫做拋物線的切點（如圖2）．③當，拋物線與直線沒有交點，則直線與拋物線相離（如圖3）【探究性質】（1）判斷：直線與拋物線的位置關系是：________（選填“相交”或“相切”或“相離”）；【運用性質】（2）若直線與拋物線相離，求的取值范圍；【問題解決】某小區修建完成人工噴泉，人工噴泉中心有一豎直的噴水柱，噴水口為，數學興趣小組觀察發現，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，其中一條水流落地點為，興趣小組將噴泉柱底端標為原點，噴泉柱所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的井面直角坐標系．從水流噴出到落下