PAGE1-第八節(jié)圓錐曲線的綜合問題[考綱傳真]1.駕馭解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法；2.了解圓錐曲線的簡潔應用；3.理解數形結合的思想．1．直線與圓錐曲線的位置關系設直線l：Ax＋By＋C＝0，圓錐曲線C：F(x，y)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y得到關于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時，設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ，則Δ＞0?直線l與圓錐曲線C有兩個公共點；Δ＝0?直線l與圓錐曲線C有一個公共點；Δ＜0?直線l與圓錐曲線C有零個公共點．(2)當a＝0，b≠0時，圓錐曲線C為拋物線或雙曲線．當C為雙曲線時，l與雙曲線的漸近線平行或重合，它們的公共點有1個或0個．當C為拋物線時，l與拋物線的對稱軸平行或重合，它們的公共點有1個．2．圓錐曲線的弦長公式設斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).eq\o([常用結論])過一點的直線與圓錐曲線的位置關系(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切；過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切；過橢圓內一點的直線與橢圓相交．(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線；過拋物線內一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點：一條與對稱軸平行或重合的直線．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點．()(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點．()(3)過拋物線y2＝2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.()(4)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點，則l與拋物線有兩個交點．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)直線y＝k(x－1)＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關系是()A．相交B．相切 C．相離 D．不確定A[直線y＝k(x－1)＋1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內部，故直線與橢圓相交．]3．“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[直線與雙曲線相切時，只有一個公共點，但直線與雙曲線相交時，也可能有一個公共點，例如：與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線只有一個交點．故選A.]4．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有________條．3[結合圖形分析可知，滿意題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0).]5．(教材改編)已知與向量v＝(1,0)平行的直線l與雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為________．4[由題意可設直線l的方程為y＝m，代入eq\f(x2,4)－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝eq\r(41＋m2)＝2eq\r(1＋m2)，x2＝－2eq\r(1＋m2)，所以|AB|＝|x1－x2|＝4eq\r(1＋m2)≥4，即當m＝0時，|AB|有最小值4.]第1課時直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關系1．過拋物線y2＝2x的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線()A．有且只有一條 B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有且只有四條B[設該拋物線焦點為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋eq\f(p,2)＋xB＋eq\f(p,2)＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合條件的直線有且只有兩條．]2．若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的取值范圍是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5D[由于直線y＝kx＋1恒過點(0,1)，所以點(0,1)必在橢圓內或橢圓上，則0<eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.]3．若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，\f(\r(15),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(15),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1))D[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6))得(1－k2)x2－4kx－10＝0.設直線與雙曲線右支交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝16k2－41－k2×－10＞0，,x1＋x2＝\f(4k,1－k2)＞0，,x1x2＝\f(－10,1－k2)＞0，))解得－eq\f(\r(15),3)＜k＜－1，即k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(15),3)，－1)).][規(guī)律方法]直線與圓錐曲線位置關系的判定方法代數法即聯立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數即為交點個數，方程組的解即為交點坐標幾何法即畫出直線與圓錐曲線的圖象，依據圖象推斷公共點個數弦長問題?考法1與弦長有關的問題【例1】斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A．2B.eq\f(4\r(5),5) C.eq\f(4\r(10),5) D.eq\f(8\r(10),5)C[設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t，))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，則x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，當t＝0時，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).]?考法2中點弦問題【例2】已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1D[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))運用點差法，所以直線AB的斜率為k＝eq\f(b2,a2)，設直線方程為y＝eq\f(b2,a2)(x－3)，聯立直線與橢圓的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝eq\f(6b2,a2＋b2)＝2，又因為a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18，方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.]?考法3與弦長有關的綜合問題【例3】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦AB與CD.當直線AB斜率為0時，AB＝4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝eq\f(48,7)，求直線AB的方程．[解](1)由題意知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|＋|CD|＝7，不滿意條件．②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y＝－eq\f(1,k)(x－1)．將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1·x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，所以|AB|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\r(k2＋1)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2).同理，|CD|＝eq\f(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k2)＋1)),3＋\f(4,k2))＝eq\f(12k2＋1,3k2＋4).所以|AB|＋|CD|＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)＋eq\f(12k2＋1,3k2＋4)＝eq\f(84k2＋12,3＋4k23k2＋4)＝eq\f(48,7)，解得k＝±1，所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.[規(guī)律方法]求解弦長的四種方法1當弦的兩端點坐標易求時，可干脆利用兩點間的距離公式求解.2聯立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解.3聯立直線與圓錐曲線方程，消元得到關于x或y的一元二次方程，利用根與系數的關系得到x1－x22，y1－y22，代入兩點間的距離公式.4當弦過焦點時，可結合焦半徑公式求解弦長.設橢圓M：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率與雙曲線x2－y2＝1的離心率互為倒數，且橢圓的長軸長為4.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線y＝eq\r(2)x＋1交橢圓M于A，B兩點，P(1，eq\r(2))為橢圓M上一點，求△PAB的面積．[解](1)由題可知，雙曲線的離心率為eq\r(2)，則橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，由2a＝4，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝eq\r(2)，b＝eq\r(2)，故橢圓M的方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1.(2)聯立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2)x＋1，,\f(x2,2)＋\f(y2,4)＝1，))得4x2＋2eq\r(2)x－3＝0，且eq\