PAGEPAGE15.1平面對量的概念及線性運算【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．向量的有關概念名稱定義表示方法留意事項向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量或；?；蚱矫鎸α渴亲杂上蛄苛阆蛄块L度等于0的向量，方向是隨意的記作零向量方向是隨意的單位向量長度等于1個單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為二．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口訣：(加法三角形)首尾連，連首尾；(加法平行四邊形)起點相同連對角；(減法三角形)共起點，連終點，指向被減．三．向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b＝λa.四．平面對量基本定理假如e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的隨意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內全部向量的一組基底．【修煉套路】【修煉套路】為君聊賦《今日詩》，努力請從今日始考向一概念辨析【例1】推斷下列各命題正確的是：(1)單位向量都相等；(2)|a|與|b|是否相等，與a，b的方向無關；(3)若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；(4)若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；(5)兩向量a，b相等的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.【答案】（2）（3)【解析】(1)不正確．(2)正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不肯定相同．(3)正確，∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，∴|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(DC,\s\up16(→))|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD是平行四邊形．反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB綊DC，且eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(DC,\s\up16(→))方向相同．因此eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→)).(4)不正確，當b＝0時，a與c可以不共線．(5)不正確，當a∥b，但方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b.【套路總結】【套路總結】1．相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．2．共線向量即平行向量，它們均與起點無關．相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量．向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．4．非零向量a與eq\f(a,|a|)的關系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．5．向量與數量不同，數量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數，故可以比較大?。?.零向量的關鍵是長度是0，規定零向量與任何向量共線．【舉一反三】1．給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；③若A，B，C，D是不共線的四點，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題的序號是________．【答案】③【解析】①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不肯定有相同的起點和終點；②錯誤，若b＝0，則a與c不肯定共線；③正確，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；④錯誤，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件；⑤錯誤，當λ＝μ＝0時，a與b可以為隨意向量，滿意λa＝μb，但a與b不肯定共線．考向二平面對量的線性運算【例2】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若點D滿意eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c(2)在△ABC中，點M，N滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MC,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→)).若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝________，y＝______.(3)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】（1）A（2）eq\f(1,2)－eq\f(1,6)（3）D【解析】（1）∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.（2）eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,6).（3）設eq\o(CO,\s\up6(→))＝yeq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).【套路總結】【套路總結】平面對量的線性運算1.進行向量運算時，要盡可能地將它們轉化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相像三角形對應邊成比例等性質，把未知向量用已知向量表示出來．2.向量的線性運算類似于代數多項式的運算，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．3.用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①視察各向量的位置；②找尋相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結果.【舉一反三】1.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，且CD＝2DB，點E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))表示eq\o(CE,\s\up6(→))為()A.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】B【解析】由平面對量的三角形法則及向量共線的性質可得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up6(→)).2.如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點．若eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝________.【答案】eq\f(3,4)【解析】∵E為線段AO的中點，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，∴λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))【解析】由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).∵點E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))，∴2μ＝λ，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).4.在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊BC，CD的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x－y＝________.【答案】2【解析】由題意得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋yeq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋y))eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,2)＋y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以x－y＝2.考向三共線定理及其運用【例3-1】已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up16(→))＝meq\o(OA,\s\up16(→))＋neq\o(OB,\s\up16(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.【答案】見解析【解析】(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up16(→))＝meq\o(OA,\s\up16(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))＋m(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝m(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))，即eq\o(BP,\s\up16(→))＝meq\o(BA,\s\up16(→))，∴eq\o(BP,\s\up16(→))與eq\o(BA,\s\up16(→))共線．又∵Beq\o(P,\s\up16(→))與Beq\o(A,\s\up16(→))有公共點B，∴A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，存在實數λ，使eq\o(BP,\s\up16(→))＝λeq\o(BA,\s\up16(→))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))．又eq\o(OP,\s\up16(→))＝meq\o(OA,\s\up16(→))＋neq\o(OB,\s\up16(→)).故有meq\o(OA,\s\up16(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OB,\s\up16(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up16(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up16(→))＝0.∵O，A，B不共線，∴eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.【例3-2】(1)已知D為△ABC的邊AB的中點．點M在DC上且滿意5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM與△ABC的面積比為________．（2）已知的重心為，過任做始終線分別交邊于兩點，設，則的最小值是________．（3）已知數列為等差數列，且滿意，若（），點為直線外一點，則（）【答案】（1）3∶5（2）（3）【解析】（1）由5eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))，得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AM,\s\up6(→))，即2(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝3(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))，即2eq\o(DM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，故eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(DC,\s\up6(→))，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.≥，當且僅當時等號成立，即時取得最小值．（3）∵數列{an}為等差數列，滿意，其中A，B，C在一條直線上，O為直線AB外一點，∴a1+a2024=1，∵數列{an}是等差數列，∴{an}的=1，【套路總結】【套路總結】共線向量定理的主要應用：(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數λ，使，則A，B，C三點共線．【注】證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.(3)求參數的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值．【舉一反三】1.如圖，△ABC中，在AC上取一點N，使AN＝eq\f(1,3)AC；在AB上取一點M，使AM＝eq\f(1,3)AB；在BN的延長線上取點P，使得NP＝eq\f(1,2)BN；在CM的延長線上取點Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，試確定λ的值．【答案】eq\f(1,2)【解析】∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).2.在△ABC中，O為其內部一點，且滿意eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＋3eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，則△AOB和△AOC的面積比是()A．3∶4B．3∶2C．1∶1D．1∶3【答案】D【解析】依據題意，如圖，在△ABC中，M為AC的中點，則eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OM,\s\up16(→))，又由eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＋3eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，則有2eq\o(OM,\s\up16(→))＝－3eq\o(OB,\s\up16(→))；從而可得B，O，M三點共線，且2OM＝3BO；由2OM＝3BO可得，eq\f(S△AOC,S△ABC)＝eq\f(OM,BM)＝eq\f(3,5)，S△AOB＋S△BOC＝eq\f(2,5)S△ABC，又由S△AOB＝S△BOC，則S△AOB＝eq\f(1,5)S△ABC，則eq\f(S△AOB,S△AOC)＝eq\f(1,3).故選D.3．已知點D為△ABC所在平面上一點，且滿意Aeq\o(D,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)Aeq\o(B,\s\up16(→))－eq\f(4,5)Ceq\o(A,\s\up16(→))，若△ACD的面積為1，則△ABD的面積為()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由Aeq\o(D,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)Aeq\o(B,\s\up16(→))－eq\f(4,5)Ceq\o(A,\s\up16(→))，得5eq\o(AD,\s\up16(→))＝Aeq\o(B,\s\up16(→))＋4Aeq\o(C,\s\up16(→))，所以Aeq\o(D,\s\up16(→))－Aeq\o(B,\s\up16(→))＝4(Aeq\o(C,\s\up16(→))－Aeq\o(D,\s\up16(→)))，即Beq\o(D,\s\up16(→))＝4Deq\o(C,\s\up16(→)).所以點D在邊BC上，且|Beq\o(D,\s\up16(→))|＝4|Deq\o(C,\s\up16(→))|，所以S△ABD＝4S△ACD＝4.4.已知等差數列的前項和為，、、三點共線，且，則__________．【答案】1009【運用套路】【運用套路】紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行1．下列說法正確的是（）A．若，則、的長度相等且方向相同或相反B．若向量、滿意，且與同向，則C．若，則與可能是共線向量D．若非零向量與平行，則、、、四點共線【答案】C【解析】對于A選項，模相等的向量，方向不肯定相同或者相反，也可能垂直，或者成其它的角度，故A選項錯誤.對于B選項，向量不能用大于或者小于號相連，向量的?？梢员容^大小，故B選項錯誤.對于C選項，不相等的向量可以共線，故C選項正確.對于D選項，平行向量,對應的四點不肯定是共線的，故D選項錯誤.綜上所述，本小題選C.2．在四邊形中，且，則四邊形的形態肯定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】C【解析】因為，所以,四邊形是平行四邊形又，所以,四邊形是菱形，故選C.3．下列說法中正確的是（）A．單位向量都相等B．平行向量不肯定是共線向量C．對于隨意向量，，必有D．若，滿意且與同向，則【答案】C【解析】對于A,單位向量模都相等，方向不肯定相同，故錯誤，對于B,平行向量就是共線向量，對于C,若，同向共線，，若，反向共線，，若，不共線，依據向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知，綜上可知對于隨意向量，，必有正確，對于D,兩個向量不能比較大小，故錯誤.故選C.4．下列結論正確的是（）A．a=bC．a//b，b【答案】A【解析】逐一考查所給的說法：若a=b，則a=若a=0，則由a?b=a?若b=0，則由a//b，b//c不兩個向量無法比較大小，故結論a>b錯誤，選項D說法錯誤；故選：5．如圖，在平行四邊形中，點滿意，與交于點，設，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設是上除點外的令一個三等分點，連接，連接交于，則.在三角形中，是兩條中線的交點，故是三角形的重心，結合可知，由于是中點，故.所以，由此可知，故選C.6．（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，故選B.7.設D為△ABC的邊AB的中點，P為△ABC內一點，且滿意，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\f(S△APD,S△ABC)＝()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,10)【答案】C【解析】如圖∵eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))，∴Deq\o(P,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)Beq\o(C,\s\up16(→))，∠ADP＝∠ABC，∵D是AB的中點，∴AD＝eq\f(1,2)AB.∴eq\f(S△APD,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)·AD·DPsin∠ADP,\f(1,2)·AB·BCsin∠ABC)＝eq\f(1,5).故選C.8.A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合)，若eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)]D．(－1,0)【答案】B【解析】設eq\o(OC,\s\up16(→))＝meq\o(OD,\s\up16(→))，則m>1，因為eq\o(OC,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))，所以meq\o(OD,\s\up16(→))＝λeq\o(OA,\s\up16(→))＋μeq\o(OB,\s\up16(→))，即eq\o(OD,\s\up16(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up16(→))，又知A，B，D三點共線，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.故選B.10.已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→)),2)，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上【答案】B【解析】eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(3\o(OA,\s\up16(→))－\o(OB,\s\up16(→)),2)＝eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))，即eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))，所以點P在線段AB的反向延長線上．故選B.11．若O為△ABC所在平面內一點，且eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))＋3eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，則S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝()A．3∶2∶1B．2∶1∶3C．1∶3∶2D．1∶2∶3【答案】D【解析】如圖所示，延長OB到D，使得BD＝OB，延長OC到E，使得CE＝2OC.連接AD，DE，AE.∵eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))＋3eq\o(OC,\s\up16(→))＝0，∴點O為△ADE的重心．∴S△OBC＝eq\f(1,6)S△ODE＝eq\f(1,6)×eq\f(1,3)S△ADE＝eq\f(1,18)S△ADE；S△AOC＝eq\f(1,3)S△OAE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)S△ADE＝eq\f(1,9)S△ADE；S△ABO＝eq\f(1,2)S△OAD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△ADE＝eq\f(1,6)S△ADE.∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝eq\f(1,18)∶eq\f(1,9)∶eq\f(1,6)＝1∶2∶3.故選D.12.在△ABC中，M為邊BC上隨意一點，N為AM中點，eq\o(AN,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋μeq\o(AC,\s\up16(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1【答案】A【解析】設eq\o(BM,\s\up16(→))＝teq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BM,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up16(→))∴λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)∴λ＋μ＝eq\f(1,2).故選A.13在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，點O在線段CD上(與點C、D不重合)，若eq\o(AO,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up16(→))，則x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【答案】D【解析】設Ceq\o(O,\s\up16(→))＝yeq\o(BC,\s\up16(→))，則eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CO,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋yeq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋y(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up16(→))，∵eq\o(BC,\s\up16(→))＝3eq\o(CD,\s\up16(→))，點O在線段CD上(與點C、D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up16(→))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).故選D.14.若M為△ABC內一點，eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，則△ABM和△ABC的面積之比為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【答案】A【解析】設eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADME，延長EM交BC與F，連接BM.則EF∥AB，∴eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,4).故選A.15．在中，為其內部一點，且滿意，則和的面積比是（）A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3【答案】D【解析】取中點,則由得,所以,在線段上,因此，選D.16．已知，點是邊的中點，若點滿意，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】點M是邊BC的中點，可得2，，可得2（）4，即2（）+12，可得6，即∥，故選：D．17．如圖，在中，設，的中點為，的中點為，的中點為，若，則（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題意可得，，①，②由①②解方程求得.再由可得.18．四邊形OABC中，CB=12OA，若OA=aA．a–12b B．12a–b C．b+1【答案】D【解析】由CB=OB-所以AB=19．點P在ΔABC所在平面上，且滿意PA+PB+A．12 B．13 C．1【答案】B【解析】因為PA+PB+PC=2AB=2(PB-20．如圖所示，點是正六邊形的中心，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，本題正確選項：21．如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則A． B．C． D．【答案】D【解析】依據題意得：，又，，所以.故選D.22．已知點是所在平面內一點，且滿意，則直線必經過的()A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】兩邊同乘以向量,得即點P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過△ABC的垂心，故選D.23.在中，是上的點，若，則實數的值為___________.【答案】【解析】因為，所以，即，所以．又因為三點共線，所以，所以．24如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F兩點，且與對角線AC交于點K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ的值為______．【答案】eq\f(2,9)【解析】∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四邊形法則可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，∵E，F，K三點共線，∴eq\f(5,2)λ＋2λ＝1，∴λ＝eq\f(2,9).25.如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且BD＝2DC，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m－n＝________.【答案】－2【解析】由于BD＝2DC，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，其中eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，那么eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))