線性代數(shù)習(xí)題集［帶答

案解析］

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第一部分專項(xiàng)同步練習(xí)

第一章行列式

一、單項(xiàng)選擇題

1.下列排列是5階偶排列的是().

(A)24315(B)14325(C)41523(D)24351

2.如果〃階排列，上…/的逆序數(shù)是3則排列4…上，的逆序數(shù)是().

(A)k(B)〃一左(C)^-k(D)若D—女

3.〃階行列式的展開(kāi)式中含可必2的項(xiàng)共有()項(xiàng).

(A)0(B)〃-2(C)(〃-2)!(D)(/?-1)!

0001

001c1_

4.().

010c

100c

(A)0(B)-I(C)1(D)2

0010

0100

5.=().

0001

1000

(A)0(B)-l(C)1(D)2

2xx-11

-1-x12

6.在函數(shù)f(x)=中丁項(xiàng)的系數(shù)是().

32-x3

0001

(A)0(B)-l(C)1(D)2

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a\\g2%《3-242

1

7.若。=則a_

%。22%=2rP=2a2i23?2I2a22

%。32心2a3i。33-2%2

(A)4(B)-4(C)2(D)--2

8.若如%242k0n

=a，則=().

%%k%

(A)ka(B)—入(C)k2a(D)-kza

9.已知4階行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次為

一2,5』,x,則x=().

(A)0(B)-3(C)3(D)2

-8743

-23-1

10.若Z)「則D中第一行元的代數(shù)余子式的和為(

III1

43-75

(A)-l(B)-2(C)—3(D)0

3040

111

11.若O=則。中第四行元的余子式的和為()?

0-100

53-22

(A)-l(B)—2(C)-3(D)0

$+々+優(yōu)=0

12.Z等于下列選項(xiàng)中哪個(gè)值時(shí)，齊次線性方程組，為+k0+芻=()有非零解.

左內(nèi)+工2+工3=0

(A)-l(B)-2(C)-3(D)0

二、填空題

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1.2n階排列24…(2〃)13…(2〃-1)的逆序數(shù)是.

2.在六階行列式中項(xiàng)。32〃54。41。65。13〃26所帶的符號(hào)是.

3.四階行列式中包含。22。43且?guī)д?hào)的項(xiàng)是.

4.若一個(gè)〃階行列式中至少有/一〃+1個(gè)元素等于0,則這個(gè)行列式的值等于

110

0101

5.行列式

()111

00I0

0100

002???0

6.行列式.........

000???n-\

〃00…0

9.已知某5階行列式的值為5,將其第一行與第5行交換并轉(zhuǎn)置，再用2乘所

有元素，則所得的新行列式的值為

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x-\

x+1

10.行列式

I

x+1-1

1+2I1

11.〃階行列式.…"1=.

11…1+A

12.已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3,其對(duì)應(yīng)的余子式依次為

3,2,1,則該行列式的值為

1234

5678

13.設(shè)行列式。二4/(/=1,2,3,4)為D中第四行元的代數(shù)余子

4321

8765

式，則4A4]+3A42+243+Ay=

ha

cbb

14.已知。二D中第四列元的代數(shù)余子式的和為

bcc

bd

I234

3344

15.設(shè)行列式。==-6,3為?！?=1,2,3,4)的代數(shù)余子式,則

I567

22

4+A42=4+A?=

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I35-??2n-1

120…0

16.已知行列式。=103…0,D中第一行元的代數(shù)余子式的和為

100???n

十2人2十人3=0

17.齊次線性方程組＜2%+3=0僅有零解的充要條件是

九]一々+工3=0

Xj+2X2+x3=0

18.若齊次線性方程組（2X2+5七=0有非零解，則女=.

-3X]-2X2+Z玉=0

三、計(jì)算題

abcd

xyx+)

222

a'bcd?

1.2.yx-Fyx*

h3c3d3

x+Vxy

b+c+da+c+aa+b+da+b+c

xaa2**'an-21

01x1%Aa2…4-21

101xqa1

2X…4.2*

3.解方程=0:4.9

x110??.......???

1x104a2%…X1

qa2%…％1

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111

q1

5.I?1(勺*1,,/=0,1,???,??)：

1

1111

1

6.112-b1

111(n-l)-Z?

111-??1

b、q%…q

7.Ab2a2…a2

...................

b\&4…an

2I0???00

l+X：x%…內(nèi)血121???00

XXy1+^2…XX01200

9.22tl;10.

ViV2…1+x：000...21

000-??12

\-aa000

-11-a6/00

11.D=0-11-aa0*

00-1\-aa

000-1\-a

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四、證明題

2111

a+ra

er

,1,

-1

Zr+7Tb

1.設(shè)abed=1,證明：b-=0.

2.?1

CH---C-1

C-c

Td

-1

d

q+b]xa}x+4C]4h

=(1-f)ab

2.a2+b2xa2x+b2c222

a3+b3xayx+b3c3%A

1111

222=（'一。）（。一〃）（“一。）（。一人）3一"）（"一c）（。+“+”）?

b'cd”

b*c4d4

1

5.設(shè)4,Z7,C兩兩不等，證明bc=()的充要條件是a+〃+c=O.

I-C3

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參考答案

一.單項(xiàng)選擇題

ADACCDABCDBB

二.填空題

1.〃；2.“—”；3.%4。22。3回43；4.0；5.0；6.(-1)〃--!；

7.(-1)丁。1/4e鼠7&；8.-3M；9.-160；10.x4；11.(2+/i)^';12.-2；

13.();14.0;15.12,-9;16.n!(1-y-)；17.(：-2,3；18M=7

Mk

三.計(jì)算題

1.-(a+b+c+d)(b-a)(c-ci)(d-a)(c-h)(d-b](d-c);2.-2(丁+)廣)；

n-1

3.x=-2,0,1；4.“(工-%)

4=1

5.n(^-l)(l+J—!—)；6.-(2+與(1一份…((〃-2)一份；

k=0k=0ak-'

7.(一1)"在(々一4)；8.*+￡4)立〔不一4)；

k=\&=1Ar=l

9.l+Zs；10.〃+l;

Jl=l

11.(1—67)(1+6/~+6f4).

四.證明題(略)

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第二章矩陣

一、單項(xiàng)選擇題

1.A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。

(a)|A2|=|A|2(b)A2-B2=(A-B)(A+B)(c)(A-B)A=A2-AB(d)(AB)r=ArBT

2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足()時(shí)，B=C。

(a)AB=BA(b)同尹0(c)方程組AX=O有非零解(d)B、C可逆

3.若A為n階方陣，Z為非零常數(shù)，則M=()o

(a)k\A\(b)網(wǎng)網(wǎng)(c)&〃網(wǎng)(d)即4.設(shè)4為n階方

陣，且網(wǎng)=0,則()o

(a)A中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例(b)A中任意一行為其它行的線性組合

(c)A中至少有一行元素全為零(d)A中必有一行為其它行的線性組合

5.設(shè)A,8為n階可逆矩陣，下面各式恒正確的是()o

(a)+=+(b)|(43)[=同忸]

(c)\(A-l+B)T\=\A-^\B\(d)(A+8)T=A-+87

6.設(shè)A為n階方陣，A*為A的伴隨矩陣，則()0

(a)(a)|A[=k[(b)pq=同⑹同=可加(d)⑷TW"1

7.設(shè)A為3階方陣，行列式網(wǎng)=1,4.為A的伴隨矩陣，則行列式

(2A)T-2A[=()o

,、2748/、27小8

a)——b——c)——d)—

827827

8.設(shè)A,3為n階方矩陣，A?二爐，則下列各式成立的是()。

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(a)A=B(b)A=-B(c)|^|=|B|(d)=網(wǎng)2

9.設(shè)A,B均為n階方矩陣，則必有()o

(a)k+.=|A|+慟(b)AB=BA(c)\A^=\B/\(d)|A『=|3『

10.設(shè)A為〃階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是()。

(a)|2A|=2Ar(b)(24『=2A-

(c)[(A-')-，r=[(Ar)rr，(d)MOT=[(A?1)了

‘100、10-3、/00-3、‘100、

(a)010(b)0I0(c)010(d)010

「30"、ooLJOI,<0-31>

」3r

12.已知4=220,則()。

、31L

(a)Ar—A(b)A-=4"

U0P13、00、(\13、

(c)A00I=202(d)001A=202

10j(31"a10；(3

13.設(shè)4,氏C,/為同階方陣,/為單位矩陣，若ABC=/,則)O

(a)ACB=I(b)CAB=I(c)CBA=I(d)BAC=I

14.設(shè)A為〃階方陣，且141H(),則()o

(a)A經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂?

(b)由4X=84,可得X=B

(c)當(dāng)(A|/)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)?/|8)時(shí)，有A-=8

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(d)以上(a)、(b)、(c)都不對(duì)

15.設(shè)4為mx〃階矩陣，秩(4)=r<<〃，則()o

(a)A中〃階子式不全為零(b)A中階數(shù)小于，?的子式全為零

(I0、

(c)A經(jīng)行初等變換可化為'(d)A為滿秩矩陣

(00)

16.設(shè)4為mx〃矩陣，C為〃階可逆矩陣，B=ACf則()o

(a)a(A)>秩(B)(b)a(A卜秩(B)

⑹秩(A)<秩(8)(d)秩(A)與秩(3)的關(guān)系依C而定

17.A,8為n階非零矩陣，且AB=0,則秩(A)和秩(8)()。

(a)有一個(gè)等于零(b)都為n(c)都小于n(d)一個(gè)小于n,一個(gè)等于n

18.n階方陣A可逆的充分必要條件是()o

(a)r(A)=r</2(b)A的列秩為n

(c)A的每一個(gè)行向量都是非零向量(d)伴隨矩陣存在

19.n階矩陣A可逆的充要條件是()。

(a)4的每個(gè)行向量都是非零向量

(b)A中任意兩個(gè)行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一個(gè)向量可由其它向量線性表示

(d)對(duì)任何n維非零向量X,均有AXw()

二、填空題

1.設(shè)A為n階方陣，/為n階單位陣，且A?=/，則行列式網(wǎng)=

0ab

2.行列式一。0c=

-b-c0

7or

3.設(shè)2A二020,則行列式|(4+3/廣(42-9/)|的值為

<0。I

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回

4.設(shè)A=2V,且已知屋=/,則行列式

好]_

<22>

5.設(shè)A為5階方陣，4是其伴隨矩陣，且網(wǎng)=3,則4*=

6.設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣4的秩為

［他。也…他、

7.非零矩陣a2blW打…W2的秩為_(kāi)

?????????■??

altb:…anbn?

8.設(shè)4為100階矩陣，且對(duì)任何100維非零列向量X,均有AXwO,則A的秩

為_(kāi)_______

9.若A=(%)為15階矩陣，則4A的第4行第8列的元素是

10.若方陣A與4/相似，則4=

rJ_2K、

11.lim2：K+l=______

KeI1

<~KV>

--12

2

12.lim0-1=_______

”->s3

三、計(jì)算題

1.解下列矩陣方程（X為未知矩陣）.

’223、<2291

1)1-10X=32;2)10

「120

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,310、」0P

3)X(/-氏匕),#=/,其中8=404C=212

、422,J21,

」0P

4)AX=A2+X-/,其中4=020

J0b.

「423、

5)AY=A+2X,其中A=110

L23,.

2.設(shè)A為〃階對(duì)稱陣，且*=(),求A.

7-10'

3.已知A二021，求(4+2/)d-4/尸

J。-L

234、r00、飛A2

4.設(shè)A二,4二,A=，4=

<012%y<00><0A

12、

5.設(shè)A=224，求一秩為2的方陣3,使A3=().

036,

1r’011、

6.設(shè)A二10121，求非奇異矩陣C,使4

1oj110>

7.求非奇異矩陣P,使為對(duì)角陣.

r，］1

1)A=2)4=-1-3

2,

、一20

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8.已知三階方陣A的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為

（0,0尸,（一2,1,1）1求矩陣A.

4-32、

9.設(shè)A=6-44，求R00.

/-45,

四、證明題

1.設(shè)A、8均為〃階非奇異陣，求證A8可逆.

2.設(shè)4=0（%為整數(shù)），求證/-A可逆.

3.設(shè)/必,…,應(yīng)為實(shí)數(shù)，且如果《工。，如果方陣A滿足

4+4/1+…+6TA+aJ=0,求證A是非奇異陣.

4.設(shè)〃階方陣A與B中有一個(gè)是非奇異的，求證矩陣A6相似于BA.

5.證明可逆的對(duì)稱矩陣的逆也是對(duì)稱矩陣.

6.證明兩個(gè)矩陣和的秩小于這兩個(gè)矩陣秩的和.

7.證明兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于這兩個(gè)矩陣的秩中較小者.

8.證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴

隨矩陣.

9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1?

10.證明每一個(gè)方陣均可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和。

第二章參考答案

一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；

13.b：14.a；15.a；16.b：17.c：18.b；19.d.

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15

二.1.1或-1；2.0；3.-4：4.1；5.81；6.0；7.1;8.100；9.^ai4-ai8；

'()2、

10.I；12.0；11.

<00>

1、

O-

102-1」-4-31

132\2

62

3:3)、1-5-3：4）、

-21

O-

20「164；

201、

030

102)

-210、

，3-8-6、’031、

01-21

5)2-9—62.0；-1-3-1

3.001-2

12一力、04.

<0001;

，-3-1r00

5.111不唯一；6.100;7.1)、2)、

、11

<10°，(001

11一3、320、

-2:8.-100

22J-1-1

iooioo_100

3+2(21)2_2_31°°3100-1

100100_

9.2(2+3)44-2,00-2(3100)2(3*1)

2(3*D2(1-3100)2(3,00)-1

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第三章向量

一、單項(xiàng)選擇題

1.%,%,%,笈，尸2都是四維列向量，且四階行列式

\a]a2a3A4%|=〃，則行列式

E%a、4+閔=()

(a)m+n(b)m-n(c)-m+n(d)-m-n

2.設(shè)A為〃階方陣，且網(wǎng)=0,則()o

(〃)A中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例

(b)A中任意一行為其它行的線性組合

(c)A中至少有一行元素全為零

(d)A中必有一行為其它行的線性組合

3.設(shè)A為〃階方陣，r(A)=r</?,則在A的〃個(gè)行向量中()。

(0必有，個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)

(b)任意〃個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)

(c)任意〃個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無(wú)關(guān)組

(d)任意一個(gè)行向量都能被其它/?個(gè)行向量線性表示

4.〃階方陣A可逆的充分必要條件是()

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(a)r(A)=r<n

S)A的列秩為〃

(c)A的每一個(gè)行向量都是4零向量

(d)A的伴隨矩陣存在

5.〃維向量組%,%，...，4線性無(wú)關(guān)的充分條件是()

(a)%,%，...,4都不是零向量

S)%,。2,……，4中任一向量均不能由其它向量線性表示

(C)%,。2,...，巴中任意兩個(gè)向量都不成比例

(d)。1,%，...，&中有一個(gè)部分組線性無(wú)關(guān)

6.n維向量組必,。2,……，見(jiàn)(sN2)線性相關(guān)的充要條件是()

⑷%,%,...，%中至少有一個(gè)零向量

S)%,%，...，鬼中至少有兩個(gè)向量成比例

(仁)％,&2,...,a，中任意兩個(gè)向量不成比例

...,a'中至少有一向量可由其它向量線性表示

7.〃維向量組%,%，……,4(3?sW〃)線性無(wú)關(guān)的充要條件是()

3)存在一組不全為零的數(shù)k\，h，...人使得《四+k2a2+....k8as工。

(Z?)?ra2,...,a,中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)

(c)ana2,...,a,中存在一個(gè)向量，它不能被其余向量線性表示

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(")%,%,......,as中任一部分組線性無(wú)關(guān)

8.設(shè)向量組。1,%，..,見(jiàn)的秩為小則()

(?)?1，a2,......，見(jiàn)中至少有一個(gè)由廠個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)

(8)名,。2,......,a，中存在由尸+1個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)

……，&中由r個(gè)向量組成的部分組都線性無(wú)關(guān)

……，&中個(gè)數(shù)小于一的任意部分組都線性無(wú)關(guān)

9.設(shè)%,。2,……均為〃維向量，那么下列結(jié)論正確的是()

(。)若攵04-k2a2+......ksas=0,則a^a2,.......,as線性相關(guān)

S)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)勺,％2,……，凡，都有

k}a]+k2a2+......k、a*w0,則％,%，.......線性無(wú)關(guān)

(c)若即見(jiàn)，……,a，線性相關(guān)，則對(duì)任意不全為零的數(shù)匕,網(wǎng)，……，%,都有

+k2a2+......kxas=0

(4)若。4+0a2+......0a、=0,則%,...,a、線性無(wú)關(guān)

10.已知向量組四,%，。3，%線性無(wú)關(guān)，則向量組()

(a)al+a2,a2+a3,ai+a4,a4+線性無(wú)關(guān)

(/7)?1-a2,a2-a^ay-aa4-at線性無(wú)關(guān)

(c)a,+a2,a2+a3,a3+a4ta4-at線性無(wú)關(guān)

(d)ay+a2,a2+4.。3-ax.aA-a,線性無(wú)關(guān)

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11.若向量￡可被向量組四,%,……，巴線性表示，則（）

3）存在一組不全為零的數(shù)匕，&,...,k5使得/=:%+Z2a2+....k?’

S）存在一組全為零的數(shù)匕,&，……人使得々=匕％+&%+……3

（C）存在一組數(shù)匕,％2,...,k,使得0=%|%+%2。2+%。$

（d）對(duì)夕的表達(dá)式唯一

12.下列說(shuō)法正確的是（）

⑷若有不全為零的數(shù)匕,網(wǎng),……,右,使得0%+&%+……&q=o，則

%,&2,...，&線性無(wú)關(guān)

S）若有不全為零的數(shù)匕,自,...,上，使得%%+&2%+....%〃，工0,則

%,%，...，巴線性無(wú)關(guān)

（C）若402,……，氏線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其余向量線性表示

3）任何〃+1個(gè)〃維向量必線性相關(guān)

7

13.設(shè)/是向量組6=(1,0,0),?2=(0,1,0)7的線性組合，則夕=

()

3)(0,3,0)丁⑹(2,0,1/(c)(0,0,l)r(d)(0,2,1/

14.設(shè)有向量組%=(1,-1,2,4丫，%=(°，3,1,2)。

%=(3,0,7,14)7,%=(1，-2,2,OY，%=(2,1,5,10)7,則該

向量組的極大線性無(wú)關(guān)組為（）

（。）%，%，％(〃)%,%，%

(c)%,%,a5%,%，%

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15.設(shè)a=(q,%。3)丁，。=M，b2,4了，/=(4,2)'，

4=(伉，b)T,下列正確的是()

(a)若a,搬性相關(guān)，則四，四也線性相關(guān)；

S)若a,乃線性無(wú)關(guān)，則%,從也線性無(wú)關(guān)；

(c)若%,4線性相關(guān)，則方也線性相關(guān)；

(d)以上都不對(duì)

二、填空題

1.若%=(1,1,1)\&2=(1,2,3),，。3=(1，3,線性相關(guān)，則t=__

_Q

2.n維零向量一定線性關(guān)。

3.向量a線性無(wú)關(guān)的充要條件是。

4.若%,％,出線性相關(guān)，則%,見(jiàn)，..，見(jiàn)(s>3)線性關(guān)。

5.n維單位向量組一定線性。

6.設(shè)向量組%,%，..,a5的秩為r,則a1,%，....,a,中任意r個(gè)的向

量都是它的極大線性無(wú)關(guān)組。

7.設(shè)向量%=(1,0,I)7■與%=(1,1,〃)丁正交，則。=o

8.正交向量組一定線性。

9.若向量組%,%，..,a$與A，夕2,...,0等價(jià),則%,%，....，4的秩與

四,22,……，■的秩________。

10.若向量組%,出，……,&可由向量組用，夕2,……，⑸線性表示，則

廠(%,。2,...，4)r電，無(wú)，....，—)。

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11.向量組％=(0],1,0,0)r,%=(。2，L1，0)'，

%=(%，L1，if的線性關(guān)系是。

12.設(shè)n階方陣A=(%,%，…，%)，%+4，則網(wǎng)=_

13.設(shè)%=(0,乂一七)"%=(乂°，01，若。和用是標(biāo)準(zhǔn)正交向量，

則x和y的值_____.

14.兩向量線性相關(guān)的充要條件是.

三、計(jì)算題

1.設(shè)%=(1+41,1兒。2=(1，1+41)"%=(1，1，1+團(tuán),，

0=3,2,■)，問(wèn)

(1)4為何值時(shí)，夕能由四,。?,巴唯一地線性表示？

(2)%為何值時(shí)，夕能由%,%，出線性表示，但表達(dá)式不唯一？

(3)4為何值時(shí)，夕不能由囚,%，。3線性表示？

2.設(shè)為=(1,0,2,3),，％=(1，1，3,5)/，%=(1，1，。+2,1)『,

4=(1,2,4,a+8)。/?=(1,1,〃十3,5尸問(wèn)：

(1)4,/?為何值時(shí)，夕不能表示為電,%,%，4的線性組合？

(2)Q,〃為何值時(shí)，能唯一地表示為%,%，%，%的線性組合？

3.求向量組%=(1,-1,0,4)7，％=(2,I,5,6),，

%=(L2,5,2)7，％=(LT-2,0)1%=(3,0,7,14)r

的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。

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4.設(shè)火二(1,1,1)t，a?=(l,2,3)7,ay=(1,3,：尸，t為何值時(shí)線性

相關(guān)，t為何值時(shí)%,a2,4線性無(wú)關(guān)？

7

5.將向量組%二(1,2,0)\?2=(-1,0,2),，％=(“1，Z)■標(biāo)準(zhǔn)正交

化。

四、證明題

1,設(shè)4=%十%,q2=3%_%,外=2%一%,試證片,’2,四線性相關(guān)。

2.設(shè)外,出，..，氏線性無(wú)關(guān)，證明%+%，%+。3,...,a“+a1在n為奇數(shù)時(shí)

線性無(wú)關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。

3.設(shè)%,%，..,a、./線性相關(guān)，而%,%，....,令線性無(wú)關(guān),證明夕能由

%,%，...線性表示且表示式唯一。

4.設(shè)線性相關(guān)，%，%，%線性無(wú)關(guān)，求證不能由囚，。2，。3線性表

o

5,證明：向量組四,。2,...，。丫(sN2)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向

量是其余向量的線性組合。

6.設(shè)向量組%,%,..，見(jiàn)中四。0,并且每一個(gè)叫都不能由前”1個(gè)向量線性

表示(i一2,3,,求證%,%，…，見(jiàn)線性無(wú)關(guān)。

7.證明：如果向量組中有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。

8.設(shè)a。,4,是線性無(wú)關(guān)向量組，證明向量組

。0，/)+%,%)+。2,…，。0+%也線性無(wú)關(guān)C

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第三章向量參考答案

一、單項(xiàng)選擇

1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c11.c12.d13.a14.b

15.a

二、填空題

1.52.相關(guān)3.arO4.相關(guān)5.無(wú)關(guān)6.線性無(wú)關(guān)7.-1

8.無(wú)關(guān)9.相等10.<11.線性無(wú)關(guān)12.013.x=±\,y=

14.對(duì)應(yīng)分量成比例

三、解答題

1.解：設(shè)q=為%+x2ct2+xya3

(1+尤)為+x2+=0

則對(duì)應(yīng)方程組為《M+(1+4)尤2+當(dāng)=丸

+X2+(1+義)工3=22

1+義11

其系數(shù)行列式HI=11+21=片(4+3)

111+2

(1)當(dāng)2工0,/1/一3時(shí)，同工0,方程組有唯一解，所以僅可由四,巴，3唯

一地線性表示；

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1110、1I10、

(2)當(dāng)2=()時(shí)，方程組的增廣陣A=11100000

1110,(0000,

r(A)=r(A)=1<3,方程組有無(wú)窮多解,所以，可由線性表

示，但表示式不唯一;

(3)當(dāng))=一3時(shí),方程組的增廣陣

-2110、」-21-3、

A=1-21-3->0-33-12r(A)*r(A),方程組無(wú)

J1-29,、000一收

解，所以￡不能由％,%.出線性表示。

2.解:以%,%，%，。4，￡為列構(gòu)造矩陣

1I1

7I111、

011

01121

0030

23。+24b+34

1-a

51。+85;000b

4

(1)當(dāng)〃=±1且BHOB寸,P不能表示為名,%，%，?*的線性組合;

(2)當(dāng)。W±1,〃任意時(shí)，P能唯一地表示為名,。2，。3，。4的線性組合。

3.解:

2113、(\0-102

-12-100110

(%,%，。3，%->

055-270001-1

、462014,、0000

a

為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,且％=~\+%+0%，a5=2?1+a2-a4

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111

4.解：123=/-5,

13t

當(dāng)，=5時(shí)線性相關(guān)，當(dāng)[工5時(shí)線性無(wú)關(guān)。

5?解：先正交化：

令4=%=（1,2,0），

4

B\=~

5'

B=_區(qū)夕110Pl\Q

a=fl_11

“3瓦加"[A，生產(chǎn)13，6，6

再單位化：

“一族r16E。卜

%，/，%為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

四、證明題

1.證：???3（4+舟）-4（24-網(wǎng)）=。

：.一邪\+3夕2+4網(wǎng)=0

???笈，夕2，四線性相關(guān)

.證：設(shè)匕（%+二上號(hào)???+/：?（??+?））=

22）+2（2+a3）+0

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則（勺+）%+化+&）%+…（％+k.）a0=0

%,%,,%線性無(wú)關(guān)

ki+kn=O

k}+k2=0

k〃.i+%〃=°

10001

11000

其系數(shù)行列式011°。=1+（一］嚴(yán)」2,〃為奇數(shù)

……''］（）,〃為偶數(shù)

00010

00011

???當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，匕/2,，攵〃只能為零，a,,a2,...,%線性無(wú)關(guān);

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，匕……，心可以不全為零，外,%,……，氏線性相

關(guān)。

3.證：二%,%，，&,僅線性相關(guān)

?

；存在不全為零的數(shù)匕,攵2,...,k$,k使得《囚+k2a2+........+火。、+S=0

若若=0,則匕%+>2%+...+ksas=0,〈k\,k?、....,25不全為零）

與?|,?2?...線性無(wú)關(guān)矛盾

所以Z。0

工mA匕k?k$

于是6=一/_%-.2-……--a

kkkx

：.。能由a1,％，...,線性表示。

設(shè)〃=+k2a2+.......+ksas①

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P=/?1+12a2+....+has②

則①-②得伏]—■/])%+(攵2—，2)夕2+....+伏s_/$)a5=0

,/%,。2,....,4線性無(wú)關(guān)

￡-4=0,(/=1,2,…,s)

Ak.=Z,.,(/=1,2,--,5)印表示法唯一

4.證：假設(shè)%能由％,%,%線性表示

■:%，。3，。4線性無(wú)關(guān)，***%，。3線性無(wú)關(guān)

,.,%,%，出線性相關(guān)，%可由%,%線性表示，

J%能由巴，。3線性表示，從而%，％，出線性相關(guān)，矛盾

a4不能由at,。2，。3線性表示。

5.證：必要性

設(shè)向量組％,……,as線性相關(guān)

則存在不全為零的數(shù)人段,……次$,使得k}a]+k2a2+……+kp'=0

不及方彳殳貝”。$=—.......一■^zLa.s1,

k,ks~ks

即至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。

充分性

設(shè)向量組生,a、,...,a、中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合

不妨設(shè)%=%烏+k2a2+...+攵24_1

則kg+k2a2+...+左一a——a,=0?

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所以四,見(jiàn)，...，%線性相關(guān)。

6.證：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)s=1時(shí)，％力()，線性無(wú)關(guān)，

當(dāng)s=2時(shí)，：%不能由四線性表示，二四,《線性無(wú)關(guān)，

設(shè)s=i?1時(shí)，%,。2,線性無(wú)關(guān)

則S=i時(shí)，假設(shè)囚,%，,4?線性相關(guān)，?.?。|。2，3，。/-1線性無(wú)關(guān)，火可由

%,%，,a“線性表示，矛盾，所以%，見(jiàn)，.,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)。得證

7.