培優(yōu)點(diǎn)3洛必達(dá)法則第三章匯報(bào)人：20XX若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0；洛必達(dá)法則：若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g′(x)≠0；注意：1.將上面公式中的x→a，x→∞換成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，洛必達(dá)法則也成立.4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.題型一用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)若x＝0，則a∈R；若x>0，令h(x)＝2xcosx－2sinx－sinxcosx＋x，h′(x)＝2cosx－2xsinx－2cosx－cos2x＋1＝－2xsinx－cos2x＋1＝2sin2x－2xsinx＝2sinx(sinx－x)，因此，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，h′(x)<0，h(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，且h(0)＝0，故g′(x)<0，所以g(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，另一方面，當(dāng)x∈[π，＋∞)時(shí)，令m(x)＝x2－x2lnx－lnx－1，x>1，當(dāng)x＝1時(shí)，不等式恒成立，m∈R；令n(x)＝x2－2x2lnx－1，x>1，則n′(x)＝2x－4xlnx－2x＝－4xlnx<0，得n(x)＝x2－2x2lnx－1在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故n(x)<n(1)＝0，得φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，進(jìn)而m′(x)＝φ(x)<φ(1)＝0).所以m(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，可得m(x)<m(1)＝0，故h′(x)<0，題型二用洛必達(dá)法則處理型函數(shù)例2已知函數(shù)f(x)＝ax－a－xlnx.若當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.依題意，ax－a－xlnx≥0恒成立，即a(x－1)≥xlnx恒成立，令g(x)＝x－1－lnx，x∈(0,1)，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，∴g(x)>g(1)＝0，∴φ′(x)>0，即φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.∴φ(x)>0，故a≤0，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0].跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝2ax3＋x.當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，恒有f(x)>x3－a，求a的取值范圍.當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)>x3－a恒成立，即2ax3＋x>x3－a恒成立，即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，∴φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，121.已知函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求a的取值范圍.12當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，即x(ex－1)≥ax2.當(dāng)x＝0時(shí)，a∈R；記h(x)＝(x－1)ex＋1，x∈(0，＋∞)，則h′(x)＝xex>0，因此h(x)＝(x－1)ex＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，12即當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→1，所以g(x)>1，即有a≤1.綜上所述，當(dāng)a≤1，x≥0時(shí)，f(x)≥0成立.122.若?x∈[0，＋∞)，x－ln(x＋1)≤ax2恒成立，求a的取值范圍.12當(dāng)x＝0時(shí)，a∈R；12所以h(x)在