第9章存儲論第1節存儲論的基本概念第2節確定性存貯模型第1節存儲論的基本概念

1.1存儲問題的提出人們在生產和日常生活中往往將所需的物資、用品和食物暫時地儲存起來，以備將來使用或消費。在供應與需求這兩環節之間加入儲存這一環節，能起到緩解供應與需求之間的不協調，以此為研究對象，利用運籌學的方法去解決最合理、最經濟地儲存問題。例如(1)水電站在雨季到來之前，水庫應蓄水多少?(2)工廠生產需用原料，如沒有儲存一定數量的原料，會發生停工待料現象。(3)在商店里若存儲商品數量不足，會發生缺貨現象，失去銷售機會而減少利潤；如果存量過多，一時售不出去，會造成商品積壓，占用流動資金過多而且周轉不開，這樣也會給商家造成經濟損失。

專門研究這類有關存儲問題的科學，構成運籌學的一個分支，叫作存儲論(inventory)，也稱庫存論。

1.2存儲論的基本概念1.需求對存儲來說，由于需求，從存儲中取出一定的數量，使存儲量減少，這就是存儲的輸出。有的需求是間斷式的，有的需求是連續均勻的。圖9-1和圖9-2分別表示t時間內的輸出量皆為S-W，但兩者的輸出方式不同。圖9-1表示輸出是間斷的，圖9-2表示輸出是連續的。圖9-1圖9-22.補充(訂貨或生產)存儲由于需求而不斷減少，必須加以補充，否則最終將無法滿足需求。補充的辦法可能是向其他工廠購買，從訂貨到貨物進入“存儲”往往需要一段時間，我們把這段時間稱為備貨時間。從另一個角度看，為了在某一時刻能補充存儲，必須提前訂貨，那么這段時間也可稱之為提前時間(leadtime)。備貨時間可能很長，也可能很短，可能是隨機性的，也可以是確定性的。存儲論要解決的問題是：多少時間補充一次，每次補充的數量應該是多少。決定多少時間補充一次以及每次補充數量的策略稱為存儲策略。存儲策略的優劣如何衡量呢?最直接的衡量標準，是計算該策略所耗用的平均費用多少。3.費用(1)存儲費C1:

包括貨物占用資金應付的利息以及使用倉庫、保管貨物、貨物損壞變質等支出的費用。(2)訂貨費:包括兩項費用，一項是訂購費用C3

如手續費、電信往來、派人員外出采購等費用。訂購費與訂貨次數有關，而與訂貨數量無關。另一項是可變費用，它與訂貨數量有關。如貨物單價為K元，訂購費用為C3元，訂貨數量為Q，則訂貨費用為：C3+KQ。(3)生產費:補充存儲時，如果不需向外廠訂貨，由本廠自行生產，這時仍需要支出兩項費用。一項是準備、結束費用，如更換模、夾具需要工時，或添置某些專用設備等屬于這項費用；它是一次性的費用，或稱為固定費用，也用C3表示。另一項是與生產產品的數量有關的費用如材料費、加工費等(可變費用)。(4)缺貨費C2:當存儲供不應求時所引起的損失。如失去銷售機會的損失、停工待料的損失以及不能履行合同而繳納罰款等。在不允許缺貨的情況下，在費用上處理的方式是缺貨費為無窮大。4.存儲策略決定何時補充，補充多少數量的辦法稱之為存儲策略，常見的策略有三種類型。(1)t0-循環策略，每隔t0時間補充存儲量Q。(2)(s,S)策略，每當存儲量x＞s時不補充。當x≤s時補充存儲。補充量Q=S-x(即將存儲量補充到S)。(3)(t,s,S)混合策略，每經過t時間檢查存儲量x，當x＞s時不補充。當x≤s時，補充存儲量使之達到S。一個好的存儲策略，既可以使總費用最小，又可避免因缺貨影響生產(或對顧客失去信用)第2節確定性存儲模型

2.1模型一：不允許缺貨，備貨時間很短假設：(1)缺貨費用無窮大；(2)當存儲降至零時，可以立即得到補充(即備貨時間或拖后時間很短，可以近似地看作零)；(3)需求是連續的、均勻的，設需求速度R(單位時間的需求量)為常數，則t時間的需求量為Rt；(4)每次訂貨量不變，訂購費不變(每次備貨量不變，裝配費不變)；(5)單位存儲費不變。分析模型其存儲量的變化情況用圖9-3表示假定每隔t時間補充一次存儲，那么訂貨量必須滿足t時間的需求Rt，記訂貨量為Q，Q=Rt，訂購費為C3，貨物單價為K，則訂貨費為C3+KRt；t時間的平均訂貨費為圖9-3t時間內的平均存儲量為(此結果由圖9-3中利用幾何知識易得出，平均存儲量為三角形高的二分之一)單位時間內單位物品的存儲費用為C1，t時間內所需平均存儲費用為1/2(RtC1）。

t時間內總的平均費用為C(t）經濟批量公式因得即存儲論中著名的經濟訂購批量(economicorderingquantity)公式。簡稱為E.O.Q公式，也稱平方根公式，或經濟批量(economiclotsize)公式。由于Q0、t0皆與K無關，所以此后在費用函數中略去KR這項費用，如無特殊需要不再考慮此項費用。(9-1)式改寫為最佳費用公式將t0代入(9-4)式得出最佳費用從費用曲線(見圖9-4)也可以求出t0，Q0，C0。

圖9-4費用曲線圖9-4費用曲線C(t)曲線的最低點(minC(t))的橫坐標t0與存儲費用曲線、訂購費用曲線交點橫坐標相同。即圖9-4解出t0例1某廠按合同每年需提供D個產品，不許缺貨。假設每一周期工廠需裝配費C3元，存儲費每年每單位產品為C1元，問全年應分幾批供貨才能使裝配費，存儲費兩者之和最少。解設全年分n批供貨，每批生產量Q=D/n，周期為1/n年(即每隔1/n年供貨一次)。說明從例1中還看到這些公式在實際應用時還會有一點問題，因為t0(或Q0，n0)不一定是整數。假設t0=16.235(天)。很明顯，小數點后面的數字對實際訂貨間隔的時間是沒有意義的，這時可以取近似的整數。取t0≈16或t0≈17都可以。為了精確起見，可以比較C(16)、C(17)的大小，再決定t0=16或t0=17。從圖9-4也可以看到C(t)在t0附近變化平穩，t有變化時C(t)變化不大。利用數學分析方法可以證明當t在t0點有增量Δt時，總費用的增量。即當Δt→0時，ΔC是Δt的高階無窮小量。(證明的方法可參考微積分臺勞公式部分)例2某軋鋼廠每月按計劃需產角鋼3000噸，每噸每月需存儲費5.3元，每次生產需調整機器設備等，共需準備費2500元。若該廠每月生產角鋼一次，生產批量為3000噸。每月需總費用5.3×1/2×3000+2500=10450(元/月)全年需費用10450×12=125400(元/年)然后按E.O.Q公式計算每次生產批量計算批量和批次計算結果兩次生產相隔的時間t0=（365/21.4）≈17(天)17天的單位存儲費(5.3/30)×17=3.00(元/噸)，共需費用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。按全年生產21.5次(兩年生產43次)計算，全年共需費用5025×21.5=108037(元/年)。兩者相比較，該廠在利用E.O.Q公式求出經濟批量進行生產即可每年節約資金125400－108037=17363(元)2.2模型二：不允許缺貨，生產需一定時間本模型的假設條件，除生產需要一定時間的條件外，其余皆與模型一的相同。設生產批量為Q，所需生產時間為T，則生產速度為P=Q/T。已知需求速度為R，(R＜P)。生產的產品一部分滿足需求，剩余部分才作為存儲，這時存儲變化如圖9-5所示。圖9-5在［0，T］區間內，存儲以(P-R)速度增加，在［T，t］區間內存儲以速度R減少。T與t皆為待定數。從圖9-5易知(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生產T時間的產品等于t時間內的需求)，并求出公式公式公式利用t0可求出最佳生產時間

)RP(PCR2CPRtT1300-==

將前面求t0，Q0的公式與(9-6)式，

(9-7)式相比較，即知它們只差RPP-一個因子。

當P相當大時，RPP-趨近于1，則兩組公式就相同了。

公式

進入存儲的最高數量

)99(PC)RP(R2CR)-P(PCR2CR)RP(CPR2CRTQS131313ooo--=--=-=

例3某廠每月需甲產品100件，每月生產率為500件，每批裝配費為50元，每月每件產品存儲費為4元，求E.O.Q及最低費用。解已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，將各值代入公式(9-7)及(9-8)得例4某商店經售甲商品成本單價500元，年存儲費用為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數。甲商品的定購費為20元，提前期為10天，求E.O.Q及最低費用。解此例題從表面上看，似乎應按模型二處理。因為拖后時間似乎與生產需一定時間意義差不多。其實不然，現將本題存儲變化情況用圖表示之(見圖9-6)，并與模型一、模型二的圖相比較，可看到與模型一完全相同。本題只需在存儲降至零時提前10天訂貨即可保證需求。圖9-6計算訂貨點由于提前期為t1=10天，10天內的需求為10單位甲商品，因此只要當存儲降至10單位時，就要訂貨。一般設t1為提前期，R為需求速度，當存儲降至L=Rt1的時候即要訂貨。L稱為“訂購點”(或稱訂貨點)。確定多少時間訂一次貨，雖可以用E.O.Q除以R得出t0(t0=Q0/R)，但求解的過程中并沒有求出to，只求出訂貨點L即可，這時存儲策略是：不考慮to，只要存儲降至L即訂貨，訂貨量為Qo，稱這種存儲策略為定點定貨。相對地每隔to時間訂貨一次稱為定時訂貨，每次訂貨量不變則稱為定量訂貨。2.3模型三：允許缺貨，備貨時間很短本模型是允許缺貨，并把缺貨損失定量化來加以研究。由于允許缺貨，所以企業可以在存儲降至零后，還可以再等一段時間然后訂貨。這就意味著企業可以少付幾次訂貨的固定費用，少支付一些存儲費用。一般地說當顧客遇到缺貨時不受損失，或損失很小，而企業除支付少量的缺貨費外也無其他損失，這時發生缺貨現象可能對企業是有利的。本模型的假設條件除允許缺貨外，其余條件皆與模型一相同。設單位時間單位物品存儲費用為C1，每次訂購費為C3，缺貨費為C2(單位缺貨損失)，R為需求速度。求最佳存儲策略，使平均總費用最小(見圖9-7)。圖9-7圖9-7將(9-10)式，(9-11)式代入C(t,S)由于模型三中允許缺貨在允許缺貨情況下，存儲量只需達到S0即可，顯然Q0＞S0，它們的差值表示在to時間內的最大缺貨量。說明在允許缺貨條件下，經過研究而得出的存儲策略是：每隔t0時間訂貨一次，訂貨量為Q0，用Q0中的一部分補足所缺貨物，剩余部分S0進入存儲。很明顯，在相同的時間段落里，允許缺貨的訂貨次數比不允許缺貨時訂貨次數減少了。例5已知需求速度R=100件，C1=0.4元，C2=0.15元，C3=5元，求S0及C0。解利用(9-12)式，(9-13)式即可計算模型一、二、三存儲策略之間的差別可以看到不允許缺貨生產需要時間很短條件下得出的存儲策略：最大存儲量S0=Q0在不允許缺貨、生產需一定時間條件下，得出存儲策略在允許缺貨、生產需時間很短條件下，得出存儲策略模型二、三只是以模型一的存儲策略乘上相應的因子，這樣可以便于記憶，再有都是同一個數值，這樣就得出它們之間的差別與內在聯系。2.4模型四：允許缺貨(需補足缺貨)、生產需一定時間假設條件除允許缺貨生產需一定時間外，其余條件皆與模型一相同，其存儲變化如圖9-8所示圖9-8分析圖9-8［0，t］為一個周期，設t1時刻開始生產。［0,t2］時間內存儲為零，B表示最大缺貨量。［t1,t2］時間內除滿足需求外，補足［0,t1］時間內的缺貨。［t2,t3］時間內滿足需求后的產品進入存儲，存儲量以(P-R)速度增加。S表示存儲量，t3時刻存儲量達到最大，t3時刻停止生產。［t3,t］時間存儲量以需求速度R減少。

由圖9-8易知：

最大缺貨量B=Rt1，或B=(P-R)(t2-t1)；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得最大存儲量S=(P-R)(t3-t2)，或S=R(t-t3)即(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)，得在［0，t］時間內所需費用：存儲費：將(9-16)式代入消去t3，得在［0，t］時間內所需費用：缺貨費：將(9-15)式代入消去t1，得在［0，t］時間內所需費用：裝配費：C3

在［0,t］時間內總平均費用為：分別求偏導數：

由(9-18)式得由(9-17)式得將(9-19)式代入上式消去t2得由(9-19)有公式S0(最大存儲量)B0(最大缺貨量)最小費用2.5價格有折扣的存儲問題現在介紹貨物單價隨訂購(或生產)數量而變化時的存儲策略。一般情況下購買數量越多，商品單價越低。在少數情況下，某種商品限額供應，超過限額部分的商品單價要提高。除去貨物單價隨訂購數量而變化外，其余條件皆與模型一的假設相同時，應如何制定相應的存儲策略?設貨物單價為K(Q)，K(Q)按三個數量等級變化(見圖9-9)圖9-9當訂購量為Q時，一個周期內所需費用為：平均每單位貨物所需費用C(Q)(見圖9-10)圖9-10如果不考慮CⅠ(Q)、CⅡ(Q)、CⅢ(Q)的定義域，它們之間只差一個常數，因此它們的導函數相同。為求極小，令導數為零，解得Q0，Q0落在哪一個區間，事先難以預計。假設Q1＜Q0＜Q2，這也不能肯定CⅡ(Q0)最小。圖9-10的直觀感覺啟發我們考慮：是否CⅢ(Q2)的費用更小?設最佳訂購批量為Q*，在給出價格有折扣情況下，求解步驟如下(1)對CⅠ(Q)(不考慮定義域)求得極值點為Q0(2)若Q0＜Q1，計算：由min｛CⅠ(Q0)，CⅡ(Q1)，CⅢ(Q2)｝得到單位貨物最小費用的訂購批量Q*。