蔣朝輝jzh0903@中南大學信息科學與工程學院

中南大學控制工程研究所

數字信號處理

DigitalSignalProcessing,DSP

第三章：線性時不變系統3.1系統的基本概念3.2LTI系統的時域描述3.3LTI系統的特征信號3.4LTI系統的分析3.1系統的基本概念3.1.1系統的定義3.1.2系統的分類3.1.3系統的互聯系統：完成某些特定功能的整體，即對輸入信號進行某種處理，實現某種功能的物理結構。若用x(n)表示系統的輸入，y(n)表示系統的輸出，T[.]表示系統為了得到y(n)而對x(n)施加的處理，則系統的輸入與輸出之間的關系可表示為：或者表示為：

x(n)→y(n)其框圖如下所示：3.1.1系統的定義y(n)=T[x(n)]T

靜態系統或者無記憶系統：如果一個系統任意時刻的輸出至多至多取決于本時刻的輸入，而不依賴過去和將來時刻的輸入，比如放大器。動態系統或者有以及系統：其他情況下的系統，如單位延時系統。一般系統都同時有輸入、輸出信號，但有的系統并沒有明顯的輸入信號，如信號發生器，此時的輸入可能是控制信號幅度和頻率等輸出信號參數的控制字；同樣，有的系統沒有明顯的輸出信號，如比較器，此時輸出的邏輯電平”0”或者“1”，用以判決輸入信號是否大于參考信號。本課程所討論的系統均指離散系統。3.1.1系統的定義現實世界的信號處理系統千差萬別，多種多樣。為了更深入地理解系統，還需要分門別類地從多個角度來看一下各種系統。3.1.2系統的分類

線性系統與非線性系統對于一個系統T[.]，若輸入為x1(n)時對應的輸出為y1(n)，輸入為x2(n)時對應的輸出為y2(n)，即y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]設常數為a，若系統的輸入增大a倍，其輸出也增大a倍，即：T[ax1(n)]=ay1(n)，則稱該系統具有齊次性或者說比例性.若系統的輸入為x1(n)與x2(n)之和，其輸出也為y1(n)與y2(n)之和，即T[x1(n)+x2(n)]=T[x1(n)]+T[x2(n)]==y1(n)+y2(n)則稱該系統具有可加性。如果一個系統既具有齊次性，又具有可加性，則稱該系統為線性系統。如果將這兩個條件合在一起，線性系統滿足：T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n)不滿足齊次性和可加性的系統稱為非線性系統。線性系統必須同時滿足齊次性和可加性這兩個條件，只要有一條不滿足，就是非線性系統。對于任意的一個信號處理系統，其是否是線性系統，都需要按照上面給出的定義來判斷。比如，放大器是最常用的信號處理系統之一，其功能是對輸入信號進行一定倍數的放大或者衰減。用數學公式描述為y(n)=λx(n)，其中λ為放大系數。若λ>1，則表示系統對輸入信號進行放大0<λ<1；若λ=1，則表示系統對輸入信號進行衰減；若，則表示系統的輸入信號與輸出信號完全相等。對于放大器來說，是線性系統還是非線性系統呢？對于輸入信號x1(n)與x2(n)，相應的輸出信號分別為：y1(n)=λx1(n)，y2(n)=λx2(n)先看齊次性，若輸入x3(n)=ax1(n)

，則y3(n)=λax1(n)=ay1(n)，滿足齊次性要求。再看可加性，若輸入x4(n)=x1(n)+x2(n)，則y4(n)=λ[x1(n)+x2(n)

]=y1(n)+

y2(n)，滿足可加性要求。因此，上圖所示的放大器系統是線性系統。3.1.2系統的分類3.1.2系統的分類

時變系統與時不變系統時不變系統：如果系統的輸入/輸出關系不隨時間而變化，或者說系統對于輸入信號的響應與信號加于系統的時間無關，即若設y(n)=T[x(n)]，則對于任意整數k，都有y(n-k)=T[x(n-k)]成立。不滿足上述條件的系統稱為時變系統。實際中，為了判定某個系統是否是時不變系統，首先要根據輸入x(n)，計算出其輸出y(n)，然后x(n)將延時k個單位時間，在計算系統的輸出，記為y(n,k)，并將其與y(n)直接延時k個單位時間得到的y(n-k)相比較，若y(n,k)=y(n-k)，則系統是時不變系統，否則為時變系統。對信號進行調制是信號處理的基本任務之一，廣泛應用于通信、雷達等系統中，完成相應功能的器件稱為調制器，用數學公式可以表示為y(n)=x(n)cos(ω0n)，其中cos(ω0n)稱為調制信號，ω0為調制頻率。如何判定該系統是否是時變系統？從定義開始，對于輸入信號x(n)，其輸出為y(n)=x(n)cos(ω0n)，如果將輸入延時k個單位，其對應的輸出為y(n,k)=x(n-k)cos(ω0n)。將y(n)直接延時k個單位，有y(n-k)=x(n-k)cos[ω0(n-k)]顯然y(n,k)≠y(n-k)，因此調制器系統是時變系統。3.1.2系統的分類

因果系統與非因果系統

因果系統：系統在任意時刻n的輸出僅取決于當前和以前時刻的輸入，如x(n)、x(n-1)、x(n-2)、…,而與以后時刻的輸入x(n+1)、x(n+2)、…無關。用數學公式表示為：y(n)=T[x(n),x(n-1),x(n-2),…]。非因果系統：輸出不僅取決于當前時刻和以前時刻的值，還取決于以后時刻的輸入。非因果系統在物理上是不能實現的，因為在實時信號處理中不可能觀察到信號在未來時刻的值。如果信號被存儲下來以便進行事后處理，那么非因果系統是可以實現的，因為在處理過程中信號的所有值都是已知的。在沒有特別說明的情況下，本課程所討論的系統都是實時信號處理系統。3.1.2系統的分類

穩定系統與不穩定系統穩定系統：當系統輸入有界時，其輸出也是有界的。用數學公式可以描述為，如果存在有限的數Mx和My，使得|x(n)|<Mx<∞和|y(n)|<My<∞對所有的n都成立。不穩定系統：當系統輸入有界時，其輸出是無界的。在實際應用中，系統的穩定性是必須考慮的一個問題，因為不穩定的系統通常會表現出不規律和極端的行為，并在實際實現時導致溢出，這些都是我們不希望看到的線性時不變(LinearTimeInvariant，LTI)系統：既是線性系統，又是時不變系統。因果性和穩定性是現實世界對實時信號處理系統的兩個約束條件。在為了完成某項特定的功能而設計數字信號處理系統時，要特別注意這兩個約束條件的影響。3.1.2系統的分類[例]判斷是否為線性系統？時不變系統？因果系統？穩定系統？判斷系統是否為線性系統要證明該系統同時滿足可加性和比例性該系統是線性系統3.1.2系統的分類該系統是時變系統3.1.3系統的互聯很多實際系統往往可以看成是由幾個子系統相互聯結而成。因此在進行系統分析時，就可以通過分析各子系統特性，以及他們之間的聯結關系來分析整個系統的特性。在進行系統綜合時，也可以先得到簡單的基本系統單元，再進行有效聯結，以得到復雜的系統。系統聯結的方式很多，但基本形式可以概括為串聯、并聯和反饋3種形式3.2

LTI系統的時域描述3.2.1差分方程3.2.2單位沖激響應3.2.3兩類最常用的LTI系統3.2.1差分方程在連續系統的時域表示中，常用微分方程來進行描述，在離散系統中，由于輸入/輸出都是離散信號，只有在n為整數的時刻才有意義，因此微分也就失去了意義，此時用差分來代替，與連續系統的微分方程類似，因果的LTI離散系統在時域可用如下的差分方程來描述：式中am、bm均為常數，也稱為常系數差分方程。從直觀上看，上式表明的是系統在n時刻的輸出，不僅與n以及n之前時刻的輸入有關，還與n之前時刻的輸出有關。在空曠的山谷中大呼小叫，回音陣陣，聽到的聲音不僅包括當前發出的聲音，也包括之前發出聲音的回音。這時，回音數學模型可以簡單地表述為：式中x(n)為當前發出的聲音，y(n)為當前時刻聽到的聲音。最簡單的情況是只有一個回聲x(n-k)，k的取值和山谷的地理環境有關，bk是聲音傳播過程中的衰減。實際情況是回聲很復雜，和n以前多個時刻的值有關。這表明，現實世界中有些系統的輸出不僅和當前時刻n的輸入有關，還與n之前時刻的輸入有關。3.2.1差分方程某人每月初在銀行存入一定數量的款，月息為β元/元，求第k個月初存折上的款數。設第n個月初的款數為y(n)，這個月初的存款為x(n),上個月初的款數為y(n-1)，利息為βy(n-1)，則y(n)=y(n-1)+βy(n-1)+x(n)，即y(n)-(1+β)y(n-1)=x(n)，若設開始存款月為x=0，則有y(0)=x(0)。上述方程就稱為y(n)與x(n)之間所滿足的差分方程。

所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數，稱為差分方程的階數。

上式為LTI系統的一般模型，可知y(n)由兩部分構成，一部分是n以及n之前時刻的輸入，另外一部分是n之前時刻的輸出。根據線性系統疊加性的性質，很容易想到，對y(n)的求解，可以先求出輸入為0情況下的輸出，這樣求解出來的結果稱為零輸入響應。然后再求出n之前時刻的輸出均為0情況下的輸出，這樣求解出來的結果稱為零狀態響應。最后再將零輸入響應和零狀態響應相加，即得到系統的輸出。3.2.2單位沖激響應單位沖激響應是另一種常用的LTI系統的時域描述方法。單位沖激響應：輸入信號為單位沖激信號δ(n)時所對應的系統輸出，常用h(n)表示。為什么單位沖激響應能表征一個LTI系統呢？LTI系統滿足疊加性原理，單位沖激信號δ(n)是一類最簡單的信號，我們可以將任意一個復雜的信號分解為多個類似δ(n)這樣的簡單信號，通過考察系統對δ(n)這樣簡單信號的輸出來認識系統的特性。對于任意一個離散信號x(n)，如圖所示當n=k時，其取值為x(k)，用單位沖激信號來表示的話，可寫為x(k)=x(k)δ(n-k)=x(n)δ(n-k)，其中δ(n-k)表示單位沖激信號的延時。這樣，將x(n)與δ(n-k)相乘之后，所得到的信號除了在n=k處取值為x(k)之外，其余各點均為0，如圖c所示。如果重復進行x(n)與δ(n-m)相乘，其中m是另一延時，m≠k，則所得到的信號僅在n=m處不為零，而在其余各處均為0，即信號x(n)與單位沖激信號的某個延時δ(n-m)相乘，實際上就是將信號x(n)在n=m處的單個值x(m)挑選出來。因此，如果在所有可能的延時外，即-∞<m<∞，都重復這樣的操作，然后把得到的結果相加，即可得到的另一種表達方式:這樣就將任意的一個信號分解為多個單位沖激信號的疊加。

3.2.2單位沖激響應由LTI系統的特性可知，如果知道了系統對單位沖激信號δ(n)的輸出，那么就可以利用疊加性原理知道系統對任意復雜信號的輸出，即：這說明系統對δ(n)的響應，也即是說單位沖激響應h(n)，是表征系統特性的一個基本方式，或者說，通過h(n)可以了解一個系統。過程分析：先將任意復雜的信號分解為多個簡單的信號，然后考察系統對簡單信號的響應，最后通過對簡單信號響應的疊加，得到系統對任意復雜信號的輸出。單位沖激響應h(n)是描述LTI系統最常用的方式。從h(n)這個角度，可以重新認識一下因果性和穩定性這個現實LTI系統的約束條件。前面已經提到，系統因果性的要求是當前的輸出只能與當前的以及之前的輸入有關，而不能與將來的輸入有關，利用h(n)這個概念，系統的因果性可以表述為：h(n)=0，n<0h(n)是單位沖激信號作為輸入信號情況下的系統輸出，δ(n)是從零時刻才有值，如果此時h(n)在零時刻之前就有輸出的話，表明系統的輸出和將來時刻的輸入有關，明顯違背了因果性的要求。3.2.2單位沖激響應前面已經提到，系統穩定性的要求是輸入有界輸出有界(BoundInputBoundOutput，BIBO)，所以系統的穩定性有時也簡稱BIBO特性。利用h(n)這個概念，系統的穩定性可以表述為：即系統的穩定性等效于h(n)的絕對可和。h(n)為我們認識系統提供了一種非常簡單的測試手段。在前面的分析過程可以看出，系統就像是一個黑匣子，等待我們去解開其中的奧秘。在可能的情況下，我們只需對系統施加一個最簡單的單位沖激信號，只要觀察和記錄其對應的輸出，不需要打開黑匣子觀察其具體的結構，就可以完整地了解整個系統的情況。生活例子：挑選西瓜，有經驗的人一般是一手托著西瓜，另一只手敲打西瓜，然后通過聽西瓜發出的聲響來判斷西瓜的好壞。發出聲音比較清脆的一般是好瓜，聲音比較沉悶的一般就不是太好。這個過程就可以等效為尋找系統單位沖激響應的過程。西瓜就可以看作是一個系統，而且是不能打開看其中構造的黑匣子系統。敲打西瓜的過程就相當于對系統輸入一個單位沖激信號δ(n)的過程，聽聲音就相當于觀察h(n)的過程。

實際上，確定系統h(n)的問題也是一類常見的信號處理問題——系統辨識。如果能夠對系統施加單位沖激信號的話，系統辨識的問題就相對簡單。更常見的情況是，無法對系統施加輸入信號，只能通過觀察系統的輸出來確定系統的h(n)，這類問題常稱為盲系統辨識。3.2.3兩類最常用的LTI系統LTI系統分為兩類：有限沖激響應(FiniteImpulseResponse,FIR)系統和無限沖激響應(InfiniteImpulseResponse,IIR)系統FIR系統：單位沖激響應長度有限，即h(n)只在某一有限的時間段內的取值不為0，在這個時間段之外的取值均為0。以因果FIR系統為例，其單位沖激響應可表示為：若用差分方程來描述的話，系統在n時刻的輸出僅和n時刻及以前N-1個時刻的輸入有關，用公式表示如下：3.2.3兩類最常用的LTI系統IIR系統：單位沖激響應長度無限長，即h(n)的取值在整個時間范圍內都不為0。以因果IIR系統為例，其單位沖激響應可表示為：若用差分方程來描述的話，系統在n時刻的輸出不僅和n時刻及以前時刻的輸入有關，還與以前時刻的輸出有關，用公式表示如下：在數字信號處理中，LTI系統常稱為濾波器，因此FIR系統也稱為FIR濾波器，IIR系統也稱為IIR濾波器。3.3

LTI系統的特征信號3.3.1復正弦信號3.3.2對單位沖激響應的再理解

3.3.1復正弦信號在信號處理的背景下，是否有這么一個“特征不變量”來深刻地刻畫LTI系統的特點呢？答案就是“復正弦信號”，如何理解？對一個單位沖激響應為h(n)的LTI系統，若輸入信號為一復正弦信x(n)=ejω0n，其中ω0為頻率，根據式可知其輸出為對上式令k=n-m，可得可以看出λ為與x(n)無關的常數。由上面的式子可以看出系統的輸入/輸出有如下的關系：T[x(n)]=λx(n)

，該關系表征的是系統T[.]的特征值為λ和特征向量為x(n)=ejω0n，數字信號處理中稱為特征信號。

3.3.1復正弦信號復正弦信x(n)=ejω0n的頻率ω0為任意選定，即頻率ω為任意值的復正弦信號都滿足T[x(n)]=λx(n)

，因而都是LTI系統T[.]的特征信號。對不同的頻率ω，其特征值是不相同的。復正弦信號通過一個LTI系統后，其頻率保持不變。我們常希望在信號的傳播、存儲等各個處理環節頻率保持不變，而LTI系統有恰恰具備了頻率不變的特性，這正是LTI系統之所以特別重要的原因所在。因此，很自然地將信號分解為多個復正弦信號，然后研究系統對復正弦信號的輸出，最后再將系統對多個復正弦信號的響應疊加，就可以得到任意輸入信號情況下系統的輸出。將信號分解為多個復正弦信號之和，然后再研究系統對復正弦信號響應的研究方法，稱為傅里葉分析。對信號和系統進行頻率分析的工具是傅里葉變換。對信號的頻率分析也稱為頻譜計算，對系統的頻率分析稱為頻率響應。

3.3.1復正弦信號手機通話：兩部手機的通話過程可以等效為一個y(n)=Ax(n-τ)的系統，即對著主叫手機講話，在被叫手機能聽到和輸入相同的聲音，只是時間上可能有所延遲，聲音的大小上稍有不同。語音的辨別最主要依靠的就是頻率。例如男聲普遍低沉，主要是由于男聲的頻率普遍較低；女聲普遍高昂，主要是由于女聲的頻率普遍較高。我們肯定不希望自己的聲音在傳播后變調，讓男聲聽起來像女聲。設計良好的手機，在信號比較強的時候，能滿足這樣的要求。利用前面給出的定義，很容易證明該系統是一個LTI系統，這正是人們所希望。設計有缺陷的手機，或者在信號很差的情況下，聽到的聲音有很大的失真，這是人們所不希望的。高保真音樂：很多音樂發燒友對音質要求很高，容不得一點雜音或者變調的聲音，這時候更要求所使用的播放器、傳輸線、音響等器材都具有很好的LTI特性，這樣可保證音頻信號就可以做到頻率不失真。這兩個例子說明，LTI系統的確具有頻率不變性的特點，而且人們往往也有頻率不變的需求

3.3.1復正弦信號DVD看電影或者電視劇：情節冗長拖沓等感覺沒意思的地方，最通常的選擇就是快進。在快進播放的時候，能聽到這時的聲音比較尖，嘰里呱啦的，已經不再是正常的聲音了。這是因為，對于DVD音頻播放系統來說，正常播放時可用y(n)=x(n)這個簡單的系統來描述，其中x(n)表示播放系統的輸入，y(n)表示播放系統的輸出。利用前面的定義和方法，很容易證明該系統是LTI系統，所播放的聲音聽起來沒有失真，即頻率不變。在快進的時候，假定播放速度增加一倍，則快進播放過程可描述為y(n)=x(2n)，這個系統還是LTI系統嗎？線性？當輸入分別為x1(n)、x2(n)時，其對應的輸出分別為y1(n)=x1(2n)、y2(n)=x2(2n)，若輸入信號為x3(n)=a1x1(n)+a2x2(n)，則對應的輸出為y3(n)=a1x1(2n)+a2x2(2n)=a1y1(n)+a2y2(n)，這表明，快進播放系統滿足線性的條件，是一個線性系統。時不變性？輸入為x(n)時y(n)=x(2n)。將輸入信號延時k個時間單位后，對應的輸出為y(n,k)=x(2n-k)，而直接將y(n)延時k個時間單位后得到y(n-k)=x(2n-2k)，顯然y(n,k)≠y(n-k)。這表明，快進播放系統是一個時變系統。快進播放系統y(n)=x(2n)不滿足LTI系統的要求，因此不是一個LTI系統。從理論上分析，快進播放的過程等效于將信號的頻率提高了一倍，這與實際中快進播放時聽到的聲音頻率比較尖銳相一致，因為信號已經完全失真。這也表明非LTI系統沒有頻率不變的特性。

3.3.2對單位沖激相應的再理解系統的單位沖激響應完全表征了一個LTI系統不管是時域上將信號分解為單位沖激信號，然后用單位沖激響應來表征系統，還是在頻域上將信號分解成復正弦信號，然后用頻率響應來表征系統，所描述的都是同一個問題，因此具有等效性。前面已經討論過，單位沖激信號的頻譜，在所有頻率上都為1。從LTI系統特征信號的角度，對系統輸入一個單位沖激信號，就相當于對系統輸入所有頻率的復正弦信號。單位沖激響應就表征了系統對所有頻率的響應，因此單位沖激響應也就很自然地表征了一個LTI系統。無論將信號分解為單位沖激信號，還是分解為復正弦信號，其背后解決問題的方法都完全一致：先將復雜信號分解為單位沖激信號或者復正弦信號，然后在考察系統對當個信號的響應，最后再利用LTI系統的疊加性和時不變性，將多個簡單信號的響應疊加，得到系統對任意復雜信號的響應。兩種不同的信號分解方法，導致對信號和系統的不同分析方式，雖然表現形式完全不同，背后的物理意義也有所差別，但兩者卻有很強的對應關系——時域與頻域的互易性。3.4

LTI系統的分析3.4.1Z變換的定義3.4.2系統傳遞函數3.4.3零極圖3.4.4系統頻率響應3.4.5LTI系統的向量理解3.4.6兩種特殊LTI系統的分析3.4.1

Z變換的定義對于LTI系統，如果從信號的單位沖激信號分解的角度，可以從時域來分析；如果從信號的復正弦信號的分解角度，可以從頻域來分析；當然也可以利用解差分方程的方法來分析。本節將引入一種新的工具，即Z變換，利用這個工具，將架起上述三種分析方法的橋梁，使得LTI系統的分析變得簡練、直觀、有效。Z變換是一種非常數學化的工具，其定義及作用都與連續系統分析中的拉普拉斯變換非常類似。雖然Z變換是從數學的觀點引入的，但利用這個方法，可以讓LTI系統的分析變得很直觀。3.4.1

Z變換的定義從DTFT到z變換序列的傅里葉變換其存在的充分條件是序列絕對可和，對于不滿足絕對可和的x(n)，乘以衰減因子r-n(r

為正實常數

)，使得x(n)r-n

滿足絕對可和，則令z=r

e

j

(r>0)，則Z為復變量，為方便，x(n)的z變換也常用如下公式表示：3.4.1

Z變換的定義相應的即令z=r

e

j

(r>0)，則d

z=j

r

e

j

d

=j

z

d

的積分區間為(

-

,

)，對應的復變量z

=r

e

j

的積分就是沿一條閉合曲線C的曲線積分，即3.4.1

Z變換的定義很明顯，從數學的觀點看，式所示的X(z)就是一個無窮級數求和的問題，并非所有的無窮級數都是收斂的，或者說并非所有的無窮級數都是可以求和的。對給定的信號x(n)，由上面所定義的Z變換X(z)并不總是存在的。對于x(n)，X(z)有限時，z的取值范圍稱為收斂域(RegionofConvergence,ROC)。從數學概念上講，當涉及z變換時，應當指出他的收斂域，因為如果沒有其他條件的約束，不同的信號，其X(z)的表達式可能相同，但收斂域不同。只有給定了收斂域的X(z)，才和x(n)之間存在一一對應關系。實際上，現實中處理的信號一般都是因果信號，而且實時物理可實現的系統都是因果系統，因此有單邊z變換：在這種情況下，即便不指出z變換的收斂域，x(n)和X(z)之間也存在一一對應關系，這就是一般討論具體問題時，不必另外指明收斂域的原因所在。3.4.1

Z變換的定義為了加深對Z變換的理解，通過兩個例子來說明例1：單位沖激信號δ(n)的z變換很顯然，無論z的取值如何，X(z)都是存在的，即此時的收斂域是整個z平面。δ(n)的z變換很簡單，無論z的取值為多少，其值都為1.例2：復正弦信號ejωn的z變換很顯然，上式中X(z)存在的條件是，也就是說收斂域。下表列出了典型信號的Z變換及其對應的收斂域，在后面的討論中，如果沒有特別說明，說的Z變換都是值下表所定義的單邊Z變化，因此不再單獨指出其對應的收斂域。3.4.1

Z變換的定義3.4.1

Z變換的定義已知一個信號的z變換如下，求其對應的逆變換，也即求對應的原始信號。為簡單起見，將上式分子分母都乘以z2，得到：

由上表可知，上式最好能做如下變形式中，a和b是未知常數。利用待定系數法可以得到a=1,b=-1，因此上式又可以寫為根據上表，可以得到X（z）的逆變換為：3.4.2系統傳遞函數在了解了Z變換的基本概念之后，接下來的問題就是如何利用Z變換來分析一個LTI系統。在前面多次強調，一個LTI系統的單位沖激響應h(n)可以完全表征系統本身，其Z變換為：

在后面的討論中將會看到，由上式定義的H(z)也是一個非常重要的概念，在信號處理中給它取了一個專用名稱，即系統傳遞函數，也稱為系統函數或者傳遞函數。

在前面提到，當系統用h(n)表征時，其輸入/輸出關系可以表達成：

于是在Z變換的背景下，上式可變為：3.4.2系統傳遞函數在因果信號和因果系統的背景下，上式可以變為

上式可做一個簡單的變形，即可得到：再令k=n-m，上式則變為：這表明，通過Z變換，將系統的輸入/輸出關系由上式復雜求和變成了簡單的相乘，這無疑給分析帶來了方便。3.4.2系統傳遞函數根據上式，還可以用下面這種方式來定義系統的傳遞函數這個定義雖然和前面的定義看起來有點不太相同，一個是從h(n)直接求Z變換的角度得到的，一個是從系統的輸入/輸出關系得到的。但這兩者所代表的意義是完全相同的。一個LTI系統可以用常系數差分方程來描述，在Z變換的背景下，這個常系數差分方程又有怎么樣的理解呢？為了解釋這個問題，先了解一下Z變換的一個位移特性。假定已經知道x(n)對應的Z變換為X(z),那么x(n-1)的Z變換可以表示成：上式表明，對信號x(n)進行單位延時，其對應的z變換乘以z-1。這也是前面介紹延時運算時，用z-1表示單位延時的原因。擴展到k個單位延時的情況，有：3.4.2系統傳遞函數有了這個基礎再來分析常系數差分方程，對其兩邊進行Z變換，有：對其進行簡單的合并，可以得到：這表明，利用Z變換這個工具，可以很方便的從系統的差分方程得到系統的傳遞函數H(z)，從而可以很方便的得到h(n)。也就是說利用Z變換，可以很方便的在h(n)與差分方程之間切換。由此可以看出，Z變換這個工具，的確在LTI系統的不同描述方法之間架起了橋梁。3.4.3零極圖根據前面的討論可知，用Z變換的方法，一個LTI系統的特性可以用傳遞函數H(z)來描述。通過H(z)，我們如何來分析系統呢？本節將要介紹的零極圖就是建立在Z變換的基礎上的直觀分析工具。從前面可以看出，H(z)是復變量z-1的多項式之比。為了分析方便，可以將改寫為

式中，N(z)表示分子多項式，D(z)表示分母多項式。3.4.3零極圖系統的零極點是指滿足分子多項式N(z)=0的z值，通常用zk表示第k個零點。系統的極點是指滿足分母多項式D(z)=0的z值，通常用pk表示第k個極點。由數學的基本知識可以知道，

N(z)和

D(z)都可以進行因式分解，上式可變為：式中K=b0，也稱為系統的零極點表達式，由此看出，除了參數K以外，整個系統函數可以由他全部的零極點來唯一確定，因此也可以說零極點是一種描述系統的方法,根據系統的零，極點分布，就可以大致了解系統的特性。這里需要說明的是，零，極點可能是實數，純虛數或者負數，由于系統函數H(z)的分子分母各項的系數均為實數，所以零極點若為虛數或者負數則一定是共軛成對出現。將系統函數的零極點全部標注在z平面上得到的圖形，稱為系統的零級圖。如圖所示：圖中用“×”表示極點，“。”表示零點。對于圖中的例子，極點在z=0.6±j0.5和z=-0.8,零點在z=0.6±j0.3和z=0.43.4.3零極圖零極點一個很重要的特征是單位圓，即由Z=|1|所定義的圓，后面的討論中將會看到，單位圓在系統的分析中起著非常重要的作用。由前面的討論，若想用零極點的方法來描述和分析系統，最關鍵的是計算分子多項式N(z)和分母多項式D(z)的根，對于簡單的一階及二階多項式，還可以很方便地計算出多項式的根，但對于三階以上的高階多項式，求根是一個很困難的任務，在實際中常常是利用數值計算的方法實現。在后續的分析中會再進一步介紹下面看一下用零級圖是如何分析系統的？3.4.3零極圖通過前面的討論可知，系統函數H(z)是單位沖激響應h(n)的Z變換。而對H(z)而言，除了常數k以外，整個系統函數可以由它的全部零，極點來唯一確定，因此h(n)的特性也可以由零極圖來大致確定。下面以系統函數的極點為單階極點這種比較普遍的情況為例來說明。若系統只有一個一階實數極點，則系統函數有如下的形式：從零極圖看單位脈沖響應式中，K為常數，z=a為系統極點，由表可知它所對應的單位沖激響應形式為:右圖給出了a在不同取值情況下的h(n)當極點在單位圓內時，h(n)隨著n的增加而逐步衰減；當極點在單位圓上時，h(n)為常數；當極點在單位圓外時，h(n)隨著n的增加而逐步放大；當極點為負數時，會導致h(n)在正數與負數之間交替變化；當極點在單位圓內時，則極點越靠近單位圓，h(n)衰減越慢，反之亦反之；當極點在單位員外時，則極點越靠近單位圓，h(n)放大越慢，反之亦反之。單位沖激響應h(n)的形狀主要由極點決定3.4.3零極圖前面分析了極點為實數時的情況，下面再來看極點為復數時的情況。若系統有兩個共軛成對的復數極點，則系統函數可寫為：從零極圖看單位脈沖響應式中，c為與系統零點有關的復數，c*為c的共軛，表示系統極點。因此，由z反變換可知其對應的單位沖激響應的形式為：式中，K、θ為常數，與系統的零點有關。由由上圖可知，

h(n)的形狀主要取決于極點與單位圓的關系。系統的零點對h(n)也會有影響，單相對極點來說影響小得多。從上式可以看出零點主要影響h(n)的幅度和相位。從上面的討論可知，系統的零極圖確實可以很直觀地反映單位沖激響應h(n)的形狀。3.4.3零極圖現實中的實時信號處理系統都是因果系統，在介紹Z變換定義是已指出，對于因果系統，即便不指明收斂域，h(n)及其對應的Z變換H(z)之間也存在一一對應關系，怎么理解？假定∣z

∣=r0是在收斂域內，即那么，如果r1>r0，則有這說明，系統在∣z

∣=r1處必定在收斂域內.從零極圖看系統因果性從直觀上來理解，因為r1-n的衰減程度比r0-n更高。上面兩式表明，對因果序列而言，其收斂域必定是從某個圓開始，一直到z=∞處的區域，即∣z

∣>rk，如右圖所示。這個rk又是如何確定的？與零、極點是否有關系？從系統極點的定義可知，所謂極點指的是H(z)=∞時z的取值，此時顯然H(z)不收斂。因此，因果系統的收斂域必定不能包含任意一個極點。若用rm表示系統所有的極點當中離單位圓圓心最遠的極點所對應的半徑，即，那么，當∣z

∣>rm時，H(z)都收斂，如右圖中的陰影部分為收斂域。這說明只要知道一個因果系統的極點分布，該系統的收斂域就完全確定了，而極點的取值是直接從H(z)得到的。H(z)確定，極點就確定，收斂域就確定，可得到唯一的h(n)，這就是對因果系統不必再額外指明收斂域的原因。3.4.3零極圖系統的穩定性等效于h(n)絕對可和，即。如何從零極圖上來理解系統的穩定性？由z變換定義可知，只有當H(z)的收斂域包含單位圓∣z

∣=1時，h(n)絕對可和，這時系統就是穩定的。從系統的因果性可知，因果系統的收斂域與離單位圓圓心最遠的極點有關。要保證單位圓在收斂域內，必須要保證離單位圓圓心最遠的極點值要小于1。這也就要求所有極點都在單位圓內，此時h(n)絕對可和，從而系統穩定。從零極圖上，只要觀察極點與單位圓之間的關系就可以確定系統的穩定性。這使得系統穩定性的判斷變得非常直觀，為數字信號處理系統的分析與設計帶來了很大的方便。實際上，系統的穩定性與單位圓的這種關系，還可以從另外一個角度理解。先來看一個簡單的單極點系統：利用H(z)與差分方程之間的關系，可以很容易寫出這個系統對應的差分方程如下：從零極圖看系統穩定性3.4.3零極圖很顯然，這個系統的信號處理過程如下：系統當前時刻的輸出是當前時刻的輸入加上2倍系統上一時刻輸出。這個系統顯然是不穩定的，因為當前的輸出需要放大上一個時刻的輸出，這也就是說，系統存在自激過程，從概念上可以理解，自激過程是不穩定的。從分析極點的角度看，這個系統的極點是2，在單位圓外，與零極圖的分析是一致的。極點在單位圓內的要求，對一階極點而言，實際上就是直觀上要求系統不能自激。對于高階極點的情況，由數學知識可知，高階極點可以進行因式分解，即高階極點可以分解成一個一階極點并聯或者串聯而成的系統，在這樣的系統中只要有一個系統不穩定，整個系統就是不穩定的。這與零極圖上要求的所有極點在單位圓內是對應的。對于更一般的既包含零點又包含極點的系統，可以看成一個全零點系統和全極點系統串聯而成，與系統的穩定性無關，其穩定性分析和結論與高階全極點系統完全一致。從零極圖看系統穩定性3.4.4系統頻率響應在前面的討論中已經知道復正弦信號是LTI系統的特征信號，其對應的特征值我們在前面已經討論過了，這個特征值也稱為系統的頻率響應，從這個角度也是理解和分析LTI系統的一個重要方面。頻率響應也是數字信號處理中非常重要的一個概念，通常用H(ejω)表示，考慮到實際系統的因果性可以將改寫成更一般的表達式：此式是從h(n)計算頻率響應H(ejω)

的一般公式，通常也稱為h(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)。從H(ejω)計算h(n)通常稱為逆傅里葉變換，用數學公式表示如下：頻率響應H(ejω)一般為復數，可用它的實部和虛部來表示：ω3.4.4系統頻率響應也可以用幅度和相位來表示：上式中

|H(ejω)|稱為幅度響應，有時也稱為幅頻響應或幅頻特性。φ(ω)稱為相位響應，有時候也稱為相頻響應或者相頻特性，正如h(n)完全表征了LTI系統的時域特性一般，H(ejω)完全表征了LTI系統的頻域特性。幅頻響應和相頻響應則分別代表了H(ejω)的某一個方面，兩者合起來才是對系統頻率響應的完整描述。ω幅頻響應幅頻響應與實部虛部的關系如下：它所表征的是系統對不同頻率信號幅度的放大或者衰減，下圖給出了一個LTI系統幅頻響應曲線，這是一個理想的低通濾波器，可以看出，當信號頻率-ωc

~ωc，系統的幅頻響應是1，此時信號完全通過系統，當信號頻率小于-ωc或大于ωc時，系統的幅頻響應是0，此時信號被完全抑制，這表明系統的幅頻響應實際上是表示了LTI系統的頻率選擇性。3.4.4系統頻率響應ω幅頻響應幅頻響應越大，則對應的頻率信號的選擇性越好，此時信號能更好地通過系統，頻率響應越小，則對應頻率信號的選擇性越差，此時信號更難通過系統。從圖中可以看到幅頻響應是周期性的，并且周期為2π，這點非常好理解，可以從數學公式上看：顯然H(ejω)具有周期性，并且周期為2π，因此很自然的得到，幅頻響應也具有相同的周期性。另一方面，離散系統可以看作是從對應的連續系統采樣得到的，前面已經強調過，時域的采樣等效于頻域的周期延拓，采樣頻率?s對應的數字頻率就是2π，因此離散LTI系統的頻率響應是周期性的，且周期為2π。3.4.4系統頻率響應ω幅頻響應從上圖還可以得出幅頻響應具有偶對稱的性質，即|H(ejω)|=|H(e-jω)|，實際上，對于實系數的h(n)，幅頻響應都具有偶對稱的性質，這點在數學方面很容易證明。關于幅頻響應還需要說明，在工程實際中，幅頻響應通常都是以dB為單位，這樣還需要取對數：另外就是在分析具體問題的時候，通常只考慮一個周期內的幅頻響應，這是因為采樣定理保證了有用的信號頻譜都在一個周期內。3.4.4系統頻率響應ω相頻響應相頻響應與實部、虛部的關系如下：它所表征的是系統對不同頻率信號相位的超前或滯后。下圖給出了一個LTI系統的相頻響應曲線，和幅頻響一樣，相頻響應也是周期性的，并且周期為2π，這點在前面已經說明，因此通常也只列出一個周期的相頻響應，相頻特性也有對稱性的特點不過是奇對稱，即:φ(ω)=-φ(-ω)3.4.4系統頻率響應ω相頻響應相頻響應另外一個顯著的特點是具有模糊性，而且模糊的周期也是2π。這種模糊性體現在相頻響應曲線上，就是相位經常有2π的跳躍，如上圖為所示，對于模糊造成的相頻響應曲線的不連續。也可以通過數學上稱為解纏繞的方法，得到連續的相頻應曲線，如圖b所示。前面已經介紹了相頻響應的一些基本概念，下面我們從物理上理解相頻響應，相頻響應在物理上反映了系統對不同頻率信號的處理時間。例1：假設有甲乙丙3個同學，甲同學學習非常用功；乙平時除了學習還喜歡關心其他的事情，丙則經常有點迷迷糊糊，3個人都報名參加了一個考試，到考試那天甲乙都很早就起床收拾妥當去考點了，丙照常睡懶覺，等起來的時候都快到考試時間了，匆匆忙忙就往考點奔，這天考試人很多，在進口處有保安檢查證件。甲乙準備充分很順利的進入了考場，丙則因為太過匆忙，加上平時經常犯迷糊，因為證件一時找不著連考場都沒進去。甲因為平時刻苦很快就答完試卷出來了，乙則一直忙到考試結束。

如果將考場當作一個系統，考生當做系統的輸入，我們看到甲乙兩個信號都能通過系統而丙則不能通過系統，這反映的是系統的選擇性，我們還看到甲很快就出來了，乙則慢一些這反映的是系統對不同信號的處理時間。3.4.4系統頻率響應ω相頻響應這里需要說明的是，雖然相頻響應反映了系統對不同頻率信號的處理時間，但并不是說相頻響應越大，系統的處理時間越長，從一個簡單的正弦信號ejωn可以知道，其相位為ωn，也即是說相位不僅和時間有關，還和頻率有關，在信號處理中，群延時(GroupDelay)用來表征系統延時時間的另一個概念，其數學定義是如下：需要注意的是，按照上式求解τg(ω)時，φ(ω)不是按計算得到的原始值，而是經過相位解模糊之后的連續值。很明顯，τg(ω)更具體地表達了系統對不同頻率信號的時間延時。那么，群延時和相頻響應到底有何不同？先看一個具體的例子，假設一個信號是由兩個不同頻率的正弦信號疊加而成，其波形如下圖a所示。若將此信號通過一個反向器，即對信號乘以-1的系統，反相器相頻響應為φ(ω)=π，通過這個系統后的信號波形如下圖b所示；若將此信號通過一個無失真傳輸系統，即系統的單位沖激響應為h(n)=δ(n-n0),其中n0為常數。無失真系統的群延時為τg(ω)=0，通過這個系統后的信號波形如下圖c所示。對比三個信號的波形可以看出，相比原始信號，通過反相器之后得到的信號已經與原始信號在細節上完全不同，而通過無失真系統后，信號在細節上與原始信號完全一樣，只是時間上有所延時。3.4.4系統頻率響應ω相頻響應從上面這個例子可以看出，相頻響應和群延時雖然都反映系統對不同頻率信號的延時，但兩者的意義還是有所不同，相頻響應反應的是系統對輸入信號延時的相對值，群延時反映的是系統對輸入信號延時的絕對值。對于頻率成分比較復雜的信號，相頻響應為常數反而會造成信號的失真，群延時為常數的系統才不會對信號產生失真。在實際信號處理當中，群延時往往是用來衡量系統對輸入信號是否產生失真，因此有的地方也稱為包絡延時。3.4.4系統頻率響應ω

Z變換與頻率響應Z變換更多的是一種數學工具，其物理意義并不明顯。但這種數學工具能為我們分析信號和系統提供極大的便利。實際上從Z變化出發，可以很容易得到系統的頻率響應，即頻率響應H(ejω)就是系統函數H(z)在單位圓z=ejω上的取值，用公式表示為：稍微展開一點，通過傅里葉變換計算得到的系統頻率響應物理意義明確，并且能反映系統在頻域的特性。但傅立葉變換最大的問題在于其收斂條件比較嚴苛，對離散信號和系統而言，只有在時域內絕對可和的信號才存在。在連續信號和系統中為了解決這個問題，法國數學家拉普拉斯提出了拉普拉斯變換；與此類似在離散信號和系統中，為了解決傅里葉變換收斂條件苛刻的問題引入了Z變化。Z變換可以說是針對離散信號和系統的拉普拉斯變換。實際上如果將離散信號和系統看作是經由連續信號和系統采樣得到的話，Z變換中的z平面與拉普拉斯中的s平面存在z=esTs，這樣的對應關系其中Ts為采樣周期。3.4.5LTI系統的向量理解ω在前面的介紹中已經知道根據系統函數的零極圖，可以很方便地了解系統單位沖激響應h(n)的大致特征，也可以很方便地利用零極圖分析系統的穩定性。而且我們還知道，系統的頻率響應可以看作系統函數在單位圓上的取值，因此本節將學習零極點與系統頻率響應的關系。在介紹零極圖理解系統的頻率響應之前，先介紹一下向量的基本概念。通過前面的討論已經知道，因為復正弦信號是LTI系統的特征信號，而且H(ejω)也通常為復數，因此在討論頻率問題的時候要經常和復數打交道，在數學上復數看起來比實數復雜一些，但通過向量這個工具，復數會變得非常直觀，假定有一個復數：在復平面上可以很方便地表示成一條帶箭頭的線段，如圖所示，圖中橫軸為實部，縱軸為虛部。這條帶箭頭的線段通常稱為向量，有時候也稱為矢量，向量通常用粗體的大寫字母表示，如圖所示向量可寫為XC。3.4.5LTI系統的向量理解ω除了用上式實部、虛部表示以外，復數也可以用幅度和相位表示：其中，分別表示復數的幅度和相位。這種表達方式也可以很方便地體現在向量表示中，即向量的長度表示復數的幅度，向量和實軸的夾角表示復數的相位，如上圖所示。了解了向量的基本概念后，再來看零極點與系統頻率響應的關系。根據前面的討論，系統的傳遞函數寫成零極點的形式可以做下式的簡單變形：系統的頻率響應就是H(z)在單位圓上的取值：ω上式中，ejω是一個復數，可以用向量OE來表示，如下圖所示。對于不同的ω，E點在單位圓上的不同位置變化。零點zk和極點pk也可以用向量表示。在下圖中有兩個零點，位置分別在A點和B點，分別用向量OA和OB來表示，極點也有兩個，位置分別在C點和D點,分別用向量OC和OD來表示。3.4.5LTI系統的向量理解ω根據向量的運算規則，ejω-zk可以很方便地表示為一個由零點zk的位置指向單位圓上ejω位置的向量。在上圖中，對位于A點的零點來說，ejω-zk對應的向量為AE，為了方便起見，用Uk來表示ejω-zk，即：同理，對極點來說，ejω-pk可用向量Vk表示。利用向量的運算可改寫為：3.4.5LTI系統的向量理解ω于是幅頻響應和相頻響應分別為：

(1)

(2)上式表示的是K為正數的情況，若K為負數，則式(1)中的K應該變為|K|，相應的式(2)右邊還要加上一個π。3.4.5LTI系統的向量理解ω利用向量的觀點，很容易理解接近單位圓的零點會引起在這個點附近的單位圓上的頻率的幅頻響應變小。從上圖可以非常清楚地看出，當頻率ω在0附近時，因為零點A點靠近單位圓，此時的Uk比較小，顯然這時的幅度響應比較小。與此相反的是，接近單位圓的極點會引起在這個點附近的單位圓上的頻率的幅度響應變大，從上圖明顯可以看出來，當頻率ω在π/2附近時，因為極點C靠近單位圓，此時Vk比較小，因為Vk為分母，因此此時的頻率響應反而比較大。這里需要特別提醒的是，利用向量進行系統頻率響應分析時，系統函數通常要變成

這種形式，否則可能得到一些不準確的結論。3.4.5LTI系統的向量理解ω例1

假定一個簡單的單極點系統的系統函數為：若想對這個系統的幅頻響應進行定性分析，首先畫出系統函數的零級圖，如下圖所示，圖中A為極點，從極點位置在單位圓內可以判斷該系統為穩定系統。3.4.5LTI系統的向量理解為了得到這個系統幅頻響應的大致曲線，可以選幾個特殊點進行計算。3.4.5LTI系統的向量理解可以看出，當E從0開始沿著單位圓逆時針旋轉，向量AE的長度單調遞增，一直到ω=π。幅頻響應是向量AE長度的倒數，因此|H(ejω)|在ω=0~π范圍內單調遞減。從零級圖還可以知道，越靠近極點的位置，|H(ejω)|的變化速度越快，越遠離極點的位置，|H(ejω)|的變化速度越慢。另外幅頻響應是偶對稱的。根據這些特點及上面計算出的幾個特殊值可以畫出系統幅頻響應曲線的草圖，如下圖所示，圖中相鄰的兩個點直接用直線相連。從幅頻響應曲線上看，這個系統是一個低通濾波器，而且在峰值附近比較尖銳，選擇性比較好，這主要得益于極點離單位圓比較近。3.4.5LTI系統的向量理解

全通系統第一類特殊的LTI系統是全通系統。所謂的全通系統指的是系統頻率響應|H(ejω)|對所有頻率ω均為常數。最簡單的全通系統是h(n)=δ(n-n0)的無失真傳輸。這個系統的傳遞函數為

，其極點為0。我們知道，為0的極點的幅度響應沒有任何影響，影響的只是相位響應。對更一般的極點不為0的系統來說，從零極圖的觀點來看，若想要對所有的ω幅度響應均為常數，最簡單的就是在極點位置同時放置一個零點，這樣極點的影響被零點抵消，系統稱為全通系統。假定有一個系統，其系統函數為：其特點是分子、分母多項式的系數相同，但排列順序相反，因此上式也可以改寫成如下多項式形式：

3.4.6兩種特殊LIT系統的分析

全通系統其中：很顯然，對于這個系統其頻率響應為：也就是說上式表示的是一個全通系統。從上式可以明顯看出，如果pk為系統的極點，那么

1/pk必為系統的零點，即零點和極點關于單位圓共軛倒置。這也表明，除了零極點在相同的位置兩者能夠抵消之外，零極點關于單位圓共軛倒置的時候在幅度響應上也能抵消。3.4.6兩種特殊LIT系統的分析

全通系統下圖給出了全通系統的零極點分布規律。圖(a)為極點為實數的情況，圖(b)為極點為共軛復數的情況。在圖中，A為極點其對應的零點為D點，而極點B對應的零點為C點。3.4.6兩種特殊LIT系統的分析

全通系統從零級圖上,零極點關于單位圓共軛倒置卻能在幅度響應上相互抵消的結論并不是太直觀。以圖(a)為例，從直觀上零點對應的向量長度U1顯然和極點對應的向量長度V1不相等。可為什么還能抵消呢？要解釋這點，稍微還原一下向量理解的過程。由零極圖分布，這個系統的傳遞函數為：為了用向量來分析其頻率響應，通常要將上式變形為：也就是說，在用向量對系統頻率響應進行理解的過程中，a的影響并沒有直觀