自動控制系統(tǒng)仿真Thesimulationofautomaticcontrolsystem第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋霏h(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真第8次1.使用Matlab函數(shù)：ode451）編寫xfun.m文件，定義xfun函數(shù)()2）在命令窗口調(diào)用ode45函數(shù)2.編寫龍格庫塔算法的**.m文件龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解[t,x]=ode45(‘xfun’,[t0,tf],x0)[t,x]=ode45(‘xfun’,[t0,tf],x0,option,u)functionxdot=xfun(t,x,flag,u)或)()()，(

率

斜

四

第)2()2()2，2(

第三斜率)2()2，2(

第二斜率)()(

率

斜

第一3342231121hthhhththhhthhhtttkkkkkkk+++=++=+++=++=++=++=+==KXAKXfKKXAKXfKKXAKXfKBrXAX,fKkkkkkkkk：：：：+(tkBr)2hBrBrXk+1=Xk+h/6(K1+2K2+2K3+K4)編寫龍格庫塔算法的rk4.m文件%round(x):對x取最接近的整數(shù)，h為步長%求各次斜率K1~K4%求Xk+1=Xk+h/6(K1+2K2+2K3+K4)%yk+1=CXk+1%A,B,C為系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)陣%x0為x的初值，t0為初始時(shí)刻，tf為終止時(shí)刻第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋霏h(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解傳遞函數(shù)：化為能控標(biāo)準(zhǔn)型(1)(2)(3)龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解0.化傳遞函數(shù)為狀態(tài)方程形式1.使用Matlab函數(shù)：ode45(‘xfun’,[t0,tf],x0)

或2.編寫龍格庫塔算法的**.m文件%傳遞函數(shù)分子系數(shù)向量%傳遞函數(shù)分母系數(shù)向量%化為狀態(tài)方程標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)%fliplr(X):矩陣X左右翻轉(zhuǎn)%zeros(m,n):產(chǎn)生m×n的零陣%rot90(A):A陣逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°%length(x)：求向量x的維數(shù)%eye(m,n):產(chǎn)生m×n的單位陣第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋霏h(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真第8次控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋?.方框圖化簡2.想辦法表達(dá)環(huán)節(jié)之間的輸入輸出關(guān)系y1y2y3y4y5y6y8y9y10u1u2u3u4u5u6u7y7u8u10u9麻煩連接矩陣寫出每個(gè)環(huán)節(jié)輸入ui

受哪些環(huán)節(jié)輸出yi的制約和影響。控制系統(tǒng)的連接矩陣：W

稱為連接矩陣W0

稱為輸入連接矩陣u=[u1

，u2

，…,un]’y=[y1，y2，…,yn

]’連接矩陣W

中元素值直接反映各環(huán)節(jié)之間連接情況：

wij=0,環(huán)節(jié)j不與環(huán)節(jié)i相連；

wij≠0,環(huán)節(jié)j與環(huán)節(jié)i有連接關(guān)系；

wij>0,環(huán)節(jié)j與環(huán)節(jié)i直接相連(wij=1)

或通過比例系數(shù)相連(wij為任意正實(shí)數(shù))；

wij<0,環(huán)節(jié)j與環(huán)節(jié)i直接負(fù)反饋相連(wij=–1)

或通過比例系數(shù)負(fù)反饋相連(wij為任意負(fù)實(shí)數(shù))；wii

≠0,環(huán)節(jié)i單位自反饋(wii=1或wii=–1)

或通過比例系數(shù)自反饋(wii

為任意實(shí)數(shù))；控制系統(tǒng)的連接矩陣：習(xí)題4-5寫出連接矩陣y1y2y3y4y5y6y8y9y10u1u2u3u4u5u6u7y7u8u10u9

U=WY+W0y0

第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋霏h(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真典型閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)字仿真：控制系統(tǒng)最常見的典型閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，可按照能控標(biāo)準(zhǔn)型寫出其開環(huán)狀態(tài)方程：G(S)的控制量

又因?yàn)?/p>

其中：面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真1.使用Matlab函數(shù)：ode45(‘xfun’,[t0,tf],x0)

或2.編寫龍格庫塔算法的**.m文件化為了標(biāo)準(zhǔn)形式：G(S)的狀態(tài)方程：

面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真例4-1．求圖4-8所示系統(tǒng)的階躍響應(yīng)y(t)數(shù)值解：

解：①設(shè)開環(huán)放大系數(shù)k=1，反饋系數(shù)v=1(單位反饋系統(tǒng))，階躍輸入幅值r=1；②利用conv()卷積函數(shù)功能，將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)化為傳遞函數(shù)分母、分子多項(xiàng)式系數(shù)向量的形式：a=conv([100],conv([0.251],[0.251]))

③設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)向量初值X0=[x10,x20,…,xn0]均為零；④系統(tǒng)運(yùn)行參數(shù),t0=0,tf=10,h=0.25，系統(tǒng)階次為4階；⑤求G(s)的能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)A、b、C，求反饋閉環(huán)系數(shù)矩陣Ab;

⑥調(diào)用龍格庫塔法面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真2面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真例4-1．求圖所示系統(tǒng)的階躍響應(yīng)y(t)數(shù)值解：

例4-1>>a=[0.06250.5100];>>b=[21];%k=1>>x0=[0000];>>v=1;n=4;t0=0;tf=10;h=0.25;r=1;>>rk4(a,b,x0,v,t0,tf,h,r,n)%Ab為閉環(huán)系數(shù)陣?yán)?-1復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真：思路：在計(jì)算機(jī)程序中應(yīng)能方便表示出實(shí)際系統(tǒng)各典型環(huán)節(jié)；

將環(huán)節(jié)之間的連接關(guān)系輸入計(jì)算機(jī)，由計(jì)算機(jī)程序自動形成閉環(huán)狀態(tài)方程；3.運(yùn)用龍格庫塔數(shù)值積分方法求解時(shí)域響應(yīng)。面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真比例環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)慣性比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分比例環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)高階線性環(huán)節(jié)復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真：常見環(huán)節(jié)完全可用一個(gè)通用一階環(huán)節(jié)統(tǒng)一表示

uiyi模型參數(shù)陣：

于是系統(tǒng)中所有環(huán)節(jié)輸出、輸入關(guān)系統(tǒng)一用矩陣表示如下：

(A+Bs)Y=(C+Ds)U

面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真：1.寫成統(tǒng)一各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型復(fù)雜連接的閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)字仿真：面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真整理為矩陣形式：

U=WY+W0y0

其中：2.求連接矩陣各環(huán)節(jié)輸入ui與輸出yi有以下關(guān)系：

(A+Bs)Y=(C+Ds)(WY+W0

y0)

整理，得：

(B–DW)sY

=(CW–A)Y+CW0

y0

+DW0

sy0

簡潔表達(dá)為：

QsY

=RY+V1y0

+V2

sy0

其中：Q=B–DW

R=CW–A

V1

=CW0

V2

=DW0

若Q陣逆存在，則式(4-9)兩邊同時(shí)左乘Q

–1

，得：

sY=Q–1RY+Q–1

V1

y0

+Q–1

V2

sy0

兩邊反拉氏變換，求得系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程時(shí)域表達(dá)式：

Ab

=Q

–1

R;b1

=Q–1V

1

；b2=Q–1V2

為閉環(huán)系統(tǒng)的系數(shù)陣和輸入陣面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真(A+Bs)Y=(C+Ds)U將U=WY+W0y0代入3.求系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程建立該系統(tǒng)仿真模型中應(yīng)注意兩點(diǎn)：①保證Q陣有逆。

②

去掉項(xiàng)，使V2=0面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真Ab

=Q

–1

R;b1

=Q–1V

1

；b2=Q–1V2Q=B–DWR=CW–AV1

=CW0V2

=DW0步長值的選擇：為系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的剪切頻率或

tr為系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間

ts為系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間（過渡過程時(shí)間）

h0的選取應(yīng)小于系統(tǒng)中最小時(shí)間常數(shù)τ的兩倍，即：h0＜2τ

面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真仿真程序流程圖(1)系統(tǒng)參數(shù)輸入方法面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真輸入各環(huán)節(jié)參數(shù)陣PA=diag(P(:,1));%取第一列構(gòu)成對角陣B=diag(P(:,2));C=diag(P(:,3));D=diag(P(:,4));P(:,1)=[a1a2…an]’(2)聯(lián)接矩陣輸入方法面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真有大量0元素，因此只輸入非零元素WIJ=[ijwij]m×3i為被作用環(huán)節(jié)號；j為作用環(huán)節(jié)號；wij為關(guān)系值；m為非0元素個(gè)數(shù)。輸入對環(huán)節(jié)1的作用環(huán)節(jié)3對環(huán)節(jié)1反饋?zhàn)饔铆h(huán)節(jié)1對環(huán)節(jié)2直接作用環(huán)節(jié)2的自反饋環(huán)節(jié)2對環(huán)節(jié)3的直接作用面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真(2)聯(lián)接矩陣輸入方法※例4-2%建立初始W、W0陣調(diào)用4階龍格庫塔法%調(diào)用4階龍格庫塔法Y習(xí)題4-5y1y2y3y4y5y6y8y9y10u1u2u3u4u5u6u7y7u8u10u9習(xí)題4-5寫出連接矩陣y1y2y3y4y5y6y8y9y10u1u2u3u4u5u6u7y7u8u10u9

U=WY+W0y0

第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋霏h(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真第10次數(shù)值積分方法仿真的不足1、單步法計(jì)算各次斜率（K1~K4），步驟繁瑣2、多步法要求存儲前r次時(shí)刻數(shù)據(jù)3、隱式算法求解需若干次迭代，計(jì)算速度受影響4、對狀態(tài)方程求解，不能對非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行仿真求解差分方程——離散（采樣）控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)的差分方程連續(xù)系統(tǒng)的離散化非線性系統(tǒng)的仿真另辟蹊徑連續(xù)系統(tǒng)的離散化

其中為狀態(tài)初始值.則其中：Φ(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣當(dāng)狀態(tài)方程為線性定常時(shí)，或：

Φ(t)=

eAt

=L-1{(sI–A)–1}故當(dāng)t=kT時(shí)，求解差分方程法

t=(k+1)T時(shí)，所以：X((k+1)T)=Φ(T)X(kT)+Φm

(T)U

(kT

)

其中：Φ(T)=eAT,為t=T時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣數(shù)值求解遞推公式：Xk+1=Φ(T)Xk+Φm

(T)U

k

連續(xù)系統(tǒng)的離散化若希望遞推公式精度更高些，應(yīng)該考慮到在兩次采樣時(shí)刻kT

、(k+1)T之間u(τ)一直在變化，用一階保持器近似更為合理，如圖將u(τ)表為隨Δu

k

(τ)變化的函數(shù)：

u(τ)=u(kT

)+Δu

k(τ)而Δu

k(τ)又可用下式近似表達(dá)：于是代入式(4-11)中積分項(xiàng)重新推導(dǎo)其中：

連續(xù)系統(tǒng)的離散化

利用式(4-14)就可以編程進(jìn)行對某連續(xù)系統(tǒng)的仿真運(yùn)算了。事先應(yīng)離線求取Φ(t)=eAt再令陣中t=T,立即得離散化矩陣Φ(T)、Φm

(T)、Φj

(T)連續(xù)系統(tǒng)的離散化Matlab控制工具箱——c2d1.c2d:變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)完成將狀態(tài)空間模型從連續(xù)時(shí)間到離散時(shí)間的轉(zhuǎn)換，并假定系統(tǒng)輸入采用零階保持器按系統(tǒng)離散化，不能解決非線性環(huán)節(jié)Matlab控制工具箱——c2dm2.c2dm:變連續(xù)狀態(tài)空間模型為離散空間模型可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型從連續(xù)時(shí)間域變換成離散時(shí)間域‘zoh’：零階保持器‘foh’：一階保持器‘tustin’采用雙線性逼近導(dǎo)數(shù)‘prewarp’利用頻率預(yù)變的雙線性逼近‘matched’利用匹配零-極點(diǎn)方法將SISO系統(tǒng)變?yōu)殡x散時(shí)間系統(tǒng)缺省為‘zoh’典型環(huán)節(jié)狀態(tài)方程的離散化其中：

典型環(huán)節(jié)狀態(tài)方程的離散化①積分環(huán)節(jié)離散化：

A=0，B=1，C=K，D=0由于A，B，C均與①相同，故Φ(T)、Φm

(T)、Φj

(T)和Φc

與①完全相同，相應(yīng)狀態(tài)方程也完全相同。但因D≠0，只有Φd

不同，所以應(yīng)注意輸出方程成為：

yk+1

=xk+1+Kbuk+1

②積分比例環(huán)節(jié)離散化：

A=0，B=1，C=K，D=bK

③慣性環(huán)節(jié)離散化：

A=a，B=1，C=K，D=0④比例慣性環(huán)節(jié)離散化：

A=a，B=1，C=K，D=離散化環(huán)節(jié)參數(shù)表K/sK(1+bs)/sK/(s+a)K(s+b)/(s+a)ФФmФj1KTKT2/2e-aT(K/a)(1-e-aT)(K/a2)[aT-(1-e-aT)]Фc11b-aФd0Kb0KKabC/B00C/B0D/CC/BA/B0D/BA/BC/D典型環(huán)節(jié)狀態(tài)方程的離散化連續(xù)系統(tǒng)的離散化模型：按環(huán)節(jié)離散化數(shù)字仿真程序與實(shí)現(xiàn)典型環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)輸入后，首先判斷A是否為0，即可分出①、②和③、④兩組，這兩組對應(yīng)的狀態(tài)方程離散化系數(shù)Φ(T)、Φm

(T)和Φj

(T)求取方法各自相同，可以直接套用相同求解公式求取后存入相應(yīng)單元。但由于對應(yīng)輸出方程各有不同，故又需判斷D是否為0，從而對輸出方程離散化系數(shù)Φc

、Φd加以修正后，也存入相應(yīng)單元。各環(huán)節(jié)離散化系數(shù)求得后，結(jié)果存入相應(yīng)數(shù)組單元FI(I)、FIM(I)、FIJ(I)、FIC(I)以及FID(I)，其中：I表示環(huán)節(jié)序號。仿真運(yùn)行時(shí)從各環(huán)節(jié)相應(yīng)單元取出，分別求取各環(huán)節(jié)狀態(tài)與輸出即可。環(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真連續(xù)系統(tǒng)的離散化模型：求

t=(k+1)T時(shí)刻的各環(huán)節(jié)狀態(tài)

Xk+1

的遞推計(jì)算式中要用到

u

k

、而求

t=(k+1)T時(shí)刻的各環(huán)節(jié)輸出Yk+1

的遞推計(jì)算式中還要用到

u

k+1

①u

k

可通過聯(lián)接矩陣直接求得，即：Uk

=WYk+W0y0②利用近似表達(dá)式求取③

u

k+1利用上面已求得的Uk

、在一個(gè)步長h內(nèi)按一階保持近似關(guān)系求取。環(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真離散法仿真程序?qū)崿F(xiàn)離散法仿真程序?qū)崿F(xiàn)%積分和積分比例環(huán)節(jié)情況%積分比例環(huán)節(jié)情況%慣性和比例慣性環(huán)節(jié)情況%比例慣性環(huán)節(jié)情況離散法仿真程序?qū)崿F(xiàn)%記錄前一時(shí)刻的Uk值，Ub=Uk-1%求Uk導(dǎo)數(shù)%Uk為各環(huán)節(jié)的輸入%求Uf=Uk+1飽和非線性非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真2.死區(qū)非線性非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真3.滯環(huán)非線性非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真%Ucb表示前一次輸出值%Urb表示前一次輸出值4.繼電非線性非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真非線性特征的判斷利用按環(huán)節(jié)離散化的仿真程序，在輸入數(shù)據(jù)時(shí)，設(shè)立非線性標(biāo)志向量：

Z=[z1,z2

,…,zn

]

Z(i)=0線性環(huán)節(jié)

Z(i)=1線性環(huán)節(jié)前有飽和非線性，應(yīng)修正U(i)

Z(i)=2線性環(huán)節(jié)前有死區(qū)非線性，應(yīng)修正U(i)

Z(i)=3線性環(huán)節(jié)前有滯環(huán)非線性，應(yīng)修正U(i)

Z(i)=4線性環(huán)節(jié)后有飽和非線性，應(yīng)修正Y(i)

Z(i)=5線性環(huán)節(jié)后有死區(qū)非線性，應(yīng)修正Y(i)

Z(i)=6線性環(huán)節(jié)后有滯環(huán)非線性，應(yīng)修正Y(i)非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真程序功能擴(kuò)展

1.求得uk

后，由Z(i)判斷各環(huán)節(jié)入口有否非線性。若有，則根據(jù)標(biāo)志值確定類型，轉(zhuǎn)相應(yīng)處理程序，修正uk

值；2.求得yk+1后，再由Z(i)判斷各環(huán)節(jié)出口有否非線性。若有，則根據(jù)標(biāo)志值確定類型，轉(zhuǎn)相應(yīng)處理程序，修正yk+1值；3.各種非線性特性按前節(jié)給出的程序，自定義為函數(shù)形式，以函數(shù)文件格式存儲起來，由主程序在運(yùn)行時(shí)調(diào)用。非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真例4–2．控制系統(tǒng)如圖4–29所示設(shè)輸入階躍函數(shù)幅值Y0=10,滯環(huán)非線性參數(shù)s4=1(滯環(huán)寬度)⑴不考慮非線性環(huán)節(jié)影響時(shí)，求解y(t)的階躍響應(yīng)；⑵考慮非線性環(huán)節(jié)影響，其余參數(shù)不變，求解y(t)并與線性情況所得結(jié)果比較。解⑴①先將環(huán)節(jié)編號標(biāo)入圖4-29中；②MATLAB命令窗口下(以下語句前符號“》”即表示MATLAB命令窗口環(huán)境)，按編號依次將環(huán)節(jié)參數(shù)輸入P陣非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真③按各環(huán)節(jié)相對位置和聯(lián)接關(guān)系，有聯(lián)接矩陣如下：④輸入各環(huán)節(jié)初始值圖4–30例4–2控制系統(tǒng)輸出y4響應(yīng)曲線⑤由于不考慮非線性影響，則非線性標(biāo)志向量和參數(shù)向量均應(yīng)賦零值⑥輸入運(yùn)行參數(shù)；開環(huán)截止頻率ωc

約為1，故計(jì)算步距h取經(jīng)驗(yàn)公式值⑦運(yùn)行sp4_4.m求解環(huán)節(jié)Ⅳ輸出y4數(shù)值解數(shù)據(jù)和響應(yīng)曲線非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真非線性仿真程序?qū)崿F(xiàn)Z=[0000],S=[0000]%線性環(huán)節(jié)后有滯環(huán)非線性非線性仿真程序?qū)崿F(xiàn)第四章控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求傳遞函數(shù)系統(tǒng)時(shí)域解控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其拓?fù)涿枋霏h(huán)節(jié)的離散化與非線性系統(tǒng)的數(shù)字仿真龍格庫塔法求狀態(tài)方程時(shí)域解面向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字仿真第12次典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真采樣開關(guān)采樣開關(guān)+采樣保持器連續(xù)信號為x(t)，拉氏變換為：X(s)=L{x(t)}對其拉氏變換，得：令：z=eTs，則定義x(t)

的Z變換：

記作：X(z)=Z{x(t)}采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述對采樣信號的描述——Z變換：x(t)

經(jīng)采樣后，由下式描述：設(shè)控制對象傳遞函數(shù)為G(s)，其脈沖響應(yīng)函數(shù)為g(t)，則擴(kuò)展Z變換：G(z,Δ)=Z{g(

kT+ΔT)}=Z{G(s)

eΔTs

}

0<Δ<1由上式繼續(xù)推導(dǎo)可得：

G(z,m)=Z{g(k+m)T–T)}=Z{g(kT–(1–m)T)}

=Z{g(kT–λT

)}=Z{g(t)e–λTs

}

0<λ<1擴(kuò)展Z變換的求取方法與普通Z變換相同，典型函數(shù)的擴(kuò)展Z變換通過查表方式求取更為方便。一般情況可用極點(diǎn)留數(shù)法：采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述對采樣時(shí)刻之間信號變化的描述——擴(kuò)展Z變換法：差分方程的一般形式表述如下：

y(k)+a1y(k-1)+…+any(k-n)=b0u(k)+b1u(k-1)+…+bmu(k-m)(n≥m)高階差分方程也表為狀態(tài)方程形式。單輸入-單輸出情況下，狀態(tài)方程一般形式為：兩邊求零初始條件下的Z變換，可得：

Y(z)+a1

z-1

Y(z)+…+anz-nY(z)=b0

U(z)+b1

z-1

U(z)+…+bmz-mU(z)

(n≥

m)

采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述對離散(采樣)信號相互作用的描述——差分方程：采樣系統(tǒng)可以表示為：Z傳遞函數(shù)分子、分母系數(shù)向量形式：

(numd

,dend

)=([b0,b1,…,bm],[1,a1,…,an])零極點(diǎn)增益向量形式：

(Zd,Pd,Kd

)=([zd1,…,zdm],[pd1,…,pdn],Kd)部分分式向量形式：

(Rd,Pd,hd

)=([rd1,…,rdn],[pd1,…,pdn],hd)還有離散狀態(tài)方程各系數(shù)矩陣形式：

(Ad,Bd,Cd,Dd

)幾種形式之間均可利用MATLAB語言控制系統(tǒng)工具箱中的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換函數(shù)tf2ss()、tf2zp()、ss2tf()、ss2zp()、zp2tf()、zp2ss()以及residue()等作相互轉(zhuǎn)換采樣控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述采樣系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述及其相互轉(zhuǎn)換：差分方程遞推求解法：已知：

則：U(z)=D(z)E(z)當(dāng)

D(z)形如：

則：(1+c1

z-1+…+clz-l

)U(z)=(d0+d1z-1+…+drz-r)E(z)Z反變換，并整理得到遞推式：

uk

=-c1

uk-1

-…-cluk-l+d0ek

+d1

ek-1+…+drek-r

相當(dāng)于一個(gè)多步法遞推算式，只要uk

和ek

的前若干步值已知，就可以遞推得到

uk

。采樣控制系統(tǒng)的仿真方法已知：

容易求出：

則：yk

=-a

1

yk-1

-…-anyk-n+

b0uk

+b1

uk-1+…+bmuk-m

再考慮：ek=rk

-yk就能按信號傳遞過程，從參考輸入rk

開始，逐步求得各部分解ek、uk和輸出yk。采樣控制系統(tǒng)的仿真方法連續(xù)部分按環(huán)節(jié)離散化方法：當(dāng)系統(tǒng)連續(xù)部分較復(fù)雜時(shí)，不必去化簡和求取G(z)，而按照連續(xù)系統(tǒng)環(huán)節(jié)離散化仿真方法，將連續(xù)部分中各環(huán)節(jié)離散化處理后，與采樣部分一并考慮進(jìn)行仿真。連續(xù)部分各環(huán)節(jié)之間虛設(shè)采樣開關(guān)和保持器，按環(huán)節(jié)離散化方法建立模型，應(yīng)取數(shù)量級小于采樣周期T較多的仿真步距h，才能很好地反映出連續(xù)系統(tǒng)在離散信號每隔周期T作用下，各環(huán)節(jié)在T內(nèi)的細(xì)微變化采樣控制系統(tǒng)的仿真方法控制器設(shè)計(jì)為連續(xù)系統(tǒng)環(huán)節(jié)D(s)的仿真方法：采樣系統(tǒng)的控制器有時(shí)設(shè)計(jì)為連續(xù)系統(tǒng)環(huán)節(jié)形式，其傳遞函數(shù)為D(s)。但其發(fā)生作用又是每相隔一個(gè)采樣周期T才經(jīng)采樣開關(guān)傳遞給控制對象連續(xù)部分。在T時(shí)刻內(nèi)，D(s)、G0

(s)同時(shí)都在按照自己規(guī)律連續(xù)變化對這類系統(tǒng)仿真，要顧及到兩部分連續(xù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)D(s)、G0

(s)各自的實(shí)際變化過程，對兩部分都應(yīng)正確地通過仿真得到準(zhǔn)確的結(jié)果，并在每采樣周期T到來時(shí)，將變化結(jié)果及時(shí)傳遞到相應(yīng)環(huán)節(jié)去采樣控制系統(tǒng)的仿真方法高階差分方程的仿真程序?qū)崿F(xiàn)：若采樣系統(tǒng)直接給出輸入—輸出閉環(huán)Z傳遞函數(shù)GB(z)形式，即：

相應(yīng)差分方程：

y(k)+a1y(k

-1)+…+any(k

-n)=b0u(k)+b1u(k-1)+…+bmu(k-m)需求解一組高階差分方程：可見，以上算法最終都?xì)w結(jié)為求解高階差分方程問題。在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)高階差分方程的求解程序，應(yīng)當(dāng)注意以下問題：1.建立向量存儲單元,保存和記憶輸入uk

、輸出yk

前若干時(shí)刻的值uk-1,…,uk-m

和yk-1

,…,yk-n

。2.每運(yùn)算一個(gè)時(shí)刻值后，要及時(shí)刷新和摒棄相應(yīng)的存儲單元內(nèi)容。即：只保留uk

及其前m個(gè)時(shí)刻的數(shù)值，yk

及其前n個(gè)時(shí)刻的數(shù)值，因此，要安排相應(yīng)的平移操作程序采樣控制系統(tǒng)仿真程序?qū)崿F(xiàn)采樣控制系統(tǒng)仿真程序?qū)崿F(xiàn)純滯后環(huán)節(jié)的處理方法及仿真程序?qū)崿F(xiàn)：采樣控制系統(tǒng)中常見一些控制對象包含有滯后(延遲)環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)模型：即：y(t)=u(t-τ)將y(t)離散化成為y(kT

)，并將滯后時(shí)間常數(shù)τ表為T的函數(shù)，則：

τ=(M1

+M

2

)T其中：M1為整數(shù)，M