山東省濱州市北鎮中學2025屆高三4月模擬考試數學試題（文理合卷）試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則2．已知數列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．3．在三棱錐中，，，，，點到底面的距離為2，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．執行下面的程序框圖，如果輸入，，則計算機輸出的數是（）A． B． C． D．5．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且，若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面個數分別記為，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．6．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．7．設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且8．著名的斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40409．已知實數，滿足，則的最大值等于()A．2 B． C．4 D．810．已知函數的最大值為，若存在實數，使得對任意實數總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．11．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．6312．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），則?_____，△ABC的面積為_____．14．函數（為自然對數的底數，），若函數恰有個零點，則實數的取值范圍為__________________.15．已知點是拋物線上動點，是拋物線的焦點，點的坐標為，則的最小值為______________．16．設為數列的前項和，若，則____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設為邊上一點，且，求的面積.18．（12分）如圖，已知拋物線：與圓：（）相交于，，，四個點，（1）求的取值范圍；（2）設四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.19．（12分）已知函數，.（1）證明：函數的極小值點為1；（2）若函數在有兩個零點，證明：.20．（12分）第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關法規宣傳普及的關系，對某試點社區抽取戶居民進行調查，得到如下的列聯表．分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計已知在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為．（1）請將上面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有關？說明你的理由；（2）已知在試點前分類意識強的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現在從試點前分類意識強的戶居民中，隨機選出戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數為，求分布列及數學期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考21．（12分）已知在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）求曲線上的點到直線距離的最小值和最大值.22．（10分）某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷，定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應，每天的銷售數據按照，，，分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率；試銷結束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發：大箱每箱瓶，批發成本元；小箱每箱瓶，批發成本元.由于酸奶保質期短，當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發一箱（計算時每個分組取中間值作為代表，比如銷量為時看作銷量為瓶）.①設早餐店批發一大箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，批發一小箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，求和的分布列和數學期望；②以利潤作為決策依據，該早餐店應每天批發一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量×定價；利潤=銷售額－批發成本.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據空間中線線、線面位置關系，逐項判斷即可得出結果.【詳解】A選項，若，，，，則或與相交；故A錯；B選項，若，，則，又，是兩個不重合的平面，則，故B正確；C選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故C錯；D選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故D錯；故選B本題主要考查與線面、線線相關的命題，熟記線線、線面位置關系，即可求解，屬于常考題型.2．B【解析】

先根據題意，對原式進行化簡可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉化為恒成立，再利用函數性質解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B本題主要考查了數列的通項的求法以及函數的性質的運用，屬于綜合性較強的題目，解題的關鍵是能夠由遞推數列求出通項公式和后面的轉化函數，屬于難題.3．C【解析】

首先根據垂直關系可確定，由此可知為三棱錐外接球的球心，在中，可以算出的一個表達式，在中，可以計算出的一個表達式，根據長度關系可構造等式求得半徑，進而求出球的表面積．【詳解】取中點，由，可知：，為三棱錐外接球球心，過作平面，交平面于，連接交于，連接，，，，，，為的中點由球的性質可知：平面，，且．設，，，，在中，，即，解得：，三棱錐的外接球的半徑為：，三棱錐外接球的表面積為．故選：.本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關問題的關鍵是能夠利用球的性質確定外接球球心的位置.4．B【解析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數的最大公約數，再利用輾轉相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算，中的最大公約數，所以，，，故當輸入，，則計算機輸出的數是57.故選：B.本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎題.5．A【解析】

根據題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得的值，即可比較各選項.【詳解】如下圖所示，平面，從而平面，易知與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∵平面，平面，且與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴，∴結合四個選項可知，只有正確.故選：A.本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.6．B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及相關幾何量的數據是解答此類問題的關鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.7．B【解析】由且可得，故選B.8．D【解析】

計算，代入等式，根據化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.本題考查了斐波那契數列，意在考查學生的計算能力和應用能力.9．D【解析】

畫出可行域，計算出原點到可行域上的點的最大距離，由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，由于,，所以，所以原點到可行域上的點的最大距離為.所以的最大值為.故選：D本小題主要考查根據可行域求非線性目標函數的最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.10．B【解析】

根據三角函數的兩角和差公式得到，進而可以得到函數的最值，區間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結果.【詳解】函數則函數的最大值為2，存在實數，使得對任意實數總有成立，則區間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.這個題目考查了三角函數的兩角和差的正余弦公式的應用，以及三角函數的圖像的性質的應用，題目比較綜合.11．B【解析】

根據程序框圖中的循環結構的運算，直至滿足條件退出循環體，即可得出結果.【詳解】執行程序框；；；；；，滿足，退出循環，因此輸出，故選:B.本題考查循環結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.12．C【解析】分析：從兩個方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當三角形是鈍角三角形時，也推不出成立，從而必要性也不滿足，從而選出正確的結果.詳解：由題意可得，在中，因為，所以，因為，所以，，結合三角形內角的條件，故A,B同為銳角，因為，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點睛：該題考查的是有關充分必要條件的判斷問題，在解題的過程中，需要用到不等式的等價轉化，余弦的和角公式，誘導公式等，需要明確對應此類問題的解題步驟，以及三角形形狀對應的特征.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

①根據向量數量積的坐標表示結合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結合①求出，根據面積公式即可得解.【詳解】①2（sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°），②，，∴，∴．故答案為：．此題考查平面向量與三角函數解三角形綜合應用，涉及平面向量數量積的坐標表示，三角恒等變換，根據三角形面積公式求解三角形面積，綜合性強.14．【解析】

令，則，恰有四個解.由判斷函數增減性，求出最小值，列出相應不等式求解得出的取值范圍.【詳解】解：令，則，恰有四個解.有兩個解，由，可得在上單調遞減，在上單調遞增，則，可得.設的負根為，由題意知，，，，則，.故答案為：.本題考查導數在函數當中的應用，屬于難題.15．【解析】

過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當和拋物線相切時，的值最小.再利用直線的斜率公式、導數的幾何意義求得切點的坐標，從而求得的最小值.【詳解】解：由題意可得，拋物線的焦點，準線方程為，過點作垂直于準線，為垂足，則由拋物線的定義可得，則，為銳角.故當最小時，的值最小.設切點，由的導數為，則的斜率為，求得，可得，，，.故答案為：.本題考查拋物線的定義，性質的簡單應用，直線的斜率公式，導數的幾何意義，屬于中檔題.16．【解析】

當時，由，解得，當時，，兩式相減可得，即，可得數列是等比數列再求通項公式.【詳解】當時，，即，當時，，兩式相減可得，即，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，所以.故答案為：本題考查數列的前項和與通項公式的關系，還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）先求出角，進而可得出，則①②中有且只有一個正確，③正確，然后分①③正確和②③正確兩種情況討論，結合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值；（2）計算出和，計算出，可得出，進而可求得的面積.【詳解】（1）因為，所以，得，，，為鈍角，與矛盾，故①②中僅有一個正確，③正確.顯然，得.當①③正確時，由，得（無解）；當②③正確時，由于，，得；（2）如圖，因為，，則，則，.本題考查解三角形綜合應用，涉及三角形面積公式和余弦定理的應用，考查計算能力，屬于中等題.18．（1）（2）點的坐標為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯立,消去得到關于的一元二次方程,拋物線與圓有四個交點需滿足關于的一元二次方程在上有兩個不等的實數根,根據二次函數的有關性質即可得到關于的不等式組,解不等式即可.不妨設拋物線與圓的四個交點坐標為，，，，據此可表示出直線、的方程,聯立方程即可表示出點坐標,再根據等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達式,令,由及知,對關于的面積函數進行求導，判斷其單調性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時的值,進而求出點坐標.【詳解】（1）聯立拋物線與圓的方程消去，得.由題意可知在上有兩個不等的實數根.所以解得，所以的取值范圍為.（2）根據（1）可設方程的兩個根分別為，（），則，，，，且，，所以直線、的方程分別為，,聯立方程可得,點的坐標為，因為四邊形為等腰梯形,所以，令，則，所以，因為,所以當時,；當時,，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，即當時，四邊形的面積取得最大值，因為,點的坐標為,所以當四邊形的面積取得最大值時,點的坐標為.本題考查利用導數求函數的極值與最值、拋物線及其標準方程及直線與圓錐曲線相關的最值問題；考查運算求解能力、轉化與化歸能力和知識的綜合運用能力;利用函數的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.19．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)利用導函數的正負確定函數的增減.(2)函數在有兩個零點，即方程在區間有兩解，令通過二次求導確定函數單調性證明參數范圍.【詳解】解：（1）證明：因為，當時，，，所以在區間遞減；當時，，所以，所以在區間遞增；且，所以函數的極小值點為1（2）函數在有兩個零點，即方程在區間有兩解，令，則令，則，所以在單調遞增，又，故存在唯一的，使得，即，所以在單調遞減，在區間單調遞增，且，又因為，所以，方程關于的方程在有兩個零點，由的圖象可知，，即.本題考查利用導數研究函數單調性,確定函數的極值,利用二次求導,零點存在性定理確定參數范圍,屬于難題.20．（1）有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【解析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機抽取戶，抽到分類意識強的概率為可得列聯表，然后計算后可得結論；（2）由已知的取值分別為，分別計算概率得分布列，由公式計算出期望．【詳解】解：（1）根據在抽取的戶居民中隨機抽取戶，到分類意識強的概率為，可得分類意識強的有戶，故可得列聯表如下：分類意識強分類意識弱合計試點后試點前合計因為的觀測值，所以有的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系．（2）現在從試點前分類意識強的戶居民中，選出戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．本題考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和數學期望．考查學生的數據處理能力和運算求解能力．21．（1）（2）最大值；最小值.【解析】

（1）結合極坐標和直角坐標的互化公式可得；（2）利用參數方程，求解點到直線的距離公式，結合三角函數知識求解最值.【詳解】解