試題PAGE1試題2024北京豐臺二中初二（下）期中數學一、選擇題（本題共24分，每小題3分）在下列各題的四個備選答案中，只有一個是正確的1.把化成最簡二次根式，結果為()A. B. C. D.2.以下列長度的三條線段為邊能組成直角三角形的是（）A.6，7，8 B.2，3，4 C.3，4，6 D.6，8，103.如圖，在中，，點為的中點，若，則的長為（）A.2 B.3 C.4 D.54.在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，則菱形的面積為（）A.16 B. C. D.85.正方形ABCD的對角線AC的長是12cm，則邊長AB的長是（）A.6 B.2 C.6 D.86.矩形、正方形、菱形都具有的性質是（）A.對角線互相垂直 B.對角線互相平分C.對角線長度相等 D.一組對角線平分一組對角7.如圖，一只螞蟻從棱長為的正方體紙箱的點沿紙箱表面爬到點，那么它所爬行的最短路線的長是（）A. B. C. D.8.如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，若小正方形的邊長為3，大正方形邊長為15，則一個直角三角形的周長是（）A.45 B.36 C.25 D.18二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.計算：_____．10.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，若BC＝10，則DE＝____．11.如圖，在平面直角坐標系中，若點的坐標為，則的長為________．12.如圖，菱形的對角線，相交于點，為中點，，則菱形的周長為_____．13.一帆船從某處出發時受風向影響，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，這時它離出發點有______千米．14.若某三角形的三邊長分別為2，5，n，則化簡的結果為______．15.《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？”譯文：“令有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡．問繩索長是多少？”設繩索長為x尺，則根據題意可列方程為__________．16.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，已知BD＝1，AD＝CD＝2，BC上方有一動點P，且點P到A，D兩點的距離相等，則△BCP周長的最小值為_____．三、解答題（本題共36分，每小題6分）17.計算：.18.計算：19.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，點F在直線BD上，且，連接AF，CE，求證．20.如圖，中，以為圓心，的長為半徑畫弧，交于點，作的角平分線，交于點，連接．（1）依題意補全圖形（尺規作圖，保留作圖痕跡）；（2）求證：四邊形是菱形．21.如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．求證：OM＝ON．22.如圖，已知，延長到，使得，若，連接、，交于點．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長．四、解答題（本題共16分，第23題5分，第24題6分，第25題5分）23.如圖，在4×4的正方形網格中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點按下列要求畫圖．（1）在圖①中畫一條線段AB，使AB＝，線段AB的端點在格點上；（2）在圖②中畫一個斜邊長為的等腰直角三角形DCE，其中∠DCE＝90°，三角形的頂點在格點上．24.【猜想】如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．作正方形DEFG，使點A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG.試猜想線段BG和AE的數量關系是；【探究】如圖2，正方形DEFG繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜360°）．試判斷你猜想的結論是否仍然成立，請利用圖2證明你的結論；【應用】在圖2中，BC＝DE＝4.當AE取最大值時，AF的值為多少？25.在平面直角坐標系中，，，．若為矩形內（不包括邊界）一點，過點分別作軸和軸的平行線，這兩條平行線分矩形為四個小矩形，若這四個小矩形中有一個矩形的周長等于的長，則稱點為矩形的矩寬點．例如：下圖中的點為矩形的一個矩寬點．（1）在點，，中，矩形的矩寬點是______；（2）若點為矩形的矩寬點，求的值．

參考答案一、選擇題（本題共24分，每小題3分）在下列各題的四個備選答案中，只有一個是正確的1.【答案】B【分析】判斷最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.【詳解】解：化成最簡二次根式3，故選：B.【點睛】本題考查二次根式的定義和最簡二次根式的兩個條件：被開方數不含分母以及被開方數不含能開得盡的因式或因數.2.【答案】D【分析】根據勾股定理逆定理即兩短邊的平方和等于最長邊的平方逐一判斷即可．【詳解】解：．，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；．，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；．，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；．，能構成直角三角形，故本選項正確．故選：．【點睛】本題考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．3.【答案】A【分析】本題考查了直角三角形斜邊上中線的性質，能根據直角三角形斜邊上中線的性質得出是解此題的關鍵．【詳解】解：在中，，點為的中點，，，故選：A．4.【答案】C【分析】畫出菱形ABCD，連接AC，交BD于點O，先判斷出△ABC是等邊三角形，再根據菱形的對角線互相垂直平分和等邊三角形的性質求出AO、BO，然后根據菱形的對角線互相平分求出BD,再利用菱形的面積公式進行求解即可．【詳解】解：如圖，在菱形ABCD中，連接AC、BD交于點O，∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AB=BC，

∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=4，

∴AO=，∴BO=，

∴BD=2BO=2×=，∴.故選：C.【點睛】本題考查了菱形的性質，菱形的面積公式，等邊三角形的判定與性質，熟記菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵．5.【答案】A【分析】根據正方形的性質和勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B=90°，則由勾股定理可知：AB2+BC2＝AC2，∴，解得：．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質和勾股定理，屬于基礎題型，熟練掌握正方形的性質和勾股定理是關鍵．6.【答案】B【分析】本題主要考查了矩形，菱形，正方形的性質，熟知矩形，菱形，正方形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：A、只有正方形和菱形的對角線垂直，矩形的對角線不一定垂直，不符合題意；B、矩形、正方形、菱形的對角線都互相平分，符合題意；C、只有矩形和正方形的對角線長度相等，菱形的對角線長度不一定相等，不符合題意；D、只有正方形和菱形的對角線平分一組對角，矩形的對角線不一定平分一組對角，不符合題意；故選；B．7.【答案】C【分析】把此正方體的側面展開，然后在平面內，利用勾股定理求點和點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于棱長，另一條直角邊長等于兩條棱長，利用勾股定理可求得．【詳解】解：∵如圖，展開后可知：，，，∴在中，，∴螞蟻所爬行的最短路線的長是．故選：C．【點睛】本題考查平面展開—最短路徑問題，考查了側面展開圖，勾股定理，兩點之間線段最短等知識點．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．8.【答案】B【分析】設直角三角形兩條直角邊長分別為和，根據大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積可得，，再根據完全平方公式求出的值，進而可得一個直角三角形的周長．【詳解】解：設直角三角形兩條直角邊長分別為和，由題意可知：中間小正方形的邊長為：，根據大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積可知：，所以，根據勾股定理，得，所以，因為，所以，所以．所以一個直角三角形的周長是36．故選：．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理和完全平方公式．二、填空題（本題共24分，每小題3分）9.【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法運算，根據二次根式的除法法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．10.【答案】5【詳解】試題分析：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案為5．考點：三角形中位線定理．11.【答案】2【分析】過點A做AP⊥x軸，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：過點A作AP⊥x軸于P，∵點的坐標為，∴OP=1，AP=，∴，故答案為：2．【點睛】平面直角坐標系中，求線段的長一般作x軸或y軸的垂線，構造直角三角形，利用勾股定理求解．12.【答案】【分析】此題考查了菱形的性質和中位線定理，解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質和中位線定理的應用．【詳解】∵四邊形是菱形，∴，，∵為中點，∴，∴，∴菱形的周長為，故答案為：．13.【答案】【分析】根題考查了勾股定理的應用，能夠運用數學知識解決生活中的問題，關鍵是根據題意畫出圖形，構造直角三角形．【詳解】解：根據題意得：，，構成直角三角形，根據勾股定理，，，千米．∴這時它離出發點有17千米．故答案為：17．14.【答案】5【分析】根據三角形三邊關系定理求出，再根據二次根式的性質和絕對值得出，再合并同類項即可．【詳解】解：∵三角形的三邊長分別為2，5，n，∴，∴，∴．故答案為：5．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理和二次根式的性質，能熟記二次根式的性質是解此題的關鍵．15.【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，設繩索長為尺，根據勾股定理列出方程解答即可．【詳解】設繩索長為尺，可列方程為：，故答案為：．16.【答案】+3【分析】先確定P點在AD的垂線平分線l上，再作B點關于l的對稱點，連結交l于點P，此時△BCP的周長最小，求出，進而可求解．【詳解】解：如圖，∵點P到A，D兩點的距離相等，∴P點在AD的垂線平分線l上，作B點關于l的對稱點，連結交l于點P，∴BP＝，∴BP+CP＝+CP＝，此時△BCP的周長最小，∵AD⊥BC，BD＝1，AD＝CD＝2，∴＝2，BC＝3，在Rt△BC中，，∴△BCP的周長最小值為+3，故答案為：+3．【點睛】本題考查軸對稱求最短路徑，線段垂直平分線的性質和勾股定理，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．三、解答題（本題共36分，每小題6分）17.【答案】【分析】本題考查了平方差公式和完全平方公式在二次根式中的運用，掌握公式的形式是解題關鍵．【詳解】解：原式18.【答案】【分析】先計算乘除，再合并，即可求解．【詳解】解：原式【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．19.【答案】見詳解【分析】先根據平行四邊形性質得出∠ADB＝∠DBC，再利用等角的補角相等得出∠ADF＝∠CBE，然后利用SAS判定△ADF≌△CBE即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ADF＝180°-∠ADB，∠CBE＝180°-∠DBC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、等角的補角性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．20.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【分析】（1）利用尺規作出角平分線以及相等線段即可得到答案；（2）先證明四邊形為平行四邊形，之后根據鄰邊相等即可得到答案．【小問1詳解】解：如圖所示；【小問2詳解】證明：四邊形為平行四邊形，，，平分，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形．21.【答案】見解析【分析】此題找出三角形全等的條件：∠OAM＝∠OBN＝135°，∠AOM＝∠BON，OA＝OB判定△OAM≌△OBN即可證明．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，在△OAM和△OBN中，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；【點睛】本題主要考查正方形的性質，解題的關鍵是掌握正方形的四條邊都相等，正方形的每條對角線平分一組對角及全等三角形的判定與性質．22.【答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）先求出四邊形是平行四邊形，根據等腰三角形性質求出，根據矩形的判定得出即可；（2）根據矩形的性質求出，根據等邊三角形的性質和判定求出，求出，根據勾股定理求出即可．【小問1詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形，在中，，，，，四邊形是矩形；【小問2詳解】解：四邊形是矩形，，，，是等邊三角形，，，，，，由勾股定理得：，，，由勾股定理得：．【點睛】本題考查了矩形的判定，勾股定理，平行四邊形的性質，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．四、解答題（本題共16分，第23題5分，第24題6分，第25題5分）23.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝時的兩條直角邊，再在圖中作出即可；（2）利用勾股定理求出斜邊長DE=時的兩條直角邊，再在圖中作出DE，再根據等腰直角三角形DCE，得到DC=CE=，再在圖中作出圖形即可．【詳解】解：（1）∵AB＝又∴如圖①所示，線段AB即為所求；（2）∵斜邊長為的等腰直角三角形DCE又∴如圖②所示，斜邊長DE=又∵，∴DC=CE=，DC2+CE2=DE2∴如圖②中，等腰直角三角形DCE即為所求．【點睛】本題考查勾股定理．根據線段的長找出相對應直角三角形的兩條直角邊是本題的關鍵．24.【答案】【猜想】BG＝AE；【探究】成立，證明詳見解析；【應用】2.【猜想】：由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；【探究】如圖2，連接AD，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論；【應用】可知BG=AE，當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論．【詳解】解：【猜想】如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，BD=CD=AD，∴∠ADB=∠ADC=