題目：高中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想及其教學(xué)研究目錄14256_WPSOffice_Level1摘要 127399_WPSOffice_Level1Abstract 129001_WPSOffice_Level1一、引言 224562_WPSOffice_Level1二、函數(shù)的基本概念 214256_WPSOffice_Level2（一）函數(shù)的概念 228375_WPSOffice_Level2（二）函數(shù)思想 319033_WPSOffice_Level1三、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用 423069_WPSOffice_Level2（一）方程中的函數(shù)思想 427399_WPSOffice_Level2（二）不等式中的函數(shù)思想 629001_WPSOffice_Level2（三）三角函數(shù)中的函數(shù)思想 824562_WPSOffice_Level2（四）數(shù)列中的函數(shù)思想 819033_WPSOffice_Level2（五）向量中的函數(shù)思想 1030699_WPSOffice_Level2（六）立體幾何中的函數(shù)思想 1114612_WPSOffice_Level2（七）解析幾何中的函數(shù)思想 1210096_WPSOffice_Level2（八）實(shí)際應(yīng)用問題中的函數(shù)思想 1330699_WPSOffice_Level1四、函數(shù)思想在教學(xué)中的貫徹 1522657_WPSOffice_Level2（一）在基礎(chǔ)知識教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想 1523501_WPSOffice_Level2（二）在知識運(yùn)用過程中深化函數(shù)思想 1511678_WPSOffice_Level2（三）引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想進(jìn)行階段性總結(jié) 1614612_WPSOffice_Level1參考文獻(xiàn) 1710096_WPSOffice_Level1致謝 18高中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想及其教學(xué)研究摘要函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的概念，它涵蓋的知識多，滲透于高中數(shù)學(xué)的各部分內(nèi)容之中。函數(shù)思想是函數(shù)知識的精髓，也是近年來高考的熱點(diǎn)。本文主要有三大模塊。第一部分論述了函數(shù)與函數(shù)思想的內(nèi)涵以及函數(shù)思想是函數(shù)基礎(chǔ)知識的深化與精髓；第二部分結(jié)合典型例題分析總結(jié)函數(shù)思想在方程、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、立體幾何、解析幾何、應(yīng)用題中的應(yīng)用；第三部分在中學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上提出教師在教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想、培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想的方法與建議。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；函數(shù)思想；教學(xué)策略ResearchonfunctionthoughtanditsteachinginhighschoolmathematicsAbstractFunctionisanimportantconceptinthehighschoolmathematics,whichcoversalotofknowledgeandpermeatesallpartsofhighschoolmathematics.Functionthoughtistheessenceoffunctionknowledgeandthehotspotofcollegeentranceexaminationinrecentyears.Thispaperisdividedintothreeparts.Thefirstpartdiscussestheconnotationoffunctionandfunctionthought,andthedeepeningandessenceoffunctionbasicknowledge.Thesecondpartanalyzesandsummarizestheapplicationoffunctionthoughtinequationinequality,trigonometricfunction,sequence,vector,solidgeometry,analyticgeometryandproblemsolvingwithtypicalexamples.Onthebasisofmiddleschoolteaching,inthethirdpartweputforwardthemethodsandsuggestionsforteacherstopermeatethefunctionthoughtandtrainstudents'functionthoughtintheteachingprocess.Keywords:Highschoolmathematics;Function;Functionthought;teachingstrategy一、引言數(shù)學(xué)思想是人們將現(xiàn)實(shí)世界中的同數(shù)學(xué)有關(guān)的事物抽象成數(shù)學(xué)對象，在對這些數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分析思考的過程中所形成的思維方式。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成是希望學(xué)生能有具備數(shù)學(xué)的眼光，能夠從數(shù)學(xué)的角度去觀察、思考、理解實(shí)際生活。掌握了數(shù)學(xué)思想也就掌握了數(shù)學(xué)知識的精華，只有引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和運(yùn)用過程中形成數(shù)學(xué)思想，才能夠真正地提升其數(shù)學(xué)能力。在高中階段常用的數(shù)學(xué)思想主要有：函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。其中最基本的數(shù)學(xué)思想就是函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想又分為兩部分：函數(shù)思想與方程思想。本文所研究的函數(shù)思想，即指從函數(shù)的角度去思考問題、分析問題，找準(zhǔn)切入點(diǎn)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)解決問題。函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中有著至關(guān)重要的作用，它橫跨整個(gè)高中數(shù)學(xué)，遍及于方程、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等各個(gè)模塊的學(xué)習(xí)和應(yīng)用之中，并將各部分內(nèi)容聯(lián)系起來。學(xué)生若僅僅學(xué)習(xí)函數(shù)的知識，那么他在解決問題時(shí)就只是套用函數(shù)概念與性質(zhì)等，難以真正理解題目內(nèi)涵，解題效率不高也難以舉一反三。只有建立起了函數(shù)思想，才能夠主動(dòng)地思考問題，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識的本質(zhì)和靈魂是數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的是掌握數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)也是數(shù)學(xué)思想方法的深化[1]。隨著數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深化，教師在教學(xué)中也逐漸重視起了對學(xué)生函數(shù)思想這一方面能力的培養(yǎng)。二、函數(shù)的基本概念《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論》認(rèn)為：現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)的主要研究對象，而數(shù)學(xué)概念則反映了這些研究對象的本質(zhì)屬性及特征[2]。正確理解數(shù)學(xué)概念是形成數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)。概念實(shí)質(zhì)上是人腦對客觀事物本質(zhì)特征的認(rèn)識，因此深化概念教學(xué)，有助于學(xué)生不斷感知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)理論框架，通過運(yùn)用合理的變式與范例突出概念的本質(zhì)特征來幫助學(xué)生正確理解概念并培養(yǎng)學(xué)生思維的深度與靈活性。函數(shù)的概念函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念，它的本質(zhì)就是兩個(gè)非空數(shù)集在某種對應(yīng)關(guān)系下的一個(gè)對應(yīng)；同時(shí)，正確地理解及掌握函數(shù)概念對于樹立函數(shù)意識、形成函數(shù)思想也起到了重要作用。函數(shù)的概念既是對之前所學(xué)的集合知識的鞏固和發(fā)展，同時(shí)它也是數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等后繼知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和工具。在初中階段，學(xué)生就已經(jīng)初步接觸到了函數(shù)。但由于初中階段許多數(shù)學(xué)概念都沒有引入，所以初中教材中的函數(shù)概念較為籠統(tǒng)：設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量和。如果對于每個(gè)確定的值，都有唯一的值與其對應(yīng)，那么我們就稱為自變量，把稱為因變量，并且稱是的函數(shù)。的取值范圍就稱為該函數(shù)的\t"/item/%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"定義域，而相應(yīng)的取值范圍則稱為函數(shù)的\t"/item/%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"值域。到高中引入了集合與映射的概念后，函數(shù)的概念也得到了擴(kuò)充，在原先兩個(gè)變量的基礎(chǔ)上又增加了“對應(yīng)法則”的概念。因此，在高中教材中又重新給出了函數(shù)的概念：假設(shè)有兩個(gè)非空數(shù)集和，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，使得集合中的任一個(gè)數(shù)，集合B中都有唯一確定的數(shù)與對應(yīng)，那么就被稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作：。其中，被稱作自變量，的取值范圍則稱為該函數(shù)的定義域；與的值所對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱作函數(shù)的值域。正確理解函數(shù)還念還應(yīng)注意一下幾點(diǎn)：首先，函數(shù)包含三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則，其中對應(yīng)法則為函數(shù)的中心要素也是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，函數(shù)實(shí)際上就是揭示這三者之間的關(guān)系。在自然狀態(tài)下，定義域的確定依靠對應(yīng)法則，而值域的確定則是依靠定義域及對應(yīng)法則。因此，要正確理解函數(shù)概念，關(guān)鍵就是處理好這三者之間的關(guān)系。其次，函數(shù)的性質(zhì)是由自變量的變化決定的，而非的某個(gè)關(guān)系式。函數(shù)思想函數(shù)思想，即從函數(shù)的角度去思考問題、分析問題，找準(zhǔn)切入點(diǎn)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)解決問題。函數(shù)描繪了問題本質(zhì)的數(shù)量特征并且展現(xiàn)了變量間的制約關(guān)系。因此，函數(shù)思想的本質(zhì)就是對變量關(guān)系的應(yīng)用，在解決問題時(shí)保留問題的本質(zhì)數(shù)量特征，同時(shí)去除問題的無關(guān)特征，提取出問題的數(shù)學(xué)對象，聯(lián)系數(shù)量特征之間的關(guān)系進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)模型，借助函數(shù)模型解決問題。函數(shù)是一個(gè)比較抽象的概念，對學(xué)生而言若只依靠題意與理論解決問題難度較大，這就要求學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)思想的輔助下將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，以此達(dá)到理清函數(shù)本質(zhì)的目的，并找到突破口來解決抽象問題，從而將問題完美解決[3]。三、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用高中數(shù)學(xué)中對函數(shù)思想的考查多與其它知識相結(jié)合，常以綜合題的形式出現(xiàn)。因此，應(yīng)注意函數(shù)與方程、數(shù)列、不等式、立體幾何等模塊之間的聯(lián)系。注意各模塊數(shù)學(xué)知識的綜合形式，只有多多積累知識才能夠融會(huì)貫通，化繁為簡，提高學(xué)生運(yùn)用綜合知識解決問題的能力[4]。（一）方程中的函數(shù)思想方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，函數(shù)在高考中則占據(jù)著較大的比重。方程和函數(shù)是截然不同的兩個(gè)概念，而縱觀高中數(shù)學(xué)的整體內(nèi)容，方程與函數(shù)的關(guān)系卻是最為直接的，方程所表示的數(shù)量關(guān)系往往就是函數(shù)思想的應(yīng)用[5]。若函數(shù)的解析式表示為，那么與其相對應(yīng)的方程就可以表示為[6]，若從函數(shù)圖像的角度來考慮，方程的解可以視為為函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，有些方程問題可以從變量的角度考慮將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)思想來解決；同時(shí)，某些函數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程的性質(zhì)來解決問題。例1.已知函數(shù)，如果關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，并且所有的實(shí)數(shù)根的和為，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：令,則,故的圖像關(guān)于直線對稱。又因?yàn)榉匠逃袀€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且所有實(shí)數(shù)根之和為，所以，。故作函數(shù)的圖像，如圖所示：關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與有個(gè)不同交點(diǎn)。故結(jié)合圖像可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為。評注：該題從函數(shù)的角度去思考方程問題，將方程有個(gè)實(shí)數(shù)根的條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，借助函數(shù)圖像求解的取值范圍。例2.解方程。分析：這是一道五次方程，在高中數(shù)學(xué)中較為少見，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)變形，利用函數(shù)性質(zhì)解決問題。解：對原方程進(jìn)行變形可得 。記函數(shù) ，求導(dǎo)可得 ，顯然，在其定義域上恒成立，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)。方程 即為，又因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以 ，解得。評注：該題屬于高中階段較少遇見也較難解決的高階方程問題，許多學(xué)生看到一元五次方程就先泄了氣，但實(shí)際上借助函數(shù)思想進(jìn)行化簡，問題便會(huì)迎刃而解。將五次方程整理轉(zhuǎn)化為五次函數(shù)，其中將看作一個(gè)整體是轉(zhuǎn)化的重點(diǎn)，這也考察了學(xué)生對函數(shù)概念的理解，接下來再結(jié)合單調(diào)函數(shù)的函數(shù)值與自變量一一對應(yīng)關(guān)系，問題便迎刃而解。（二）不等式中的函數(shù)思想不等式性質(zhì)的考查，在各種考試中一般不會(huì)獨(dú)立成題，常常與函數(shù)的性質(zhì)等相聯(lián)系。因此，在不等式問題的解決中，函數(shù)思想發(fā)揮著巨大的作用，在很多不等式問題中常規(guī)思路往往難以直接解決問題，這時(shí)便需要靈活地運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)以及函數(shù)思想將不等式問題進(jìn)行化簡。例3.已知奇函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，，且，，試闡明的值與的關(guān)系。分析：如何根據(jù)條件將，，聯(lián)系起來找出三者和是解決本題的關(guān)鍵，要善于從題目給出的條件出發(fā)，利用函數(shù)的相關(guān)概念列出式子進(jìn)行比較、分析，找出，，三者之間的聯(lián)系，再轉(zhuǎn)化為三者之和。解：因?yàn)?，所以 。由于函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的，所以 。又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，所以 ①同理： ②同理： ③將①②③左右兩邊分別相加，得 。所以 ，即 。評注：這個(gè)問題是一個(gè)綜合性問題，將函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性與不等式的性質(zhì)結(jié)合在一起。解決這道題可以基于問題的條件，一個(gè)接一個(gè)地分析，然后匯總從條件中獲得的信息，自然就可以得到解決問題的方案。例4.不等式恒成立，且，求的取值范圍。分析：在解決問題時(shí)，將看作自變量，在此基礎(chǔ)上建立函數(shù)，，此時(shí)題目便轉(zhuǎn)化為恒成立，且，求的取值范圍。然而繼續(xù)運(yùn)算仍然比較復(fù)雜，所以需要繼續(xù)轉(zhuǎn)化，將看作自變量，則有，題目此時(shí)便轉(zhuǎn)化為恒成立，且，求的取值范圍。若即。則在定義域內(nèi)是增函數(shù)，恒成立即 恒成立，解得或（舍去），故。若即。恒成立即 恒成立，解得或（舍去），故。若即。則在定義域內(nèi)是減函數(shù)，恒成立即 恒成立，解得（舍去）或，故。綜上所述，的取值范圍為或。評注：在解題過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用函數(shù)思想，嘗試將不同未知數(shù)看作變量，而不是形成思維定勢，只把看作變量。只有多多發(fā)散思維從不同角度看問題，才能提高解題效率，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。（三）三角函數(shù)中的函數(shù)思想三角函數(shù)本身就是一種特殊的函數(shù)，除了函數(shù)的一般性質(zhì)之外，它還具有其自身的特殊性質(zhì)，利用函數(shù)思想思考、解題有助于學(xué)生加深對三角函數(shù)理解，也有利于學(xué)生形成函數(shù)意識與函數(shù)思想。例5.已知函數(shù)可得，若有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍。分析：由可得 ，則有實(shí)數(shù)解即有實(shí)數(shù)解。利用換元法，令，。則問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程 在上的根的分布問題。分離可得 ，。將看作的函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，故的取值范圍為時(shí)，有實(shí)數(shù)解。評注：該題在函數(shù)思想的引領(lǐng)下利用換元法，并構(gòu)造出新函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域。（四）數(shù)列中的函數(shù)思想數(shù)列實(shí)際上是一種特殊的函數(shù)，從本質(zhì)上來說數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的“離散型”函數(shù)。利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題時(shí)，可以將數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式看作函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的性質(zhì)解題。在日常教學(xué)中不斷地滲透函數(shù)思想不僅能夠是學(xué)生使深刻的認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)，也能進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)概念、函數(shù)思想的理解[7]。例6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知，，。(1)求公差的取值范圍；(2)請指出中中的最大值是哪一個(gè)，并說明理由。分析：第一問，依據(jù)題目給出的條件，我們可以列出有關(guān)公差的不等式組，然后求出的取值范圍；第二問的解決方法較多，有兩種思路可以解決總：一是通項(xiàng)研究法，根據(jù)公差的取值范圍，找出變號的兩項(xiàng)，即當(dāng)時(shí)，求出使得的值；當(dāng)時(shí)，求出使得且的值；二是前項(xiàng)和研究法，即列出前項(xiàng)和的表達(dá)式(當(dāng)時(shí)，它可以看作關(guān)于n的二次函數(shù))，利用函數(shù)性質(zhì)求表達(dá)式的最大值。解：（1）由題意得 解得。方法一：由，得 。因此，若在中存在自然數(shù)，使得。則就是中的最大值。由于 ，所以，故最大。方法二： =因?yàn)椋援?dāng)最小時(shí)，最大。當(dāng)時(shí)，,故正整數(shù)時(shí)，最小，所以最大。方法三：由，得。因此，若在中存在自然數(shù)n，使得，則就是中最大值。由 ，可得最大。評注：本題主要考查了等差數(shù)列及不等式的知識，并通過解不等式和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來分析求解的最大值，是函數(shù)思想在數(shù)列中應(yīng)用的一個(gè)重要體現(xiàn)。向量中的函數(shù)思想向量是數(shù)學(xué)中一種非常重要的工具，它的方向、模與數(shù)量積等在函數(shù)問題中有多種應(yīng)用，以向量為載體且融合函數(shù)的考題在高考中也是頻頻出現(xiàn)，如果能夠巧妙地運(yùn)用函數(shù)思想，則能取得事半功倍之效。例7.，若存在三個(gè)實(shí)數(shù)、、，使，且。求函數(shù)；若在上遞增，求的取值范圍。解：（1）由題設(shè)可知， 。又由得 ，化簡可得 。（2）求導(dǎo)可得 ，因在上遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立。 ，只要即可，故的取值范圍為。評注：該題將向量間的幾何關(guān)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)量化轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。該題利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)、不等式問題。分離變量，運(yùn)用函數(shù)的最值解決恒成立的問題。立體幾何中的函數(shù)思想立體幾何的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，并提升學(xué)生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的能力。在立體幾何問題中有很多關(guān)于線段、角、面積、體積的運(yùn)算，難以直接運(yùn)用公式解決，因此，需要將圖像語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，借助建立函數(shù)表達(dá)式、構(gòu)建函數(shù)模型的方法來解決。例8.如圖所示，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上的任意一點(diǎn)，設(shè)，，求異面直線與之間的距離。分析：異面直線之間的距離可以視為一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的最短距離。因此，本題可以借助這一知識點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為求直線上的任意一點(diǎn)到直線距離的最小值，再設(shè)定合適變量建立函數(shù)求最小值。解：如圖，在上任取一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)。連接。設(shè)，則,。由題設(shè)可得 。所以 因此，當(dāng)時(shí)，有最小值，且為異面直線與之間的距離。評注：解決這道題，首先要考慮原文題中異面直線的距離應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算，這考察了學(xué)生對立體幾何基礎(chǔ)知識的掌握，將其轉(zhuǎn)化為求異面直線點(diǎn)與點(diǎn)的最短距離問題后，再設(shè)立合適的變量將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，創(chuàng)建函數(shù)模型及函數(shù)關(guān)系式，最后運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及不等式的相關(guān)知識求解最小值。解析幾何中的函數(shù)思想解析幾何的一個(gè)顯著特點(diǎn)就是運(yùn)用代數(shù)的思想方法來解決幾何問題，函數(shù)思想在代數(shù)問題中有著廣泛的運(yùn)用，在解析幾何問題的解決中自然也起到了重要的作用。例9.設(shè)橢圓的離心率為，若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，橢圓上有一點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離不超過，求橢圓短軸長的取值范圍[8]。解：由題意可得 ，所以 。設(shè)點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則 ，所以 。又因點(diǎn)到點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離不超過，則有。，即時(shí)， ，解得（矛盾）。時(shí)， ，解得。又因?yàn)樵跈E圓的內(nèi)部，所以，所以短軸長的取值范圍為。評注：本題選取橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為變量，利用橢圓方程的等量關(guān)系進(jìn)行消元，構(gòu)建關(guān)于的函數(shù)。由于為正常數(shù)，并且的大小關(guān)系也無法確定，因此需要討論該二次函數(shù)的對稱軸是否在其定義域，即討論二次函數(shù)“定軸動(dòng)區(qū)間”的問題。實(shí)際應(yīng)用問題中的函數(shù)思想實(shí)際應(yīng)用類問題是近年來高考中與實(shí)際生活相聯(lián)系的熱點(diǎn)問題，能夠考察學(xué)生從實(shí)際問題中提取數(shù)學(xué)特征并建立數(shù)學(xué)關(guān)系式解決問題的能力。此類問題的題目類型多變并且問題結(jié)論往往未知，需要學(xué)生具體問題具體分析，分析、挖掘題目中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來進(jìn)一步解決。例10.某蔬菜基地種植馬鈴薯，由歷年市場行情獲悉，從3月1日起的300天內(nèi)，馬鈴薯的市場價(jià)、種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系可以表示為數(shù)學(xué)圖像，圖Ⅰ的一條折線表示馬鈴薯市場價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系；圖Ⅱ的拋物線表示馬鈴薯種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系。圖Ⅰ圖Ⅱ根據(jù)圖像，請寫出圖Ⅰ中表示的市場價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，圖Ⅱ中表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；若，問什么時(shí)候上市的馬鈴薯收益最大？（注：市場售價(jià)和種植成本的單位：元/，時(shí)間單位：天）[9]分析：結(jié)合函數(shù)圖像求出分段函數(shù)與二次函數(shù)，對收益情況進(jìn)行分段考察、對比，選出最佳方案。解：（1）由圖Ⅰ可得，市場價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為： 。由圖Ⅱ可得，種植成本與時(shí)間的關(guān)系式為： 。（2）設(shè)在時(shí)刻的收益為，則條件可得： 當(dāng)時(shí)，進(jìn)行配方整理可得 ，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有最大值為；當(dāng)時(shí)，配方整理可得 ，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值。綜上所述，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在區(qū)間上可取得最大值，即從3月1日開始的第50天時(shí)，上市的馬鈴薯收益最大。評注：本題主要考察了兩部分內(nèi)容：一是根據(jù)函數(shù)圖像建立函數(shù)關(guān)系式，二是根據(jù)題目給出的條件求函數(shù)的最大值。檢驗(yàn)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識分析解決實(shí)際問題的能力。最優(yōu)化問題往往是通過構(gòu)建和求解函數(shù)模型來解決的。四、函數(shù)思想在教學(xué)中的貫徹當(dāng)前我國教育改革正由傳統(tǒng)的應(yīng)試教育轉(zhuǎn)變?yōu)樗刭|(zhì)教育，由重視“結(jié)果”轉(zhuǎn)變?yōu)榧戎匾暋敖Y(jié)果”又更加重視“過程”。素質(zhì)教育是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的教育，這不僅是應(yīng)試教育與素質(zhì)教育的本質(zhì)區(qū)別，也是當(dāng)前教育活動(dòng)的根本追求。這就要求當(dāng)代高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要豐富、鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備，而且要達(dá)到引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、掌握數(shù)學(xué)方法及提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分都有著函數(shù)及其思想方法的應(yīng)用，函數(shù)知識的學(xué)習(xí)更是位于高中生初入高中這一重要轉(zhuǎn)型階段。而到了大學(xué)階段，函數(shù)思想依舊貫徹高等數(shù)學(xué)的教材中，掌握好函數(shù)思想對于解決高等數(shù)學(xué)中的許多問題都有著很好的效果，如解決方程、不等式這樣的“靜止”問題，解決數(shù)列、級數(shù)這樣的離散問題，以及引入輔助函數(shù)，等等[10]。由此可見，函數(shù)思想的重要地位及其對學(xué)生發(fā)展的重要作用。于是，我們?nèi)缃衩鎸Φ膸讉€(gè)重要問題就是：如何在函數(shù)教學(xué)過程中既保證學(xué)生有著扎實(shí)的理論知識又能引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)思想；如何提高學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想解決各類問題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生在解題過程中提煉函數(shù)思想方法的意識與能力；如何在后續(xù)學(xué)習(xí)中滲透、升華函數(shù)思想，進(jìn)一步發(fā)掘?qū)W生思維的深刻性。在這一模塊，我們結(jié)合以上幾個(gè)問題，對函數(shù)思想在教學(xué)中的貫徹進(jìn)行論述。在基礎(chǔ)知識教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生所具有的函數(shù)觀點(diǎn)、函數(shù)意識都是在日常教學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的。所以，在教學(xué)過程中教師應(yīng)當(dāng)抓住滲透函數(shù)思想的機(jī)會(huì)，注重函數(shù)思想在各種定理、公式的提出與證明過程中的應(yīng)用。在這些過程中，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)方法系統(tǒng)的向?qū)W生滲透函數(shù)思想方法，同時(shí)注意新舊知識的銜接，引導(dǎo)學(xué)生接受、探究各類思想方法，并適時(shí)幫助學(xué)生歸納總結(jié)構(gòu)建新的知識體系。例如，推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)，可以參考等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程和基本思路以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和相關(guān)性質(zhì)，探究各種推導(dǎo)方法。方法一：錯(cuò)位相減法（教材中的推導(dǎo)方法）方法二：利用解方程的思路推導(dǎo) 解關(guān)于的方程可得。在知識運(yùn)用過程中深化函數(shù)思想在知識學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)突破及分析解決各類數(shù)學(xué)問題的過程中，函數(shù)思想方法是行之有效的導(dǎo)向工具。同時(shí)，在解題中反復(fù)運(yùn)用函數(shù)思想方法也是鞏固深化函數(shù)思想的一個(gè)重要途徑。在前面的應(yīng)用中可以看出，函數(shù)思想幾乎應(yīng)用到各種題型中，