2025年高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷（新高考通用）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)3．已知向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（

）A．14 B．12 C．16 D．185．春季流感爆發(fā)期間，某學(xué)校通過在校門口并排設(shè)立三個紅外體溫檢測點(diǎn)作為預(yù)防手段，進(jìn)入學(xué)校的人員只需要在任意一個檢測點(diǎn)檢測體溫即可進(jìn)入校園，假設(shè)每個人在進(jìn)入學(xué)校時選擇每個檢測點(diǎn)的概率相同，現(xiàn)有三男三女六位學(xué)生通過體溫檢測點(diǎn)進(jìn)入學(xué)校，則每個檢測點(diǎn)通過的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等的概率為（

）A． B． C． D．6．已知，使得命題“曲線在點(diǎn)處的切線與曲線沒有公共點(diǎn)”成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．7．在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，與左支交于點(diǎn)，則離心率為（

）A．2 B．3 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．?dāng)?shù)據(jù)的30%分位數(shù)為5C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3D．若，隨機(jī)變量，則10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，則（

）A．B．C．若，則D．若，則11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．C． D．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．寫出一個與直線都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．13．若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是．14．已知函數(shù)，，，且在上單調(diào)，則的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足

(1)若，證明：平面(2)若，且平面與平面的夾角為，求16．（15分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.17．（15分）某乒乓球訓(xùn)練機(jī)構(gòu)以培訓(xùn)青少年為主，其中有一項(xiàng)打定點(diǎn)訓(xùn)練，就是把乒乓球打到對方球臺的指定位置（稱為“準(zhǔn)點(diǎn)球”），每周記錄每個接受訓(xùn)練的學(xué)員在訓(xùn)練時打的所有球中“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比（y%），A學(xué)員已經(jīng)訓(xùn)練了1年，下表記錄了A學(xué)員最近七周“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比：周次（x）1234567y（%）5252.853.55454.554.955.3若．(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與z的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與z的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；（若，則認(rèn)為y與z線性相關(guān)性很強(qiáng)；若，則認(rèn)為y與z線性相關(guān)性一般；若，則認(rèn)為y與z線性相關(guān)性較弱）（精確到0.01）(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測第9周“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比（精確到0.01）；(3)若現(xiàn)在認(rèn)為A學(xué)員“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比為55%，并以此為概率，現(xiàn)讓A學(xué)員打3個球，以X表示“準(zhǔn)點(diǎn)球”的個數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，，．18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的動點(diǎn)，到點(diǎn)的距離與到的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為．(1)求拋物線的方程；(2)給出如下的定義：若直線與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，且與的對稱軸不平行，則稱直線為拋物線上點(diǎn)處的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．請你運(yùn)用上述定義解決以下問題：（?。┳C明：拋物線上點(diǎn)處的切線方程為；（ⅱ）若過點(diǎn)可作拋物線的2條切線，切點(diǎn)分別為、．證明：直線、的斜率之積為常數(shù)．19．（17分）若各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列滿足：對于都有，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列為“平方等差數(shù)列”.(1)判斷無窮數(shù)列和是否是“平方等差數(shù)列”，并說明理由；(2)若是“平方等差數(shù)列”.（?。┳C明：存在正整數(shù)，使得不等式成立；（ⅱ）證明：存在正整數(shù)，使得.2025年高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷（新高考通用）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合一元一次不等式及對數(shù)不等式可得，，再由集合交集運(yùn)算即可得解.【詳解】，，，，，即．故選：C2．函數(shù)是（

）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【答案】B【分析】由函數(shù)的奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，再運(yùn)用周期定義式進(jìn)行檢驗(yàn)即得.【詳解】因?yàn)?，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，故C,D項(xiàng)錯誤；因?yàn)?顯然在上不能恒成立，故A,C項(xiàng)錯誤；又，即是的周期，故B項(xiàng)正確.故選：B.3．已知向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的模長以及坐標(biāo)表示，利用投影向量的定義計算即可得結(jié)果.【詳解】由可得，即，所以；因此在上的投影向量為.故選：D4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（

）A．14 B．12 C．16 D．18【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)求解即得.【詳解】由等差數(shù)列的片段和性質(zhì)知，成等差數(shù)列，由，得該數(shù)列首項(xiàng)為4，公差為2，所以.故選：A5．春季流感爆發(fā)期間，某學(xué)校通過在校門口并排設(shè)立三個紅外體溫檢測點(diǎn)作為預(yù)防手段，進(jìn)入學(xué)校的人員只需要在任意一個檢測點(diǎn)檢測體溫即可進(jìn)入校園，假設(shè)每個人在進(jìn)入學(xué)校時選擇每個檢測點(diǎn)的概率相同，現(xiàn)有三男三女六位學(xué)生通過體溫檢測點(diǎn)進(jìn)入學(xué)校，則每個檢測點(diǎn)通過的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分三種情況討論，利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題知，每個人進(jìn)入學(xué)校時選擇每個檢測點(diǎn)的概率都相等，則三男三女六位學(xué)生通過體溫檢測點(diǎn)進(jìn)入學(xué)校，共有種不同的結(jié)果，若每個檢測點(diǎn)通過的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等，則①每個檢測點(diǎn)均為一男一女通過，共有②三個檢測點(diǎn)中，一個檢測點(diǎn)通過0人，一個檢測點(diǎn)通過一男一女，一個檢測點(diǎn)通過兩男兩女，共有種不同的結(jié)果；種不同的結(jié)果；③六人均在同一個檢測點(diǎn)通過，共有種不同的結(jié)果.則每個檢測點(diǎn)通過的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等的概率為.故選：C.6．已知，使得命題“曲線在點(diǎn)處的切線與曲線沒有公共點(diǎn)”成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立得，使方程無解即可求出實(shí)數(shù)的范圍，再根據(jù)充分不必要條件的定義即可確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，則切線斜率，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，聯(lián)立，得，因?yàn)榍芯€與曲線沒有公共點(diǎn)，所以方程沒有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時，方程有唯一解，不滿足題意，當(dāng)時，，可得.綜上所述，，由是的真子集，符合題意.故選：D.7．在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正棱臺中的直角梯形求得棱臺的高，利用勾股定理建立外接球半徑的方程，求出半徑，從而利用公式計算球表面積.【詳解】設(shè)正四棱臺上底面的中心為，下底面的中心為，因?yàn)?，，所以?過作于，易得，設(shè)該正四棱臺外接球的球心為O，則O在直線上，，設(shè)，則，設(shè)外接球的半徑為R，則，即，解得，則，所以外接球的表面積為.故選：B.8．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，與左支交于點(diǎn)，則離心率為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為P，設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)，利用推出N為的中點(diǎn)，繼而可得，結(jié)合直線的斜率即可推出，再結(jié)合雙曲線的定義可得的關(guān)系，求得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為P，設(shè)為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接，因?yàn)?，故，設(shè)，則，而P為的中點(diǎn)，則，故，即N為的中點(diǎn)，而O是的中點(diǎn)，故是的中位線，則，又，故，則為等腰三角形，即得，（c為雙曲線的半焦距）；又直線的斜率為，即，則。（為銳角），在中，，故，即，則，由雙曲線定義知，即得，即，故，即雙曲線E的離心率為3，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用直線的斜率結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)推出線段之間的關(guān)系，繼而結(jié)合雙曲線定義可得的關(guān)系，求得答案.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．?dāng)?shù)據(jù)的30%分位數(shù)為5C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3D．若，隨機(jī)變量，則【答案】ACD【分析】利用賦值法即可求解A，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征，可求解，根據(jù)百分位數(shù)以及方差的計算公式即可求解BC，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解D.【詳解】對于A，令，則，故A正確，對于B,將其從小到大排列為，且，故30%分位數(shù)為第2個數(shù)1，B錯誤，對于C，分別為，則平均數(shù)為，故方差為，故標(biāo)準(zhǔn)差為3，C正確，對于D，，故，故D正確，故選：ACD10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，則（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】設(shè)，，，，由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、模長公式、向量數(shù)量積的運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可；【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)、對應(yīng)的向量分別為、，設(shè)，，則，，對于A、當(dāng)，時，，則，故A錯誤；對于B，，，，故B正確；對于C，當(dāng)，時，，，滿足，但，故C錯誤；對于D，|由，得，得，故D正確．故選：BD11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若，函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．C． D．【答案】ACD【分析】A.將平移即可求出圖象的對稱中心；B.舉反例說明；C.將的兩條關(guān)系式結(jié)合，即可得，再分組求和；D.對的兩條關(guān)系式分別求導(dǎo)即可得的周期性.【詳解】為奇函數(shù)，即其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，將其向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，即①，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B錯誤，理由如下：由②可得，，則，若B選項(xiàng)正確，則，矛盾，故選項(xiàng)B錯誤；①②兩式相加可得，，則，，則，故選項(xiàng)C正確；對①②兩式分別求導(dǎo)得，③，④，③④兩式聯(lián)立可得，⑤，再將替換為，得⑥，⑤⑥兩式聯(lián)立可得，，則的周期為4，故，在④式中令得，，在③式中令得，，故，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．寫出一個與直線都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（或，答出一個即可）【分析】先確定圓心橫坐標(biāo)及半徑，再分類討論計算即可.【詳解】根據(jù)圓與直線相切可知圓心在直線上，半徑為2，再由圓與直線相切可得圓心為或，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故答案為：或.13．若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】條件函數(shù)有兩個零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，作兩函數(shù)的圖象，觀察圖象列不等式可求的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)，所以方程有兩個實(shí)根，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有兩個交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，觀察圖象可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：.14．已知函數(shù)，，，且在上單調(diào)，則的值為．【答案】【分析】分析可知，函數(shù)的一條對稱軸為直線，且，可得出①，②，結(jié)合①②以及的取值范圍可求出的值，以及的表達(dá)式，然后由可得出的不等式，解出的取值，然后由大到小逐一檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，則函數(shù)的一條對稱軸為直線，則①，因?yàn)?，可得②，由①②可得，因?yàn)?，所以，，將代入①可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，則該函數(shù)的最小正周期滿足，所以，，所以，，解得，因?yàn)椋瑒t的可能取值構(gòu)成的集合為，當(dāng)時，，此時，，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，合乎題意.綜上所述，的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．如圖，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足

(1)若，證明：平面(2)若，且平面與平面的夾角為，求【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量再證明，即可得到結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，用面面所成角的向量求法即可求出【詳解】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，（1分），，設(shè)平面的一個法向量，則即（2分）取（3分）又，，，所以，平面（5分）

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，,所以，故,所以，，（7分）設(shè)平面AEF的一個法向量，則即（8分）?。?分）又平面的一個法向量，（10分），（12分）求得（負(fù)值舍去），所以（13分）16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的極值；(2)若關(guān)于的不等式有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)的極大值為，無極小值(2)【分析】（1）通過求導(dǎo)來分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；（2）分類討論，得到單調(diào)性，求出函數(shù)最值，根據(jù)最值滿足的條件來確定參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，（2分，求導(dǎo)、化簡各1分）令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（4分）所以的極大值為，無極小值.（6分）（2）由題得2a），當(dāng)時，，不符合題意；（7分）當(dāng)時，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（9分）所以（10分）由得，解得；（11分）當(dāng)時，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（12分）所以，（13分）由，得，解得.（14分）綜上，的取值范圍為.（15分）17．某乒乓球訓(xùn)練機(jī)構(gòu)以培訓(xùn)青少年為主，其中有一項(xiàng)打定點(diǎn)訓(xùn)練，就是把乒乓球打到對方球臺的指定位置（稱為“準(zhǔn)點(diǎn)球”），每周記錄每個接受訓(xùn)練的學(xué)員在訓(xùn)練時打的所有球中“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比（y%），A學(xué)員已經(jīng)訓(xùn)練了1年，下表記錄了A學(xué)員最近七周“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比：周次（x）1234567y（%）5252.853.55454.554.955.3若．(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計算y與z的相關(guān)系數(shù)r，并說明y與z的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱；（若，則認(rèn)為y與z線性相關(guān)性很強(qiáng)；若，則認(rèn)為y與z線性相關(guān)性一般；若，則認(rèn)為y與z線性相關(guān)性較弱）（精確到0.01）(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測第9周“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比（精確到0.01）；(3)若現(xiàn)在認(rèn)為A學(xué)員“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比為55%，并以此為概率，現(xiàn)讓A學(xué)員打3個球，以X表示“準(zhǔn)點(diǎn)球”的個數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組數(shù)據(jù)，，，，，，，，，．【答案】(1)0.94，與線性相關(guān)性很強(qiáng)(2)，55.89%(3)．【分析】（1）根據(jù)題意中的公式求出相關(guān)系數(shù)r，結(jié)合其表示的意義即可下結(jié)論；（2）根據(jù)最小二乘法計算可得，進(jìn)而，將代入即可求解；（3）由題意可知，利用二項(xiàng)分布求出對應(yīng)的概率，列出X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）故與線性相關(guān)性很強(qiáng)．（4分）（2），（6分），（7分）所以關(guān)于的線性回歸方程為，（8分）將代入，（9分）得．（10分）當(dāng)時，，（11分）故預(yù)測第9周“準(zhǔn)點(diǎn)球”的百分比為55.89%．（12分）（3）現(xiàn)在A學(xué)員任打一球是“準(zhǔn)點(diǎn)球”的概率為：，（13分）由題意，數(shù)學(xué)期望．（15分）18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的動點(diǎn)，到點(diǎn)的距離與到的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為．(1)求拋物線的方程；(2)給出如下的定義：若直線與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，且與的對稱軸不平行，則稱直線為拋物線上點(diǎn)處的切線，公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．請你運(yùn)用上述定義解決以下問題：（?。┳C明：拋物線上點(diǎn)處的切線方程為；（ⅱ）若過點(diǎn)可作拋物線的2條切線，切點(diǎn)分別為、．證明：直線、的斜率之積為常數(shù)．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）利用拋物線的定義、焦半徑公式可求出的值，由此可得出拋物線的方程；（2）（i）當(dāng)拋物線上處的切線斜率存在時設(shè)其方程為，其中，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，由可求出，代入切線方程可證得結(jié)論成立；當(dāng)切線斜率不存在時，直接驗(yàn)證即可；（ii）設(shè)、、，根據(jù)（i）中的結(jié)論成立寫出直線、的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入兩切線方程，可得出直線的方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可求出的值，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)動點(diǎn)，動點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義得，（1分）則，（2分）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，（3分）依題意，，所以拋物線的方程為.（4分）（2）（?。┊?dāng)拋物線上處的切線斜率存在