黃山市2025屆高三畢業班質量檢測數學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設復數滿足，則（）A. B.2 C. D.43.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖1），一個倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱（如圖2），其中總高度為，圓柱的高度為，該陀螺由密度為的木質材料制成（密度），其總質量為，則此陀螺圓柱底面的面積為（）A. B.C. D.4.為了解某市居民用水情況，通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民用戶月均用水量（單位：），將該數據按照，分成9組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．政府要對節約用水的用戶予以表彰，制定了一個用水量標準，使表彰的居民不超過15.4%，則以下比較適合作為標準的為（）A.3.2 B.5 C.5.04 D.15.75.已知雙曲線漸近線的斜率小于，則離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知各項均為整數的數列中，，，前10項依次成等差數列，從第9項起依次成等比數列，則（）A. B. C. D.7.如圖1，為了測量兩山頂，間的距離，飛機沿水平方向在，兩點進行測量，，，，在同一個鉛垂平面內，其平面圖形如圖2所示．已知，，，，，則（）A. B. C. D.108.定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”．若函數，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的地出發，向河對岸航行，已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，設和的夾角為，則下列說法正確的為（）A.當船的航行時間最短時，B.當船的航行距離最短時，C.當時，船的航行時間為6分鐘D.當時，船的航行距離為10.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，過點作直線交拋物線于，兩點，則（）A.的最小值為4B.以線段為直徑的圓與直線相切C.當時，則D.11.已知是定義在上的奇函數，且圖象連續不間斷，函數的導函數為．當時，，其中為自然對數的底數，則（）A.上有且只有1個零點 B.在區間上單調遞增C. D.三、填空題：本題共3小題．每小題5分，共15分.12.已知函數，則________．13.某單位在五一假期，需要從5人中選若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出現同一人連續值班2天，共有________種不同的安排方法．14.已知，都是銳角，，，則________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了解學生課余時間體育鍛煉情況，某校對100名學生平均每周的體育鍛煉時間進行了調查，統計數據如下表：每周體育鍛煉的時間（小時）人數34811412085用頻率估計概率，該校學生平均每周的體育鍛煉時間近似服從正態分布，近似為樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中間值代表），近似為樣本標準差，并已求得，利用所得正態分布模型解決以下問題：（1）該校共5000人，試估計該校大約有多少學生平均每周的體育鍛煉時間15小時以上（結果四舍五入）；（2）若在該校隨機抽取3位學生，設其中平均每周的體育鍛煉時間在9小時以上的人數為，求隨機變量的分布列和均值．附：若，則，，．16.平面內，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）為坐標原點，為曲線上不同兩點，經過兩點的直線與圓相切，求面積的最大值．17.如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點，為的中點，，沿將翻折到的位置，使，如圖2．（1）證明：平面；（2）求平面和平面所成角的余弦值．18.已知函數，其中為自然對數的底數．（1）當時，判斷函數在區間上的單調性；（2）令，若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；（3）求證：當時，．19.若數列，，其中，對任意正整數都有，則稱數列為數列的“接近數列”．已知為數列的“接近數列”，且數列，的前項和分別為，．（1）若（是正整數），求，，的值；（2）若數列是公差為的等差數列，且，求證：數列是等差數列；（3）若（是正整數），判斷是否存在正整數，使得？如果存在，請求出的最小值，如果不存在，請說明理由．（參考數據：，）黃山市2025屆高三畢業班質量檢測數學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由，或，所以.故選：D2.設復數滿足，則（）A. B.2 C. D.4【答案】A【詳解】由題設，則.故選：A3.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一（如圖1），一個倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱（如圖2），其中總高度為，圓柱的高度為，該陀螺由密度為的木質材料制成（密度），其總質量為，則此陀螺圓柱底面的面積為（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】此陀螺圓柱體積，設此陀螺圓柱的底面半徑為，則，∴此陀螺圓柱的底面面積.故選：C.4.為了解某市居民用水情況，通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民用戶月均用水量（單位：），將該數據按照，分成9組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．政府要對節約用水的用戶予以表彰，制定了一個用水量標準，使表彰的居民不超過15.4%，則以下比較適合作為標準的為（）A.3.2 B.5 C.5.04 D.15.7【答案】A【詳解】由題意及，則，可得噸.故選：A5.已知雙曲線漸近線的斜率小于，則離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】依題意，，而，因，故得.故選：B.6.已知各項均為整數的數列中，，，前10項依次成等差數列，從第9項起依次成等比數列，則（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題意，設前10項等差數列的公差為，則，解得，所以設第9項起依次成的等比數列的公比為，則，即.所以.故選：B.7.如圖1，為了測量兩山頂，間的距離，飛機沿水平方向在，兩點進行測量，，，，在同一個鉛垂平面內，其平面圖形如圖2所示．已知，，，，，則（）A. B. C. D.10【答案】C【詳解】由題設，，則，而，所以，則，由，，則，而，又，所以，則，由.故選：C8.定義方程的實數根叫做函數的“新駐點”．若函數，，的“新駐點”分別為，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】根據題意，求導得，由即解得，所以函數的“新駐點”.同理，求導得，則即，設函數，易知函數在定義域上單調遞增，且，根據零點存在定理可知，的根.由求導得，則即，設函數，則，所以，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.因為，根據零點存在定理，可知的根.綜上，.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，一條河兩岸平行，河的寬度，一艘船從河岸邊的地出發，向河對岸航行，已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，設和的夾角為，則下列說法正確的為（）A.當船的航行時間最短時，B.當船的航行距離最短時，C.當時，船的航行時間為6分鐘D.當時，船的航行距離為【答案】AC【詳解】對于A，將船的速度和水流速度進行合成，船垂直河岸方向的分速度，河寬，則渡河時間，當，即，取得最小值，所以當船的航行時間最短時，，故A正確；對于B，當船的航行距離最短時，合速度方向垂直河岸，如圖，則，所以，故B錯誤；對于C，當時，船垂直河岸方向的分速度，船的航行時間，即6分鐘，故C正確；對于D，將船的速度和水流速度進行合成，則，當時，，所以，因為船垂直河岸方向的分速度，所以船的航行時間，所以船的航行距離為，故D錯誤.故選：AC.10.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，過點作直線交拋物線于，兩點，則（）A.的最小值為4B.以線段為直徑的圓與直線相切C.當時，則D.【答案】BCD【詳解】由題設，則，，可設，聯立拋物線得，顯然，所以，，則，當且僅當時等號成立，A錯；由拋物線的定義知，而的中點橫坐標為，所以的中點與直線的距離為，即為的一半，所以以線段為直徑的圓與直線相切，B對；若，且，則，而，所以，則，所以，則，C對；由，D對.故選：BCD11.已知是定義在上的奇函數，且圖象連續不間斷，函數的導函數為．當時，，其中為自然對數的底數，則（）A.上有且只有1個零點 B.在區間上單調遞增C. D.【答案】ACD【詳解】令，而是定義在上的奇函數，則，，即在R上也是奇函數，而，當時，，所以在上單調遞減，結合奇函數性質知：在R上單調遞減，綜上，時，時，，故，顯然時，故時，時，所以在上有且只有1個零點，f2025>0，，A、C、D對；由，顯然在上單調遞增，且，在上單調遞減，在上單調遞增，且周期為，，所以在上不一定單調，B錯.故選：ACD三、填空題：本題共3小題．每小題5分，共15分.12.已知函數，則________．【答案】0【詳解】由，可得.故答案為：0.13.某單位在五一假期，需要從5人中選若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出現同一人連續值班2天，共有________種不同的安排方法．【答案】1280【詳解】根據題意，第一天從5個人中選1個人值班，有5種選法；第二天不能選第一天值班的人，所以有4種選法；第三天同樣不能選第二天值班的人，所以還是有4種選法；第四天也不能選第三天值班的人，有4種選法；第五天不能選第四天值班的人，有4種選法.所以，總共有種不同的安排方法.故答案為：1280.14.已知，都是銳角，，，則________．【答案】##【詳解】由，可得，故，因，代入解得，可將看成方程的兩根，解得或，因，都是銳角，且，由，解得，而，故，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了解學生課余時間體育鍛煉情況，某校對100名學生平均每周的體育鍛煉時間進行了調查，統計數據如下表：每周體育鍛煉的時間（小時）人數34811412085用頻率估計概率，該校學生平均每周的體育鍛煉時間近似服從正態分布，近似為樣本平均數（同一組中的數據用該組區間的中間值代表），近似為樣本標準差，并已求得，利用所得正態分布模型解決以下問題：（1）該校共5000人，試估計該校大約有多少學生平均每周的體育鍛煉時間15小時以上（結果四舍五入）；（2）若在該校隨機抽取3位學生，設其中平均每周的體育鍛煉時間在9小時以上的人數為，求隨機變量的分布列和均值．附：若，則，，．【答案】（1）個學生；（2）分布列見解析，均值為.【小問1詳解】由題設，且，所以該校學生平均每周的體育鍛煉時間近似服從正態分布，由，所以估計該校大約有個學生平均每周的體育鍛煉時間15小時以上；【小問2詳解】由（1）知，則平均每周的體育鍛煉時間在9小時以上的人數服從分布，所以，，，，所以分布列如下，0123.16.平面內，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）為坐標原點，為曲線上不同兩點，經過兩點的直線與圓相切，求面積的最大值．【答案】（1）（2）1【小問1詳解】設到定直線的距離為，依題意，可得，化簡得，即曲線的方程為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率不可能是0，不妨設其方程為：，則圓的圓心到直線的距離，即①由消去，可得，由，可得，設，則，則，將①式代入，化簡得：，因點到直線的距離為，則的面積為，設，則，，因，當且僅當時取等號，此時，的面積的最大值為.17.如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點，為的中點，，沿將翻折到的位置，使，如圖2．（1）證明：平面；（2）求平面和平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）0.【小問1詳解】如圖，連接，交于點，四邊形是平行四邊形，為的中點，，，故，故為的三等分點，，為的三等分點，即F為的中點，又為的中點，，即平面，平面，平面.【小問2詳解】由題意，，，則是等邊三角形，所以，，，.在中，，根據余弦定理，，故，即，，故，又在等邊中，為的中點，，，，平面，平面,平面.平面，，又，，平面，平面，平面.在中，,.由題意，，所以梯形是等腰梯形，則，所以，又，.以點為坐標原點，以分別為軸、軸正方向，過點作平面的垂線為軸，建立如圖所示坐標系.

則，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以設平面和