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黃山市2025屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測數(shù)學本試卷滿分150分,考試時間120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后,將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.2.設復數(shù)滿足,則()A. B.2 C. D.43.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一(如圖1),一個倒置的陀螺,上半部分為圓錐,下半部分為同底圓柱(如圖2),其中總高度為,圓柱的高度為,該陀螺由密度為的木質(zhì)材料制成(密度),其總質(zhì)量為,則此陀螺圓柱底面的面積為()A. B.C. D.4.為了解某市居民用水情況,通過簡單隨機抽樣,獲得了100戶居民用戶月均用水量(單位:),將該數(shù)據(jù)按照,分成9組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要對節(jié)約用水的用戶予以表彰,制定了一個用水量標準,使表彰的居民不超過15.4%,則以下比較適合作為標準的為()A.3.2 B.5 C.5.04 D.15.75.已知雙曲線漸近線的斜率小于,則離心率的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知各項均為整數(shù)的數(shù)列中,,,前10項依次成等差數(shù)列,從第9項起依次成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.7.如圖1,為了測量兩山頂,間的距離,飛機沿水平方向在,兩點進行測量,,,,在同一個鉛垂平面內(nèi),其平面圖形如圖2所示.已知,,,,,則()A. B. C. D.108.定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”.若函數(shù),,的“新駐點”分別為,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分.9.如圖,一條河兩岸平行,河的寬度,一艘船從河岸邊的地出發(fā),向河對岸航行,已知船的速度的大小為,水流速度的大小為,設和的夾角為,則下列說法正確的為()A.當船的航行時間最短時,B.當船的航行距離最短時,C.當時,船的航行時間為6分鐘D.當時,船的航行距離為10.已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,過點作直線交拋物線于,兩點,則()A.的最小值為4B.以線段為直徑的圓與直線相切C.當時,則D.11.已知是定義在上的奇函數(shù),且圖象連續(xù)不間斷,函數(shù)的導函數(shù)為.當時,,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則()A.上有且只有1個零點 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C. D.三、填空題:本題共3小題.每小題5分,共15分.12.已知函數(shù),則________.13.某單位在五一假期,需要從5人中選若干人在5天假期值班(每天只需1人值班),不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天,共有________種不同的安排方法.14.已知,都是銳角,,,則________.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了解學生課余時間體育鍛煉情況,某校對100名學生平均每周的體育鍛煉時間進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:每周體育鍛煉的時間(小時)人數(shù)34811412085用頻率估計概率,該校學生平均每周的體育鍛煉時間近似服從正態(tài)分布,近似為樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表),近似為樣本標準差,并已求得,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:(1)該校共5000人,試估計該校大約有多少學生平均每周的體育鍛煉時間15小時以上(結果四舍五入);(2)若在該校隨機抽取3位學生,設其中平均每周的體育鍛煉時間在9小時以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和均值.附:若,則,,.16.平面內(nèi),動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù),記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)為坐標原點,為曲線上不同兩點,經(jīng)過兩點的直線與圓相切,求面積的最大值.17.如圖1,在平行四邊形中,,,為的中點,為的中點,,沿將翻折到的位置,使,如圖2.(1)證明:平面;(2)求平面和平面所成角的余弦值.18.已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時,判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)令,若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實數(shù)的取值范圍;(3)求證:當時,.19.若數(shù)列,,其中,對任意正整數(shù)都有,則稱數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”.已知為數(shù)列的“接近數(shù)列”,且數(shù)列,的前項和分別為,.(1)若(是正整數(shù)),求,,的值;(2)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(是正整數(shù)),判斷是否存在正整數(shù),使得?如果存在,請求出的最小值,如果不存在,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):,)黃山市2025屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測數(shù)學本試卷滿分150分,考試時間120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后,將答題卡交回.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】D【詳解】由,或,所以.故選:D2.設復數(shù)滿足,則()A. B.2 C. D.4【答案】A【詳解】由題設,則.故選:A3.陀螺是我國民間最早的娛樂工具之一(如圖1),一個倒置的陀螺,上半部分為圓錐,下半部分為同底圓柱(如圖2),其中總高度為,圓柱的高度為,該陀螺由密度為的木質(zhì)材料制成(密度),其總質(zhì)量為,則此陀螺圓柱底面的面積為()A. B.C. D.【答案】C【詳解】此陀螺圓柱體積,設此陀螺圓柱的底面半徑為,則,∴此陀螺圓柱的底面面積.故選:C.4.為了解某市居民用水情況,通過簡單隨機抽樣,獲得了100戶居民用戶月均用水量(單位:),將該數(shù)據(jù)按照,分成9組,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.政府要對節(jié)約用水的用戶予以表彰,制定了一個用水量標準,使表彰的居民不超過15.4%,則以下比較適合作為標準的為()A.3.2 B.5 C.5.04 D.15.7【答案】A【詳解】由題意及,則,可得噸.故選:A5.已知雙曲線漸近線的斜率小于,則離心率的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【詳解】依題意,,而,因,故得.故選:B.6.已知各項均為整數(shù)的數(shù)列中,,,前10項依次成等差數(shù)列,從第9項起依次成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.【答案】B【詳解】由題意,設前10項等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以設第9項起依次成的等比數(shù)列的公比為,則,即.所以.故選:B.7.如圖1,為了測量兩山頂,間的距離,飛機沿水平方向在,兩點進行測量,,,,在同一個鉛垂平面內(nèi),其平面圖形如圖2所示.已知,,,,,則()A. B. C. D.10【答案】C【詳解】由題設,,則,而,所以,則,由,,則,而,又,所以,則,由.故選:C8.定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”.若函數(shù),,的“新駐點”分別為,,,則,,的大小關系為()A. B. C. D.【答案】D【詳解】根據(jù)題意,求導得,由即解得,所以函數(shù)的“新駐點”.同理,求導得,則即,設函數(shù),易知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,且,根據(jù)零點存在定理可知,的根.由求導得,則即,設函數(shù),則,所以,當或時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減.因為,根據(jù)零點存在定理,可知的根.綜上,.故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分.9.如圖,一條河兩岸平行,河的寬度,一艘船從河岸邊的地出發(fā),向河對岸航行,已知船的速度的大小為,水流速度的大小為,設和的夾角為,則下列說法正確的為()A.當船的航行時間最短時,B.當船的航行距離最短時,C.當時,船的航行時間為6分鐘D.當時,船的航行距離為【答案】AC【詳解】對于A,將船的速度和水流速度進行合成,船垂直河岸方向的分速度,河寬,則渡河時間,當,即,取得最小值,所以當船的航行時間最短時,,故A正確;對于B,當船的航行距離最短時,合速度方向垂直河岸,如圖,則,所以,故B錯誤;對于C,當時,船垂直河岸方向的分速度,船的航行時間,即6分鐘,故C正確;對于D,將船的速度和水流速度進行合成,則,當時,,所以,因為船垂直河岸方向的分速度,所以船的航行時間,所以船的航行距離為,故D錯誤.故選:AC.10.已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,過點作直線交拋物線于,兩點,則()A.的最小值為4B.以線段為直徑的圓與直線相切C.當時,則D.【答案】BCD【詳解】由題設,則,,可設,聯(lián)立拋物線得,顯然,所以,,則,當且僅當時等號成立,A錯;由拋物線的定義知,而的中點橫坐標為,所以的中點與直線的距離為,即為的一半,所以以線段為直徑的圓與直線相切,B對;若,且,則,而,所以,則,所以,則,C對;由,D對.故選:BCD11.已知是定義在上的奇函數(shù),且圖象連續(xù)不間斷,函數(shù)的導函數(shù)為.當時,,其中為自然對數(shù)的底數(shù),則()A.上有且只有1個零點 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C. D.【答案】ACD【詳解】令,而是定義在上的奇函數(shù),則,,即在R上也是奇函數(shù),而,當時,,所以在上單調(diào)遞減,結合奇函數(shù)性質(zhì)知:在R上單調(diào)遞減,綜上,時,時,,故,顯然時,故時,時,所以在上有且只有1個零點,f2025>0,,A、C、D對;由,顯然在上單調(diào)遞增,且,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且周期為,,所以在上不一定單調(diào),B錯.故選:ACD三、填空題:本題共3小題.每小題5分,共15分.12.已知函數(shù),則________.【答案】0【詳解】由,可得.故答案為:0.13.某單位在五一假期,需要從5人中選若干人在5天假期值班(每天只需1人值班),不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天,共有________種不同的安排方法.【答案】1280【詳解】根據(jù)題意,第一天從5個人中選1個人值班,有5種選法;第二天不能選第一天值班的人,所以有4種選法;第三天同樣不能選第二天值班的人,所以還是有4種選法;第四天也不能選第三天值班的人,有4種選法;第五天不能選第四天值班的人,有4種選法.所以,總共有種不同的安排方法.故答案為:1280.14.已知,都是銳角,,,則________.【答案】##【詳解】由,可得,故,因,代入解得,可將看成方程的兩根,解得或,因,都是銳角,且,由,解得,而,故,則.故答案為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了解學生課余時間體育鍛煉情況,某校對100名學生平均每周的體育鍛煉時間進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:每周體育鍛煉的時間(小時)人數(shù)34811412085用頻率估計概率,該校學生平均每周的體育鍛煉時間近似服從正態(tài)分布,近似為樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表),近似為樣本標準差,并已求得,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:(1)該校共5000人,試估計該校大約有多少學生平均每周的體育鍛煉時間15小時以上(結果四舍五入);(2)若在該校隨機抽取3位學生,設其中平均每周的體育鍛煉時間在9小時以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和均值.附:若,則,,.【答案】(1)個學生;(2)分布列見解析,均值為.【小問1詳解】由題設,且,所以該校學生平均每周的體育鍛煉時間近似服從正態(tài)分布,由,所以估計該校大約有個學生平均每周的體育鍛煉時間15小時以上;【小問2詳解】由(1)知,則平均每周的體育鍛煉時間在9小時以上的人數(shù)服從分布,所以,,,,所以分布列如下,0123.16.平面內(nèi),動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數(shù),記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)為坐標原點,為曲線上不同兩點,經(jīng)過兩點的直線與圓相切,求面積的最大值.【答案】(1)(2)1【小問1詳解】設到定直線的距離為,依題意,可得,化簡得,即曲線的方程為.【小問2詳解】依題意,直線的斜率不可能是0,不妨設其方程為:,則圓的圓心到直線的距離,即①由消去,可得,由,可得,設,則,則,將①式代入,化簡得:,因點到直線的距離為,則的面積為,設,則,,因,當且僅當時取等號,此時,的面積的最大值為.17.如圖1,在平行四邊形中,,,為的中點,為的中點,,沿將翻折到的位置,使,如圖2.(1)證明:平面;(2)求平面和平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)0.【小問1詳解】如圖,連接,交于點,四邊形是平行四邊形,為的中點,,,故,故為的三等分點,,為的三等分點,即F為的中點,又為的中點,,即平面,平面,平面.【小問2詳解】由題意,,,則是等邊三角形,所以,,,.在中,,根據(jù)余弦定理,,故,即,,故,又在等邊中,為的中點,,,,平面,平面,平面.平面,,又,,平面,平面,平面.在中,,.由題意,,所以梯形是等腰梯形,則,所以,又,.以點為坐標原點,以分別為軸、軸正方向,過點作平面的垂線為軸,建立如圖所示坐標系.

則,,,,,,,設平面的一個法向量為,則,令,則,,所以,設平面的一個法向量為,則,令,則,所以設平面和

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