線性代數大一試卷及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.以下哪個矩陣是可逆的？A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)答案：C2.矩陣的秩是指：A.矩陣中非零元素的個數B.矩陣中最大的非零子式C.矩陣中行向量的最大線性無關組的個數D.矩陣中列向量的最大線性無關組的個數答案：C3.向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)和\(\beta=(4,5,6)^T\)是否線性無關？A.是B.否答案：B4.對于矩陣\(A\)和\(B\)，下列哪個等式總是成立的？A.\(AB=BA\)B.\(A^2=(A^T)^2\)C.\((AB)^T=A^TB^T\)D.\((A+B)^T=A^T+B^T\)答案：C5.矩陣\(A\)的行列式為0，這意味著：A.\(A\)是一個零矩陣B.\(A\)是一個奇異矩陣C.\(A\)是一個非奇異矩陣D.\(A\)是一個可逆矩陣答案：B6.以下哪個矩陣是對稱矩陣？A.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&3\\3&4\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)答案：D7.矩陣\(A\)和\(B\)相似，這意味著：A.\(A\)和\(B\)有相同的特征值B.\(A\)和\(B\)有相同的行列式C.\(A\)和\(B\)有相同的跡D.以上所有答案：A8.矩陣的跡是指：A.矩陣對角線元素的和B.矩陣的行列式C.矩陣的秩D.矩陣的逆矩陣答案：A9.以下哪個矩陣是正交矩陣？A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)答案：A10.矩陣\(A\)的逆矩陣記作：A.\(A^T\)B.\(A^{-1}\)C.\(A^\)D.\(A^\dagger\)答案：B二、填空題（每題4分，共20分）11.如果\(A\)是一個\(3\times3\)矩陣，且\(\det(A)=2\)，那么\(\det(A^T)=______\)。答案：212.向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)和\(\beta=(4,5,6)^T\)的點積是______。答案：3213.矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的特征多項式是\(\det(A-\lambdaI)=______\)。答案：\(\lambda^2-5\lambda-2\)14.如果\(A\)是一個\(2\times2\)矩陣，且\(A^2=I\)，那么\(A\)可能是______。答案：\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)或\(\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\)15.矩陣\(A\)的跡是其特征值的和，如果\(A\)是一個\(3\times3\)矩陣，且\(\text{tr}(A)=5\)，那么\(A\)的特征值之和是______。答案：5三、計算題（每題10分，共50分）16.計算矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的行列式。答案：\(\det(A)=1\times4-2\times3=4-6=-2\)17.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。答案：\(A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)18.給定向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)和\(\beta=(4,5,6)^T\)，求向量\(\alpha+\beta\)和\(\alpha-\beta\)。答案：\(\alpha+\beta=(5,7,9)^T\)，\(\alpha-\beta=(-3,-3,-3)^T\)19.給定矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，計算\(AB\)和\(BA\)。答案：\(AB=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)，\(BA=\begin{pmatrix}29&34\\41&48\end{pmatrix}\)20.給定矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特