四邊形綜合練習

一、解答題

I.如圖，在A4C。中，AE平分/碗2交8c于點￡3戶平分ZA8C,交AO于點

F、AE與所交于點尸，連接EEPO.

（1）求證：四邊形A3M是菱形；

（2）若A8=6,4。=9,ZABC=60°,求NDCP的度數及W/NCOP的值.

【答案】（1）見解析；（2）90°,在

2

【解析】

【分析】

（1）根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=AF,AF=BE,從而證

明四邊形尸是菱形；

（2）過尸作P〃_LA。于，，交8c于G,由含30°角的直角三角形的性質得

AP=；A8=3,FP=BP=3&,AH=|,PH=gpF=^~,則

DH=AD-AH=^,再由勾股定理求出P。、PC的長，證出APCQ是直角三角形，

ZDCP=90°,即可解決問題.

【詳解】

解：（1）證明：四邊形A3C。是平行四邊形，

AD//BC.

:.ZDAE=ZAEB.

,JAE平分ZfiAD,

.\ZDAE=ZBAE.

;.ZBAE=ZAEB.

AB=BE.

同理：AB=AF.

:.AF=BE.

四邊形A皿獷是平行四邊形.

AB=BE,

.??四邊形ABM是菱形;

(2)解：過。作于〃，交BC于G,如圖所示:

則G，_LBC,

四邊形AAEF是菱形，NA4c=60。，A8=6,

..AB=AF=6tAE1BF,BP=FP,ZABF=ZAFB=30。,

:.AP=-AB=3,FP=BP=J^AP=36,

315

：.DH=AD-AH=9--=—,

22

PD=^PH2+DH2=3+(歲=3幣,

同理：PG=PH=^-,BG=&G=\

22

四邊形A8CQ是平行四邊形,

..CD=AB=6,BC=AD=9,

9

：.CG=BC-BG=-,

2

，PC=4PG?+CG?=’(￥)?+(|)；=3N/5，

PC2+CD2=PD2,

.?.APCO是直角三角形，ZDCP=90°,

本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定、含義尸

角的直角三角形的性質、勾股定理以及銳角三角函數定義等知識；熟練掌握菱形的判

定與性質是解題的關鍵.

2.如圖，四邊形A8CO是矩形，點?是邊8C上一點，AE±EI).

（1）求證：AABESAECD；

（2）/為AE延長線上一點，滿足針=￡4,連接。尸交BC于點G.若

AB=2,BE=1,求GCH勺長.

3

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【解析】

【分析】

（I）由矩形的性質和苴直的定義，得到々-NC-90。，43AEXED,即可得到結論

成立；

（2）由相似三角形的性質和矩形的性質，求出EC=4,BC=5,再證明

AFD^>EPG,再利用相似三角形的性質，即可求出GC的長.

【詳解】

（1）證明：

.?.四邊形A6CO是矩形.

/.Ztf=ZC=90°.

/.NBAE+ZAEB=900.

*/AEA.ED,

，ZAED=90°.

ZAE^+ZCED=90°.

/.4BAE=4CED.

工ABEs.ECD.

(2)解：???由(1)△ABEs^ECD,

.ABEC

???矩形A8CO中，CD=AB=2,BE=1,

，EC=4.

???BC=BE+EC=5.

,?AD//BC,

:…AFAEFG.

,ADAF

**~EG~~EF'

,:AE=EF,

，AF=2EF.

A—=2,^EG=-AD=-BC=~.

EG222

：.CG-EC-EG--.

2

【點睛】

本題考杳了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，余角的性質，以及垂直的定義,

解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，正詢的進行解題.

3.在平行四邊形ABC。中，過點。作。及LA8于點E,點〃在邊C。上，DF=BE,

連接人尸，BF.

(1)求證：四邊形BFDE是矩形；

4

(2)若C尸=6,tanC=§,DC=16,求證：A尸平分NDAB.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】

【分析】

（1）先求出四邊形/"DE是平行四邊形，再根據矩形的判定推出即可；

4

（2）由三角函數定義求出8/=§。〃=8,由勾股定理得出5c=10,由平行四邊形的

性質得出入8〃C。，AD=BC=\0,則NBA產=N。物，證4。=。/，則/。人尸=

ZDFA,得出NBA尸=/。人/即可.

【詳解】

解：（1）證明：二?四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AB//DC,

，：DF=BE,

???四邊形97犯是平行四邊形，

*：DE±ABt

工/。協=90°,

???四邊形外YM是矩形：

（2）證明：???四邊形是矩形，

：?NBFC=NBFD=90。,

4BF

VCF=6,tanC=-=——，

3CF

4

：.BF=-CF=S,

3

BLyjl3F2+CF2~782+62=1。，

???四邊形48CD是平行四邊形,

:.AB〃CD,AD=BC=\0,

：?NBAF=NDFA,

VDC=I6,

；.DF=DC?CF=16?6=10,

：,AD=DF,

：.ZDAF=ZDFA,

：.ZBAF=ZDAFt

，AF平分NDA氏

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用，解直角三角

形，平行線的性質，等腰三角形的性質，角平分線的定義，掌握以上知識是解題的關

鍵.

4.如圖，在.A8c中，CD平分NACB,CD的垂直平分線分別交AC,DC,BC于點

E,F,G,連接DE,DG.

(1)求證：四邊形DGCE是菱形；

(2)若NACB=30°,NB=45。，ED=2,求BG的長.

【答案】(1)見解析；(2)1+75

【解析】

【分析】

(1)由角平分線的性質和垂直平分線的性質可證NEDC=NDCG=/ACD=NGDC,可

得CE〃DG,DE〃GC,由菱形的判定可證結論；

(2)過點D作DH_LBC,由菱形的性質可得DE=DG=2,DG〃EC,由直角三角形的

性質可得BH=DH=1,HG=V5DH=73，即可求BG的長.

【詳解】

解：(1)???CD平分NACB,

.\ZACD=ZDCG,

「EG垂直平分CD,

ADG=CG,DE=EC,

AZDCG=ZGDC,ZACD=ZEDC.

JZEDC=ZDCG=ZACD=ZGDC,

ACE/7DG,DE〃GC,

:.四邊形DECG是平行四邊形，且DE=EC,

???四邊形DGCE是菱形；

(2)如圖，過點D作DHJ_BC,

???四邊形DGCE是菱形，

???DE;DG=2,DG〃EC

.,.ZACB=ZDGB=30°,且DH_LBC,

ADH=1,HG=VJDH=",

VZB=45°,DH1BC,

AZB=ZBDH=45°,

ABH=DH=1,

ABG=BH+HG=l+73.

【點睛】

本題考查了菱形的判定和性質，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，直角三角

形的性質，熱練運用菱形的判定和性質是本題的關鍵.

5.如圖，四邊形/WCZ）為矩形，點“為邊/W上一點，連接。Z?并延長，交CZ?的延

長線于點P，連接布,4DPA=24DPC.求證：DE=2PA.

【答案】見解析.

【解析】

【分析】

如圖，取DE的中點F,連接AF,根據矩形的性質得到AD〃BC,求得

ZDPC=ZADP,根據直角三角形的性質得到AF=DF=^DE,求得/ADP二/DAF,等

量代換得到結論.

【詳解】

證明：如圖，取。E的中點F,連接AF,

???四邊形48C。為矩形,

J.AD//BC,

，ZDPC=NADP,

VZBAD=90°,

:.AF=DF=*DE,

：.ZADP=ZDAF,

???NAFP=2NADP=2NDPC,

*：ZDPA=2ZDPC,

：.ZDPA=ZAFP,

：.AP=AF=^DEt

：.DE=2PA,

【點睛】

本題考查了矩形的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線

是解題的關鍵.

6.如圖，口ABCD中，點E,F分別在邊BC,AD上，BE=DF,ZAEC=90°.

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（2）連接BF,若AB=4,ZABC=60°,BF平分NABC,求AD的長.

BEC

【答案】⑴見解析；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）先根據平行四邊形的性質得到8C=AO,BC7/A。，再根據線段的和差可得求得

EC=AF,然后根據平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據矩

形的判定定理即可得證：

（2）先根據直角三角形的性質、勾股定理可求出8E=2,AE=2G，再根據矩形的性

質得到FC±BC,FC=AE=2>/3,然后根據角平分線的定義得到

ZFBC=^ZABC=3（r,最后根據直角三角形的性質、平行四邊形的性質即可得.

【詳解】

（1）,/四邊形ABCD是平行四邊形

BC=AD、BCHAD

義?:BE=DF

/.BC-BE=AD-DF,即EC=A廠

???四邊形AECF為平行四邊形

又,:ZAEC=90°

???四邊形AECF是矩形；

(2)在自中，ZAEfi=90°,ZABE=60°,AB=4

,BE=LAB=2,AE=/AB?-BE2=2石

2

???四邊形AECF是矩形

，FClBC,FC=AE=2>/3

TBF平分ZA4c

???ZFBC=-ZABC=30°

2

在.RfBCF中,ZFCB=90°.AFBC=30°.FC=2x/3

BF=2FC=BC=qBF?-FC?=6

???AD=BC=6.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質、矩形的判定與性質、直角三角形的性質等知識

點，熟練掌握矩形的判定與性質是解題關鍵.

7.如圖，在中，ZC=90°.

求作：線段CQ,使得點。在線段上，且=

作法：①分別以點A,8為圓心，大于長為半徑作弧,兩弧相交于點“，N兩

點；

②做直線MN,交A8于點。；

③連接C。.

所以線段。。即為所求的線段.

（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成卜.面的證明.

證明：'：AM=BM,AN=BN,

???MN是A8的垂直平分線.（）（填推理的依據）

，點。是/W的中點.

,/ZC=90°,

：.CD=^AB.（）（填推理的依據）

【答案】（1）作圖見解析；（2）線段的垂直平分線的性質，直角三角形斜邊中線等于

斜邊的一半.

【解析】

【分析】

（1）根據要求作出圖形即可.

（2）根據線段的垂直平分線的性質，直角三角形斜邊中線的性質證明即可.

【詳解】

（2）證明：V=AN=BN,

???MN是A8的垂直平分線.（一線段的垂直平分線的性質）

，點。是A3的中點.

?/ZC=90°,

,\CD=-AB.（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）

2---------------------------------------

故答案是：線段的垂直平分線的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半.

【點睛】

本題考查作圖-夏雜作圖，線段的垂直平分線的性質，直角三角形斜邊中線的性質等

知識，熟練掌握基本知識是解題的關鍵.

8.如圖，在.A8C中，A13=AC,AD1BC,垂足為。，過點A作4E〃8C,且

AE=BD,連接踮，交AD于點、F,連接CE.

(1)求證：四邊形ADCE為矩形；

(2)若CE=4,求人尸的長.

【答案】(I)見解析；(2)2

【解析】

【分析】

(1)先證明四邊形AOCE是平行四邊形，由ADLAC得到N40090。，實現解題目

標；

(2)由四邊形AQCE是矩形，得到A。=CE=4,根據AE〃8C,得至IJNE4G/BDG

/AEF=/DBF,且AE=8O,得到△AEFgaOBF,得至ijA”=￡>F=,AO=2.

2

【詳解】

(1)VAB=AC,AD±BC,

：,BD=DC,NAOG90。，

VAE//BC,且

...AE//DC,AE=DC,

???四邊形AOCE是平行四邊形，

*/ZADC=90°,

???四邊形人。CE是矩形；

(2)由(1)知四邊形AOCE是矩形,

：.AD=CE=4,NEAF=/BDF=90°,

■:AEHBC,

/./AEF=NDBF,

?：AE=BD,

：.AAEF迫4DBF,

：.AF=DF=-AD=2,

2

【點睛】

本題考查了矩形的判定和性質，平行線的性質，三角形的全等，熟練掌握矩形判定和

性質，根據平行線性質靈活證明三角形的全等是解題的關鍵.

9.如圖，在4ABe中，。是AB邊上任意一點，E是BC邊中點，過點C作A8的平行

線，交DE的延長線于點F,連接8凡CD.

(1)求證：四邊形COB尸是平行四邊形；

(2)若NFO3=30。，乙48c=45。，BC=46,求。尸的長.

【解析】

【分析】

(1)欲證明四邊形CQB尸是平行四邊形只要證明。尸〃。&=DB即可;

(2)如圖，作EM_LOB于點M,解直角三角形即可；

【詳解】

(1)證明：?:CF〃AB、

：.ZECF=NEBD.

YE是BC中點，

：?CE=BE.

?:/CEF=/BED,

:.△CEF@4BED.

：.CF=BD.

???四邊形CQBQ是平行四邊形.

(2)解：如圖，作EM_L/5B于點M,

???四邊形88戶是平行四邊形，BC=4垃,

，BE=-BC=2x/2,DF=2DE.

2

在R3EMB中，BE*sinNABC=2,

在Rl>EMD中，???ZEDM=30°,

：.DE=2EM=4,

：,DF=2DE=S.

【點睛】

木題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、直角三角形30度

角性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬亍

中考常考題型.

10.如圖，在矩形A3CD中，對角線AC,8。相交于點O,過點、C作CE//BD,交

AO的延長線于點E.

(1)求證：ZACD=ZECD；

(2)連接。E,若48=2,心〃NACD=2,求0￡的長.

【答案】(1)見解析；(2)歷

【解析】

【分析】

(1)先證明四邊形BCED是平行四邊形，得至lj8D=CE=AC,再利用等腰三角形的性

質即可證明；

(2)解：過點。作O「_LA。于點R求得A8=CD=2,AD=BC=DE=4f再求得。尸

=1,EF=6,利用勾股定理即可求解.

【詳解】

(1)證明：???四邊形48。是矩形，

：.AC=BD,NA/)C=90。，BC//DE,

'：CE//BD,

???四邊形BCEO是平行四邊形，

/.BD=CE,

/.AC=CE,

???ZACD=NECD；

（2）解：過點O作O匠_L/\。于點凡則尸為4。的中點.

???四邊形A8CO是矩形.對角線AC,B。相交于點。，且A8=2,s〃NACZ）=2,

AH

：.AB=CD=2,AD=BCtanZACD=—=2,OB=OD,

fCD

：.AD=4,

由（1）知四邊形8CE0是平行四邊形，

；?AD=BC=DE=4,

?：OB=OD,OFLAD,

/.OF=-AB=\,EF=DE+-AD=6,

22

,OE=y]OF2+EF2=437?

【點睛】

本題考查了矩形的性質,平行四邊形的判定與性質，銳角三角函數的應用，熟記各性

質并求出四邊形3C￡。是平行四邊形是解題的關鍵.

11.已知：如圖，在菱形A8CQ中，4￡_LAO于點E延長AO至凡使DF=AE,

連接b.

（1）求證：四邊形EBC尸是矩形；

3

（2）若sin/A=g,CF=3,求A尸的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）AF=9.

【解析】

【分析】

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再由3E_LAD可得四邊形￡BC/是矩形;

3

（2）由《門/4二^及^^^可得/^的值，由勾股定理可得AE及。產的值，再由菱形

性質得至IJA。=A3=5,即可得至ljAr的值.

【詳解】

解：（1）證明：???菱形48C￡>,

：,BC//AD,JiBC=AD.

,/DF=AE,

/?DF-^ED^AE+ED,BREF=AD,

：.BC//EF,H.BC=EF.

，四邊形E3b是平行四邊形，

又龐:_LA￡>,

,NBEF=9。。,

???四邊形EBC產是矩形；

a

（2）中，sinZ4=-,

5

.BE3

??----=—,

AB5

又BE=CF=3,

：,AB=5,

：?AE7AB2_BE2=4,

：,AE=DF=4,

???四邊形A8CO是菱形，

：.AD=AB=5f

：.AF=AD+DF=5+4=9.

【點睛】

本題考查菱形與矩形的綜合應用，熟練掌握矩形的判定與性質、菱形的性質及勾股足

理的應用是解題關鍵.

12.己知：ABC,CO平分NAC8.

求作：菱形。FCE,使點尸在BC邊上，點E在AC邊上，下面是尺規作圖過程.

作法：①分別以C、。為圓心，大于為半徑作弧，兩弧分別交于點M、N；

②作直線MN分別與AC、BC交于點E、F；

③連接。E、DF,0c與七廠的交點記為點G；四邊形OFCE為所求作的菱形.

A

（i）利用直尺和圓規依做法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：DE=EC,DF=FC,

/.EF為DC的垂直平分線.

?:DE=EC,

:.4EDC=NECD.

CDT分乙心,

/.ZECD=ZDCB.

:"EDC=/DCB,

//（）（填推理依據）

同理可證即〃CE,

二?四邊形。/CE為平行四邊形.

又；,

???四邊形OFCE為菱形.

【答案】（1）作圖見解析；（2）DE；FC；內錯角相等，兩直線平行；DE=EC（或

DF=FC）.

【解析】

【分析】

（1）根據題FI作法可以得到求作圖形；

（2）由題意可以推得四邊形。FCE為平行四邊形，再由。殳EC可以得到四邊形

DFCE為菱形.

【詳解】

（1）根據題目作法可以得到下面圖形：

A

其中四邊形OPCE為所求作的菱形；

（2）證明：?.DE=EC,DF=FC,

EF為DC的垂直平分線.

\-DE=EC,

:.4EDC=/ECD.

???CZ）平分ZAC8,

?.ZECD=ZDCB.

:"EDC=ZDCB,

-DE//FC（內錯角相等，兩直線平行）（填推理依據）

同理可證。廠//CE,

二?四邊形。/CE為平行四邊形.

又DE=EC,

???四邊形。FCE為菱形.

故答案為。氏FC：內錯角相等，兩直線平行；。斤EC（或。辰R7）.

【點睛】

本題考查菱形的判定及作圖，熟練掌握菱形的判定方法及作圖要領是解題關鍵.

13.如圖，四邊形A5CD是平行四邊形，過點4作AE_L3C交CA的延長線于點E,點

產在8c上，且CF=BE,連接O廠.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）連接8。，若NA8￡>=9（RAE=4,Cf=2,求8。的長.

【答案】（1）見詳解；（2）BD=4非

【解析】

【分析】

（1）由題意易得A8=DC,A8〃QC,AQ〃8C,NA即=90。，則有=

NE4D=ZA￡B=90。，進而可證貝!有NDFC=4￡b=90。，然后問

題可求證；

（2）由（1）可得AD=EF,由勾股定理可得4E=2X/5,設8F=X,則

AD=EF=2+x,進而可得AE=7）/=4,最后根據勾股定理可求解.

【詳解】

解：（1）???四邊形A3CD是平行四邊形，

AB=DC,AB/IDC,AD//BC,

，ZABE=NDCF,ZEAD+ZAEB=180°,

,/AEA.BC,

/.ZA￡?=90°,

/.ZEAD=ZAEB=90°.

'：CF=BE,

???AABEWADCF（SAS）,

ZDFC=ZA￡B=90o,

/.ZEAD=ZAEB=/DFE=90°,

，四邊形是矩形：

（2）由（1）可得：四/形AEFO是矩形，

1/ARD=90°,AE=4,CF=2,

：.AD=EF=4,CF=BE=2,

???在RQAEB中，AB=y]AE2+BE2=2x/5?

設8亡X,則AO=E/=2+x,

:.在/</△48。中，由勾股定理可得BD1=AD2-AB2，

在R3DFB中，由勾股定理可得BD2=4尸+。尸，

AD2-AB2=BF2+DF\BP（2+x）2-20=x2+16,

解得：x=8,

BD=4也.

【點睛】

本題主要考查矩形的性質與判定、平行四邊形的性質、三角形全等及勾股定理，熟練

掌握矩形的性質與判定、平行四邊形的性質、三角形全等及勾股定理是解題的關鍵.

14.如圖，在四邊形A6CD中，AB//CD,AB=AD.AC平分NfiAZ）.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若菱形A8C。的邊長為13,對角線AC=24,點E、尸分別是邊CD、8c的中

點，連接律并延長，與A3的延長線相交于點G,求KG的長.

【答案】（1）見解析；（2）10

【解析】

【分析】

（1）根據題怠可得再根據等角對等邊得出A0=DC,然后根據一組

對邊平行且相等可證明四邊形A8CO是平行四邊形，最后根據菱形的判定方法即可得

證；

（2）連接B。，交AC于點。，根據題意得出8=13,AO=CO=12,再根據中位線

的判定及菱形的性質即可證明四邊形BOEG是平行四邊形，最后根據平行四邊形的性

質及勾股定理即可得出答案.

【詳解】

解:（1）證明：:AC平分NW￡>,AB//CD,

/.ADAC=ABAC,ZDCA=ZBAC,

JZZZ4C=ZDC4,

/.AD=DC,

又,：ABI/CD,AB=AD,

.?.AB//CD,

???四邊形4BC。是平行四邊形,

?/AB=AD,

???四邊形A8CO是菱形.

(2)連接B。，交4c于點0,如圖,

/.CD=13,AO=CO=12,

丁點E、尸分別是邊C。、4C的中點，

EF//BD(中位線)，

VAC.是菱形的對角線，

/.ACLBD,OB=OD,

又,：ABHCD,EF//BD,

/.DE//BG,BD//EG

:.四邊形BDEG是平行四邊形，

/.BD=EG,

在△COD中，?：OC10D,6=13,CO=\2,

?，?Ofi=(9Z)=V132-122=5?

EG=BD=\().

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定及性質、菱形的判定及性質、三角形的中位線的判定及

性質以及勾股定理，熟凍掌握性質定理是解題的關鍵.

15.如圖，在平行四邊形A8CO中，過點。作OE_LAC于點的延長線交A3于

點凡過點3作8G//O尸交。。于點G,交AC于點憶過點G作GNJ.O/于點M

AB

(1)求證：四邊形NEMG為矩形；

(2)若A3=26,GN=8,sin/C43=9,求線段AC的長.

13

【答案】(1)證明見解析；(2)AC=40.

【解析】

【分析】

(1)根據垂直的定義可得NGNE=NME290。，根據平行線的性質可得NMG290。，

即可證明四邊形NEA/G是矩形；

⑵根據sin/C人Z*可求出MB得長，利用勾股定理可求出AM的長，根據平行四

邊形的性質可得NCA8=NACQ,利用AAS可證明△ABM也△CQE,可得CE二AM,根

據矩形的性質可得ME=NG,根據線段的和差關系即可得答案.

【詳解】

(1)VDELAC,GNIDF,

：.NGNE=NMEN=90。,

???BG//DF,

；?/MGN+NGNE=l80。,

JNMGN=90°,

，四邊形N￡MG是矩形.

(2)???四邊形N￡MG是矩形，GN=8,

???NAM8=N4MG=90°,ME=GN=8,

VsinZCAB=—,AB=26,

13

??.M4=/WsinNGW=IO,

?**AM=yjAB2-MB2=24,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.ZCAB=^ACD,

NBMA=/DEC

在和△COE中，＜NC48=4C。，

AB=CD

AAABAf^ACDE,

：,CE=AM=24,

???AC=AM+CE-ME=24+24-8=40.

【點睛】

本題考杳矩形的判定與性質、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質及解直角

三角形，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵.

16.如圖，R/AABC中，ZABC=90°,D是AC的中點，連接80,過點C作

CE//BD,過點B作BE//AC兩直線相交于點E.

(1)求證：四邊形。腕。是菱形；

(2)若4=30。,9。=2,求四邊形。BEC的面積.

【答案】(1)見解析；(2)2G.

【解析】

【分析】

(1)根據兩組對邊平行和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可證出

(2)連接。E交3c于F,先根據直角三角形性質和菱形性質先求出NC。廠,根據已

知邊長，求出。E，CF,進而求出四邊形瓦?面積.

【詳解】

(1)證明：

過點C作CE//BD,過點B作BE//AC

???四邊形BECD是平行四邊形

在R3ABC中，

VZABC=90°,D是AC中點

ABD=DC

..?四邊形8ECQ是菱形；

(2)連接DE交BC于F,

四邊形8ECO是菱形；

/.NDFC=9()o、CF=BF

J.DFHAB

?.ZA=30°,BC=2

ZCDF=30°,CF=1

DC=2,DF=C

DE=2x/3

【點睛】

本題考察了直角三角相關性質和菱形判定和性質等知識點，準確記住相關的判定和性

質是解題關鍵.

17.如圖，矩形A8CZ）中，對角線AC與4。相交于點。。石/”C交的延長線于

點E.

（1）求證：ZADB=NE；

4

（2）若4。=4,cosZADB=-t求AO的長.

【答案】（1）見解析；（2）AO=|.

【解析】

【分析】

（I）由矩形的性質和平行四邊形的判定定理推知四邊形人CE。是平行四邊形，則由該

平行四邊形的性質證得從而證得結論：

（2）由三角函數的定義求得4C=BZ>5,再由矩形的性質進行解答即可.

【詳解】

解：（1）如圖，在矩形A8CO中，AC=BD,AD//BC,且

*：AD//BC,

/.ZADB=ZDBE,AD/7CE.

\*DE//AC,

???四邊形ACE。是平行四邊形，

：,DE=AC.

：.BD=DE,

：.4DBE=4E,

???NADB二NE；

4

(2)VAD=4.cosZADB=-,

.AD4

??----=—，

BD5

：,BD=5,

由矩形的性質知，AC=BD=5,AO=CO=^AC,

：,A0=-.

2

【點睛】

本題考查了矩形的性質.銳角三角函數，解題時，充分利用了矩形的對角線相等、矩

形的對邊平行且相等的性質.

18.如圖，在cA4c。口，AC,BD交于點0,且AO=4O.

(1)求證：四邊形48co是矩形；

3

(2)N8DC的平分線DM交8c于點當A9=3,tan/D8C=一時，求CM的

4

長.

【解析】

【分析】

(1)由平行四邊形性質和已知條件得出AC=8O,即可得出結論；

(2)過點M作MG_L6。于點G,由角平分線的性質得出MG=MC.由三角函數定

義得出3c=4,sinZACB=sinZDBC.,設CM=MG=x,則3M=4-x,在

RiABMG中,由三角函數定義即可得出答案.

【詳解】

證明：(1)四邊形A"CO是平行四邊形，

/.AC=2A0,BD=2BC).

-AO=BO,

AC—BD.

MA8C。為矩形.

(2)過點M作MG_L6￡＞于點G,如圖所示：

ZDCB=90,

:.CMA.CD,

:DM為/BDC的角平分線，

：.MG=CM.

()B=OC,

：.ZACB=NDBC.

3

AB=3,tanZ.DBC=—,

4

3AR

(anNACB=(anNDBC=-=—.

4BC

：.BC=4.

______________4B3

：.AC=BD=yjBC2+CD1=V32+42=5，sinZAC5=sinZDBC=—=-.

AC)

設C“=MG=x,則8M=4-x,

在△HMG中，NBGM=90。,

Y3

/.sinZDBC=—

4-x5

3

解得：x=9，

2

3

2

【點睛】

本題考查了矩形的判定與性質、角平分線的性質、勾設定理、三角函數定義等知識；

熟練掌握矩形的判定與性質和三角函數定義是解題的關鍵.

19.如圖，在四邊形A6CQ中，NBCD=90。,對角線AC,8。相交于點N,點M是對

角線BD中點,連接AM,CM.如果AM=OC,AB_LAC,且48=AC.

(1)求證：四邊形/WCO是平行四邊形.

(2)求tanNOBC的值.

【答案】(1)見解析；(2)1

【解析】

【分析】

(1)根據AM=DC證明AM//DC即可：

(2)根據等腰直角三角形特點，延長AM構造中位線即可解題.

【詳解】

(1)證明：

*/ZDCB=90°

在RADCB中，點M為DB中點、

：.MC=-BD=BM

2

???在3ABe中，AB=AC

???ABM^ACM

/.Z/MM=ZC4M

/.AMA.BC

,/NDCB=90°

/.AM//DC,

AM=DC

???四邊形AMC。是平行四邊形

（2）延長A例，交BC于點Q,

*/AMLBC

：,AM//DC

IM是8。中點,

???MQ=；DC

又：AM=OC

/.MQ.AM

中，AB=AC,AMIBC

???AQ=BQ

tanNDBC=^=L

BQ3

【點睛】

本題考查宜角三角形斜山中線及中位線，解題的關鍵是熟記平行四邊形判定定理及三

角函數解題策略.

20.如圖，在4A8c中，AC=BC,為.A8C的角平分線，AE//DC,AE=DC,

連接CE.

（1）求證：四邊形A/X石為矩形：

（2）連接OE,若AB=10,CD=12,求OE的長.

【答案】（1）見解析；（2）13

【解析】

【分析】

(I)利用一組對邊平行且相等的判定方法先判定其為平行四邊形，再利用有一個角為

直角的平行四邊形是矩形判定即可：

(2)根據(1)中證明出的四邊形ADC石為矩形，利用勾股定理求出4C的長度，進而

利用矩形對角線相等的性質，可以得出力E=AC=13.

【詳解】

(1)證明：如圖.

??,AEUDC、AE=DC,

???四邊形ADC￡為平行四邊形.

???在oABC中，AC=BC,CO為乙ABC的角平分線，

???CO_LAB,

/.ZAZX?=90°.

，四邊形A/X7T為矩形.

(2)解：???AC=AC,。。為乙ABC的角平分線，A4=10,

AD=—AB=5.

2

在川△AC。中，ZADC=90°,AD=5,8=12,

AC=Jm+CD2=752+122=13.

???四邊形AZXE為矩形，

/.DE=AC=\3.

【點睛】

此題考杳了平行四邊形、矩形的判定以及直角三角形的性質、勾股定理等內容，關鍵

是對這些判定以及性質的運用.

21.如圖，在aABC中，N8AC=90。，A。是8C邊上的中線，AE//BC,CE//AD.

EI)

4B

(1)求證：四邊形AQC￡是菱形；

(2)連接BE,若NA8C=30。，AC=2,求BE的長.

【答案】(1)見解析；(2)24

【解析】

【分析】

(1)先利用兩組對邊分別平行4月〃BC,CE//AD,證四邊形ADCE是平行四邊

形.利用直角三角形斜邊中線性質AZ>8D=C￡>.可證四邊形4QCE是菱形.

(2)過點E作E”_L助交84的延長線于點H.在心AABC中，由30。直角三角形性

質可求BC=2AC=4,利用勾股定理可求AB二序萬=26.進而可求A。，由四邊

形AOCE是菱形與AE//8C,可求NEA”=NA8C=30。.在心AAEH中，由三角函數

EH=\,AH=?.HB=36在RdBEH中,BE=4(3也『=2幣.

【詳解】

(1)證明：*：AE//BC.CE//AD,

???四邊形AOCE是平行四邊形.

VZBAC=90°,A。是邊上的中線，

：.AD=BD=CD.

???四邊形AOCE是菱形.

(2)解：過點E作E從L8A交84的延長線于點，.

在?△A"?中，NABC=30。，AC=2,

ABC=2AC=4,A8="2_22=28.

：,AD=^BC=2,

?.?四邊形AOCE是菱形，

：,AE=AD=2,

*：AEHBC,

：.ZEAH=ZABC=3()Q.

Rt^AEH+,EH=AExsin30°=2x-=l,

2

AH-AEcos30°=2x—=73.

2

在RmBEH中，

8七二JF+（3J5）2=2幣.

【點睛】

本題考查菱形的判定與性質，直角三角形斜邊中線性質，30。角直角三角形性質，勾股

定理，特殊角銳角三角函數，通過引輔助線構造直角三角形，用勾股定理解決問題是

關鍵.

22.已如，如圖，在AaAC中，AB=AC,4。是BC邊的中線，過點A作BC的平行

線，過點B作A。的平行線，兩線交于點七，連接DE交AB于點O.

（1）求證：四邊形AOBE是矩形；

（2）若RC-8,求四邊形八EAC的面積.

【答案】（1）見解析；（2）18

【解析】

【分析】

（1）只要證明四邊形是平行四邊形，且乙4。6=90。即可;

（2）求出A8、AD,利用梯形的面積公式解答即可.

【詳解】

（1）'：AE//BC,BE//AD,

???四邊形人OBE是平行四邊形.

\*AB=AC,A。是3c邊的中線,

：.ADA.BC.

即NADB=90°.

???四邊形ADBE為矩形.

(2),??在矩形AQBE中，A0=~,

2

：.DE=AB=5.

???。是BC的中點,

：.AE=DB=4,

，根據勾股定理人。=JAB,-16,=3，

S四邊㈱/=—(8+4)x3=18.

【點睛】

本題考杳了矩形的判定和性質、等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是熟練掌握矩形的判定方法，屬于中考常考題型.

23.如圖，已知△A6中，ZACB=90°,￡是村5的中點，連接CE,分別過點A,

C作C￡和A3的平行線相交于點Q.

(1)求證：四邊形AQCE是菱形：

(2)若八3=4,ZDAE=60°,求△AC8的面枳.

【答案】(1)見解析；(2)26

【解析】

【分析】

(1)求證CE=4E,根據平行四邊形和菱形的判定證明即可;

(2)根據菱形的性質和直角三角形的性質解答

【詳解】

(1)證明：VAD//CE,CD//AE,

???四邊形ADCE是平行四邊形.

??,NACB=90。，E是AB的中點，

：.CE=AE,

???四邊形A3石是菱形.

(2)解：AB=4,AE=CE=EB,

：.CE=AE=2.

???四邊形AZXE是菱形，ZDAE=60°,

AZCAE=30°.

???在maABC中，ZACH=90°,NCAE=30。，AB=4f

：.CB=-AB=2,

2

?二AC=S/A82-BC2=273-

^SVACB=^ACBC=2>J3.

【點睛】

此題主要考查了菱形的性質和判定，要求學生能夠靈活運用菱形知識解決有關問題.

24.如圖，在菱形4BCD中，點E是CD的中點，連接AE,交BO于點F.

(1)求8F：D尸的值;

(2)若A8=2,AE=B求4。的長.

【答案】(1)2：1；(2)

【解析】

【分析】

(1)根據菱形的性質結合相似三角形的判定和性質求解；

(2)根據菱形的性質及勾股定理的逆定理判定N4ED=90。，然后利用特殊角三角函數

值計算求解

【詳解】

解：（I）???四邊形ABC。是菱形,

/.AB//CD,AB=CD.

???△ABFSRDEF.

.BF_AB

~DF~~DE'

丁點E是CD的中點，

：.AB=CD=2DE.

:.BF：DF=2：1.

（2）連接AC

???四邊形人8CQ是菱形，

：.AB=AD.

???AB=2,

，AO=2,DE=\.

AE=Jj,

AD2=AE2+DE2?

.??NAEO=9()°.

VsinZADE=^~,

2

Z/\DE=60°.

在菱形A8CD中，RD為對角線,

/.NADB二；ZADE=30°.

連接4C,交于點。.

???四邊形ABCQ是菱形，

/.AC1BD,OB=OD.

AO=^AD=\.

在心△AO。中，由勾股定理，得。。=6.

:,BD=2OD=26.

【點睛】

本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質和判定，菱形的性質，能綜合運用知識

點進行推理和計算是解此題的關鍵.

25.如圖，平行四邊形A8C。的對角線AC,BD交于點O,AE_LBC于點E,點、F

在8c延長線上，且CF=BE.

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接AF,若tanZABC=2,BE=\,AD=3t求A/的長.

【答案】（1）見解析：（2）歷

【解析】

【分析】

（1）根據平行四邊形的性質得到AQ〃5c且AO=8C,等量代換得到4C=放，推出

四邊形4瓦曾是平行四力形，根據矩形的判定定理即可得到結論；

（2）解直角三角形得到AE=lanNABCBE=2xl=2,由矩形的性質得到

ZAD尸=90。.根據勾股定理即可得到結論.

【詳解】

（1）證明：

???平行四邊形ABC。,

AAD//BC,AD=BC,

?:CF=BE,

：,CF-\-EC=BE-\~EC,

即BC=EF,

/.AD//EF,AD=EF,

:.四邊形AEFD是平行四邊形，

'：AE±BC,

，NAE產=900,

???四邊形AEFD是矩形.

(2)解：在mZiABE中，N4EB=90。，tanZABC=2,BE=\,

?AE

,,----=2,

BE

：.AE=2,

???四邊形AEFD為矩形.

:,FD=AE=2,ZADF=90°.

*：AD=3,

???AF=y/AD2+DF2=V32+22=屈?

【點睛】

本題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，解直角三角形及勾股定

理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

26.如圖，在心AABC中，ZACB=90°,D,E分別是邊AB,3c的中點，連接。E

并延長到點立使EF=DE,連接CRBF.

(1)求證：四邊形C”B。是菱形；

(2)連接AE,若CF=屈,DF=2,求AE的長.

【答案】(1)見解析；(2)V13

【解析】

【分析】

(1)證明四邊形CFBZ)是平行四邊形，再證明N1=90。，即可判定四邊形CFB。是菱

形.

(2)根據菱形的性質求得EF=1,再由勾股定理求得CE=3,由三角形的中位線定理

可得AC=2,再由勾股定理即可求得=

【詳解】

（1）證明：???￡是邊4C的中點，

:?BE=EC,

DE=EF,BE=EC,

???四邊形CFB。是平行四邊形，

是AA邊中點，E是4C中點,

：,DE//AC,

，N1=NACB=9O。，

???四邊形CFB。是菱形.

（2）???四邊形CFB。是菱形，

AZCEF=90°.

VDF=2,

：.EF=\,

VC?'=V10,

，由勾股定理得，CE=3,

VD,E分別是邊AB,BC的中點,DE=1,

：,AC=2,

???ZACB=90°,

由勾股定理得4E=Ji5.

【點睛】

本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練運用相關知識是解決問題的關

鍵.

27.如圖，在四邊形A6C。中，ZBCD=90°,對角線AC,8。相交于點N,點M是

對角線區。中點，連接AM,CM.如果A"=DC,AB±AC,且=

--------------------------

（1）求證：四邊形AMCO是平行四邊形.

（2）若。N=M，則灰;=,tanZDBC=.

【答案】（1）見解析；（2）12,1

【解析】

【分析】

（1）要證明四邊形AMCQ是平行四邊形，己知AM=DC,只需要證明AM〃。。即

可；由條件可知△AMBZ/XAMGSSS）,推理可得NOC4=NMAC=45。，由內錯角相

等，兩直線平行可知AM〃CD,可得結論；

⑵根據平行四邊形的性質得OM=2后即可得B。=4加，延長AM交8C于點E,

由等腰三角形三線合一可得點回是的中點，ME是ABC。的中線，則ME=gcD.

進而8C=6A1￡,最后由勾股定理求出歷七=2,從而可得結論.

【詳解】

解：（1）證明：如圖，

???點M是BD的中點，ZBCD=90°

???CM是Rt>BCD斜邊BD的中線,

:,CM=BM=MD,

XAB=AC,AM=AM,

:?2AMB坦AAMCBSS、1,

：.ZBAM=ZCAM,

VBA1AC,

JZBAC=90°,

:.NCAM=45。

又,.,A4=4C,

JZACB=ZABC=45°

，ZDCA=ZDCB-ZACB=45°,

/.ZDCA=ZMAC,

：.AM//CD,

又???AM=OC,

???四邊形AMCD為平行四邊形.

(2)由(1)得，MN=DN=M，即。也=2而

/.BD=4M

延長AM交8c于點E,如圖，

\'AB=AC,ZBAC=90°,N8AM=NC4M,

???AEJ_8C,且點E為BC的中點，

AE=-BC

2

???點M是8。的中點，點E是8c的中點,

???加后是43CO的中位線，

：?CD=2ME,

又AM=CD,

：,AM=2ME,

.\ME=-AE

3f

:.BC=6ME,

在RfABCD中,BC2+CD2即（6川￡尸+（2M￡/=3加產

解得，ME=2

A/?C=6x2=12,CD=4

tanZDBC==—=—,

BC123

故答案為：12,—.

J

【點睛】

此題主