第八章空間解析幾何

第1節(jié)向量及其線性運(yùn)算

1.求在yOz面上與三個已知點43,1,2)、8(4,—2,—2)、C(0,5,1)等距離的點。

解：設(shè)(0,y,z)為yOz面上所求的點，則

j32+(y-l)2+(z-2)2^7477(y+2)2+(z+2)7

[j32+(y_(2+(Z_2)2=J()2+(y_5)2+(Z_l)2

解得，y=l,z=-2故所求點為(0,1,-2)。

2.^-&a=i+j-4k,h=2i-2j+k,［與b夾角余弦為應(yīng)，求(1)［的模(2)1的方向余弦(3)與［同

向的單位向量(4)1在匕上的投影(5)b在々上的投影

解：(1)p|=712+12+(-4)2=3>/2,

(2)cosa=-^-=,cosB=-^7=,cosr=—%==-—>/2o

3V23V23V23

⑶

(4)Prj/=Mcos°=3(_]0)=_q應(yīng)

(5)Pr=|a|cos°=3>/i(_=_；

3.設(shè)有向量［鳥，已知麻卜2,它與x軸和y軸的夾角分別為如果Pi的坐標(biāo)為(1,0,3)

求Pz的坐標(biāo)

解：設(shè)向量的方向角為a/,y,a=q,尸=(,cosa=g,cos/?=孝，

22r>>1171

cosa+cosp+cosiy=1cos/=±—,/=^orY~

設(shè)Pz的坐標(biāo)為(x,%z)

x-\x-11r□y-0yV2/T

cosa------=------=-=x=2,cosp=-------=—=—=y=

224622

z-3z-3.1

cos/=-----=——=±—=>z4orz=1

利22

P2的坐標(biāo)為(2,及,4),(2,夜⑵

4.已知三點4(1,0,4)、3(3,2,2)、C(-2,-l,0),。為線段A3的中點，求與CD平行的單位向量。

解：設(shè)點D"z),則尸*2,尸等“Z毋3,故D點的坐標(biāo)為(2,L3),而={4,3,2}。

{423卜土喘高'

CD”=±

742+22+32

第2節(jié)數(shù)量積向量積

—?—?—?—?—?—?—?—?—*—>

1.已知仇c兩兩垂直，且|a|=l,|b|=2,|c|=3,求S=a+8+c的模和它與向量分的夾角。。

解：M=s?s=(a-^b+c)?(ab+c)^a?a+b?b+c?c+2a-b+2a-c+2b?c

—??2—>I—?12―?fr2

2

因a?a=〃=I=1,〃?力=A=4,c?c=c=9o

且。?力=a?c=8?c=0。因此

2=1+4+9=14,M=

，cosW望Ja+”c).〃率=盤,^arcco^

卜,V14-22拒V14V14

2.向量々與石構(gòu)成夾角0=135,且正=3,求|￡一1|。

—?—?2—?—?—?—?—?-?—*-*—*I—?12i—?ii—?[i-^i2

解:a-b=3—萬)?(〃一))二a?。一加?方+力?)二a一明力cosp+b

=(V2)2-2V2X3X(--^)+32=17H=舊。

V2

3.設(shè)a=3i+2j-k,b=i—j+2k,求：(1)a-b；(2)axb；

(3)a與〃的夾角。(4)以公方為鄰邊的平行四邊形的面積;

解：(1)a-ft=3xl+2x(—1)+(—1)x2=—1?

ijk

(2)axh=32-1=3i-7j-5k.

1-12

...a?b-11s八，1、

(3)cosa=Ij-//一=------,=，故夕=arccos(---1=)°

百+2?+(—1)2,2+5+222V2I2V21

(4)S=,Xq=42+(-7)2+(-5)2=屈

—>—*—?—?—*—?—??

4.已知|a|=3Jb|=2,a與方的夾角6=求(1)；(2)|(a+))x(a—方)|。

fa.b]

解：1.PrJ-ft=-pr-=2x(——)=-1；

°H

_____________________________/a

2.(tz+^)x(6z-^)=-2axb=2axh=2Lz||^|sin^=2x3x2x——=66。

2

5.設(shè)。={1,3,2},〃={2,必4},求⑴的條件；(2)a〃〃的條件。

解：(1)a-b=Ix2+3xy+2x4=3j+10?因aJ_Z,故a-)=0。

于是3y+10=0,y=-與；

一-132

(2)由a〃b,則一,故y=6。

2y4-

6.已知三角形的頂點A(l,l,—l),b(2,l,0),C(0,0,2),求AA5C的面積。

____ijk

解：由于布={1,0,1},AC={-1-1,3)1'ABXAC=10l=i—4J—左。所以

-1-13

S&aABXAC=^\i-4j-k\=^712+(-4)2+(-l)2=

7.已知a[,c為單位向量，且滿足a+B+c=6,計算：a-b+b-c+c-a?

解:注意到(Z+5+3(Z+Z+1)=0

—?-?——?—?——?——*—?—?f——?

另一■方面：(a+Z?+c),(a+b+c)■a「+1Z?「+1c1~+2(。?。?c+c?a)

因止匕a?!)+1)?c+c?a=——

2

8.設(shè)為任意向量，試用向量的數(shù)量積證明不等式|。+力區(qū)|。|十|)|。

2——2—*2-?—2

證：a+b=(a+Z)?(a+Z)二||+2a-b+\b=a+2abcos(a,b)+b

故a+h<

第5節(jié)平面及其方程

1.求過點(3,0,-1)且與平面3“一7丁+52-12=0平行的平面方程是3工—7丁+52—4=0。

2.欲使平面x+價—2z—9=0,(1)與平面2x+4y+3z-3=0垂直，則％=1；

⑵與平面2x-3y+z=0成45°角，則Z=土欄。

3.點(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離d=1。

4.兩平行平面口附10x+2y—2z—5=0和口？：5x+y—z—1=0之間的距離d=斗.

5.求過點A(l,1,-1),8(-2,-2,2)和C(L-L2)三點的平面方程。

____ijk_

解：布={-3,-3,3},元={0,-2,3}n=Qx耘=13-33卜一3：+91+6%

023

所求平面為：一3(x-l)+9(y—l)+6(z+l)=0x—3y-2z=0

6.求過點M(l,—1,1)且垂直于平面x—y+z+l=0和2x+y+z+l=0的平面方程。

解：所求平面的法向量

ijk

n=n]xn2=\-11=—2i+j+3k,

211

故所求平面方程為一2(x-1)+(y+1)+3(z-1)=0即2x—y-3z=0。

7.設(shè)平面過原點及點(6,-3,2),且與平面4了-丁+22=8垂直，求此平面方程.

解設(shè)平面為Ax+By+Cz+。=0,由平面過原點知。=0,由平面過點(6-3,2)知6A-3B+2C=0.

v{A,B,C}±{4-1,2),

2

:.4A-B+2C=0^>A=B^--C,

3

所求平面方程為2x+2y-3z=0.

8.求平行于平面6x+y+6z+5=0而與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.

解設(shè)平面方程為6x+y+6z=D,—匚+2+三=1

D/6DD/6

=-1=1,.-.￡>=±6

3326161

所求平面方程為：6x+y+6z=6.or6x+y+6z=-6.

9.求通過點和B(2,2,2)且與平面x+y-z=0垂直的平面方程。

解：設(shè)M(x,y,z)為所求平面上的任一點，AS={1,1,1},={1,1-1},

所求平面"的法向量〃_LAB且〃_!_%,所以n=ABx=-27+2J

所以，所求平面方程為無一丁=0

第6節(jié)直線及其方程

1.下列各組中的直線與平面的關(guān)系分別是

4

/\X+3y+4--CT/-

(1)--------=--------=一和4元一2y-2z=3平仃;

—2—73

(2)：=和3x—2y+7z=8M；

(3)占2=匕吆=三三和x+y+z=3在平面上。

31-4

fx+y+3z=0

2,直線4和平面x—y-z+l=0間的夾角夕=0°

x-y-z=0-----

X—37—1x—47—3

3.過點(4,—1,3)且平行于直線二5二=>=三的直線方程是(之廣=)'+1=二『)

4.求過點(2,0,-3)且與直線1垂直的平面方程。

3x+5y-2z+l=0

ijk

解：直線的方向向量S=1-24={-16,14,1l}o

35-2

所求平面的法向量7=：故平面方程為16r-14y—1匕-65=0。

5.求過點(3,1-2)且通過直線二U=29=J的平面方程。

解：化直線—=工二=￡為一般式，x—5z—4=0

521y-2z+3=0

則過直線的平面方程束為：(x-5z—4)+丸(>—2z+3)=0。

Q

把點(3,1,—2)代入并解出2=因而所求平面為8x—9y-22z-59=0。

6.求過點(0,2,4)且與兩平面x+2z=l和y-3z=2平行的直線方程.

解設(shè)所求直線的方向向量為亍={"?,〃,〃},根據(jù)題意知§lnl9sln2,

iJk

取5=勺乂々=102={-2,3,1},

01-3

所求直線的方程小心=工匚=三

-231

7.一平面通過兩平面x+y—z-2=0和3x+y—z—5=0的交線，且通過點(1,8,2),求此平面方程。

解：過交線的平面方程為x+y—z—2+/l(3x+y—z—5)=0。

4

因平面過點(1,8,2),代入得：1+8-2-2+/1(3+8-2—5)=0=>/1=-,。應(yīng)該是-5/4

故所求平面方程為llx+y—z—17=0。

8.設(shè)直線L：U=[j=個，平面口“7+22=3,求直線與平面的夾角夕.

解n={1,-12},?={2-1,2),

Bn-\-Cp\|1x2+(-1)x(—1)+2x2|7

sm*~〃2+8“2;扣二〃2+/_70—訪

7、-、

/.(p=arcsin一產(chǎn)為所求夾角.

3V6

9.求過點M⑵1,3)且與直線土里=匕」=三垂直相交的直線方程.

32-1

解先作一過點”且與已知直線垂直的平面：3(x—2)+2(y—l)—(z—3)=0,

再求已知直線與該平面的交點N,

x=3/-1

.x+1y~lZ

令----=且——二——?><y=2,+L

32-1

z=-t

代入平面方程得3°,交點M取所求直線得方向向量就,

7(777)

x-2y—1z—3

所求直線方程為

2

10.求兩平行直線4：8一1=2里=三與￡2：工一2=2二口=匕1之間的距離。

2222

解：已知加(1,一1,0)為直線右上的點，設(shè)點Nao，%*。)為直線右上的點，且MN與直線￡)垂直，則

x0=2+/

v%=1+2，，MN={xQ-1,yQ+1,20}={1+^2+2/,-1+2r},

ZQ=-1+2，

且(l+f)+2(2+2f)+2(_l+2f)=0得f=-1,點N(g，；，-g)

-M-N-=245所以兩條直線之間的距離為—MN*的模d=&/-

第九章多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用

§1多元函數(shù)概念

1、設(shè)/(X,y)=%2+y2@(x,y)=%2-y2,求：/取工/),)?]

答案：f{(p{x,y),y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4

6

2、求下列函數(shù)的定義域：

⑴、f(x,y)^y/x-2y{(x,y)|x>0};

1

⑵、{(x,y)\x2+y2<2};

-J

3、求下列極限:

/血y

⑴、(腐。)(0)

x2+y2

4

(2)、limT1(oo)

(A-,y)->(0,0)xZ+y

4、證明極限lim不存在.

(x.y)T(O,O)x4+y2

、1

證明：當(dāng)沿著x軸趨于(0,0)時，極限為零，當(dāng)沿著y=》2趨于(0,0)時，極限為萬,

二者不相等，所以極限不存在

5、證明函數(shù)/*,)，)=<+/'(x，y)*(°，°)在整個xoy面上連續(xù)。

0,("=(0,0)

證明：當(dāng)(x,y)w(0,0)時，/(x,y)為初等函數(shù)，連續(xù)。

當(dāng)(x,y)=(0,0)時limxysin,=0=/(0,0),所以函數(shù)在(0,0)也連續(xù)。

(x.y)f(o,o)yjx2+y2

所以函數(shù)在整個xoy面上連續(xù)。

6、設(shè)2=x+y+/(x+y)且當(dāng)y=0時z=X),求f(x)及z的表達(dá)式.

解：f(x)=》2-x,z=x2+2y2+2xy-y

§2偏導(dǎo)數(shù)

1、設(shè)z=xy+xex，驗證x---Fy—=xy+z

dxdy

dz-y-dz-.dzdz

證明：——=y+ex—ex,—=x+ex,??xby——=xy+xy+xe*=xy+z

dxxdydxdy

z=x+y八］

f在點(四，上,1)處切線與X軸正向夾角(色)

)y=5223

3、設(shè)f(%,y)=孫+(y-l)2arcsin求，(x,l)⑴

4、設(shè)…乂求瞿及之

23223223232322322223

解：—=3(x+yz)2x=6x(x+yz)1-=3(x+yz)ZMZ(x+yZ)—=3(x+yz)3yz=9yz(x+yz)

dxdydz

d2ud2ud2u2

5、設(shè)〃=+y2+z2,證明----1-----1----=—

dx2dy2dz2u

6、設(shè)/(")=*+/，-OO),求？(0,0),4(0,0)。

0,(x,y)=(0,0)

解：工'(0,0)=lim=lim=2

x->°x-0iox

7、設(shè)函數(shù)/（覆＞）在點（a加處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求lim以。+x,b)-f(a-x,b)

.sO%

于(a+x,b)-于(a-x,b)f(a+%,/?)-/(?,/?)f(a-x,b)-f(a,b)

1im---------------------------------=lim-------------------------------Flim----------------------------

解：XTOxK—oxx—o—x

=/：(a/)+/；(a/)=2f(a力)

§3全微分

1、二元函數(shù)Ax.v）在點（x,y）處連續(xù)是它在該點處偏導(dǎo)數(shù)存在的D.

（A）必要條件而非充分條件（B）充分條件而非必要條件

（C）充分必要條件（D）既非充分又非必要條件

2、對于二元函數(shù)/（x,y）,下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是B

（A）偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在（B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在

（C）全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)（D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在

V、

3^設(shè)z=arctan二求dz

x

5dz1—yydz11x

解：—=-------=―一,一—=------=—；——

&1+（］X…必］+（））7X37

dz-——~-dx+.*、dy

x+yx+y

8

4、設(shè)函數(shù)“=av+"—alnx(a為常數(shù)且a>0)求

解：生=a'+>'」na-@；

dxx

dux+yz]x+vyzi

——二Q八Ina?z=zaIna

Sy9

-=a'+y:\na-y=yax+yi\na

dz.

du=(ax+yz\na-—)dx+(zar+y;Ind)dy+{yax+yzInd)dz

x

5、z=sin(_xy2)解：dz-cos(xy2){y2dx+2xydy)

6、設(shè)2=21'或211~,求dz|(l,l)

i+r

%=i________ii+r

22

'.fix(x丫l+)2—%+(l+/)'

dy(Y(1+/)2x2+(l+y2)2

I港xJ

,]+y->—2xy,

dz=--------dx+---------dy

%■+(1+/)-x+(\+y)

</z|(1產(chǎn)，1+二，dx+,一2“產(chǎn)2公二力

(IJ)12+(1+12)212+(1+12)255-

7

7、設(shè)F(x,y,z)=——，求：叭1,2,1)

x+y

解：(1,2,1)=^(-2dx-4dy+5dz)

(x2+yI)sin,,(x,y)h(0,0)

8、討論函數(shù)f(x,y)={J/+,27在(0,0)點處的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、可

0,—0,0)

微性。

解：lim(x2+y2)sin1=0=/(0,0),所以/(羽一在(0,0)點處連續(xù)。

—387%2+y2

4(0,0)=lim’(。‘。)=o,/(o,o)=iim/(。‘紳)一/(。‘。)=()

y

(x,y)->(0,0)A%(x,y)->(0,0)Ay

,(Ar,Ay)-0.0,所以可微。

7(AX)2+(A^)2

§4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、設(shè)z=e"cos(〃+y),〃=r\y=In，，求一

dt

dzj

解：一=[eltcos(w+v)-eltsin(w+v)]-3r2+e"[-sin(〃+y)]?一

dtt

=J[3t2cos(r+Inf)—(3『+1)sin(r+g/)]

t

2、設(shè)z=(x+y產(chǎn)3求繆瑪

oxdy

a

723

—=(2x-3y)(x+y產(chǎn)口t_3(%+y)->ln(x+y),

Sy

4、設(shè)z=/(盯,x+y),,其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求三。

oxoy

解:Q:z=乃>+==比'+月；

OX

d2z

==>'+三。?％+尤]+[引?％+%]=工'+壯:+(%+，)光+%

oxoy

5、設(shè)Z=，(，—,2,2孫)，其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,，W，殳!

旨=2必'+2)/票=-2yf：+2x￡

dxoy

—=2X(Z；(-2^)+/122x)+2人+2y(%"(-2y)+%'2x)

oxoy

22

=2//-4^/+4(x-y)ft2+^xyf22

2

'^7=2工+4x"；+Sxyft2+^yf22

2

a7

TT=-2f：+4y2yM"_8x_)九”+f22

Sy

2q2

6、設(shè)z=/(x,y2,2L),其中/對各變元具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與。

xcxoy

a22

解：彳=￡'+力'上萬=7/一與力’

OX-XX

10

2=九-2丁+犬至—胃。一+型]

oxoyxxx|_xJ

=—學(xué)力'+2環(huán)；+型九一號分2y—鴛6

XXXX

u=x-2yd~zd~z32zd~z

7、設(shè)z=z(〃,u),且變換I,可把方程62+化為三=0,其中z具有二階

v=x+aydxdxdydydudv

連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù)。的值。

、十皿dzdzdzdzdzdz

證明：一=—H；——=-2----\-a—

dxdudvdydudv

d2zd2zd2zd2u

---------1------1----

dx2du2dudvSv2

2222

dz.dzAdz2du

dydudv

d2z82Zd2zd2u

-----=-2-丁+3-2)+a―-

dxdy-----Qu2Sudvdv2

得：(10+5a)~^+(6+a—4)華=0Cl=3

dudvdv

8、設(shè)〃二,，r=yl(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,證明：++=0。

rvdx28y2dz2

du_ddr_12(x-a)_x-a

SxSrlrJdxr227(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2,

3/、Q2dr3/xo22(%—Q)

r-(x-a)-3r—r-(x-tz)-3r----------

d2udx_2-

2

213(x-a)

dx丁4--------5-------

〃

-21.3(一)2d2u13(z-c)2

類似可求得W曠一方二尸

d~ud2ud~u33.,/⑶

所RC以rl寸++胃=一一-+—rz[(%-?)-2+(zy-Z?x)2-+(z-c)-]=n0o

dx7d7yTdz-rr

§5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

、dy

1、設(shè)ylny=x+y,求一

dx

解：令，E(x,y)=ylny-x-y

dy_1

F=-l,F=lny,，

xydxIny

_92、甘+r-r^、丁口riSzdz

2、設(shè)z+x=j/Qr-z),其中/可微。證明：z—+y—=x

dxdyo

dziq,亦、dz.dz2x)f-l

證:----\-\=yf?(2x-2z—)=>—

dx----------------------dxdx1+2W

dz./cSz、dz

f+yf-(-2z—)^—=f

oydy1+2W

dzdz2xyfr-1f2xM*'-z+_2xM*'+x_

z瓦卡)'詼/1+2聞\)'1+2y琰=l+2y/-l+2y/=入

.a2z

3、設(shè)z=z(x,y)是由方程工-2;/+z?-4%+22-5=0確定,求力

Sy-

.c也c也dz2y

解：-4y+2z----1-2—=0=>—=-----

dydydyz+1

匹=2__2V1Sz」22),1__2y_2(z+l)2—4y2

談-V(z+1)2ay-z+l-}(z+1)2z+1~~(z+l)3

.2'x2-+y2+z2=iId1ydz

4、設(shè)〈，，，求下，

z=x+ydxdx

dyXdzc

—=一一一=0

dxydx

QzQz

5、設(shè)z=zQ,y)由方程尸(個,y+z,xz)=0所確定，尸可微，求〒，丁

oxdy

解：令F(x,、z)二產(chǎn)(肛,y+z,xz),則

dz_Fx_F^y+zF^dz_F、_￡'x+工’

&工]+工工''②EH+叫’

6^設(shè)函數(shù)z=z(x,y)是由方程以九2%+<：052丁+(：0522=1所確定，求dz。

解:2cos%?(-sinx)+2cosz-(-sinz)—=0fiz__sin2x

dxdxsin2z

2cosy?(—siny)+2cosz-(-sinz)—=03z__sin2y

dydysin2z

.dz.dzsin2x,sin2y,

dz=—dxHdty=—dx—；dy

dxdysin2zsin2z

12

7、設(shè)z=z(x,y)由方程,=工一工所確定，證明：X2—+/—=

zxydxdy

2

1&_1dz1dz1dzz2

證:7次=一季0豕=>——

z2dyy25yy2

所以

,22

2dz2包=》2.Z2Z八

x—+y—+y,—r=o

dxSyXA

§6微分法在幾何中的應(yīng)用

TT

1、求螺旋線x=2cosr,y=2sin/,z=3f在對應(yīng)于，=一處的切線及法平面方程

4

解：切線方程為

3乃

X—?^2,y—5/2z4

-V2—也—3

法平面方程

—V2(x—V2)+V2(y—V2)+3(z------)=0

4

2、求曲線1:"在(3,4,5)處的切線及法平面方程

.z2=x-+y2

解：切線方程為七二=1=小，法平面方程：4x—3y=0

4-30

3、求曲面Sz?+4尤2y-6立2=3上點(1,1,1)處的切平面和法線方程。

解：F(x,y,z)=5z2+4x2y—6xz2—3,則

理(％,y,z)=8xy—6z2F^(x,y,z)=4x2F：(x,yz)=10z-12xz

9?°9

在點(1,1,1)處工'(1,1,1)=2；F：(l[,l)=4；r(Ul)=-2,

所以法向量n=(2,4-2)=2(1,2-1)

切平面方程是：(x—l)+2(y—z)-(z-l)=0,即x+2y—z—2=0；

法線方程是：—==

12-1

4、設(shè)可微，證明由方程/(ax-匕z,ay-8z)=0所確定的曲面在任一點處的切平面與一定向量平

行

證明：4*F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz)9則

Fx=fia,Fv=力a,Fz^-bf}-bf2,a,f2a,-bf}-bf,}n-(b,b,a)=0,所以在

(x0,y0,z0)處的切平面與定向量(b,b,a)平行。

2222

5、證明曲面/+/+z3(a>0)上任意一點處的切平面在三個坐標(biāo)軸上的截距的平方和為/

22227—7—

333

證明：令F(x,y,z)=x+y3+z&—揖，則屬=耳1Fy=—y,Fz=—z,

_1_1_1

在任一點(Xo,%,z。)處的切平面方程為入0一六工一工0)+-%)+Zo-§(z-z。)=。

12,2J2

在在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為％0市3,為打3,ZO§Q3,在三個坐標(biāo)軸上的截距的平方和為。

6、設(shè)/可微，證明曲面x—az=/(y-匕z)上任一點處的切平面均與定直線±=)=z平行。

ab

證：設(shè)尸(x,y,z)=/(y-》z)-(x-az)

F'(x,y,z)=-l；Fy(x,y,z)=f(y-bz)iF'(x,y,z)=-bf\y-bz)+a,

曲面上任一點(x,y,z)處的切平面法向量為n(-1,f,-bf+a)?

定直線的方向向量是§=(a力,1)n-s=-a+bf'-hf'+a^O

所以曲面x—az=/(y—?dú)v)上任一點處的切平面均與定直線W=2=z平行。

ah

7、證明：曲面="(。〉0)的切平面與坐標(biāo)面形成體積一定的四面體。

7方向?qū)?shù)與梯度

1、設(shè)函數(shù)/(羽丁)=*2—孫+y2,⑴求該函數(shù)在點(1,3)處的梯度。2)在點(1,3)處沿著方向/的

方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達(dá)到最大和最小的方向

解：梯度為gradf(l,3)^-i+5j,

g^L3)=-8se+5sin。，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向為1=(—1,5),方向?qū)?shù)達(dá)到

最小值的方向為—1=(1,一5)。

2、求函數(shù)〃=邛2+尸2+〃2在(i,2,-i)處沿方向角為。=6陰4二鄉(xiāng)里/二匕)的方向?qū)?shù)，并求在該

點處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。

解：方向?qū)?shù)為與〃21)=1+孚，該點處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向即為梯度的方向

14

gradiC,2-1）=2i+5j-3k,此時最大值為—=^38

ul

3、求函數(shù)〃=xy2z3在（1,1,-1）處沿曲線x=f,y=/2,z=/3在（1,1,1）處的切線正方向（對應(yīng)于，增大的

方向）的方向?qū)?shù)。

解：—=y2z3,—=2xyz",—=3xy2z2,s=（1,2,3）>

dxdydz

所以該函數(shù)在點（1,1,-1）處的方向?qū)?shù)為包D=—3。

0/1（IJI）w

4、求函數(shù)〃=ln（y2+z2+工2）在（1,1,-1）處的梯度。

.du2xdu2ydu2z

角n星,—=--------------=---------------=-----------,

dxx2+j24-z29dyx2+y2+z25dzx2+y2+z2

2?2-*2一

gradu=—i+—j——k

§8多元函數(shù)的極值及求法

1、求函數(shù)/（蒼y）=3%2+3：/—2x—2y+2的極值。答案：（]，]）極小值點

2、設(shè)函數(shù)z=z（x,y）由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0確定，求函數(shù)的駐點。

々口cnmdzdz2x+y

W：2x+6z—+y-----=0A=>—=--------

dxdxdxI-6z

,/Szdzdz4y+x

4y+6z----x-------=0=>—=--------

dxdxdy1-6z

QzQZ

設(shè)空=0,==0x=^y=Q駐點是（0,0）o

dxdy

3、求z=f—移+y2—2%+y的極值。

解：-=2x-y-2；—=-x+2y+L令紅=0,包=0,得

dxdydxdy

2x-y-2=0[x=\

<,=><

一x+2y+l=0[y=0

d2zd2z_d2z

dx'dxdydy~

在（1,0）點處A=2,8=—1,C=l,AC-B2==2-l=l>0,

函數(shù)在（1,0）點處有極值，且由于A=2>0取極小值z（l,0）=-l?

4、求函數(shù)2=/+/+1在條件》+3，-3=0下的條件極值。

解：F（x,y,A）=x2+y2+l+2（x+y-3）

Fx=03311

；n=弓，$，極小值為:

5、欲造一個無蓋的長方體容器，已知底部造價為3元/平方，側(cè)面造價均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一

個容積最大的容器，求它的尺寸。(長和寬2米，高3米)

6、旋轉(zhuǎn)拋物面z=Y+y2被x+y+z=l截成一橢圓，求原點到橢圓的最大與最小距離。

解：設(shè)P(x,y,z)為橢圓上的點，原點。到戶的距離為1=尸7了=，且滿足條件：

x2+y2-z=0,x+y+z=l,,

設(shè)L(x,y,z)—x2+y2+z2+A(x2+y2—z)+〃(x+y+z—1)

L!x(%,y,z)=2x+2Ax+//L'y(x,y,z)-2y+2A,y+piy,z)=2z-4+〃

令4=0;L'y=0;C=0;得方程組:

2x+2Ax+〃=0

2y+2歸+〃=0—1+y/3-1-V3

x=y=-------x=y=------

,2z-%+〃=0解得：v22

x2+y2-z=0z=2—V3z=2+V3

x+y+z-l=0

4=卜(-1產(chǎn))2+(2-V3)2=79-573,

2

d2J2L丁)2+(2+V3)=g+56,

根據(jù)實際問題，最大距離和最小距離存在，所以4為最小距離；4為最大距離。

22

7、求橢球面7X+；V+z29=1被平面x+y+z