機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束場(chǎng)論初步一、場(chǎng)的表示法函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)

(數(shù)量函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢量函數(shù))如:溫度場(chǎng),電位場(chǎng)等如:力場(chǎng),速度場(chǎng)等機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點(diǎn)

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點(diǎn)處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束記作定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P

可微,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為特別:?當(dāng)l與x

軸同向?當(dāng)l與x軸反向向角例1.求函數(shù)

在點(diǎn)

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

向量

l

的方向余弦為例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P

的切向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f

變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P

處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為函數(shù)f

的等值線

.則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.3.梯度的基本運(yùn)算公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.證:試證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束處矢徑r的模,備用題

1.函數(shù)在點(diǎn)處的梯度解:則注意x,y,z

具有輪換對(duì)稱性(92考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點(diǎn)A(1,0,1)處沿點(diǎn)A2.函數(shù)提示:則(96考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束四、向量場(chǎng)的散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場(chǎng)為理意義可知,設(shè)

為場(chǎng)中任一有向曲面,單位時(shí)間通過曲面

的流量為則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束若

為方向向外的閉曲面,

當(dāng)>0時(shí),說明流入

的流體質(zhì)量少于當(dāng)<0時(shí),說明流入

的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過

的流量為當(dāng)=0時(shí),說明流入與流出

的流體質(zhì)量相等.流出的,表明

內(nèi)有泉;表明

內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束③方向向外的任一閉曲面

,

記

所圍域?yàn)?/p>

,設(shè)

是包含點(diǎn)

M且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M處的特性,在③式兩邊同除以

的體積V,并令

以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:設(shè)有向量場(chǎng)其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),

是場(chǎng)內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場(chǎng)A

通過有向曲面

的通量(流量).在場(chǎng)中點(diǎn)M(x,y,z)處

稱為向量場(chǎng)A

在點(diǎn)M

的散度.記作divergence機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無源,散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A

處處有,則稱A

為無源場(chǎng).例如,

勻速場(chǎng)故它是無源場(chǎng).P16目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:由引例可知,散度是通量對(duì)體積的變化率,且*例5.置于原點(diǎn),電量為q

的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為解:

計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束五、向量場(chǎng)的旋度斯托克斯公式設(shè)曲面

的法向量為曲線

的單位切向量為則斯托克斯公式可寫為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令,引進(jìn)一個(gè)向量記作向量rotA

稱為向量場(chǎng)A的稱為向量場(chǎng)A定義:沿有向閉曲線

的環(huán)流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束rotation設(shè)某剛體繞定軸l

轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn)M

的線速度為(此即“旋度”一詞的來源)旋度的力學(xué)意義:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量場(chǎng)A

產(chǎn)生的旋度場(chǎng)穿過

的通量注意

與

的方向形成右手系!

為向量場(chǎng)A沿

的環(huán)流量斯托克斯公式①的物理意義:例6.求電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度.解:(除原點(diǎn)外)這說明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個(gè)電場(chǎng)無旋.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的外法向量,計(jì)算解:

例7.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量微分算子定義向量微分算子:它又稱為▽(Na