2024--2025高二下學(xué)期期中考試模擬試卷試題范圍：數(shù)列、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、計數(shù)原理一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.整數(shù)1080的所有正因數(shù)的和是()A．3600B．3260C．3180D．28602．將甲、乙、丙、丁、戊共五位同學(xué)分別保送到北大、清華和復(fù)旦3所大學(xué)，若每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方案共有多少種()．A．150B．114C．100D．723.展開式中項的系數(shù)為（）A．B．C．D．4．將4個1和兩個0排成一列，不同的排列方法種數(shù)為()．A．15種B．24種C．30種D．36種現(xiàn)準備將10臺型號相同的健身設(shè)備全部分配給5個不同的社區(qū)，其中甲、乙兩個社區(qū)每個社區(qū)至少2臺，其它社區(qū)至少1臺，則不同的分配方案共有（）A．70種 B．35種 C．60種 D．125種6．已知函數(shù)有兩個極值點，若，則關(guān)于的方程的不同實根個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．67．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． .D．8．若表示不超過的最大整數(shù)（例如：），數(shù)列滿足：，，則（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若與均為偶函數(shù)，且，則下列選項正確的是（

）A是周期4的周期函數(shù) B圖象關(guān)于點對稱C． D．圖象關(guān)于點對稱10．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N?M處為止，則下列說法正確的有（

）A．甲從M必須經(jīng)過到達N處的方法有9種B．圖中矩形的個數(shù)為32個C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達N處的方法有20種11.（2024北京高考題）已知，，不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的是().A.，均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；B.，均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；C.為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；D.單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中最多一個元素.三?填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）某植物園要在如圖所示的5個區(qū)域種植果樹，現(xiàn)有5種不同的果樹供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹，則共有種不同的方法．

若，則等于_________.已知函數(shù)，其中，若是的極小值點，則實數(shù)a的取值范圍為____________．四?解答題：（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15．（13分）記Sn為數(shù)列{an}的前（1）求{a（2）設(shè)bn=1an?an+116．（15分）已知數(shù)列的前項和為，，．求證：(1)數(shù)列是等差數(shù)列；(2)．17．（15分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；18.（17分）函數(shù)（1）令，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且在實數(shù)上恒成立，求的最大值．19．（17分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點后兩位；(2)由該公式可得：．當(dāng)時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設(shè)，證明：參考答案題號12345678910答案AACABBBAABCACD題號11答案ACD12．42013．1014．15.(1)∵2Sn=nan+1，2Sn-1=(n-1)an(n（2）證明：bn=前n項和Tn∵n∈N*，∴14(n+116.（1），即，即，所以，且，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列.（2）有（1）可得，，則，所以，則且，則，則，所以，即.17.（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時，有，

在上為減函數(shù)，.綜上，.18.（1）因為，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)結(jié)合（1）與題意可得，即，即，從而得令所以令當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)