山西一模理科試題及答案姓名：____________________

一、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.下列關于平面幾何的知識，錯誤的是（）

A.同一直線上兩點可以確定一條直線

B.任意三角形都可以內接于一個圓

C.圓的內接四邊形對角互補

D.直角三角形的兩條直角邊長度相等

2.若函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$的定義域為$\{x|x\neq1\}$，則該函數的圖像與坐標軸交點個數是（）

A.2

B.3

C.4

D.無窮多

3.已知$a^2+b^2=10$，則$2ab$的取值范圍是（）

A.$[-\sqrt{40},\sqrt{40}]$

B.$[-10,10]$

C.$[-5,5]$

D.$[-2\sqrt{5},2\sqrt{5}]$

4.已知$y=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得最大值，且$y=-x^2+4x+3$在$x=2$時取得最小值，則$a$，$b$，$c$的大小關系是（）

A.$a<b<c$

B.$a>b>c$

C.$c>b>a$

D.$a<b<c$

5.下列函數中，在定義域內單調遞增的是（）

A.$y=x^3$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=x^2$

D.$y=\sqrt{x}$

6.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，向量$\overrightarrow{b}=(3,4)$，則向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐標是（）

A.$(4,6)$

B.$(4,-6)$

C.$(-4,-6)$

D.$(-4,6)$

7.若$a,b,c$為等差數列，且$a+b+c=15$，則$a^2+b^2+c^2$的值為（）

A.45

B.50

C.60

D.75

8.若$a,b,c$為等比數列，且$a+b+c=8$，$ab+bc+ca=20$，則$a^2+b^2+c^2$的值為（）

A.48

B.52

C.56

D.60

9.下列不等式成立的是（）

A.$x^2-3x+2>0$，$x>1$或$x<2$

B.$x^2-4x+4\leq0$，$x\in[2,4]$

C.$x^2+3x+2>0$，$x\in\mathbb{R}$

D.$x^2-5x+6<0$，$x\in[1,2]$

10.下列命題正確的是（）

A.函數$y=\sqrt{x^2+1}$的值域為$[0,+\infty)$

B.函數$y=\frac{1}{x}$的圖像關于y軸對稱

C.函數$y=ax^2+bx+c$在定義域內單調遞增，當$a>0$，$b=0$，$c<0$時成立

D.向量$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數$y=\sqrt{x}$的圖像是一條通過原點的射線。（）

2.如果一個三角形的兩邊長分別為3和4，那么它的第三邊長必定大于7。（）

3.所有的一元二次方程都有兩個實數根。（）

4.對于任何實數$x$，都有$x^2\geq0$。（）

5.等差數列的任意一項都是前一項與后一項的平均數。（）

6.向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的數量積為0，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$垂直。（）

7.若$ab=0$，則$a=0$或$b=0$。（）

8.函數$y=\frac{1}{x}$的圖像在第一象限內是單調遞增的。（）

9.在平面直角坐標系中，任意一條直線都可以表示為$y=mx+b$的形式。（）

10.一個函數的定義域是所有可能的輸入值，值域是所有可能的輸出值。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述如何判斷一個一元二次方程的根的情況。

2.給出兩個不同的方法來證明三角形兩邊之和大于第三邊。

3.說明等差數列和等比數列的基本性質，并舉例說明。

4.解釋向量共線的定義，并給出一個向量共線的例子。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像與$x$軸的交點個數與系數$a$，$b$，$c$之間的關系，并舉例說明。

2.論述在解決實際問題中，如何運用數學知識解決幾何問題，并舉例說明。

試卷答案如下：

一、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.D

解析：根據平面幾何的基本公理，同一直線上兩點可以確定一條直線，故A正確；任意三角形都可以內接于一個圓，故B正確；圓的內接四邊形對角互補，故C正確；直角三角形的兩條直角邊長度相等，故D錯誤。

2.B

解析：函數$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$的定義域為$\{x|x\neq1\}$，當$x\neq1$時，$f(x)$存在兩個根，因此圖像與x軸交點個數為3。

3.D

解析：由柯西-施瓦茨不等式，有$(a^2+b^2)(1^2+1^2)\geq(a+b)^2$，即$a^2+b^2\geq2ab$，因此$2ab$的取值范圍為$[-2\sqrt{5},2\sqrt{5}]$。

4.C

解析：$y=ax^2+bx+c$在$x=1$時取得最大值，說明對稱軸$x=-\frac{b}{2a}=1$，因此$a<0$。$y=-x^2+4x+3$在$x=2$時取得最小值，說明對稱軸$x=-\frac{b}{2a}=2$，因此$a>0$。故$a<b<c$。

5.A

解析：$y=x^3$在定義域內單調遞增，其他選項在定義域內不單調。

6.A

解析：向量加法滿足交換律，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$，所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+3,2+4)=(4,6)$。

7.C

解析：等差數列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$為首項，$d$為公差。由等差數列的性質，$a+b+c=3a_1+3d=15$，則$a_1+d=5$。又因為$a^2+b^2+c^2=(a_1+d)^2=5^2=25$。

8.B

解析：等比數列的通項公式為$a_n=a_1\cdotr^{n-1}$，其中$a_1$為首項，$r$為公比。由等比數列的性質，$ab+bc+ca=a_1^2+a_1^2r+a_1^2r^2=20$，則$a_1^2(1+r+r^2)=20$。又因為$a^2+b^2+c^2=a_1^2(1+2r+r^2)=20+a_1^2=52$。

9.C

解析：$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，所以$x^2-3x+2>0$當$x>2$或$x<1$時成立。

10.D

解析：函數的定義域是所有可能的輸入值，值域是所有可能的輸出值，這是函數的基本定義。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析：函數$y=\sqrt{x}$的定義域為$x\geq0$，圖像是一條通過原點的射線。

2.×

解析：三角形的兩邊之和大于第三邊是三角形存在的一個基本條件，但題目中的條件不足以判斷第三邊長是否大于7。

3.×

解析：一元二次方程的根的情況取決于判別式$\Delta=b^2-4ac$的值，當$\Delta>0$時，方程有兩個不相等的實數根；當$\Delta=0$時，方程有兩個相等的實數根；當$\Delta<0$時，方程沒有實數根。

4.√

解析：任何實數的平方都是非負數，因此$x^2\geq0$對所有實數$x$都成立。

5.√

解析：等差數列的任意一項都是前一項與后一項的平均數，這是等差數列的定義。

6.√

解析：向量的數量積為零表示兩個向量垂直，這是向量共線的一個充分必要條件。

7.√

解析：如果$ab=0$，則至少有一個因子為零，即$a=0$或$b=0$。

8.×

解析：函數$y=\frac{1}{x}$在第一象限內是單調遞減的，而不是單調遞增。

9.×

解析：不是所有直線都可以表示為$y=mx+b$的形式，例如斜率不存在的直線。

10.√

解析：這是函數的基本定義。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.解析：判斷一元二次方程的根的情況，可以通過計算判別式$\Delta=b^2-4ac$的值來確定。如果$\Delta>0$，方程有兩個不相等的實數根；如果$\Delta=0$，方程有兩個相等的實數根；如果$\Delta<0$，方程沒有實數根。

2.解析：證明三角形兩邊之和大于第三邊的方法有：直接證明法、反證法、綜合法等。例如，可以直接證明任意兩邊之和大于第三邊，或者假設兩邊之和小于或等于第三邊，然后推導出矛盾。

3.解析：等差數列的基本性質包括：首項和末項的和等于項數乘以平均項；任意兩項之差等于公差；等差數列的前$n$項和等于首項與末項之和乘以項數除以2。等比數列的基本性質包括：首項和末項的乘積等于項數乘以平均項；任意兩項之比等于公比；等比數列的前$n$項和等于首項與末項之比乘以公比的$n-1$次方除以公比減1。

4.解析：向量共線的定義是：如果兩個非零向量共線，那么它們在同一直線上或者其中一個向量是另一個向量的倍數。一個向量共線的例子是：向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$和向量$\overrightarrow{b}=(2,4)$共線，因為$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.解析：函數$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像與$x$軸的交點個數與系數$a$，$b$，$c$之間的關系如下：當$\Delta=b^2-4ac>0$時，圖像與$x$軸有兩個交點；當$\Delta=b^2-4ac=0$時，圖像與$x$軸有一個交點；當$