PAGEPAGE123.2第3課時方向角問題一、選擇題1．如圖36－K－1，一艘海輪位于燈塔P的北偏東55°方向，距離燈塔2海里的點A處，假如海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，那么海輪航行的路程AB是()A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里圖36－K－12．［2024·合肥包河區(qū)期末］如圖36－K－2，一只船沿正東方向航行，上午7時在燈塔A的正北方向C處，上午9時到達燈塔的北偏東60°的B處，已知船的航行速度為每小時20千米，那么A，B之間的距離是()A.eq\f(10\r(3),3)千米B.eq\f(20\r(3),3)千米C.eq\f(40\r(3),3)千米D.eq\f(80\r(3),3)千米圖36－K－23．［2024·百色］如圖36－K－3，在距離鐵軌200m的B處，視察由南寧開往百色的“和諧號”動車，當(dāng)動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10s后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這個時段動車的平均速度是()A．20(eq\r(3)＋1)m/sB．20(eq\r(3)－1)m/sC．200m/sD．300m/s圖36－K－34．［2024·合肥市廬江縣月考］如圖36－K－4，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔60海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為()A．30eq\r(2)海里B．30eq\r(3)海里C．60海里D．30eq\r(6)海里圖36－K－4二、填空題5．如圖36－K－5，C，D分別是一個湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個村莊，CD＝6km，且D位于C的北偏東30°方向上，則AB＝________km.圖36－K－56．如圖36－K－6，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A動身，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離(即AB的長)為________.圖36－K－6三、解答題7．［2024·宣城期末］如圖36－K－7，A，B兩城市相距80km，現(xiàn)安排在這兩座城市間修建一條高速馬路(即線段AB)，經(jīng)測量，森林愛護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林愛護區(qū)的范圍在以點P為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，則安排修建的這條高速馬路會不會穿過愛護區(qū)，為什么？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)圖36－K－78．［2024·蕪湖期末］如圖36－K－8，小島A在港口B的北偏東50°方向，小島C在港口B的北偏西25°方向，一艘輪船以每小時20海里的速度從港口B動身向小島A航行，經(jīng)過5小時到達小島A，這時測得小島C在小島A的北偏西70°方向，求小島A距離小島C有多少海里．(結(jié)果精確到1海里．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖36－K－89．［2024·錦州］超速行駛是一種非常危急的違法駕駛行為．如圖36－K－9，在一條筆直的高速馬路MN上，小型車限速為每小時120千米，設(shè)置在馬路旁的超速監(jiān)測點C，現(xiàn)測得一輛小型車在監(jiān)測點C的南偏西30°方向的A處，7秒后，測得其在監(jiān)測點C的南偏東45°方向的B處，已知BC＝200米，B在A的北偏東75°方向，則這輛車超速了嗎？通過計算說明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖36－K－910閱讀理解背景材料：近年來由于世界各國大力發(fā)展海洋經(jīng)濟、加強海洋實力開發(fā)，海洋爭端也呈上升趨勢．為增加海洋執(zhí)法實力、維護海洋領(lǐng)土，近期我國多個部門聯(lián)合進行護航、護漁演習(xí)．解決問題：(1)如圖36－K－10，我國漁船(C)在某島海疆正被某國不明船只襲擾，“中國海政310”船(A)接到陸地指揮中心(B)護漁吩咐時，漁船(C)位于陸地指揮中心正南方向，位于“中國海政310”船西南方向，“中國海政310”船位于陸地指揮中心南偏東60°方向，AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，“中國海政310”船最大航速為20海里/時．依據(jù)以上信息，請你求出“中國海政310”船趕往漁船所在位置進行護漁至少須要多長時間；(2)假如(1)中條件不變，此時位于“中國海政310”船(A)南偏東30°海疆有一某國軍艦(O)，AO＝560eq\r(2)海里，其火力打擊范圍是500海里，假如漁船沿著正南方向接著航行，是否會駛進這只軍艦的打擊范圍？圖36－K－10

1．C2．[解析]D由題意，得CB＝40千米，∠BAC＝60°，則AB＝eq\f(40,sin60°)＝eq\f(80\r(3),3)(千米)．3．[解析]A過點B作BD⊥AC，垂足為D.在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，∴AD＝BD·tan∠ABD＝200eq\r(3)m；在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝200m，則AC＝AD＋CD＝(200＋200eq\r(3))m，這個時段動車的平均速度為eq\f(200＋200\r(3),10)＝20(eq\r(3)＋1)m/s.4．[解析]A如圖，過點P作PC⊥AB于點C.在Rt△PAC中，∵PA＝60海里，∠PAC＝30°，∴CP＝eq\f(1,2)AP＝30海里．在Rt△PBC中，∵CP＝30海里，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴PB＝eq\r(2)CP＝30eq\r(2)海里，即海輪所在的B處與燈塔P的距離為30eq\r(2)海里．5．[答案]3eq\r(3)[解析]過點C作CE⊥BD于點E，可求出DE＝3km，AB＝CE＝3eq\r(3)km.6．[答案]2eq\r(2)km[解析]如圖所示，過點A作AD⊥OB于點D.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∠AOD＝30°，OA＝4km，∴AD＝eq\f(1,2)OA＝2km.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝∠CAB－∠AOB＝75°－30°＝45°，∴BD＝AD＝2km，∴AB＝eq\r(2)AD＝2eq\r(2)km.即該船航行的距離(即AB的長)為2eq\r(2)km.故答案為2eq\r(2)km.7．解：不會穿過愛護區(qū)．理由：過點P作PM⊥AB于點M，如圖．由題意得AE∥PM∥BF，∴∠APM＝30°，∠BPM＝45°，∴PM＝eq\f(AM,tan∠APM)＝eq\r(3)AM，BM＝PM.設(shè)BM＝PM＝xkm，則AM＝eq\f(\r(3),3)xkm，eq\f(\r(3),3)x＋x＝80，解得x＝120－40eq\r(3)≈50.72＞50.故這條高速馬路不會穿過愛護區(qū)．8．解：由題意得，AB＝20×5＝100(海里)，∠ABC＝25°＋50°＝75°，∠BAC＝180°－70°－50°＝60°，則∠C＝45°.如圖，過點B作BD⊥AC，垂足為D.在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，則BD＝AB·sin60°＝100×eq\f(\r(3),2)＝50eq\r(3)(海里)，AD＝AB·cos60°＝100×eq\f(1,2)＝50(海里)．在Rt△BCD中，∠C＝45°，則CD＝BD＝50eq\r(3)海里，∴AC＝AD＋CD＝50＋50eq\r(3)≈137(海里)．故小島A距離小島C約137海里．9．[解析]依據(jù)特別銳角構(gòu)造直角三角形，如圖，利用特別角的三角函數(shù)關(guān)系分段得出AB的長，進而求出汽車的速度，進而可推斷這輛車是否超速．解：這輛車超速了．理由如下：如圖，過點C作CD⊥AB于點D.由題意易知∠ACB＝30°＋45°＝75°，∠CAB＝75°－30°＝45°，∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝60°.在Rt△BCD中，∵BC＝200米，∠ABC＝60°，∴BD＝BC·cos60°＝100米，CD＝BC·sin60°＝100eq\r(3)米． 在Rt△ACD中，∵∠CAB＝45°，∴AD＝CD＝100eq\r(3)米，∴AB＝AD＋BD＝(100eq\r(3)＋100)米，∴這輛車的速度為eq\f(100\r(3)＋100,7)≈39(m/s)．∵120km/h≈33.3(m/s)＜39m/s.∴這輛車超速了．10[解析](1)過點A作AD⊥BC于點D，通過AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，∠B＝60°求出AD的長；再通過AD的長，∠DAC＝45°，求出AC的長；依據(jù)路程和最大速度，求出“中國海政310”船趕往漁船所在位置至少須要的時間；(2)延長BC，過點O作OE⊥BC交BC的延長線于點E，過點A作AF⊥OE于點F.將點O到航線BC的距離分為兩段EF，F(xiàn)O來求：一是證明EF＝AD，二是通過解直角三角形AOF，求出FO，再和殺傷半徑500海里作比較，從而推斷是否會駛進這只軍艦的打擊范圍．解：(1)如圖所示，過點A作AD⊥BC于點D.∵AB＝eq\f(140\r(6),3)海里，∠B＝60°，∴sinB＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝AB·sin60°＝eq\f(140\r(6),3)·eq\f(\r(3),2)＝70eq\r(2)(海里)．在Rt△ADC中，AD＝70eq\r(2)海里，∠ACD＝45°，∴AC＝70eq\r(2)×eq\r(2)＝140(海里)，∴“中國海政310”船趕往海船所在位置進行護漁至少須要140÷20＝7(時)．(2)如圖，延長BC，過點O作OE⊥BC