PAGEPAGE1三排序不等式1．依次和、亂序和、反序和設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1b1＋a2b2＋…＋anbn為這兩個實數組的依次積之和(簡稱依次和)，稱a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1為這兩個實數組的反序積之和(簡稱反序和)．稱a1c1＋a2c2＋…＋ancn為這兩個實數組的亂序積之和(簡稱亂序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又稱為排序不等式)設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，則有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等號成立(反序和等于依次和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可簡記作：反序和≤亂序和≤依次和．[點睛]排序不等式也可以理解為兩實數序列同向單調時，所得兩兩乘積之和最大；反向單調(一增一減)時，所得兩兩乘積之和最小．eq\o(\s\up7(用排序不等式證明不等式(所證不等式),\s\do5(中字母大小依次已確定)))[例1]已知a，b，c為正數，且a≥b≥c，求證：eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).[思路點撥]分析題目中已明確a≥b≥c，所以解答本題時可干脆構造兩個數組，再用排序不等式證明即可．[證明]∵a≥b>0，于是eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)，又c>0，從而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)，同理eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，從而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab).又由于依次和不小于亂序和，故可得eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥eq\f(b5,b3c3)＋eq\f(c5,c3a3)＋eq\f(a5,a3b3)＝eq\f(b2,c3)＋eq\f(c2,a3)＋eq\f(a2,b3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∵a2≥b2≥c2，\f(1,c3)≥\f(1,b3)≥\f(1,a3)))≥eq\f(c2,c3)＋eq\f(a2,a3)＋eq\f(b2,b3)＝eq\f(1,c)＋eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).∴原不等式成立．利用排序不等式證明不等式的技巧在于細致視察、分析所要證明的式子的結構，從而正確地構造出不等式中所須要的帶有大小依次的兩個數組．1．已知0<α<β<γ<eq\f(π,2)，求證：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．證明：∵0<α<β<γ<eq\f(π,2)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))為增函數，y＝cosx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))為減函數，∴0<sinα<sinβ<sinγ，cosα>cosβ>cosγ>0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝eq\f(1,2)(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．2．設x≥1，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.證明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因為x，x2，…，xn,1為1，x，x2，…，xn的一個排列，由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②將①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.用排序不等式證明不等式(對所證不等式中的字母大小依次作出假設)[例2]設a，b，c為正數，求證：eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.[思路點撥]本題考查排序不等式的應用，解答本題須要搞清：題目中沒有給出a，b，c三個數的大小依次，且a，b，c在不等式中的“地位”是對等的，故可以設a≥b≥c，再利用排序不等式加以證明．[證明]由對稱性，不妨設a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，故由排序不等式：依次和≥亂序和，得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥eq\f(a12,ab)＋eq\f(b12,bc)＋eq\f(c12,ca)＝eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a).①又因為a11≥b11≥c11，eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)≤eq\f(1,c).再次由排序不等式：反序和≤亂序和，得eq\f(a11,a)＋eq\f(b11,b)＋eq\f(c11,c)≤eq\f(a11,b)＋eq\f(b11,c)＋eq\f(c11,a).②所以由①②得eq\f(a12,bc)＋eq\f(b12,ca)＋eq\f(c12,ab)≥a10＋b10＋c10.在排序不等式的條件中須要限定各數值的大小關系，對于沒有給出大小關系的狀況，要依據各字母在不等式中地位的對稱性，限定一種大小關系．3．設a，b，c都是正數，求證：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.證明：由題意不妨設a≥b≥c＞0，由不等式的單調性，知ab≥ac≥bc，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a).由排序不等式，知ab×eq\f(1,c)＋ac×eq\f(1,b)＋bc×eq\f(1,a)≥ab×eq\f(1,b)＋ac×eq\f(1,a)＋bc×eq\f(1,c)＝a＋c＋b，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.4．設a1，a2，a3為正數，求證：eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3.證明：不妨設a1≥a2≥a3>0，于是eq\f(1,a1)≤eq\f(1,a2)≤eq\f(1,a3)，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：依次和≥亂序和得eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a3a1,a2)＋eq\f(a2a3,a1)≥eq\f(1,a2)·a2a3＋eq\f(1,a3)·a3a1＋eq\f(1,a1)·a1a2＝a3＋a1＋a2.即eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3.1．有兩組數：1,2,3與10,15,20，它們的依次和、反序和分別是()A．100,85 B．100,80C．95,80 D．95,85解析：選B由依次和與反序和的定義可知依次和為100，反序和為80.2．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D.eq\f(1,2)解析：選A因為0<a1<a2,0<b1<b2，所以由排序不等式可知a1b1＋a2b2最大．3．銳角三角形中，設P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，則P，Q的大小關系為()A．P≥Q B．P＝QC．P≤Q D．不能確定解析：選C不妨設A≥B≥C，則a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，則由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝P＝eq\f(a＋b＋c,2).4．兒子過生日要老爸買價格不同的禮品1件、2件及3件，現在選擇商店中單價為13元、20元和10元的禮品，至少要花()A．76元 B．20元C．84元 D．96元解析：選A設a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，則由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知兩組數1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個排列，則1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤亂序和≤依次和知，依次和最大，反序和最小，故最大值為32，最小值為28.答案：32286．設正實數a1，a2，…，an的任一排列為a1′，a2′，…，an′，則eq\f(a1,\a\vs4\al(a1′))＋eq\f(a2,\a\vs4\al(a2′))＋…＋eq\f(an,\a\vs4\al(an′))的最小值為________．解析：不妨設0<a1≤a2≤a3…≤an，則eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an).其反序和為eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋…＋eq\f(an,an)＝n，則由亂序和不小于反序和知eq\f(a1,\a\vs4\al(a1′))＋eq\f(a2,\a\vs4\al(a2′))＋…＋eq\f(an,\a\vs4\al(an′))≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋…＋eq\f(an,an)＝n，∴eq\f(a1,\a\vs4\al(a1′))＋eq\f(a2,\a\vs4\al(a2′))＋…＋eq\f(an,\a\vs4\al(an′))的最小值為n.答案：n7．設a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一個排序，則a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范圍是________．解析：a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值為12＋22＋32＋42＝30，最小值為1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范圍是[20,30]．答案：[20,30]8．設a，b，c是正實數，用排序不等式證明aabbcc≥(abc)eq\f(a＋b＋c,3).證明：由所證不等式的對稱性，不妨設a≥b≥c>0，則lga≥lgb≥lgc，據排序不等式有：alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，以上兩式相加，再兩邊同加alga＋blgb＋clgc，整理得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥eq\f(a＋b＋c,3)·lg(abc)，故aabbcc≥(abc)eq\f(a＋b＋c,3).9．某學校實行投籃競賽，按規則每個班級派三人參賽，第一人投m分鐘，其次人投n分鐘，第三人投p分鐘，某班級三名運動員A，B，C每分鐘能投進的次數分別為a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上場能取得最佳成果？解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，且由排序不等式知依次和為最大值，∴最大值為ma＋nb＋pc，此時分數最高，∴三人上場依次是A第一，B其次，C第三．10．已知0<a≤b≤c，求證：eq\f(c2,a＋b)＋eq\f(b2,a＋c)＋eq\f(a2,b＋c)≥eq\f(a2,a＋b)＋eq\f(b2,b＋c)＋eq\f(c2,c＋a).證明：因為0<a≤b≤c，所以