專題八半角模型

類型一90°角夾45°角

（1）等腰直角三角形夾半角：如圖，在△ABC中，AB＝AC，

∠BAC＝90°，∠DAE＝45°→將△ABD繞點A旋轉至△ACF，使AB

與AC重合，連接EF→△AEF≌△AED.

（2）正方形夾半角：如圖，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°→

將△ADF繞點A旋轉至△ABG，使AD與AB重合→△AEG≌△AEF.

1.

數學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45°角的三

角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點始終與正方形的頂點C重

合，繞點C旋轉三角尺時，45°角的兩邊CM，CN始終與正方形的邊

AD，AB所在直線分別相交于點M，N，連接MN，可得△CMN.

（1）如圖②，把△CDM繞點C逆時針旋轉90°得到△CBH，同時得到

點H在直線AB上，求證：∠CNM＝∠CNH；證明：（1）∵△CDM繞點C逆時針旋轉90°得到△CBH，∴CM＝CH，∠DCM＝∠BCH.

∵四邊形ABCD為正方形，∴DCB＝90°.∵∠MCN＝45°，∴∠DCM＋∠BCN＝∠DCB－∠MCN＝45°，∴∠BCH＋∠BCN＝45°，∴∠MCN＝∠HCN＝45°.在△MCN和△HCN中，CM＝CH，∠MCN＝∠HCN，CN＝CN，∴△MCN≌△HCN（SAS），∴∠CNM＝∠CNH.

（2）在圖②中，連接BD，分別交CM，CN于點E，F，求證：

△CEF∽△CNM.

（2）由（1）可得∠CNM＝∠CNH.

∵四邊形ABCD是正方形，BD是

對角線，∴∠FBN＝∠MCN＝45°，∴△FBN∽△HCN∽△MCN，∴∠BFN＝∠CMN.

∵∠BFN＝

∠CFE，∴∠CFE＝∠CMN.

又∵∠FCE＝∠MCN，∴△CEF∽△CNM.

2.

（1）如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E，F在

BC上，且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2＋CF2；（1）證明：如圖①，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACM，連

接MF，則△ACM≌△ABE，∴CM＝BE，AM＝AE，∠ACM＝∠B＝∠ACB＝45°，∴∠MCF＝90°，即△MCF為直角三角形.又易得△AMF≌△AEF（SAS），∴MF＝EF.

在Rt△MCF中，MF2＝MC2＋CF2，∴EF2＝BE2＋CF2.（2）如圖②，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且

∠EAF＝∠CEF＝45°，若BE＝3，DF＝1，求EF的長.（2）解：如圖②，分別延長AD，AB與直線EF交于點M，N，將

△AFM繞點A順時針旋轉90°得到△AGN，連接EG.

∵∠CEF＝45°，四邊形ABCD是矩形，∴△DMF，△BEN都是等腰

直角三角形，

3.

如圖，在正方形ABCD中，點M，N分別在邊BC，CD上，且

∠MAN＝45°，AH⊥MN于點H.

（1）求證：MN＝BM＋DN，AH＝AB；（1）證明：如圖，將△ADN旋轉至△ABE，則△ADN≌△ABE，∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABE＋

∠ABM＝180°，∴E，B，M三點共線.∵∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠BAM＝45°，∴∠BAE＋∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°，∴∠MAE＝∠MAN.

又∵AE＝AN，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM

（SAS），

（2）若BM＝2，DN＝3，求AH的長.（2）解：設AH＝x.由（1）可得正方形的邊長為x.∵BM＝2，DN＝

3，∴CM＝x－2，CN＝x－3.由（1）可得MN＝BM＋DN＝2＋3＝5.∵CN2＋CM2＝MN2，即（x－

3）2＋（x－2）2＝25，解得x1＝6，x2＝－1（舍去），∴AH的長為6.

類型二120°角夾60°角

如圖，AB＝AC＝BC，BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝

60°→將△BDE繞點D旋轉至△CDG，使DB與DC重合，連接

EF→△DFG≌△DFE.

1.

如圖，D是等邊三角形ABC外一點，且BD＝CD，∠BDC＝

120°，M，N分別是邊AB，AC上一點，且∠MDN＝60°.（1）探索線段BM，MN，CN之間的數量關系，并說明理由；解：（1）MN＝BM＋CN.

理由如下：如圖，將△MDB繞點D旋轉至△HDC，則△HDC≌△MDB，∴DH＝DM，CH＝BM，∠HDC＝∠MDB，∠HCD＝∠MBD.

易得∠MBD＝∠NCD＝90°，∴∠HCD＋∠NCD＝180°，∴N，C，H三點共線.又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠MDB＋∠NDC＝60°，∴∠HDC＋∠NDC＝60°，∴∠HDN＝∠MDN＝60°.又∵DH＝DM，DN＝

DN，∴△HDN≌△MDN（SAS），∴MN＝HN＝CH＋CN＝BM＋CN.

（2）求△AMN與△ABC的周長的比值.

解：∵∠BAC＝120°，∴∠MAN＝60°，∠ABC＝∠C＝30°.如圖，將△ANC繞點A順時針旋轉120°得到△AGB，

連接GM，則△AGB≌△ANC，∴AG＝AN，GB＝NC，∠GAB＝∠NAC