2017-2018學年山西省呂梁市八年級（上）期中數學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案的字母號填入表中相應的空格內．1．（3分）下列交通標志圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱的定義結合選項所給的特點即可得出答案．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故本選項正確；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．2．（3分）點（﹣4，3）關于x軸對稱的點的坐標為（）A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．無法確定【分析】根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”解答．【解答】解：點（﹣4，3）關于x軸對稱的點的坐標為（﹣4，﹣3）．故選：C．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．3．（3分）下面各組線段中，能組成三角形的是（）A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14【分析】根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、∵5+6=11，∴不能組成三角形，故A選項錯誤；B、∵8+8=16，∴不能組成三角形，故B選項錯誤；C、∵5+4＜10，∴不能組成三角形，故C選項錯誤；D、∵6+9＞14，∴能組成三角形，故D選項正確．故選：D．【點評】本題考查了三角形的三邊關系，是基礎題，熟記三邊關系是解題的關鍵．4．（3分）如圖，王師傅用4根木條釘成一個四邊形木架，要使這個木架不變形，他至少要再釘上木條的根數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據三角形具有穩定性可得：沿對角線釘上1根木條即可．【解答】解：根據三角形的穩定性可得他至少要再釘上1根木條，故選：B．【點評】此題主要考查了三角形具有穩定性，題目比較簡單．5．（3分）若十邊形的每個外角都相等，則一個外角的度數為（）A．18° B．36° C．45° D．60°【分析】利用十邊形的外角和是360度，并且每個外角都相等，即可求出每個外角的度數【解答】解：∵一個十邊形的每個外角都相等，∴十邊形的一個外角為360÷10=36°．故選：B．【點評】本題主要考查了多邊形的外角性質及內角與外角的關系．多邊形的外角性質：多邊形的外角和是360度．邊形的內角與它的外角互為鄰補角．6．（3分）如果三角形的三個內角的度數比是2：3：4，則它是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．鈍角或直角三角形【分析】利用“設k法”求出最大角的度數，然后作出判斷即可．【解答】解：設三個內角分別為2k、3k、4k，則2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角為4×20°=80°，所以，三角形是銳角三角形．故選：A．【點評】本題考查了三角形的內角和定理，利用“設k法”表示出三個內角求解更加簡便．7．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC，若CE=5，則BC等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形、線段垂直平分線的性質，應熟記其性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．8．（3分）如圖，要測量河岸相對的兩點A、B之間的距離，先從B處出發與AB成90°方向，向前走50米到C處立一根標桿，然后方向不變繼續朝前走50米到D處，在D處轉90°沿DE方向再走17米，到達E處，此時A、C、E三點在同一直線上，那么A、B兩點間的距離為（）A．10米 B．12米 C．15米 D．17米【分析】根據已知條件求證△ABC≌△EDC，利用其對應邊相等的性質即可求得AB．【解答】解：∵先從B處出發與AB成90°角方向，∴∠ABC=90°，∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°∴△ABC≌△EDC，∴AB=DE，∵沿DE方向再走17米，到達E處，即DE=17∴AB=17．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了全等三角形的判定，難度不大，屬于基礎題．9．（3分）如圖，已知△ABC的周長是20，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點D，且OD=3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．35【分析】根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AB、AC、BC的距離都相等（即OE=OD=OF），從而可得到△ABC的面積等于周長的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如圖，連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周長是20，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=×20×3=30，故選：C．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，判斷出三角形的面積與周長的關系是解題的關鍵．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，0）點M的坐標為（0，4），過M點作直線MN⊥y軸，在直線MN上找一點B，使△OAB是等腰三角形，此時，點B的坐標不可能是（）A．（0，4） B．（2，4） C．（4，4） D．（4，2）【分析】根據點B的坐標，分別畫圖，如果有兩邊相等，可構成等腰三角形，可得結論．【解答】解：A、如圖1，若點B（0，4），則OB=OA=4，△OAB是等腰三角形，B、如圖2，若點B（2，4），則OB=BA==2，△OAB是等腰三角形，C、如圖3，若點B（4，4），則AB=OA=4，△OAB是等腰三角形，D、如圖4，若點B（4，2），則OB≠OA≠AB，△OAB不是等腰三角形，故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和坐標與圖形的性質，熟練掌握坐標與圖形特征，利用坐標特征和勾股定理求線段的長，從而判定出是否組成等腰三角形．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，則BD=3．【分析】直接根據等腰三角形“三線合一”的性質進行解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，∴BD=BC=×6=3．故答案為：3．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．12．（3分）已知，如圖：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明△ABC≌△DEF，若以“ASA”為依據，還要添加的條件為∠A=∠D．【分析】本題要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可．【解答】解：添加∠ACB=∠F或AC∥DF后可根據ASA判定△ABC≌△DEF．故填∠A=∠D．【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵．13．（3分）如圖，直線m∥n，以直線m上的點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直線m，n于點B、C，連接AC、BC，若∠1=30°，則∠2=75°．【分析】依據平行線的性質，即可得到∠BAC=∠1=30°，依據三角形內角和定理，即可得到∠ABC的度數，進而得出∠2的度數．【解答】解：∵直線m∥n，∴∠BAC=∠1=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=75°，∴∠2=∠ABC=75°，故答案為：75°．【點評】本題主要考查了平行線的性質的運用，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．14．（3分）如圖，在第1個△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在邊A1B上任取一點D，延長CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2個△A1A2D；在邊A2D上任取一點E，延長A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3個△A2A3E，…按此做法繼續下去，第2017個三角形的底角度數是（）2016×75°．【分析】先根據等腰三角形的性質求出∠BA1C的度數，再根據三角形外角的性質及等腰三角形的性質分別求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數，找出規律即可得出第n個三角形中以An為頂點的底角度數．【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，∴第n個三角形中以An為頂點的底角度數是（）n﹣1×75°．∴第2017個三角形中以A2017為頂點的底角度數是（）2016×75°，故答案為：（）2016×75°．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形外角的性質，根據題意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度數，找出規律是解答此題的關鍵．15．（3分）如圖，將△ABC三個角分別沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在點O處，則∠1+∠2的度數為180°．【分析】根據翻折變換前后對應角不變，故∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，進而求出∠1+∠2的度數．【解答】解：∵將△ABC三個角分別沿DE、HG、EF翻折，三個頂點均落在點O處，∴∠B=∠HOG，∠A=∠DOE，∠C=∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE=360°，∵∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，故答案為：180．【點評】此題主要考查了翻折變換的性質和三角形的內角和定理，根據已知得出∠HOG+∠EOF+∠DOE=∠A+∠B+∠C=180°是解題關鍵．三、解答題：共8小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．（10分）（1）如圖1，在△ABC中，EF與AC交于點G，與BC的延長線交于點F，∠B=45°，∠F=30°，∠CGF=70°，求∠A的度數．（2）利用三角板也能畫出一個角的平分線，畫法如下：①利用三角板在∠AOB的兩邊上分別取OM=ON；②分別過點M、N畫OM、ON的垂線，交點為P；③畫射線OP，所以射線OP為∠AOB的角平分線．請你評判這種作法的正確性，并加以證明．【分析】（1）利用對頂角線段得到∠AGE=70°，再根據三角形外角性質得∠AEF=∠B+∠F=75°，然后根據三角形內角和計算∠A的度數；（2）由作圖得∠PMO=∠PNO=90°，則可根據“HL”可證明Rt△PMO≌Rt△PNO，所以∠POM=∠PON，從而可判斷射線OP為∠AOB的角平分線．【解答】解：（1）∵∠CGF=70°，∴∠AGE=70°，∵∠B=45°，∠F=30°，∴∠AEF=∠B+∠F=75°，∴∠A=180°﹣75°﹣70°=35°；（2）證明：這種作法的正確．理由如下：由作圖得∠PMO=∠PNO=90°，在Rt△PMO和Rt△PNO中，∴Rt△PMO≌Rt△PNO，∴∠POM=∠PON，即射線OP為∠AOB的角平分線．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．17．（6分）小王準備用一段長30m的籬笆圍成一個三角形形狀的場地，用于飼養家兔，已知第一條邊長為am，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2m．（1）請用a表示第三條邊長．（2）問第一條邊長可以為7m嗎？請說明理由．【分析】（1）三角形的第三邊=周長﹣另外兩邊的和；（2）根據三角形的三邊關系即可判斷；【解答】解：（1）第三邊為：30﹣a﹣（2a+2）=（28﹣3a）m．（2）第一條邊長不可以為7m．理由：a=7時，三邊分別為7，16，7，∵7+7＜16，∴不能構成三角形，即第一條邊長不可以為7m．【點評】本題考查三角形的三邊關系、列代數式求值等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．18．（7分）在下列條件中，過△ABC任意一個頂點作一條直線將△ABC分割成兩個等腰三角形，并注明這兩個等腰三角形頂角的度數．（1）如圖1，在△ABC中，∠A=∠B=45°．（2）如圖2，在△ABC中，∠A=30°，∠B=15°．【分析】（1）直接利用等腰三角形的性質直接作出AB的垂直平分線進而得出答案；（2）利用已知角度進而得出：∠ACD=120°，∠BDC=150°，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖1所示：∠ADC=∠BDC=90°；（2）如圖2所示：∠ACD=120°，∠BDC=150°．【點評】此題主要考查了應用設計與作圖，正確應用等腰三角形的性質是解題關鍵．19．（7分）（1）如圖1，點P是等腰三角形ABC的底邊BC上的一個動點，過點P作BC的垂線，交直線AB于點Q，交CA的延長線于點R，請觀察AR與AQ，它們有何數量關系？并證明你的猜想．（2）如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，（1）中所得的結論還成立嗎？請你在圖2中完成圖形，并直接寫出結論．【分析】（1）利用△ABC是等腰三角形，可知AB=AC，∠B=∠C，利用同角的余角相等即可求證∠AQR=∠R，從而可知AR=AQ；（2）證明方法與（1）類似．【解答】（1）AR=AQ，證明如下：∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠B=∠C又∵PR⊥BC∴∠RPC=90°∴∠C+∠R=90°，∠B+∠BQP=90°∵∠BQP=∠AQR∴∠AQR=∠R∴AR=AQ（2）AR=AQ仍然成立：∵△ABC是等腰三角形∴AB=AC，∠ABC=∠C又∵PR⊥BC∴∠RPC=90°∴∠C+∠R=90°，∠PBQ+∠BQP=90°∵∠ABC=∠PBQ∴∠AQR=∠R∴AR=AQ．【點評】本題考查等腰三角形的判定，解題的關鍵是利用AB=AC，∠B=∠C以及同角的余角相等求證∠AQR=∠R．20．（12分）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖2中與△ABE全等的三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：DC⊥BE．【分析】根據等腰直角三角形的性質利用SAS判定△ABE≌△ACD；因為全等三角形的對應角相等，所以∠ACD=∠ABE=45°，已知∠ACB=45°，所以可得到∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，即DC⊥BE．【解答】（1）解：圖2中△ACD≌△ABE．證明：∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．即∠BAE=∠CAD．∵在△ABE與△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）證明：由（1）△ABE≌△ACD，則∠ACD=∠ABE=45°．又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°．∴DC⊥BE．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的性質及全等三角形的判定方法的理解及運用．21．（7分）如圖，∠BAC=∠ABD，AC=BD，點O是AD、BC的交點，點E是AB的中點．（1）求證：∠ABC=∠BAD．（2）試判斷OE和AB的位置關系，并給出證明．【分析】（1）根據邊角邊判定全等三角形的方法即可求證△ABC≌△BAD；（2）根據（1）中結論可得∠DAB=∠CBA，可得OA=OB，根據等腰三角形底邊三線合一性質即可解題．【解答】證明：（1）∵在△ABC和△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SAS）；（2）OE垂直且平分AB．理由：∵△ABC≌△BAD，∴∠DAB=∠CBA，∴OA=OB，∵點E是AB的中點，∴OE⊥AB．∴OE垂直且平分AB．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質，本題中求證△ABC≌△BAD是解題的關鍵．22．（12分）已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，直線l過點M（3，0）且平行于y軸．（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點的坐標．（2）如果點P的坐標是（﹣a，0），其中a＞0，點P關于y軸的對稱點是P1，點P1關于直線l的對稱點是P2，求P1P2的長．（用含a的代數式表示）（3）通過計算加以判斷，PP2的長會不會隨點P位置的變化而變化．【分析】（1）如圖1，分別作出點B、C關于y軸的對稱點，再順次連接可得；（2）P與P1關于y軸對稱，利用關于y軸對稱點的特點：縱坐標不變，橫坐標變為相反數，求出P1的坐標，再由直線l的方程為直線x=3，利用對稱的性質求出P2的坐標，即可PP2的長．（3）根據以上兩種情況，分別利用PP2=PP1+P1P2、PP2=PP1﹣P1P2計算可得結論．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，A1（0，4）、B1（2，2）C1（1，1）；（2）①如圖2，當0＜a≤3時，∵P與P1關于y軸對稱，P（﹣a，0），∴P1（a，0），又∵P1與P2關于l：直線x=3對稱，設P2（x，0），可得：=3，即x=6﹣a，∴P2（6﹣a，0），則PP2=6﹣a+a=6．②如圖3，當a＞3時，∵P與P1關于y軸對稱，P（﹣a，0），∴P1（a，0），又∵P1與P2關于l：直線x=3對稱，設P2（x，0），可得：=3，即x=6+a，∴P2（6+a，0），則PP2=6+a﹣a=6．綜上所述，當0＜a≤3時，P1P2=6﹣2a；當a＞3時，P1P2=2a﹣6；（3）當0＜a≤3時，PP2=PP1+P1P2=2a+6﹣2a=6；當a＞3時，PP2=PP1﹣P1P2=2a﹣（2a﹣6）=6；∴PP2的長不會隨點P位置的變化而變化．【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱的定義和性質及分類討論思想的運用．23．（14分）問題情境：如圖1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD