第八章虛擬變量回歸

引子:男女大學生消費真有差異嗎?

在對在校學生的消費行為進行的調查中，發現在校

生的消費行為呈現多元化的結構。人際交往消費、

手機類消費、衣著類消費、化妝品類消費、電腦類

消費、旅游類消費占有較大的比例；而食品類消費、

學習用品類消費不突顯。

顯然,男女生在消費上存在差異。為了了解男、女

生的消費支出結構差異，應當如何建立模型？

面臨的問題：如何把男女生這樣的非數量變量引

入方程？

2

問題的一般性描述

在實際建模中，一些定性變量具有不可忽視的重要

影響。例如，研究某個企業的銷售水平，產業屬性

（制造業、零售業）、所有制（私營、非私營）、

地理位置（東、中、西部）、管理者的素質、不同

的收入水平等是值得考慮的重要影響因素，但這些

因素共同的特征是定性描述的。二

如何對非定量因素進行回歸分析？

采用“虛擬變量”對定性變量進行量化一種思路。

產,第八章虛擬變量回歸

本章主要討論：

?虛擬變量

?虛擬解釋變量的回歸

?虛擬被解釋變量的回歸（選講,不包括）

令第一節虛擬變量

■■——J

本節基本內今：

?基本概念

?虛擬變量設置規則

5

一、基本概念

定量因素：可直接測度、數值性的因素。

定性因素：屬性因素，表征某種屬性存在與否的

非數值性的因素。

基本思想：

直接在回歸模型中加入定性因素存在諸多的困難

（那些困難？），是否可將這些定性因素進行量

化，以達到定性因素能與定量因素有著相同作用

之目的。

6

虛擬變量的定義

計量經濟學中，將取值為o和1的人工變量稱為虛

擬變量。虛擬變量也稱：啞元變量、定性變量等

等。通常用字母D或DUM加以表示（英文中虛擬

或者啞元Dummy的縮寫）。

對定性變量的量化可采用虛擬變量的方式實現。

二、虛擬變量設置規則

虛擬變量的設置規則涉及三個方面：

1.“0”和“1”選取原則

2.屬性（狀態、水平）因素與設置虛擬變量

數量的關系二

二3.虛擬變量在回歸分析中的角色以及作用等

方面的問題

8

“0”和“1”選取原則

?虛擬變量取“I”或“0”的原則，應從分析問

題的目的出發予以界定。

?從理論上講，虛擬變量取“0”值通常代表比較

的基礎類型；而虛擬變量取“1”值通常代表被

比較的類型。

“0”代表基期（比較的基礎，參照物）；

“1”代表報告期（被比較的效應）。

例如，比較收入時考察性別的作用。當研究男性收入是否

高于女性時，是將女性作為比較的基礎(參照物)，故有

男性為“1”，女性為“0”O

例111男1改革開放以后

⑴。二＜(2)D=

1°女0改革開放以前

1天氣陰11天氣雨

(3)D/=()D2=<4

10其他0其他

問題:

為何只選0、1,選2、3、4行嗎？為什么？

10

屬性的狀態（水平）數與虛擬變量

數量的關系

定性因素的屬性既可能為兩種狀態，也可能為多種

狀態。例如，性別（男、女兩種）、季節（4種狀

態），地理位置（東、中、西部），行業歸屬，所

有制，收入的分組等。

-1,0）天氣陰

I

如：（。1,。2）=<（0,1）天氣雨

I（0,0）其他

11

虛擬變量數量的設置規則

1.若定性因素具有111個（加22）相互排斥屬性（或

幾個水平），當回歸模型有截距項時，只能引入

m-1個虛擬變量；

2.當回歸模型無截距項時，則可引入m個虛擬變

量；否則，就會陷入“虛擬變量陷阱”。（為什二

么？）

廣、個例子（虛擬變量陷阱）

研究居民住房消費支出匕和居民可支配收入X,之間的

數量關系。回歸模型的設定為：Yi=ao+^iXi+ui（）

現在要考慮城鎮居民和4村居民之間的差異，如何辦？

為了對“城鎮居民”、“農村居民”進行區分，分析

各自在住房消費支出Y上的差異，設Dli=l為城鎮；

Dli=0為%村,則模型為

Yi=（）+iXi+1D1+ui（2）

（模型有截距，“居民屬性”定性變量只有兩個相互排斥

的屬性狀態（加=2）,故只設定一個虛擬變量。）

產飛

若對兩個相互排斥的屬性“居民屬性”，仍然

引入〃22個虛擬變量，則有

fl城鎮居民11農村居民

Du=\

lo農村居民10城鎮居民

則模型(1)為

Yi0\Xi1D12。2Ui(3)

則對任一家庭都有:D\+Di=ID1+D2-I=0,

即產生完全共線，陷入了“虛擬變量陷阱”。

“虛擬變量陷阱”的實質是：完全多重共線性。

虛擬變量在回歸模型中的角色

z虛擬變量既可作為被解釋變量，也可作為解釋二

變量，分別稱其為虛擬被解釋變量和虛擬解釋變量。

虛擬被解釋變量的研究是當前計量經濟學研究的

前沿領域，如MacFadden、Heckmen等人的微觀計

二量經濟學研究，大量涉及到虛擬被解釋變量的分析。

本課程只是討論虛擬解釋變量的問題

第二節虛擬解釋變量的回歸

本節基本內＜:

?加法類型

?乘法類型

?虛擬解釋變量綜合應用

16

產飛

在計量經濟學中，通常引入虛擬變量的方式分為

加法方式和乘法方式兩種：即

Yt=ao+PXtut卜aiD

Yt=a+pi/+必+

原模型：匕=a+?Ei+ui

加法方式引入a=ao+ociD

乘法方式引入0=01+02。

實質：加法方式引入虛擬變量改變的是截距；

乘法方式引入虛擬變量改變的是斜率。

I、加法類型

以加法方式引入虛擬變量時，主要考慮的問二

題是定性因素的屬性和引入虛擬變量的個數。

分為四種情形討論：

（1）解釋變量只有一個定性變量而無定量變量,

而且定性變量為兩種相互排斥的屬性；二

（2）解釋變量分別為一個定性變量（兩種屬性）

和一個定量解釋變量；

18

產飛

（3）解釋變量分別為一個定性變量（兩種以上屬

性）和一個定量解釋變量；

（4）解釋變量分別為兩個定性變量（各自分別是

兩種屬性）和一個定量解釋變量；

思考：

四種加法方式引入虛擬變量會產生什么效應?

fqClJ一個兩種屬性定性斛羚變量而

無定量變量的情形

模型形式：Yi/（Di）i0

例如：19/0\1

11城市

其中：Di=農村（比較的基礎：農村）

Q那幻E（H|A=1）==ao+ai）

E（H|D=6）

1=ao

'匕=ao+ai）jii城市

VYi=^0+|Llz

農村

20

/飛(2)一個定性斛羚變量(兩種屬性)

和一個定量斛釋變量的情形

模型形式Yi=f(Di,Xi)+/Lti^>d=a0+aiDz

例如：Yi=a0+aiA+px，+僅

X

共同的特征：戰距發生改變C?J

22

一個定性解稼變量(兩種以上

屬性)和一個定量斛分變量的情形

模型形式Yi=f(X19I92,)+*,

(如：民族有§潦中特性；季度有4種特性)

例如：啤酒售量工人均收入X、季度。;

匕=a0+aiDi+a2。2+a3。3+0X，+囚

f1一季度「1二季度

其中：D\—<Z)2=<其它

lo其它10

(1三季度

。3=《

10其它

23

一季度：E（H|X1,O1=1,Di=D3=0)=ao+oci)

土壁ft：E（匕|X1,02=l,Z)(=Z)3=0)=(ao+a2)

WM?：E（Yi|Xl,D3=1,Di=D2=0)=(a0+a3)

￡>2=03=0)=ao+pX

’（基準：四季度）

24

兩個定性解羚變量（均為兩種

屬性）和一個定量斛分變量的情形

例：分析啤酒銷售量丫受到人均收入X、季節Q

以及居民屬性。2的影響。

Yj—CXQ+ocyF)Y+a?力2+/3Xj+內

1夏季城市

其中：E\=

0冬季農村

（比較的基礎一冬季、農村）

25

夏季、城市居民

EYi\Xi,D\1,。2101

2)Xi

夏季、農村居民(

EYi\XifD\=l,Z)2=0=0+1)

卷季、城市居民,

(+

EYi\Xi,D\0,。21(0

冬毅）柴村唐'民

EYi\Xi,D\0,D200

Xi

26

Pix—1zDo—j

Di=1,\)2=0

Di=0,Z)2=1

eDi=0,D2=0

X

上述圖形的前提條件是什

27

運用OLS得到回歸結果，再用t檢驗討論因素

是否對模型有影響。

加法方式引入虛擬變量的一般表達式：

匕=CCO+0C1O1/+OC2D2t+...+akDkt+pXt+ut

基本分析方法：條件期望。二

E(Yt/Dit,Dzt,??.，Dkt)=oto+otiDit+ot2D2t+…+otkDkt

+pXt

28

加法方式引入虛擬變量的主要作用為：

1.在有定量解釋變量的情形下，主要改變方程

截距；

2.在沒有定量解釋變量的情形下，主要用于方

差分析。

29

二、乘法類型

基本思想

以乘法方式引入虛擬變量時，是在所設立的模型中，將虛擬

Xi

解釋變量與其它解釋變量的乘積，作為新的解釋變量出現在

模型中，以達到其調整設定模型斜率系數的目的。或者將模

型斜率系數表示為虛擬變量的函數，以達到相同的目的。

乘法引入方式：

(1)截距不變；

(2)截距和斜率均發生變化；

分析手段：仍然是條件期望。

30

C1J前距不變的情形

模型形式：

Yt=fXtfDtXtut,

例：球究消費娑出Y受收入X、年份狀況D的影響

Yi=a+^iXt+^2(DtXt)+\it

\1反常年份

其中：丫-消費支出；X—收入；Dt=\

[0正常年份

反常年份E(Yt\XtfDt=1)=a+(^i+^2)Xt

正常年份E(Yt\XtfDt=O)=a+^i

始正常年份的基礎上進行比較，(只有斜率系數發生改變)。

(2)就距和斜率均發生變化

模型形式：

YifXt.Dt.DtXto\D,

11D

例，同樣研究消費支出Y、收入X、年份狀況D間的影

響關系。

Yt=ao+01X/+aiD+p2(DtXt)+|i/

fl反常年份

其中：y-消費支出；x-收入；Dt=]

lo正常年份

反常年份E(川XjDt=1)=(ao+ai)+(伙+P2)Xz

正常年份E(H|X/,D=O)=a+PiX/

在正常年份基礎上比較，截距和斜率系數都改變，為什么？

32

廣?不同截距、斜率的組合刎

--------------------------?-------------------------------------------------------------------------------------------?

重合回歸：截距斜率均相同平行回歸：截距不同斜率相同

ib

一J1:

共點回歸：截距相同斜率不同交叉（不同）回歸：截距斜率均不同

33

三、虛擬斛釋變量綜合應用

所謂綜合應用是指將引入虛擬解釋變量的加法方

式、乘法方式進行綜合使用。

基本分析方式仍然是條件期望分析。

本課主要討論

-（1）結構變化分析；二

2（2）交互效應分析；2

（3）分段回歸分析

34

C1J結構變化分析

結構變化的實質是檢驗所設定的模型在樣本期內

是否為同一模型。顯然，平行回歸、共點回歸、

不同的回歸三個模型均不是同一模型。

平行回歸模型的假定是斜率保持不變（加法類型,

包括方差分析）；

共點回歸模型的假定是截距保持不變（乘法類型,

又被稱為協方差分析）；

不同的回歸的模型的假定是截距、斜率均為變動

的（加法、乘法類型的組合）。

35

例：比較改革開放前、后我國居民(平均)“儲

蓄一收入”總量關系是否發生了變化？

模型的設定形式為：

匕=al+a20/+P1X/+p2(DiXt)+以(1)

其中：Yt為儲蓄總額，Xt為收入總額。

fl改革開放后

D-\

lo改革開放前

36

回歸方程：

改革開放后E(7r|Xt,Z)=1)=al+a2)(01+02)X.(2)

(+

(3)

改革開放前E(Yt|Xt,0=0)=al+。1X，

顯然，只要。2、2不同時為零，上述模型就能刻畫

改革開放前后我國居民儲蓄收入模型結構是否發生

變化。

37

產飛

問題：

1,本例中，平行、共點回歸、不同的回歸三模型

的經濟學背景解釋是什么？

2.如何進行結構變化判斷？

3.是否可對(2)、(3)分別進行OLS估計？為什么？

4.若分別對(2)、(3)進行OLS估計應注意什么？

38

(2)交互效應分析

交互作用：

一個解釋變量的邊際效應有時可能要依賴于另一

個解釋變量。為此,Klein和Morgen(1951)提出了

有關收入和財產在決定消費模式上相互作用的假

設。他們認為消費的邊際傾向不僅依賴于收入，

而且也依賴于財產的多少一一較富有的人可能會

有不同的消費傾向。

39

為了捕獲該影響，設C=a+B"》。假設邊際

消費傾向p依賴于財產Zo一個簡單的表示方法

就是P=pl+p2Zo代入消費函數，有：

c=a+pir+p2yz+w

由于KZ捕獲了收入和財產之間的相互作用而被稱

為交互作用項。

顯然，刻畫交互作用的方法，在變量為數量（定量）

變量時，是以乘法方式引入虛擬變量的。

40

例：是否發展油菜籽生產與是否發展養蜂生產的

差異對農副產品總收益的影響研究。

模型設定為：

Yi=ai+a2DH+a3Z)3z+^Xi+m()i

其中：匕?(農副產品收益)；X(農副產品投入)

二'fl發展養蜂生產「1發展油菜籽生產-

D1=〈；D3=〈

lo其他10其他

(1)式中，以加法形式引入虛擬變量暗含何假設？

41

(i)式以加法形式引入，暗含的假設為：

菜籽生產和養蜂生產是分別獨立地影響農副品生產

總收益。但是，在發展油菜籽生產時，同時也發展

養蜂生產，所取得的農副產品生產總收益，可能會

高于不發展養蜂生產的情況。即在是否發展油菜籽二

生產與養蜂生產的虛擬變量以和小間，很可能

存在著一定的交互作用，且這種交互影響對被解釋

變量農副產品生產收益會有影響。

42

c

問題：如何刻畫同時發展油菜籽生產和養蜂生產的

交互作用？

基本思想:在模型中引入相關的兩個變量的乘積。

二區別之處在于，上頁定義中的交互效應是針對數量

變量，而現在是定性變量，又應當如何處理？

43

為了反映交互效應，將(1)變為:

Yi2D2i3D3Z4D2iD3i

XiUi

同時發展油菜籽和

Yi—Otl+0t2+013+0t4)PXi+Ui

養蜂生產：

(+

發展油菜籽生產：Yi12)X

iUi

發展養蜂生產：匕?=@1+a3)^Xi+ui

(

基礎類型：匕=al+PFX/+ui

44

產飛

如何檢驗交互效應是否存在？

看（系數a4對應的%值：

「Ho：OC4=0

即檢驗：＜

IHi：a4W0

若拒絕原假設，即交互效應對y產生了影響（應

該引入模型）。

45

(3)分段回歸分析

作用：提高模型的描述精度。二

虛擬變量也可以用來代表數量因素的不同階段。

分段線性回歸就是類似情形中常見的一種。

一個例子：研究不同時段我國居民的消費行為。

實際數據表明，1979年以前，我國居民的消費支

y

出呈緩慢上升的趨勢；從1979年開始，居民消

費支出為快速上升趨勢。

如何刻畫我國居民在不同時段的消費行為?

46

基本思路：采用乘法方式引入虛擬變量的手段。

顯然，1979年是一個轉折點，可考慮在這個轉折

點作為虛擬變量設定的依據。若設X*=1979,

當/〈X*時可引入虛擬變量。（為什么選擇1979

作為轉折點？）

47

產飛

依據上述思路，有如下描述我國居民在不同時段

消費行為模型:

Yt0U婁（tX）

D!ut

Xt(t=1955,1956,2004)

其中：D

Xt

0

居民消費趨勢方程：

1979年以前：Yt=po+pu+wz

*1979年以后：Yt=00—p2X+（pl

+02)，+Ut

48

分析

1979年之前，回歸模型的斜率為p；

1

1979年之前，回歸模型的斜率為仇+色；

若統計檢驗表明，p2

顯著不為零，則我國居民的消

費行為在1979年前后發生了明顯改變。49

第三節案例分析

為了考察改革開放以來中國居民的儲蓄存款與收

入的關系是否已發生變化，以城鄉居民人民幣儲

蓄存款年底余額代表居民儲蓄（y）,以國民總

收入GNI代表城鄉居民收入，分析居民收入對儲

蓄存款影響的數量關系，并建立相應的計量經濟

學模型。

50

表8.1國民總收入與居民儲蓄存款單位：億元

城鄉居城鄉居民城鄉居￡汰城鄉居民

國民總收）民幣儲人民幣儲民幣儲年游人民幣儲

.4,.?、/..>~~i?/11-/—<U.JiAZ.

南仔就因氏思雙岳仔泡J胃

份

(GNI)底及額蓄存款增款年底w擷額

(Yy份R入（GNI）(VVy

、▲/VV\JLJL7

__in?z/rn(\,.yz、

mMXX、/■<I

19783624.1210.6NA199121662.59241.62121.8

1Q7Q7nA1QQ9a11TROA，二17Q

19804517.8399.5118.5199334560.515203.53444.1

19814860.3532.7―124.219944667021518.86315.3

■<coc

19825301.80/5.4151.7?1ecu57494.929662.38O1Y443，.5E

19835957.4892.5217.1199666850.538520.88858.5

數據來源：《中國統計年鑒2004》，中國統計出版社。表中“城鄉居民人民幣

儲蓄存款年增加額”為年鑒數值，與用年底余額計算的數值有差異。51

表8.1國民總收入與居民儲蓄存款（續）單位：億元

城鄉居城鄉居城鄉居民人城鄉居民人

民人民民人民民幣儲蓄存民幣儲蓄存

年國民總收幣諸蓄一幣儲蓄年國民總收入款年底余額款增加額

份入(GNT)7款年存款增份(GNI)(Y)(YY)

IE亡心

底余額加額

(/)(VY\

19847206.71214.7322.2199773142.746279.87759

19858989.11622.6407.9199876967.253407.57615.4

198610201.42237.6615199980579.459621.86253

198711954.53073.3835.720008825464332.44976.7

198814922.33801.5728.2200195727.973762.49457.6

198916917.85146.91374.22002103935.386910.613233.2

199018598.47119.81923.42003116603.2103617.716631.9

52

為了研究1978—2003年期間城鄉居民儲蓄存款隨收入的

變化規律是否有變化，考證城鄉居民儲蓄存款、國民總收

入隨時間的變化情況，如下圖所示：

53

從上圖中，尚無法得到居民的儲蓄行為發生明顯改變

的詳盡信息。若取居民儲蓄的增量（YY）,并作時序

圖（見左下圖）：

20000

15000

>10000

5000

0

20000400006000080000100000

GNI

54

產飛

從居民儲蓄增量圖（上頁左圖）可以看出，城鄉居

民的儲蓄行為表現出了明顯的階段特征：在

1996年和2000年有兩個明顯的轉折點。再從城

鄉居民儲蓄存款增量與國民總收入之間關系的散

布圖看（見上頁右圖），也呈現出了相同的階段

性特征。

55

為了分析居民儲蓄行為在1996年前后和2000年前后三個階段

的數量關系，引入虛擬變量D和D。

12

D/和D2的選擇，是以1996、2000年兩個轉折點作為依據,

并設定了如下以加法和乘法兩種方式同時引入虛擬變量的的

模型：

YY,=P1+P2GNL+p3(GNL-66850.50)Du+魚(GNL

苴徵54.00)Dit+ut

出丁.1t2000年以后

fl/=1996年以后

Dit

D\t=<

0/2000年及以前

[0，=1996年及以前

對上式進行回歸后，有:

EVie^s—[Equation:EQO1Vorkfile:CHAPTER8—CAS1

L-JFileEdit0bjeatViewProcQuickOgtionsWindowKelp

,lew|Pro匚|Object|Print|Name|Freeze|Estimate|Foreuast|Stats|Resids|

DependentVariable:YY

Method.LeastSquares

Date:08^2/05Time:21:64

Sample(adjusted):19792003

Includedobservations:25afteradjustments

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

c-830.4045172.1626-4.8233740.0001

GNI0.1444860.00574025.170010.0000

(GNI-66850.50rDUM1-0.291371□027182-10.719200.0000

(GNI-88254.00rDUM20.5602190.04013613,958100.0000

R-squared0989498Meandependentvar41G8.G52

AdjustedR-squared□987998S.D.dependentvar4581.447

S.E.ofregression501,9182Akaikeinfocriterion15.42040

Sumsquaredresid5290359.Schw