一、不定積分五、平面曲線積分四、重積分積分學(xué)二、定積分三、廣義積分六、積分應(yīng)用一、不定積分1.不定積分概念定義：

若在區(qū)間I

上定義的兩個(gè)函數(shù)F(x)及f(x)滿足則稱F(x)為f(x)在區(qū)間

I

上的一個(gè)原函數(shù).在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為定義：上的不定積分2.基本積分表從不定積分定義可知:或或利用逆向思維(k

為常數(shù))或或3.求不定積分方法（1）直接積分法通過簡(jiǎn)單變形,利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法(要求記住基本積分公式）.第一類換元的基本思路第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用的湊微分結(jié)果有（2）

換元積分法第二類換元的解題思路為使用該公式的關(guān)鍵為第二類換元常見類型有三角代換倒代換根式代換等（3.）分部積分法一般經(jīng)驗(yàn):按“反,對(duì),冪,指,三”的順序,排前者取為u.（1）當(dāng)被積函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)時(shí),取被積函數(shù)為u

(2)當(dāng)被積函數(shù)為兩種不同類型函數(shù)乘積時(shí)例4

求積分解：例5

求積分解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得2、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)31、定積分定義：二、定積分性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式3、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可寫成牛頓—萊布尼茨公式4、牛頓—萊布尼茨公式5、定積分的計(jì)算法換元公式（2）第二類換元法（3）分部積分法分部積分公式（1）湊微分法6、重要結(jié)論為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)三、廣義積分1、無窮限的廣義積分例8.

證明第一類p

積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1

時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1

時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1

時(shí),反常積分發(fā)散.例9.

計(jì)算反常積分解:2、無界函數(shù)的廣義積分例10.

計(jì)算反常積分解:

顯然瑕點(diǎn)為

a,所以原式例11.證明反常積分證:當(dāng)

q=1時(shí),當(dāng)

q<1時(shí)收斂;q≥1時(shí)發(fā)散.當(dāng)

q≠1時(shí)所以當(dāng)

q<1

時(shí),該廣義積分收斂,其值為當(dāng)

q

≥1

時(shí),該廣義積分發(fā)散

.1.二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則四、重積分（化為累次積分）特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有7.(二重積分的中值定理)在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使連續(xù),重要結(jié)論：如果積分區(qū)域關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于自變量y為奇函數(shù)，則積分為零；被積函數(shù)關(guān)于自變量y為偶函數(shù)，則積分值等于x軸上半部分積分值的兩倍。如果積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于自變量x為奇函數(shù)，則積分為零；被積函數(shù)關(guān)于自變量x為偶函數(shù)，則積分值等于y軸右半部分積分值的兩倍。

2.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分若D為

X–型區(qū)域

則若D為Y–型區(qū)域則解3.在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分例14.計(jì)算二重積分其中D為圓周所圍成的閉區(qū)域.提示:

由于積分區(qū)域關(guān)于X軸對(duì)稱，被積函數(shù)為偶函數(shù)，考慮上半圓。再利用極坐標(biāo)原式4.在柱坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在柱坐標(biāo)系下化三重積分為三次積分是將積分區(qū)域在某個(gè)坐標(biāo)面上投影，將投影區(qū)域用極坐標(biāo)表示，最后找出另一個(gè)坐標(biāo)的變化范圍。1.平面圖形的面積設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右下圖所示圖形面積為六、積分應(yīng)用例15.計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:所求弧長(zhǎng)2.平面曲線的弧長(zhǎng)(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:所求弧長(zhǎng)例15.求曲線上相應(yīng)于x從0到1的一段弧長(zhǎng)。連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體