無窮級數一、數項級數二、冪級數討論斂散性求收斂范圍，將函數展開為冪級數，求和。第一頁，共48頁。1.數項級數及收斂定義：給定一個數列將各項依即稱上式為無窮級數，其中第

n

項叫做級數的一般項,級數的前

n

項和稱為級數的部分和.次相加,簡記為收斂,則稱無窮級數并稱S為級數的和。第二頁，共48頁。

等比級數(又稱幾何級數)(q

稱為公比).級數收斂,級數發散

.其和為P-級數第三頁，共48頁。2.無窮級數的基本性質

性質1.設

c

是非零常數，則級數收斂于S,則有相同的斂散性。若與收斂于cS.性質2.

設有兩個收斂級數則級數也收斂,其和為第四頁，共48頁。說明:(2)若兩級數中一個收斂一個發散,則必發散.但若二級數都發散,不一定發散.(1)性質2表明收斂級數可逐項相加或減.(用反證法可證)第五頁，共48頁。性質3.在級數前面加上或去掉有限項,不會影響級數的斂散性.性質5：設收斂級數則必有可見:

若級數的一般項不趨于0,則級數必發散.第六頁，共48頁。*例1.判斷下列級數的斂散性:第七頁，共48頁。(比較審斂法)設且存在對一切有(1)若強級數則弱級數(2)若弱級數則強級數則有收斂,也收斂;發散,也發散.是兩個正項級數,

(常數k>0),3.正項級數審斂法第八頁，共48頁。第九頁，共48頁。

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數同時收斂或發散;(2)當

l=

0(3)當

l=∞設兩正項級數滿足(1)當0<l<∞時,第十頁，共48頁。的斂散性.例3.

判別級數解:根據比較審斂法的極限形式知發散第十一頁，共48頁。比值審斂法(D’alembert判別法)設為正項級數,且則(1)當(2)當時,級數收斂;或時,級數發散

..

根值審斂法(Cauchy判別法)設

為正項級數,且則第十二頁，共48頁。因此級數收斂.解:第十三頁，共48頁。4.交錯級數及其審斂法

則各項符號正負相間的級數稱為交錯級數

.

(Leibnitz

判別法)

若交錯級數滿足條件:則級數收斂。第十四頁，共48頁。5.絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數若若原級數收斂,但取絕對值以后的級數發散,則稱原級收斂,數絕對收斂；則稱原級數條件收斂.

絕對收斂的級數一定收斂.第十五頁，共48頁。由絕對收斂概念和萊布尼茲定理知:交錯級數第十六頁，共48頁。例5.

證明下列級數絕對收斂:證:

而收斂,收斂因此絕對收斂.第十七頁，共48頁。判斷數項級數斂散的方法1、利用已知結論：等比級數、P-級數及級數性質2、利用必要條件：主要判別發散3、求部分和數列的極限4、正項級數的審斂法1）比值審斂法（根值審斂法）2）比較審斂法（或極限形式）5、交錯級數審斂法：萊布尼茲定理6、一般級數審斂法：先判斷是否絕對收斂，如果絕對收斂則一定收斂；否則判斷是否條件收斂第十八頁，共48頁。發散發散收斂收斂發散

1.Abel定理

若冪級數則對滿足不等式的一切x

冪級數都絕對收斂.反之,若當的一切x,該冪級數也發散.時該冪級數發散,則對滿足不等式二、求冪級數收斂域第十九頁，共48頁。*例6.已知冪級數在處收斂，則該級數在處是收斂還是發散？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：由Abel定理，該冪級數在處絕對收斂，故在絕對收斂。第二十頁，共48頁。例7.

已知處條件收斂,問該級數收斂半徑是多少答:根據Abel定理可知,級數在收斂,時發散.故收斂半徑為第二十一頁，共48頁。若的系數滿足1)當

≠0時,2)當

＝0時,3)當

＝∞時,則的收斂半徑為2.求收斂半徑第二十二頁，共48頁。對端點

x=－1,的收斂半徑及收斂域.解:對端點x=1,級數為交錯級數收斂;

級數為發散.故收斂域為例8..求冪級數

第二十三頁，共48頁。例9.的收斂域.解:

令級數變為當t=2時,級數為此級數發散;當t=–2時,級數為此級數條件收斂;因此級數的收斂域為故原級數的收斂域為即第二十四頁，共48頁。三、求函數的冪級數展開式1、對函數作恒等變形（如果需要的話）2、利用已知結論，用變量代換或求導積分得所求函數的冪級數3、寫出收斂范圍第二十五頁，共48頁。的冪級數展開式展開成解：例10.求函數第二十六頁，共48頁。四、求冪級數的和函數這是冪級數展開問題的逆問題，利用已知結論或求導積分，求冪級數在收斂域內的和函數。第二十七頁，共48頁。微分方程一、微分方程的基本概念二、解微分方程第二十八頁，共48頁。含未知函數及其導數的方程叫做微分方程

.方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程一、微分方程的基本概念的階.例如：一階微分方程二階微分方程第二十九頁，共48頁?！?/p>

使方程成為恒等式的函數.通解—

解中所含獨立的任意常數的個數與方程—

確定通解中任意常數的條件.初始條件(或邊值條件):的階數相同.特解微分方程的解

—不含任意常數的解,

定解條件

其圖形稱為積分曲線.第三十頁，共48頁。例1.

驗證函數是微分方程的解.解:

是方程的解.第三十一頁，共48頁。二、解微分方程1.一階微分方程可分離變量，一階線性2.高階微分方程可降階微分方程，二階線性微分方程解的結構，二階線性常系數齊次微分方程求解。第三十二頁，共48頁。分離變量方程的解法:(2)兩邊積分①②(3)得到通解稱②為方程①的隱式通解,或通積分.(1)分離變量第三十三頁，共48頁。*例2.

求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數)因此可能增、減解.第三十四頁，共48頁。一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.稱為齊次方程

;第三十五頁，共48頁。解*例3.利用一階線性方程的通解公式得：第三十六頁，共48頁。令因此即同理可得依次通過

n次積分,可得含

n個任意常數的通解.型的微分方程

第三十七頁，共48頁。例5.求解

解:

第三十八頁，共48頁。型的微分方程設原方程化為一階方程設其通解為則得再一次積分,得原方程的通解第三十九頁，共48頁。例6.

求解解:

代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為第四十頁，共48頁。型的微分方程

令故方程化為設其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解第四十一頁，共48頁。例7.

求解代入方程得兩端積分得故所求通解為解:第四十二頁，共48頁。定理1.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,則數)是該方程的通解.例如,方程有特解且常數,故方程的通解為二階線性齊次方程解的結構第四十三頁，共48頁。特征方程:實根

特征根通解二階線性常系數齊次微分方程求解第四十四頁，共48頁。例9.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例10.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第四十五頁，共48頁。*例11.