演講XXX日期2025-03-05高一數(shù)學(xué)必修一知識框架Contents目錄集合與函數(shù)概念基本初等函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用空間幾何體點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與方程圓與方程PART01集合與函數(shù)概念集合是由一些確定的、不同的元素所組成的，常用大寫字母表示。集合的定義列舉法、描述法、區(qū)間表示法等。集合的表示方法元素與集合的關(guān)系符號、空集符號、全集符號等。常用集合符號集合及其表示方法010203集合間的基本關(guān)系集合的包含關(guān)系子集、真子集、超集、真超集等概念。兩個(gè)集合的元素完全相同。集合的相等集合中的元素不重復(fù)。集合的互異性兩個(gè)集合中所有的元素組成的集合，重復(fù)的元素只計(jì)算一次。并集運(yùn)算屬于一個(gè)集合但不屬于另一個(gè)集合的元素組成的集合。差集運(yùn)算01020304兩個(gè)集合中都有的元素組成的集合。交集運(yùn)算全集中不屬于某集合的元素組成的集合。集合的補(bǔ)集集合的運(yùn)算函數(shù)的定義一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，按照某種規(guī)則，每個(gè)輸入值都對應(yīng)一個(gè)唯一的輸出值。函數(shù)的表示方法解析法、列表法、圖像法等。函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性等。函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的加減、乘除、復(fù)合運(yùn)算等。函數(shù)概念及性質(zhì)PART02基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義01指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，一般地，y=a^x（a為常數(shù)且a>0，a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的定義域是R。指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)02a^x隨著x的增大而增大（a>1）；a^x隨著x的增大而減小（0<a<1）。指數(shù)函數(shù)的圖像03函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，當(dāng)a>1時(shí)，隨著x的增大，圖像逐漸上升并向右擴(kuò)展；當(dāng)0<a<1時(shí)，隨著x的增大，圖像逐漸下降并向左擴(kuò)展。指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算04同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)的；對數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0)；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；底數(shù)在0和1之間時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)。對數(shù)函數(shù)的圖像函數(shù)圖像通過點(diǎn)(1,0)，當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，隨著真數(shù)N的增大，函數(shù)值逐漸增大，圖像逐漸上升；當(dāng)0<a<1時(shí)，隨著真數(shù)N的增大，函數(shù)值逐漸減小，圖像逐漸下降。對數(shù)函數(shù)的定義對數(shù)函數(shù)是以冪（真數(shù)）為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)。如果a^x=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log_aN。030201冪函數(shù)冪函數(shù)的定義冪函數(shù)是形如y=x^a的函數(shù)，其中a為常數(shù)。01冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)；當(dāng)a>0時(shí)，冪函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，冪函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù)。02冪函數(shù)的圖像冪函數(shù)的圖像根據(jù)a的值不同而有所差異，當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，圖像在x=0處有拐點(diǎn)；a為負(fù)整數(shù)時(shí)，圖像在x=0處有垂直漸近線；a為正分?jǐn)?shù)時(shí)，圖像在x=0處有水平漸近線；a為負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)，圖像在x=0處既有水平漸近線又有垂直漸近線。03通過函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值的大小，判斷方程是否有解以及解的個(gè)數(shù)，還可以確定函數(shù)的最大值和最小值。函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用奇函數(shù)和偶函數(shù)在圖像上關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用這一性質(zhì)可以簡化函數(shù)的計(jì)算和圖像繪制。函數(shù)的奇偶性應(yīng)用通過對函數(shù)圖像的平移、伸縮和翻轉(zhuǎn)等變換，可以得到新的函數(shù)圖像，從而研究函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。函數(shù)的圖像變換應(yīng)用函數(shù)應(yīng)用舉例PART03函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)值為0的自變量取值，與方程根有直接關(guān)系。函數(shù)與方程根的關(guān)系零點(diǎn)存在性定理閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)，若兩端函數(shù)值異號，則區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系在函數(shù)定義域內(nèi)，方程根的個(gè)數(shù)等于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。頂點(diǎn)坐標(biāo)公式通過配方或公式，可求得一元二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而了解函數(shù)的最大值或最小值。一元二次方程解的情況判別式大于0，有兩個(gè)不相等的實(shí)根；判別式等于0，有兩個(gè)相等的實(shí)根；判別式小于0，無實(shí)根。函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)一元二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解，交點(diǎn)個(gè)數(shù)即對應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)。用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程函數(shù)模型及其應(yīng)用線性模型適用于自變量與因變量之間呈現(xiàn)線性關(guān)系的情形，如正比例函數(shù)、一次函數(shù)等。非線性模型適用于自變量與因變量之間非線性關(guān)系的情形，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用根據(jù)實(shí)際問題背景，選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行描述和求解，如最值問題、范圍問題等。PART04空間幾何體棱柱頂面與底面平行、相似、大小相等，側(cè)面為矩形或平行四邊形。棱錐頂面為一點(diǎn)，底面為多邊形，側(cè)面為三角形且有公共頂點(diǎn)。圓柱由兩個(gè)平行且相等的圓面及連接它們的曲面組成。圓錐由一個(gè)頂點(diǎn)與一個(gè)圓面及連接它們的曲面組成，頂點(diǎn)稱為錐尖。圓臺由兩個(gè)平行且大小不等的圓面及連接它們的曲面組成。球體所有點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于常數(shù)的點(diǎn)的集合，該定點(diǎn)為球心。空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征010203040506主視圖、左視圖、俯視圖，分別反映了物體的長、寬、高三個(gè)方向的形狀和大小。三視圖通過斜二測畫法或平行投影法等方法繪制的，能更直觀地反映空間幾何體的形狀和大小。直觀圖三視圖是直觀圖的基礎(chǔ)，直觀圖是三視圖的立體表現(xiàn)。三視圖與直觀圖的關(guān)系空間幾何體的三視圖和直觀圖010203空間幾何體的表面積與體積柱體表面積等于兩個(gè)底面的面積之和加上側(cè)面的面積。錐體表面積等于底面積加上側(cè)面積，其中側(cè)面積可通過母線長與底面半徑計(jì)算得出。球體表面積等于4πR2，其中R為球半徑。柱體體積等于底面積乘以高。錐體體積等于底面積乘以高再除以3。球體體積等于(4/3)πR3，其中R為球半徑。PART05點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)可以確定一條直線，平面內(nèi)的任意三條不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。平面的表示方法常用大寫字母表示平面，如α、β、γ等。平面的定義平面是無限延展、無厚度、無邊界的二維平面。直線與直線平行、垂直關(guān)系平行直線的定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線稱為平行直線。平行直線的判定方法同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)等。垂直直線的定義兩條直線相交于一點(diǎn)，且相交角為直角時(shí)，這兩條直線互相垂直。垂直直線的判定方法利用直角三角形的性質(zhì)，如勾股定理、直角三角形的邊長關(guān)系等。直線與平面平行、垂直關(guān)系直線與平面內(nèi)任意一條直線都不相交，則稱直線與該平面平行。直線與平面平行的定義利用平面內(nèi)的一條直線與該直線平行進(jìn)行判定。利用平面內(nèi)兩條相交直線都與該直線垂直進(jìn)行判定。直線與平面平行的判定方法直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則稱直線與該平面垂直。直線與平面垂直的定義01020403直線與平面垂直的判定方法平面與平面平行、垂直關(guān)系平面與平面平行的定義01兩個(gè)平面內(nèi)各取一條直線，若這兩條直線平行，則稱這兩個(gè)平面互相平行。平面與平面平行的判定方法02利用平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面平行進(jìn)行判定。平面與平面垂直的定義03兩個(gè)平面相交，若它們所成的二面角是直二面角（即相交線為垂直線），則稱這兩個(gè)平面互相垂直。平面與平面垂直的判定方法04利用平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面垂直進(jìn)行判定，或者利用兩個(gè)平面分別垂直于同一條直線進(jìn)行判定。PART06直線與方程直線傾斜角的正切值，反映直線傾斜程度。斜率的定義k=tanα，(α為傾斜角)。斜率公式01020304直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角。傾斜角的概念斜率存在，傾斜角唯一；斜率不存在，傾斜角為90度。斜率與傾斜角的關(guān)系直線的傾斜角與斜率點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式、截距式等。直線方程的分類直線的方程及其求法y-y?=k(x-x?)，已知一點(diǎn)和斜率可求直線方程。點(diǎn)斜式方程(y-y?)/(y?-y?)=(x-x?)/(x?-x?)，已知兩點(diǎn)可求直線方程。兩點(diǎn)式方程Ax+By+C=0，適用于所有直線。一般式方程兩條直線的位置關(guān)系交點(diǎn)坐標(biāo)的求解聯(lián)立兩條直線的方程，求解得到交點(diǎn)坐標(biāo)。平行直線間的距離選取一條直線上的一點(diǎn)，求該點(diǎn)到另一條直線的距離即為平行線間的距離。平行與垂直的判定斜率相等則平行，斜率乘積為-1則垂直。√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]，用于計(jì)算平面上兩點(diǎn)間的距離。兩點(diǎn)間距離公式|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)，用于計(jì)算點(diǎn)到直線的距離。點(diǎn)到直線的距離公式解決與距離相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如求三角形的邊長、判斷點(diǎn)的位置關(guān)系等。距離公式的應(yīng)用距離公式及其應(yīng)用010203PART07圓與方程圓的參數(shù)方程以圓心為原點(diǎn)，以半徑為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為x=a+r·cosθ，y=b+r·sinθ（θ為參數(shù)），常用于求解與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)問題。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以O(shè)(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，通過方程可以求出圓心和半徑。圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得到x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，其中D、E、F為常數(shù)，通過方程可以求出圓心和半徑的相關(guān)信息。圓的方程及其求法相離直線與圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，直線到圓心的距離等于圓的半徑。相切相交直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線到圓心的距離小于圓的半徑。直線與圓沒有交點(diǎn)，直線到圓心的距離大于圓的半徑。直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系外離兩圓沒有交點(diǎn)，且一個(gè)圓的圓心到另一個(gè)圓的圓心的距離大于兩個(gè)圓的半徑之和。外切兩圓有一個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)圓的圓心到另一個(gè)圓的圓心的距離等于兩個(gè)圓的半徑之和。相交兩圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)圓的圓心到另一個(gè)圓的圓心的距離小于兩個(gè)圓的半徑之和但大于兩個(gè)圓的半徑之差。內(nèi)切兩圓有一個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)圓的圓心到另一個(gè)圓的圓心的距離等于兩個(gè)圓的半徑之差。內(nèi)含一個(gè)圓完全包含在另一個(gè)圓內(nèi)，且一個(gè)圓的圓心到另一個(gè)圓的圓心的距離小于兩個(gè)圓的半徑之差。0102030405橢圓橢圓是圓錐曲線的一種，其特點(diǎn)是從兩個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的任意一條射線，經(jīng)過橢圓上的任意一點(diǎn)后，反射到另一個(gè)焦點(diǎn)上，反射光線的總長度是