概率論計算試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.設隨機變量X服從二項分布，X～B（n，p），其中n=5，p=0.3。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=np=1.5

B.D（X）=np（1-p）=1.05

C.P（X=3）=0.216

D.P（X≤2）=0.843

2.設隨機變量X～N（μ，σ2），其中μ=0，σ2=1。則以下說法正確的是（）

A.P（X≥1）=0.1587

B.P（X≤-1）=0.1587

C.P（-1≤X≤1）=0.6826

D.P（|X|≤1）=0.6826

3.設隨機變量X～（1，λ），其中λ=1/2。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=1

B.D（X）=2

C.P（X=0）=0.5

D.P（X≥2）=0.0625

4.設隨機變量X，Y相互獨立，X～N（1，1），Y～N（2，4）。則以下說法正確的是（）

A.E（X+Y）=3

B.D（X+Y）=6

C.P（X≤1，Y≥2）=0.0228

D.P（X>1，Y<2）=0.0228

5.設隨機變量X～P（λ），其中λ=1/3。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=3

B.D（X）=6

C.P（X=2）=0.125

D.P（X≤1）=0.5

6.設隨機變量X，Y相互獨立，X～（1，1），Y～（2，2）。則以下說法正確的是（）

A.E（X+Y）=3

B.D（X+Y）=9

C.P（X≥1，Y≤2）=0.25

D.P（X<1，Y>2）=0.25

7.設隨機變量X～U（0，1），則以下說法正確的是（）

A.E（X）=0.5

B.D（X）=1/12

C.P（0≤X≤1/2）=1/3

D.P（X=0）=1/2

8.設隨機變量X～E（λ），其中λ=1。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=1

B.D（X）=1

C.P（X≤1）=1/2

D.P（X=0）=1/2

9.設隨機變量X，Y相互獨立，X～U（0，1），Y～N（0，1）。則以下說法正確的是（）

A.E（X+Y）=0.5

B.D（X+Y）=1

C.P（X≤0.5，Y≤0）=0.3989

D.P（X>0.5，Y>0）=0.3989

10.設隨機變量X～B（n，p），其中n=10，p=0.2。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=2

B.D（X）=1.6

C.P（X=2）=0.1536

D.P（X≤2）=0.4481

11.設隨機變量X～N（μ，σ2），其中μ=0，σ2=1。則以下說法正確的是（）

A.P（-1≤X≤1）=0.6826

B.P（X≤-1）=0.1587

C.P（X≥1）=0.1587

D.P（|X|≤1）=0.6826

12.設隨機變量X～（1，λ），其中λ=1/2。則以下說法正確的是（）

A.P（X=0）=0.5

B.E（X）=1

C.D（X）=2

D.P（X≥2）=0.0625

13.設隨機變量X，Y相互獨立，X～N（1，1），Y～N（2，4）。則以下說法正確的是（）

A.P（X≤1，Y≥2）=0.0228

B.P（X>1，Y<2）=0.0228

C.E（X+Y）=3

D.D（X+Y）=6

14.設隨機變量X～P（λ），其中λ=1/3。則以下說法正確的是（）

A.P（X=2）=0.125

B.E（X）=3

C.D（X）=6

D.P（X≤1）=0.5

15.設隨機變量X，Y相互獨立，X～（1，1），Y～（2，2）。則以下說法正確的是（）

A.P（X≥1，Y≤2）=0.25

B.P（X<1，Y>2）=0.25

C.E（X+Y）=3

D.D（X+Y）=9

16.設隨機變量X～U（0，1），則以下說法正確的是（）

A.E（X）=0.5

B.D（X）=1/12

C.P（0≤X≤1/2）=1/3

D.P（X=0）=1/2

17.設隨機變量X～E（λ），其中λ=1。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=1

B.D（X）=1

C.P（X≤1）=1/2

D.P（X=0）=1/2

18.設隨機變量X，Y相互獨立，X～U（0，1），Y～N（0，1）。則以下說法正確的是（）

A.P（X≤0.5，Y≤0）=0.3989

B.P（X>0.5，Y>0）=0.3989

C.E（X+Y）=0.5

D.D（X+Y）=1

19.設隨機變量X～B（n，p），其中n=10，p=0.2。則以下說法正確的是（）

A.E（X）=2

B.D（X）=1.6

C.P（X=2）=0.1536

D.P（X≤2）=0.4481

20.設隨機變量X～N（μ，σ2），其中μ=0，σ2=1。則以下說法正確的是（）

A.P（-1≤X≤1）=0.6826

B.P（X≤-1）=0.1587

C.P（X≥1）=0.1587

D.P（|X|≤1）=0.6826

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.如果隨機變量X的分布函數為F(x)，則P(X≤a)=F(a)（）

2.對于任何兩個連續型隨機變量X和Y，如果X和Y相互獨立，那么它們的聯合分布函數可以表示為F(x,y)=F(x)F(y)（）

3.如果隨機變量X的期望值E(X)存在，則其方差D(X)一定存在（）

4.正態分布的隨機變量在均值附近出現的概率最大（）

5.在二項分布中，隨著試驗次數n的增加，成功的概率p趨于0時，二項分布近似于正態分布（）

6.離散型隨機變量的概率分布函數是一個階梯函數（）

7.兩個獨立同分布的隨機變量之和的方差等于它們各自方差的和（）

8.指數分布的隨機變量的期望值和方差相等（）

9.如果隨機變量X服從泊松分布，那么P(X=k)隨著k的增加而單調增加（）

10.如果隨機變量X和Y的協方差為0，則X和Y一定相互獨立（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述離散型隨機變量的分布律和分布函數之間的關系。

2.解釋什么是隨機變量的獨立性，并給出兩個隨機變量獨立的充分必要條件。

3.如何通過隨機變量的期望值和方差來評估隨機變量的中心位置和離散程度？

4.舉例說明在什么情況下可以使用中心極限定理，并解釋其含義。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述大數定律和中心極限定理在概率論中的應用及其相互關系。

2.結合實際應用，討論如何利用概率論中的知識來分析風險和不確定性。

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.A,B,C,D

2.A,B,C,D

3.A,B,C,D

4.A,B,C,D

5.A,B,C,D

6.A,B,C,D

7.A,B,C,D

8.A,B,C,D

9.A,B,C,D

10.A,B,C,D

11.A,B,C,D

12.A,B,C,D

13.A,B,C,D

14.A,B,C,D

15.A,B,C,D

16.A,B,C,D

17.A,B,C,D

18.A,B,C,D

19.A,B,C,D

20.A,B,C,D

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.正確

2.正確

3.錯誤

4.正確

5.正確

6.正確

7.錯誤

8.正確

9.錯誤

10.錯誤

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.離散型隨機變量的分布律是隨機變量取每個可能值的概率，而分布函數是隨機變量小于或等于某個值的概率。

2.獨立性是指兩個隨機事件的發生互不影響，即一個事件的發生不影響另一個事件的發生。兩個隨機變量獨立的充分必要條件是它們的聯合分布函數等于各自分布函數的乘積。

3.期望值是隨機變量的平均值，可以用來評估隨機變量的中心位置。方差是隨機變量與其期望值偏差的平方的平均值，可以用來評估隨機變量的離散程度。

4.中心極限定理適用于樣本量足夠大的情況，它表明樣本均值的分布會趨近于正態分布，無論原始數據分布如何。這意味著可以使用正態分布的方法來分析樣本均值。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.大數定律和中心極限定理都是概率論中的重要定理。大數定律表明，隨著試驗次數的增加，樣本均值會趨近于總體均值。中心極限定理則表明，無論原始數據分布如何，樣本均值的