高三數學下冊測試題及答案數學（理科）測試

選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.設集合加=卜，_i<（）},N={x|lgx<0},則MuN等于

A{x|—1<x<1}B{x|0<x<1}

C{x|-1<x<0}D{x|x<O}

..—*..—?—*.—*—?

2.已知g是不共線向量，4=2,+g，人=丸￡]—4，當。〃6時，實數/I等于

I1C

A—1B0CD—2

2

3.設機，〃是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是

A若加ua,則mJ_aB若則〃_La

C若mHa、n//a,則加〃〃D若。_Ly,/7_Ly,則。〃尸

4.已知等比數列{4}中，各項都是正數，且風,工4,2。2成等差數列，則%+也等于

2。8+Qg

A1+V2B1-V2C3+2V2D3-2V2

5.設拋物線y2=-8x的焦點為F,準線為/,P為拋物線上一點，PALI,A為垂足，如果直

線AF的斜率為百，那么|尸耳=

A473B8V3C8D16

x=2+3z

6.極坐標方程夕=2sin。和參數方程4（/為參數）所表示的圖形分別為

.y=T-

A圓，圓B圓，直線C直線，直線D直線，圓

x>\

7.已知點尸（x,y）的坐標滿足條件，y>x，那么點P到直線3x—4y—9=0的距離

[x-2y+3>0

的最小值為

8.己知定義在區間0,y上的函數y=/（x）的圖像關于直線尤=亍對稱，當xN亍時,

/（x）=cosx,如果關于X的方程/（x）=a有解，記所有解的和為S,則S不可能為

A—71B一71C—71D3兀

424

二.填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9.在復平面內，復數匕3對應的點的坐標為.

1+z

10.在二項式的展開式中，含一項的系數為____________________.（用數字作

IX）

答）

9。

11.如圖,AB,CD是半徑。的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點P,。尸=一。，乙4。尸=60,

8

則

PD=.

a=___________________.

13.某棉紡廠為了解一批棉花的質量，從中隨機抽測100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長

度是棉花質量

的重要指標）。所得數據均在區間［5,40］中，其頻率分布直方圖如圖所示，由圖中數據可

知Q=,

在抽測的100根中，棉花纖維的長度在［20,30］內的有根。

14.給定集合A,若對于任意有a+heA,且a—heA,則稱集合A為閉集合,

給出如下四個結論：①集合A={-4,-2,0,2,4)為閉集合；

②集合A={n\n=3k,keZ}為閉集合；

③若集合A,4為閉集合，則AuA2為閉集合；

④若集合A,4為閉集合,且A=R,=R,則存在ceR使得c足(AuA2).

其中正確結論的序號是.

三.解答題(本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

15.(本小題滿分13分)

已知函數/(x)=2-sin12x+一Zsin?x,xeR

(1)求函數/(x)的最小正周期;

(2)記AASC的內角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,若=l,b=l,c=6，求a

的值。

16.(本小題滿分14分)

已知三棱錐P-ABC中，PAJ_平面ABC,

AC,PA=AC=gAB,N為AB

上一點，AB=4AN,M,D,S分別為PB,AB,

BC的中點。

(1)求證：PA〃平面CDM;

(2)求證：SN1平面CDM;

(3)求二面角。一MC-N的大小。

17.(本小題滿分13分)

為振興旅游業，某省2009年面向國內發行了總量為2000萬張的優惠卡，其中向省外

人士發行的是金卡，向省內人士發行的是銀卡。某旅游公司組織了一個有36名游客的旅游

團到該省旅游，其中士是省外游客，其余是省內游客。在省外游客中有上持金卡，在省內

43

2

游客中有一持銀卡.

3

(1)在該團中隨機采訪3名游客，求至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率；

(2)在該團的省外游客中隨機采訪3名游客，設其中持金卡人數為隨機變量X,求X的分

布列及數學期望EX,

18.(本小題滿分13分)

設函數/(x)=:-(a>0)o

x+h

(1)若函數/(x)在x=—1處取得極值一2,求。力的值：

(2)若函數/(x)在區間(-1,1)內單調遞增，求6的取值范圍；

(3)在(1)的條件下，若PG。,〉。)為函數=圖像上任意一點，直線/與/(X)

x~+b

的圖像切于點P，求直線/的斜率的取值范圍。

19.(本小題滿分14分)

已知橢圓c的左，右焦點坐標分別為片工(、四，0)，離心率是半。橢圓C的

左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于X軸上方的動點，直線AS,BS與直線/：X=-竺

3

分別交于M,N兩點。

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN長度的最小值；

(3)當線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：ATS4的面積為試確定點T

5

的個數。

20.(本小題滿分13分)

對于定義域分別為M,N的函數y=f(x),y=g(x),規定：

/(x)?g(x),當xe"且xeN,

函數/z(x)=</(x),當xeM且x任N,

g(x),當x史M且xeN,

⑴若函數/(x)=」一,g(x)=/+2x+2,xeR，求函數/z(x)的取值集合；

x+1

(2)若f(x)=l,g(x)=Y+2x+2,設2為曲線y=〃(x)在點(%，M%))處切線的斜率;

而上｝是等差數列，公差為點々為直線/:2x-y+2=0與x軸的交點，

1112

點P”的坐標為求證：-—^+-―—-<-;

山刃2山間2山闈25

(3)若g(x)=/(x+a),其中a是常數，且。€[0,2乃],請問，是否存在一個定義域為R

的函數y=/(x)及一個a的值，使得/z(x)=cosx,若存在請寫出一個/(x)的解析式

及一個a的值，若不存在請說明理由。

順義區2011屆高三第二次統練

數學(理科)參考答案

—.ADBDCBCA

(31、2

二.9.10.1011.-a12.213.0.05,55

(22)3

14.②④

15.解(1)f(x)=2-sin(2x+—)-2sin2x

6

717T

=2-(sin2xcox—+cos2xsin—)-(1-cos2x)

66

V3.1c、

=1+cos2x—(^-sin2x+—cos2x)

--cos2x------sin2x+1

22

JI

=COS(2x+y)+1....................................................5分

所以函數/(幻的最小正周期為乃。...........................6分

(2)由穴|)=1得cos(8+10+l=l,即cos(8+g)=0

TTTT4

又因為0<3<%,所以一<8+J<—乃

333

TTTTTT

所以8+—=—，即3=上......................................9分

326

因為。=l,c=

所以由正弦定理〃一c/日.〃v3

-----，得sinC=——

sinBsinC---------------2

故。=工或2萬...................................11分

33

當。=三時，A=—,從而a=J。？+C?=2

32

當。=幺^時，A=—,又B=%,從而a=O=l

366

故a的值為1或2....................................................................13分

16.(1)證明：在三棱錐P—ABC中

因為M,D,分別為PB,AB的中點，

所以〃「A

因為MOU平面CM￡>,Q4a平面CA/Q

所以PA〃平面CM。..........................3分

(2)證明：因為M,D,分別為PB,AB的中點

所以MD〃PA

因為PA_L平面ABC

所以MDJ.平面ABC

又SNu平面ABC

所以MOJ.SN.........................................................6分

設PA=1,以A為原點，4氏4。,4尸所在直線分別為k％2軸建立空間直

角坐標系。

如圖所示，則

P(0,0,l),C(0,l,0),B(2,0,0)

”(1,0,，),晨,0,0),5(1,10)

222

-----1----11

所以CM=(L-LpSN=0)

----.---.11

因為CM-SN=——+—+0=0

22

所以CM_LSN.............................

又CMcMD=M

所以SN±平面CM。............10分

--*11

⑶解由（2）知，SN=（——,——,0）是平面的一個法向量

22

設平面MC7V的法向量〃=（x,y,z）,貝ijn-CM=0,n-CN=0

(x,J1,-1,—

=0

即《

("z)(；,T,0)=0

x=-z

所以1

y=——z

2

令z=1,貝k=-l,y=

fi

所以〃=(——5,1)

,,*/-n-SN41

從而cosn,SN)=...=——

'/卜網2

因為二面角0—MC-N為銳角

TT

所以二面角。—MC—N的大小為一。..........................14分

4

17魂患（1）由題意知，省外游客有27人，其中9人持有金卡，省內游客有9人，其中6人

持有銀卡。

記事件B為“采訪該團3人中，至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡，”

記事件4為“采訪該團3人中，1人持金卡,1人持銀卡，”

記事件A2為“采訪該團3人中，2人持金卡,1人持銀卡，”

則P（B）=.⑷+P（4）=年?+=—

C；6C；6238

所以在該團中隨機采訪3名游客,至少有1人持金卡且恰有1人持銀卡的概率為

45

238°

...........................6分

（2）X的可能取值為0,1,2,3

G：_272

因為P(X=0)=

C^-975

%=153

P(X=1)

Cj7325

72

P(X=2)=-C2^cl

325

〃（X=3）=-=—

G975

所以X的分布列為

X0123

P2721537228

975325325975

...10分

M2八272,153c72.28

故EX=0xF1x1-2xF3x=1........................13分

975325325975

18.解⑴=

帥一憶0f4

/'(-i)=o即(1+4，所以I"’

由題意得V.................................3分

三

/(-I)--2---a=—2ib=l

、1+匕

/八r'z、。（廠-b）,

⑵f（X）=--5~—T（a>0）

（x+b）

當/?400寸，/'（x）K0,函數/（X）在區間（—1,1）內不可能單調遞增......4

分

當》〉。時，外幻=，（，+9）（匚炳

（x2+b）2

->[b<1

則當xe{-4b,石）時，f（x）>0,函數/（幻單調遞增，故當且僅當

4b>\

時，

函數/（幻在區間（-1,1）內單調遞增，即匕21時，函數/（幻在（-1,1）內單調遞增。

故所求b的取值范圍是［,卡）。）8分

(3)直線/在點P處的切線斜率

4

%=r(/)=424%,=2+—~?..................................io分

(%+1)一冗0+1(工0+1)

令r=」一,則0<Yl

V+1

所以女=8產-4/=8(f—L)2

42

故當”;時，％min=-；；/=1時，％max=4

所以直線/的斜率的取值范圍是-',4...................13分

_2_

C______

19.解(1)因為￡=左，且。=有，所以a=2,b=y/-C?=1

a2

尤2

所以橢圓C的方程為一+y2=1......................3分

(2)易知橢圓C的左，右頂點坐標為A(—2,0),3(2,0),直線AS的斜率％顯然存在，且

左>0

104

故可設直線AS的方程為y=Z(x+2),從而M(-—,一一k)

y=A（x+2）

2

由X,得（1+4左2）》2+16左2%+16%2-4=0

一+y=1

4

,ac/、mil(164~一4,2-8左2

設saw，則(-加=、^,得寸7T

從而必=1^,即5（七絲,‘

-11+4女21+4公1+4左2,

又8(2,0)，故直線BS的方程為y=(x-2)

4k

1

u

X10一

瓦

--一3

得

由<104

4'所以止守點)

1O

X-y-=一

弘

、

3k

4左4c14k48

又女>0,所以|MN|——+——>2J-----

33k\33k3

4k4

當且僅當空==時，即4=1時等號成立

33k

O

所以％=1時，線段MN的長度取最小值2...............9分

3

(3)由(2)知，當線段MN的長度取最小值時，k=l

64

此時AS的方程為x—y+2=0,

所以|=半，要使ATSA的面積為1,

V2

只需點T到直線AS的距離等于彳

所以點T在平行于AS且與AS距離等于—的直線/'±

4

設/':x-y+r=0,則由匕m=也，解得3或，=9

J2422

2

X2I

3—+y=1

①當，=巳時,由<4'得5/+12x+5=0

23八

x-y+—=0

2

由于A=44>0,故直線「與橢圓C有兩個不同交點

2

X21

--+y=I

②/=2時，由，4.得5/+20x+2l=0

2

x-y+—=0

-2

由于A=—20<0,故直線/’與橢圓C沒有交點

綜上所求點T的個數是2......................14分

20.解(1)由函數/(x)=--—,g(x)-X1+2x+2,x&R

x+1

可得M={X|XH-1},N=R

x~+2x+2

-------------,x^-\

從而h(x)=<x+1

l,x=-l

x~+2,x+2(x+l)~+l1

當工>一1時，h(x)=----------=-----------=X+11+----->2

x+1X+1X+1

x~+2x+2(x+l)~+1

當xv—1時，h(x)=-(-%-1+---)<-2

x+1X+1—x—1

所以h(x)的取值集合為｛y\y<-2,或y>2或y=1｝5分

(2)易知h(x)=x2+2x+2,所以〃'(x)-2x+2

所以a=g'(a“)=24+2

顯然點PS”,")在直線/上,且q=—1

又上｝是等差數列，公差為1

所以〃一2,0〃=2〃-2

故匕(〃-2,2〃-2),又耳(一1,0)

所以山闈=石(〃—1)522)

111111

所以----------7-----------7+???+J1+U+

山月山闈5223(〃一1)2

11

1+--------1----------F,??H--------------------------

41.22-3(n-2)(n-l)

12

=—1+1-<—8分

5n-15

(3)由函數y=/(x)的定義域為R,得g(x)=/(x+a)的定義域為R

所以,對于任意xwR,都有/z(x)=/(x)-g(x)

即對于任意xeR,都有COSX=y(x)"/(%+?)

所以，我們考慮將COSX分解成兩個函數的乘積，而且這兩個函數還可以通過平

移相互轉化

尤、/%.不、

cosx=cos2——%s.in2~%—=/(cos—%+s.in—)(cos——sin—)

222222

=V2cos(^--)-V2COSd+巧

2424

所以，令/(x)=JEcosd—?)，且a=乃，即可..................13

分

Xcosx=l-2sin2—=(1+41sin—)(1-V2sin—)

222

所以，令/(x)=l+J5sin],且々=2萬，即可(答案不唯一)

高三數學下冊測試題及答案

填空題：

1.假設某10張獎券中有1張，獎品價值100元，有二等獎3張，每份獎品價值50元；其余

6張沒有獎.現從這10張獎券中任意抽取2張,獲得獎品的總價值g不少于其數學期望EJ的

概率為.

2.已知對任意的xG(-oo,0)U(0,M),y《T,[，不等式/+g―2孫—讓0

XX

恒成立，則實數。的取值范圍為.

3.在平面上，將兩個半圓弧(x-lf+丁=1(x21)和

。一3f+丁=1(%>3)、兩條直線y=1和y=—1圍成的封

閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉一周而成

的幾何體為C,過(0,y)(|yKD作。的水平截面，所得截

面面積為+8萬,試利用祖晦原理、一個平放的圓

柱和一個長方體，得出。的體積值為

4.已知y=/(x)是定義在□上的增函數，且y=/(x)的圖像關于點(6,0)對稱.若實數x,y滿

足不等式/(X2-6%)+/(/-8y+36)<0,貝ijx2+y2的取值范圍.

y

5.已知一玻璃杯杯口直徑6cm,杯深8cm.如圖所示，其軸截面截杯壁所得曲線是拋物線的

一部分，一個玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能夠碰到杯底，求小球半徑的范圍（不記玻璃杯

的玻璃厚度）.

二.選擇題:

y

B.

6.己知。是AA3c外接圓的圓心,A,8,C為AABC的內角，若吧”荏+吧Q/=2,小正,

sinCsinB

則m的值為答[]

A.1B.sinAC.cosAD.tanA

7.已知點列A(〃〃也乂〃￡N*)均為函數y="(a>0,aw1)的圖像上，點列Bn(n,0)滿

足=|A￡,J,若數列｛"｝中任意連續三項能構成三角形的三邊，則a的取值范圍為

8.過圓C：(x—l)2+(y—lf=l的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點A、B,AAO3被圓

分成四部分(如圖)，若這四部分圖形面積滿足S1+S*=Sn+S2則直線AB

有()

(A)0條(B)1條(C)2條(D)3條

三.解答題：

9.已知直線y=2x是雙曲線。:「一點?=：1的一條漸近線，點4(1,0),加(利〃)(〃。0)都

在雙曲線C上，直線AM與y軸相交于點P,設坐標原點為0.

(1)設點M關于y軸相交的對稱點為N,直線AN與y軸相交于點Q,問：在X軸上是否

存在定點T,使得TPLTQ?若存在，求出點T的坐標;若不存在，請說明理由.

⑵若過點0(0,2)的直線/與雙曲線C交于R,S兩點，且曲+研=|碼，試求直線/的

方程.

10.已知雙曲線C:--y2=l,設過點4(-3立,0)的直線/的方向向量為e=(1,Q.

2

(1)當直線/與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線/的方程及/與m的距離;

⑵證明：當人乎時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線/的距離為技

11.已知集合M是滿足下列性質的函數/(X)的全體：存在非零常數k,對定義域中的任意x,

k

等式f｛kx)=|+/(X)恒成立.

(1)判斷一次函數/(x)=ax+b(oWO)是否屬于集合M-.

(2)證明函數/(x)=log2X屬于集合M,并找出一個常數k；

(3)已知函數/(x)=log“x(a>l)與y=x的圖象有公共點，證明/(x)=log“xGM.

12.設函數/(x)和g(x)都是定義在集合M上的函數,對于任意的xeM,都有

/(g(x))=g(/(x))成立，稱函數/(x)與g(x)在M上互為“H函數”.

(1)函數/(x)=2x與g(x)=sinx在M上互為“H函數”，求集合“；

(2)若函數/(幻=優(。>0且awl)與g(x)=x+l在集合加上互為“H函數”，

求證：a>1；

(3)函數/(x)=x+2與g(x)在集合用=｛X5>—1且％/2女一3,k€N*｝上互為“H

函數”,當04x<1時,g(x)=log2(x+l),且g(x)在(-1,1)上是偶函數,求函數g(x)

在集合M上的解析式.

13.設數列｛風｝的前〃項和為S,,,且(S“-1y=(〃eN)

(1)求出￡,S2，S3的值，并求出S,及數列｛4｝的通項公式；

⑵設d=(―1)e.a/,用(〃eN*),求數列他,｝的前〃項和Tn；

⑶設c“=(〃+l>a"("wN*),在數列｛%｝中取出〃N*且加23)項，按照原來的

順序排列成一列，構成等比數列｛4｝,若對任意的數列｛4｝,均有&+為+-+4<"，

試求M的最小值.

14.已知數列｛%｝的各項均為正數，其前九項的和為S“，滿足(p-l)S“=p2-/

(nwN*),其中p為正常數，且pwl.

(1)求數列｛4｝的通項公式;

(2)是否存在正整數M,使得當〃〉M時，生,-2>%8恒成立？若

存在，求出使結論成立的p的取值范圍和相應的M的最小值；若不存在，請說明理由；

(3)若p=(,設數歹U｛〃,｝對任意“eN*,都有btan+b2an^+b3an_2+…+仇—。2

=2"—g〃一1,問數列仍“｝是不是等差數列？若是，請求出其通項公式；若不是，

請說明理由.

15.已知拋物線C:V=2Px(p>0)上橫坐標為4的點到焦點的距離等于5。

(1)求拋物線的方程。

(2)設直線y=kx+b｛k0)與拋物線交于兩點A(x,,),B(x2,y2),且

Iy,-y2|=a(a>0),M是弦AB的中點，過M做平行于x軸的直線交拋物線于點。,

得到AABO；在分別過弦AD,8。的中點作平行于x軸的直線交拋物線于點E,F,得到三

角形A4OEABOE；按此方法繼續下去。

解決如下問題：

①求證：〃=16(11”②計算AA6D的面積S^B。；③根據兇6。的面積的計算結果,

k

寫出入4。￡ABOE的面積；請設計一種求拋物線C與線段4B所圍成封閉圖形面積的方

法，并求出封閉圖形的面積。

1.假設某10張獎券中有1張，獎品價值100元，有二等獎3張，每份獎品價值50元；其余

6張沒有獎.現從這10張獎券中任意抽取2張，獲得獎品的總價值J不少于其數學期望的

2

概率為--

2.已知對任意的XG(-00,0)U(0,4-00),ye[-1,1]不等式

x2+^--2xy--Jl-y2-a>0恒成立，則實數a的取值范圍為

xx

(-oo,8+4V2].

3.在平面上，將兩個半圓弧(x-l)2+y2=i(xzl)和

。一3尸+丁=1(%>3)、兩條直線y=1和y=—1圍成的封

閉圖形記為D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉一周而成

的幾何體為。，過(0,y)(|y&1)作。的水平截面，所得截

面面積為+8萬,試利用祖眶原理、一個平放的圓

柱和一個長方體，得出。的體積值為。

4.已知y=/(x)是定義在□上的增函數，且y=/(x)的圖像關于點(6,0)對稱.若實數x,y滿

足不等式/(x2-6x)+/(/-8y+36)M0,則x2+丁的取值范圍.

解：由對稱性可知/(6)=0,由單調性可知x<6時,/(x)<0;x>6時,f(x)>0;

由y2-8)，+36=(y-4)2+20>6,則》2-6x<6,

結合草圖可知y2_8y+36到6的距離不超過比x2-6x至IJ6的距離，

BPy2-8y+36-6<6-(x2-6x),整理得Y+y?-6x-8y+2440o(x-3)2+(>-4了41,

其幾何意義是以(3,4)為圓心,1為半徑的圓(及其內部)，

而V即為該區域內點到原點距離的平方，結合圖形可知，故其取值范圍為口6,36].

5.己知一玻璃杯杯口直徑6cm,杯深8cm.如圖所示，其軸截面截杯壁所得曲線是拋物線的

一部分，一個玻璃小球放入玻璃杯中，若小球能夠碰到杯底，求小球半徑的范圍(不記玻璃杯

的玻璃厚度).

y

解：如圖建系，拋物線方程為拋物線y=§Y,x€[_3,3],

小圓與拋物線的接觸點即為拋物線上到圓心c距離最短的點,

由小球能碰到杯底，則有|C(?|<|CP\,

設P(x,y)(xe[-3,3])在拋物線上，

設小球的半徑為r,則圓心的坐標為C(O,r),

|CP|=4+(一)2=y2+(^-2r)y+r2,ye[0,3],

19

由[6舄=1。。1，即當尸0時，10尸|最小，故一不(6一2040,

2o

9

所以re(0,二].

16

選擇題：

y

B

6.已知。是AA3c外接圓的圓心,A,8,C為AABC的內角，若吧”荏+&些?/=2,小正,

sinCsinB

則m的值為答[B]

A.1B.sinAC.cosAD.tanA

解：不妨設外接圓的半徑為1,如圖建立直角坐標系，

則有ZAOB=2C,ZAOC=2Bf

故可設B(cos2C,sin2C),C(cos(2兀-2B),sin(2兀-28)),

結合誘導公式得C(cos2B,-sin2B),

貝！JAB=(cos2C-l,sin2C),AC=(cos2B-1,-sin2B),

由鬻福+篝前=2%也

得"L(c°s2c-1)+電?。$23-1)=-2加，

sinCsinB

Xcos2C=l-2sin2C,cos2B=l-2sin2B,上式化為

八、

-CO--S-B-(/-2csi.n2(7)HCOSC-(/-2csi?n2B6)=-2Cm,

sinC------------sinB

整理得n?=sinCcosB+cosCsinB=sin(B+C)=sinA,故選B.

7.已知點列4（a”也乂〃eN*）均為函數y=a*（a>0,awl）的圖像上，點列紇（〃,0）滿

足勒=|4紇J，若數列出｝中任意連續三項能構成三角形的三邊，則a的取值范圍為

（B）

A/5+I'

—:—,+°°

、

,+8

7

8.過圓C：Cr—l)2+(y—1)2=1的圓心,作直線分別交x、y正半軸于點A、B,AAQ3被圓

分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足&+S*=品+與,則直線人8

有（）

（A）0條（B）1條（C）2條（D）3條

三.解答題：

9.已知直線y=2x是雙曲線C:5—3=1的一條漸近線，點4（1,0）,加（川,〃）（〃。0）都

在雙曲線。上，直線AM與y軸相交于點P,設坐標原點為。.

（1）設點M關于y軸的對稱點為N,直線AN與y軸相交于點Q,問：在X軸上是否存在

定點T,使得TPLTQ?若存在，求出點T的坐標;若不存在，請說明理由.

（2）若過點0（0,2）的直線/與雙曲線C交于R,S兩點，且|礪+詬卜|麗卜試求直線/的

方程.

10.已知雙曲線C：y-r=1,設過點A(-3近,0)的直線/的方向向量為e=(1J).

(3)當直線/與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線/的方程及/與m的距離；

(4)證明：當后〉左時，在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線/的距離為卡.

2

X

⑴解：雙曲線C的漸近線m:-j=±y=0,即x土=0,

/.直線I的方程為x土&y+3近=0,

.?.直線/與m的距離為d=

V1+2

⑵證法一：設過原點且平行于/的直線丘-y=O,

則直線/與b的距離d=膽幺，當/>立時，d>娓,

Vl+F2

又雙曲線C的漸近線方程為x±=0,

雙曲線C的右支在直線b的右下方，

雙曲線C的右支上的任意點到直線/的距離大于遙，

故在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線/的距離為遙.

證法二：假設雙曲線右支上存在點Q(x0,y0)到直線/的距離為幾,

IX-%+3瘋I

=瓜,

則—71+記一⑴

x：-2y；=2,(2)

由⑴得先=煙)+3貶k±>/6-J1+/,

設f=3yf2k±76-Jl+公,

5____

當時，/=3應左+#?J1+&2>0,

2

,0心21

f=3岳-府戊+k2=V6x-==~=---->0,