4.3常規(guī)根軌跡的繪制及系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的確定規(guī)則1根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為

特征方程式的階數(shù)或特征根的個(gè)數(shù)等于Max(m.n)

（m是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),n是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)）本節(jié)介紹繪制常規(guī)根軌跡的基本規(guī)則。常規(guī)根軌跡：指系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K：0→∞變化時(shí)的閉環(huán)根軌跡。

也稱(chēng)為180o根軌跡。4.3.1根軌跡的繪制規(guī)則規(guī)則2根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱(chēng)性根軌跡是連續(xù)的并且對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。當(dāng)K*從零到無(wú)窮大連續(xù)變化時(shí)，特征方程的某些系數(shù)也連續(xù)變化，閉環(huán)特征根隨之連續(xù)變化，所以根軌跡是連續(xù)的。閉環(huán)特征根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。實(shí)根位于實(shí)軸上，共軛復(fù)根對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。因此，根軌跡必對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。

規(guī)則3根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)因?yàn)橛筛壽E方程起點(diǎn)是時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，由根軌跡方程得：

終點(diǎn)是時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，由根軌跡方程得：

當(dāng)n=m時(shí)，系統(tǒng)的n條根軌跡從n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，終止于m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。當(dāng)n>m時(shí)，從n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)出發(fā)的根軌跡，有m條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，另外n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)（此時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有n-m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，稱(chēng)其為無(wú)限零點(diǎn)）。當(dāng)n<m時(shí)，則有n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，m-n條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)，它們分別終止于m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（此時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)在無(wú)窮遠(yuǎn)處有m-n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，稱(chēng)其為無(wú)限極點(diǎn)）。若把位于無(wú)窮遠(yuǎn)處開(kāi)環(huán)極點(diǎn)或開(kāi)環(huán)零點(diǎn)包括在內(nèi)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)總是相等的。因此根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。

因?yàn)椋寒?dāng)時(shí)p1p2p3p4z1z2z3（1）開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)都成對(duì)出現(xiàn)，相角等值反號(hào)，在相角條件中相互抵消；（2）位于閉環(huán)極點(diǎn)s1左邊的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1的向量相角為0；（3）位于閉環(huán)極點(diǎn)s1右邊的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到s1的向量相角為π。規(guī)則4實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上某線(xiàn)段右邊的開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)時(shí)，該線(xiàn)段就是根軌跡上的一段。

只有位于實(shí)軸上該線(xiàn)段右邊的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)總數(shù)是奇數(shù)時(shí)，總相角才是。s1舉例證明：在實(shí)軸上P1Z1之間的線(xiàn)段上任取一點(diǎn)s1，由相角方程規(guī)則5根軌跡的漸近線(xiàn)漸近線(xiàn)與正實(shí)軸夾角

漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)當(dāng)m<n時(shí)，有n-m條根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)，它們趨向無(wú)窮遠(yuǎn)的方位由n-m條漸近線(xiàn)決定。證明的基本思想：漸近線(xiàn)方程就是s→∞時(shí)的根軌跡方程。漸近線(xiàn)方程：漸近線(xiàn)的特點(diǎn)：漸近線(xiàn)對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸，是n-m條與實(shí)軸交于，交角為的一組射線(xiàn)。例4-2系統(tǒng)如圖所示。求根軌跡的漸近線(xiàn)。

開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為：解：系統(tǒng)有3條根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)。

漸近線(xiàn)與正實(shí)軸夾角

漸近線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)：兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱(chēng)為根軌跡的分離點(diǎn)。分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是下列方程的解規(guī)則6根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)方法1：證明方法2：設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

則分離點(diǎn)的坐標(biāo)是下列方程的解

上式習(xí)慣上表示成

證明分離點(diǎn)的特點(diǎn)：分離點(diǎn)或位于實(shí)軸上，或以共軛形式存在；根軌跡在實(shí)軸上兩相鄰開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（其中一個(gè)可以在無(wú)窮遠(yuǎn)）之間，至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；根軌跡在實(shí)軸上兩相鄰開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可以在無(wú)窮遠(yuǎn)）之間，至少存在一個(gè)分離點(diǎn)；注意：上述方法中，方程的解不一定都滿(mǎn)足根軌跡方程，因此需要驗(yàn)證。不滿(mǎn)足根軌跡方程的解應(yīng)舍去；如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中沒(méi)有有限零點(diǎn)，分離點(diǎn)的計(jì)算公式為：介紹劈因法例系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，求分離點(diǎn)d。解：開(kāi)環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)為方法1：即解得：（舍去）方法2：規(guī)則7根軌跡的起始角與終止角根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線(xiàn)與正實(shí)軸的夾角，稱(chēng)為起始角；起始角與終止角的計(jì)算公式：根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線(xiàn)與正實(shí)軸的夾角，稱(chēng)為終止角

。舉例說(shuō)明如何利用相角方程得到起始角與終止角的計(jì)算公式：由相角方程可得：當(dāng)s1無(wú)限靠近p1時(shí)將s1=p1代入上面的相角方程，得出推廣到一般更為一般例4-4

單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

試畫(huà)出該系統(tǒng)的根軌跡。1.有4條根軌跡。根軌跡終點(diǎn)是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，包括3個(gè)有限零點(diǎn)和一個(gè)無(wú)限零點(diǎn)

：

解：2.實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上[]和[，0]區(qū)段為根軌跡.3.根軌跡的漸近線(xiàn)。

n-m=1,只有一條漸近線(xiàn)取即漸近線(xiàn)位于負(fù)實(shí)軸上。根軌跡的起點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：

4.根軌跡的起始角和終止角規(guī)則8根軌跡的分離角根軌跡進(jìn)入分離點(diǎn)的切線(xiàn)方向與離開(kāi)分離點(diǎn)的切線(xiàn)方向之間的夾角稱(chēng)為分離角。分離角的計(jì)算公式為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。例系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，求分離點(diǎn)d=-2.12處的分離角。解：2條根軌跡在分離點(diǎn)處會(huì)合后分離，若根軌跡與虛軸相交，說(shuō)明閉環(huán)特征方程存在虛根。則交點(diǎn)處的值和值可用以下兩種方法求出：規(guī)則9根軌跡與虛軸的交點(diǎn)方法1應(yīng)用勞斯判據(jù)確定。方法2令，代入閉環(huán)特征方程，然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得。由即解得例

系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。解：方法1令即解得方法2令由輔助方程：（起點(diǎn)）當(dāng)時(shí)，有規(guī)則10閉環(huán)特征根之和為閉環(huán)極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)證明結(jié)束作用：可用來(lái)判斷根軌跡的走向。當(dāng)n-m≥2時(shí)，若閉環(huán)一部分根軌跡分支向右半S平面移動(dòng)，必定有另一部分根軌跡分支向左半S平面移動(dòng)。規(guī)則6方法1證明：

由根軌跡方程返回

從左式解出s后，舍去不在根軌跡上的值，即為分離點(diǎn)d?？傻靡?guī)則6方法2證明：

根軌跡的分離點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程出現(xiàn)重根之處，因此在分離點(diǎn)處有下式成立

推得因?yàn)樯鲜搅?xí)慣上表示成

返回

規(guī)則10證明：當(dāng)時(shí)，特征方程中項(xiàng)系數(shù)與無(wú)關(guān)，因此，無(wú)論為何值，都有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為返回

劈因法解高次方程方程為采用“尾部二次因子式”求根的方法：（1）取尾部二次因子式作除式除方程左邊，直到余子式為二次因子式為止；（2）再以式作除式除方