PAGEPAGE1專題19統計學問及統計案例大題部分【訓練目標】理解簡潔隨機抽樣每個個體被抽取的概率相等，駕馭簡潔隨機抽樣，系統抽樣，分層抽樣的方法和本質；駕馭頻率分布直方圖的畫法和性質，能夠依據頻率分布直方圖計算平均數、中位數、眾數和方差；能依據莖葉圖計算平均數、中位數、眾數和方差；能看懂條形圖，扇形統計圖，雷達圖，折線統計圖等常見的統計圖表；熟記平均數，方差的計算公式及性質，理解平均數，中位數，眾數，方差的實際意義；能依據數據和公式求線性回來方程，把握線性回來方程的核心即肯定經過樣本中心點；理解相關系數，殘差等概念及相應的含義，并能正確的運用公式求解；會依據數據列列聯表，駕馭利用公式進行獨立性檢驗的方法；【溫馨小提示】此類問題在高考中屬于必考題，一般在大題或者小題中出現，所占分值比重較大，題目簡潔，但是閱讀量大，須要學生能夠快速精確的把握題目的核心，同時計算量也偏大，另外要求學生多加訓練，解出各種統計的題型，知曉解題方法。【名校試題薈萃】1、如圖，從參與環保學問競賽的學生中抽出名，將其成果（均為整數）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：視察圖形，回答下列問題：（1）這一組的頻數、頻率分別是多少？（2）估計這次環保學問競賽成果的平均數、眾數、中位數；（不要求寫過程）（3）從成果是分以上（包括分）的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．【答案】（1）4（2）68.5、75、70（3）．（3）記“取出的2人在同一分數段”為事務，因為之間的人數為，設為，之間有人，設為，從這6人中選出2人，有,，,，共15個基本領件，其中事務A包括,，，，共7個基本領件，則．2、2024年為我國改革開放40周年，某事業單位共有職工600人，其年齡與人數分布表如下：年齡段人數（單位：人定：此單位45歲—59歲為中年人，其余為青年人，現依據分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾．（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關切民生大事，其余人熱衷關切民生大事．完成下列2×2列聯表，并回答能否有的把握認為年齡層與熱衷關切民生大事有關？熱衷關切民生大事不熱衷關切民生大事總計青年12中年5總計30（3）若從熱衷關切民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機抽取2人上臺表演節目，則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少？【答案】（1）18，12（2）否（3）【解析】（1）依據分層抽樣可知抽出的青年觀眾為18人，中年觀眾12人；（2）2×2列聯表如下：熱衷關切民生大事不熱衷關切民生大事總計青年61218中年7512總計131730，∴沒有的把握認為年齡層與熱衷關切民生大事有關；3、隨著網絡的發展，人們可以在網絡上購物、玩嬉戲、閑聊、導航等，所以人們對上網流量的需求越來越大。某電信運營商推出一款新的“流量包”套餐.為了調查不同年齡的人是否情愿選擇此款“流量包”套餐，隨機抽取個用戶按年齡分組進行訪談，統計結果如下表.（1）若在第組情愿選擇此款“流量包”套餐的人中，用分層抽樣的方法抽取人，則各組應分別抽取多少人；（2）若從第組的被調查者訪談人中隨機選取人進行追蹤調查，求人中至少有人情愿選擇此款“流量包”套餐的概率；（3）按以上統計數據填寫下面列聯表，并推斷以歲為分界點，能否在犯錯誤不超過的前提下認為是否情愿選擇此款“流量包”套餐與人的年齡有關.參考公式：，其中.【答案】（1）各組分別為人，人，人（2）（3）在犯錯誤不超過的前提下認為是否情愿選擇此款“流量包”套餐與人的年齡有關.【解析】（1）因為，，，所以第組情愿選擇此款“流量包”套餐的人中，用分層抽樣的方法抽取人，各組分別為人，人，人.（3）列聯表：∴，∴在犯錯誤不超過的前提下認為是否情愿選擇此款“流量包”套餐與人的年齡有關.4、某愛好小組欲探討晝夜溫差大小與患感冒人數多少之間的關系，他們分別到氣象局與醫院抄錄了至月份每月日的晝夜溫差狀況與因患感冒而就診的人數，得到如下資料.該愛好小組確定的探討方案是：先從這六組數據中選取組，用剩下的組數據求線性回來方程，再用被選取的組數據進行檢驗.日期月日月日月日月日月日月日晝夜溫差（）就診人數（個）（1）若選取的是月與月的兩組數據，請依據至月份的數據，求出關于的線性回來方程；（2）若由線性回來方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過人，則認為得到的線性回來方程是志向的，試問該小組所得線性回來方程是否志向.（參考公式：）【答案】（1）；（2）該小組所得線性回來方程是志向的.5、2024年月以來南昌市遭遇連日大暴雨天氣，某網站就“民眾是否支持加大修建城市地下排水設施的資金投入”進行投票.依據南昌暴雨前后兩個時間收集有效投票，暴雨后的投票收集了份，暴雨前的投票也收集了份，所得統計結果如下表：

支持不支持總計南昌暴雨后南昌暴雨前總計已知工作人員從全部投票中任取一個，取到“不支持投入”的投票的概率為.（1）求列表中數據的值；（2）能夠有多大把握認為南昌暴雨對民眾是否贊成加大對修建城市地下排水設施的投入有關系？參考臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：（其中為樣本容量）．【答案】（1）,,,,（2）有把握認為南昌暴雨對民眾是否贊成加大對修建城市地下排水設施的投入有關系．6、在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司為推廣線下分店，安排在市的區開設分店，為了確定在該區開設分店的個數，該公司對在該市其他區開設的分店的數據作了初步處理后得到下列表格．記表示在各區開設分店的個數，表示這個分店的年收入之和．（個）23456（百萬元）2.5344.56（1）該公司已經過初步推斷，可用線性回來模型擬合與的關系，求關于的線性回來方程；（2）假設該公司在區獲得的總年利潤（單位：百萬元）與之間的關系，請結合（1）中的線性回來方程，估算該公司應在區開設多少個分店時，才能使區平均每個分店的年利潤最大？（參考公式【答案】（1）（2）【解析】（1）代入數據得:,，，∴．（2）由題意，可知總收入的預報值與之間的關系為：，設該區每個分店的平均利潤為，則，故的預報值與之間的關系為，則當時，取到最大值。7、隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機應用軟件層出不窮．現從運用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取50個商家，對它們的“平均送達時間”進行統計，得到頻率分布直方圖如下：（1）試估計運用A款訂餐軟件的50個商家的“平均送達時間”的眾數及平均數；（2）依據以上抽樣調查數據，將頻率視為概率，回答下列問題：①能否認為運用B款訂餐軟件“平均送達時間”不超過40分鐘的商家達到75%?②假如你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？說明理由．【答案】（1）55，40（2）75%，B8、為了解某地區某種農產品的年產量x（單位：噸）對價格y（單位：千元/噸）和年利潤z的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統計如下表：x12345y7.06.55.53.82.2（1）求y關于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；（2）若每噸該農產品的成本為2千元，假設該農產品可全部賣出，預料當年產量為多少時，年利潤z取到最大值？（保留兩位小數）參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))【答案】（1）eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.23x＋8.69（2）2.72（2）年利潤z＝x（－1.23x＋8.69）－2x＝－1.23x2＋6.69x＝－1.23eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(6.69,2.46)))2＋1.23×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6.69,2.46)))2即當x＝eq\f(6.69,2.46)≈2.72時，年利潤z最大．9、下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．（1）由折線圖看出，可用線性回來模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；（2）建立y關于t的回來方程（系數精確到0.01），預料2024年我國生活垃圾無害化處理量．參考數據：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17,eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關系數r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).【答案】（1）見解析（2）1.82（2）由eq\x\to(y)＝eq\f(9.32,7)≈1.331及（1）得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y關于t的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2024年對應的t＝9代入回來方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預料2024年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．10、某公司為確定下一年度投入某種產品的宣揚費，需了解年宣揚費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響．對近8年的年宣揚費xi和年銷售量yi（i＝1,2，…，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)（xi－eq\x\to(x)）2eq\i\su(i＝1,8,)（wi－eq\x\to(w)）2eq\i\su(i＝1,8,)（xi－eq\x\to(x)）（yi－eq\x\to(y)）eq\i\su(i＝1,8,)（wi－eq\x\to(w)）（yi－eq\x\to(y)）46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.（1）依據散點圖推斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個相宜作為年銷售量y關于年宣揚費x的回來方程類型？（給出推斷即可，不必說明理由）（2）依據（1）的推斷結果及表中數據，建立y關于x的回來方程．（3）已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.依據（2）的結果回答下列問題：①年宣揚費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣揚費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數據（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回來直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).【答案】（1）詳見解析（2）46.24【解析】（1）由散點圖可以推斷，y＝c＋deq\r(x)相宜作為年銷售量y關于年宣揚費x的回來方程類型．（2）令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回來方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).11、某品牌手機廠商推出新款的旗艦機型，并在某地區跟蹤調查得到這款手機上市時間（x個月）和市場占有率（y%）的幾組相關對應數據：x12345y0.020.050.10.150.18（1）依據上表中的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回來方程；（2）依據上述回來方程，分析該款旗艦機型市場占有率的改變趨勢，并預料自上市起經過多少個月，該款旗艦機型市場占有率能超過0.5%（精確到月）．附：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).【答案】（1）eq\o(y,\s\up6(^))＝0.042x－0.026（2）13（2）由（1）中的回來方程可知，上市時間與市場占有率正相關，即上市時間每增加1個月，市場占有率約增加0.042個百分點．由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.042x－0.026>0.5，解得x≥13，故預料上市13個月時，該款旗艦機型市場占有率能超過0.5%.12、某市春節期間7家超市的廣告費支出xi（萬元）和銷售額yi（萬元）數據如下：超市ABCDEFG廣告費支出xi1246111319銷售額yi19324044525354（1）若用線性回來模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回來方程；（2）用對數回來模型擬合y與x的關系，可得回來方程eq\o(y,\s\up3(^))＝12lnx＋22，經計算得出線性回來模型和對數模型的R2分別約為0.75和0.97，請用R2說明選擇哪個回來模型更合適，并用此模型預料A超市廣告費支出為8萬元時的銷售額.參數數據及公式：eq\o(x,\s\up3(－))＝8，eq\o(y,\s\up3(－))＝42，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do10(i＝1))xiyi＝2794，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝708，eq\o(b,\s\up3(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8（n),\s\do10(i＝1))xiyi－n·\o(x,\s\up3(－))\o(y,\s\up3(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up3(－))2)，eq\o(a,\s\up3(^))＝eq\o(y,\s\up3(－))－eq\o(b,\s\up3(^))eq\o(x,\s\up3(－))，ln2≈0.7.【答案】（1）eq\o(y,\s\up3(^))＝1.7x＋28.4.（2）47.2【解析】（1）∵eq\o(x,\s\up3(－))＝8，eq\o(y,\s\up3(－))＝42，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do10(i＝1))xiyi＝2794，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝708.∴eq\o(b,\s\up3(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8（n),\s\do10(i＝1))xiyi－n·\o(x,\s\up3(－))\o(y,\s\up3(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up3(－))2)＝eq\f(2794－7×8×42,708－7×82)＝1.7，因此eq\o(a,\s\up3(^))＝eq\o(y,\s\up3(－))－eq\o(b,\s\up3(^))eq\o(x,\s\up3(－))＝42－1.7×8＝28.4.所以，y關于x的線性回來方程是eq\o(y,\s\up3(^))＝1.7x＋28.4.（2）∵0.75<0.97，∴對數回來模型更合適.當x＝8時，eq\o(y,\s\up3(^))＝12ln8＋22＝36ln2＋22＝36×0.7＋22＝47.2（萬元）.∴廣告費支出8萬元時，預料A超市銷售額為47.2萬元.13、為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔30min從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得eq\o(x,\s\up3(－))＝eq\f(1,16)eq\o(∑,\s\up8(16),\s\do10(i＝1))xi＝9.97，s＝eq\r(\f(1,16)\o(∑,\s\up8（16),\s\do10(i＝1))（xi－\o(x,\s\up3(－))）2)＝eq\r(\f(1,16)（\o(∑,\s\up8（16),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)－16\o(x,\s\up3(－))2）)≈0.212，eq\r(\o(∑,\s\up8（16),\s\do10(i＝1))（i－8.5）2)≈18.439，eq\o(∑,\s\up8(16),\s\do10(i＝1))（xi－eq\o(x,\s\up3(－))）（i－8.5）＝－2.78，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1，2，…，16.（1）求（xi，i）（i＝1，2，…，16）的相關系數r，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統地變大或變小（若|r|