2025年河南省中考數學九年級二輪復習壓軸題：探究與猜想練習1．【模型建立】（1）如圖1，在等邊中，點、分別在、邊上，，求證：；【模型應用】（2）如圖2，在中，，，于點，點在邊上，，點在邊上，，則的值為_________；【模型拓展】（3）如圖3，在鈍角中，，點、分別在、邊上，，若，，求的長．

2．【基礎鞏固】(1)如圖1，在中，D為上一點，連結，E為上一點，連結，若，求證：．【嘗試應用】(2)如圖2，在平行四邊形中，對角線交于點O，E為上一點，連結，若，求的長．【拓展提升】(3)如圖3，在菱形中，對角線交于點O，E為中點，F為上一點，連結，若，，求菱形的邊長．3．【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點在線段上，，求證：平分；【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，為上一點，連接交于點．若，求證：；【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，，點在上，，若，，，求的長．

4．【問題背景】人教版八年級下冊數學教材第63頁“實驗與探究”問題1如下：如圖，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，無論正方形繞點怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的.想一想，這是為什么？（此問題不需要作答）九年級數學興趣小組對上面的問題又進行了拓展探究、內容如下：正方形的對角線相交于點，點落在線段上，（為常數）．

【特例證明】（1）如圖1，將的直角頂點與點重合，兩直角邊分別與邊，相交于點，.①填空：______；②求證：．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明；也可過點分別作，的垂線構造全等三角形證明．請選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的沿方向平移，判斷與的數量關系（用含的式子表示），并說明理由．【拓展運用】（3）如圖3，點在邊上，，延長交邊于點，若，求的值．5．某數學學習小組學習完四邊形后進行了如下探究，已知四邊形為矩形，請你幫助他們解決下列問題：(1)【初步嘗試】：他們將矩形的頂點、分別在如圖（1）所示的的邊、上，頂點、恰好落在的對角線上，求證：；(2)【深入探究】：如圖2，若為菱形，，若，求的值；(3)【拓展延伸】：如圖（3），若為矩形，；且，請直接寫出此時的值是________（用含有，的代數式表示）．6．【問題背景】已知D、E分別是的邊和邊上的點，且，則，把繞著點A逆時針方向旋轉，連接和.如圖2，找出圖中的另外一組相似三角形__________；并加以證明．【遷移應用】如圖3，在中，，，，D、E、M分別是、、中點，連接．①如圖4，把繞著點A逆時針方向旋轉，在旋轉過程中直接寫出線段CE和BD始終存在的位置關系和數量關系：__________、__________；②把繞著點A逆時針方向旋轉到如圖5所在的位置，連接和，取中點N，連接，若，求的長．【創新應用】如圖6：，，是直角三角形，，將繞著點A旋轉，連接，F是上一點，，連接，請直接寫出的取值范圍．7．在矩形中，點E為射線上一動點，連接．(1)當點E在邊上時，將沿翻折，使點B恰好落在對角線上點F處，交于點G．①如圖1，若，求的度數；②如圖2，當，且時，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進行翻折，點C的對應點為C'，當點E，，D三點共線時，求的長．8．【問題發現】（1）如圖1所示，和均為正三角形，B、D、E三點共線．猜想線段，之間的數量關系為；；【類比探究】（2）如圖2所示，和均為等腰直角三角形，，，，B、D、E三點共線，線段、交于點F．此時，線段，之間的數量關系是什么？請寫出證明過程并求出的度數；【拓展延伸】（3）如圖3所示，在中，，，，為的中位線，將繞點A順時針方向旋轉，當所在直線經過點B時，請直接寫出的長．9．在中，，，D為邊上一動點，且（n為正整數），在直線上方作，使得．(1)如圖1，在點D運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由；(2)如圖2，若，M為中點，當點E在射線上時，求的長；(3)如圖3，設的中點為P，求點D從點C運動到點B的過程中，點P運動的路徑長（用含n的代數式表示）．10．如圖（1），在矩形中，．(1)____；(2)若點P是線段上一點，當是等腰三角形時，求的長；(3)如圖（2），點E是邊上一點，且，則：①=_____；②如圖（3）分別以為邊作矩形，若，求的長．11．如圖1，在矩形中，E為延長線上一點，且，交于點F，．

(1)求證：；(2)求證：；(3)如圖2，G為上一點，，相交于點O，連接．若，且，求的長．12．【模型建立】：如圖1，在正方形中，E，F分別是邊上的點，且，探究圖中線段之間的數量關系．（1）小宋的探究思路如下：延長到點G，使，連接，先證明，再證明．之間的數量關系為______．若，則______．【模型應用】：（2）如圖2，在矩形中，，點F為中點，，求的長．【拓展提升】：（3）通過對圖2的分析，小宋同學在深入思考后，他發現一個很有意思的結論，若，且，則______．（用含a、b的代數式表示）13．在中，，，點E在內部，以為斜邊作等腰直角三角形，使得點D，E在AC的異側，連接交于點M，點G在上，且滿足．(1)如圖1，求證：；(2)當點E是的中點時，連接，如圖2，求的值；(3)連接，延長交于點F，如圖3，求證：點F是的中點．14．【原題呈現】如圖1，在等邊中，D、E是、上的點，且，求度數．解答過程：在等邊中，，又，【操作探究】如圖2，將繞點C逆時針旋轉到，連接，連接交于點O，求證：【深入思考】如圖3，延長交于點P，若點P恰好是的中點．①請直接寫出；②若，求的長．15．【探究】如圖①，在矩形中，點E在邊上，連接，過點D作于點G，交邊于點F．若，，求的值；【應用】（1）如圖②，在中，，點為邊的中點，連結，過點作于點，交邊于點D．若，則的值為；（2）如圖③，在，點為的中點，連結，過點作于點，交邊于點F，若，則的值為．16．如圖，中，，點D是射線上的動點，點E是邊上的動點，連接，將沿翻折到所在平面得，點F恰好落在直線上．

(1)如圖1，當點F與點C重合時，若，求長；(2)如圖2，當時，求的值；(3)如圖3，設直線與直線交于點M，當最小時，求的值．17．實踐與探究【問題情境】（1）①如圖1，，，，分別為邊上的點，，且，則______；②如圖2，將①中的繞點順時針旋轉，則所在直線較小夾角的度數為______．【探究實踐】（2）如圖3，矩形，，，為邊上的動點，為邊上的動點，，連接，作于點，連接．當的長度最小時，求的長．【拓展應用】（3）如圖4，，，，，為中點，連接，分別為線段上的動點，且，請直接寫出的最小值．18．如圖1，在平面直角坐標系中，的直角邊在軸的正半軸上，且，，點為線段上一動點．(1)若動點在的平分線上時，求此時點的坐標；(2)如圖2，若點為線段的中點，連接，以為折痕，在平面內將折疊，點的對應點為，當時，求折痕的長；(3)如圖3，若為線段上一點，且，連接，將線段繞點順時針方向旋轉得線段，連接，直接寫出周長的最小值及此時點的坐標．19．已知，如圖①，四邊形是矩形，對角線相交于點O，．(1)【問題解決】在圖①中，根據給出的條件，直接寫出一條未知線段的長度或一個角的大小；(2)【問題探究】如圖②，在矩形中，點P是對角線上的一個動點，連接，過點P作交于點E，連接，在點P運動的過程中試探究的大小，并寫出證明過程；(3)【拓展延伸】如圖③，在矩形中，點P是對角線上的一個動點，連接，在的左下方作，使，，在點P從點B向點D的運動過程中，猜想點Q的運動路徑并求出它的長度．20．如圖1，在四邊形中，，對角線、交于點，已知，且．(1)求的度數；(2)如圖2，若點為的中點，連接．①證明：；②若，，求的值．參考答案1．（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：2；（3）解：在上截取，連接，如圖3，

∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得（舍去）或，∴．2．（1）證明：∵，（2）解：∵四邊形是平行四邊形，設，則（舍），設，則，（舍去），（3）解：如圖，延長，交于點，設則∵四邊形是菱形，即在中，∵為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴(舍去)，∴，即菱形的邊長為3．（1）證明：∵為的角平分線∴∵，∴∴∴∴平分（2）證明：∵∴∵∴∴，由（1）可知：∴∴（3）解：如圖，在上取一點，使得，連接

∵平分∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵∴∵,∴∴∵∴解得：∴4．解：（1）①由正方形的性質可知：，∵將的直角頂點與點重合，∴，故答案為：1；②證明：∵四邊形是正方形，∴，，，∴，即，∴，∴．（2），理由如下：過點作交于，

∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，，即，∴，∴．（3）過點作交于，作于，作于，

則，∴，即，∴，由（2）和已知條件可得：，，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，同理可得：，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，令，則，，，∴，∴．5．（1）證明：∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴；（2）解：如圖（2），連接，交于，由（1）可知，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵矩形，∴，∵為菱形，，∴，，，，∴，，∴，如圖（2）作于，∴，∴，∴，故答案為：；（3）解：∵為矩形，；，由勾股定理得，，如圖（3），連接，作于，同理（2）可知，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，故答案為：．6．解：【問題背景】如圖，，,又，．故答案為：．【遷移應用】如圖，在中，,，，又，．如圖，延長與相交于點，與相交于點，，，又，，，，又，，，即，．故答案為：；．如圖，連接，，，又，，，∴，又∵M是的中點，N是的中點，；【創新應用】如圖，過點作，過點作，連接，，，，又，，，，即，．7．（1）解：①∵四邊形是矩形，，，，，，，由折疊的性質得：，是等邊三角形，，；②由折疊的性質得：，，，，，，∵四邊形是矩形，，，，，，，，，，解得：或（舍去），即的長為（2）當點E，，D三點共線時，分兩種情況：i如圖3：由②可知，，∵四邊形是矩形，，，，，，，由折疊的性質得：，，，，，，，；ii如圖4：由折疊的性質得：，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，綜上所述，的長為或．8．（1）和均為正三角形，，，，，，即，在和中，，，，，B、D、E三點共線，，，，綜上所述，線段、之間的數量關系是，；故答案為：，．（2），；和均為等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，又，，，，，，，，；（3）的長為或．理由如下：分兩種情況：①如圖1，當在內部時，，，，，，未旋轉前，為的中位線，，，，，圖1中，，，，，，，，，，，設，則，，在中，，解得或（舍去），；②如圖2，當在外部時，同①，得，則，，設，則，，在中，，解得或（舍去），，綜上所述，的長為或．9．（1）解：，，，，，，；（2）解：作于點，，，，且，，，M為中點，，，，解得，，，解得，，由（1）可知，，，，，，，，即，解得，，，解得．（3）解：取的中點，連接，的中點為P，，，，點在經過中點，且垂直于的直線上運動，，，，，在點D從點C運動到點B的過程中，當D與C重合時，P與N重合，當D與B重合時，最大，線段的長，即為點P運動的路徑長，當D與B重合時，，，，，點P運動的路徑長．10．（1）在矩形中，，，∴，，∴設，∴，解得（負值舍去），∴，故答案是：8；（2）由（1）知，，在矩形中，，要使是等腰三角形，有三種情況討論如下：①當時，；②當時，，∵，∴，∴，∴；③當時，如圖（2），過點D作于Q，則，∵，∴，∴，∴，∴；綜上，的值為4或5或；（3）①設，如圖（3），過P作交于N、M，則．∴，∴，∴，即∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴故答案是：；②如圖（3），連接，記與的交點為O，連接，∵四邊形和是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，在矩形中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．11．（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，，，又∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由（1）可知，∴，∴，∴，即．

（3）解：連接，如圖所示：

∵，且，∴，，又∵，∴，∴，∵O為的中點，∴，∵，∴．由（2）可知：，則，設，則，在中，，即，解得：（負值舍去）．∴，，又∵，∴，∴在中，．12．解：（1）延長到點G，使，連接，∵在正方形中，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，設，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，即，故答案為：，；（2）如圖2，延長，至M、N，使四邊形是正方形，延長到點H，使，連接，延長交于P，連接，∵，點F為中點，∴，∴，設，則，由（1）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∵，∴，∴，即，∴；（3）如圖2作輔助線，∵，∴設，，∴，設，則，由（2）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∴，故答案為：．13．（1）∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．圖1（2）設，在中，，∴．∵點E是的中點，∴，∵，∴，由（1）得，∴，∴，即，∴過點G作交BD于點N，∵，∴，∴，∴在中，．（3）法一：延長至點H，使得，連接，∵，∴，，∴，，∴，，∵，，∴，，∴，，∴，∴，由（1）得，∴，∴，又，∴，即點F是EC的中點．法二：過點B作，延長交于點N，連接，∴，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴，，∵，∴．設，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即點F是EC的中點．14．操作探究：延長至點G，使得，連接，如圖，且，是等邊三角形，，，又，，，在與中，，，；【深入思考】①由【操作探究】知，，∴，，∴，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，∴，∴，，；②連接，如圖，是等邊三角形，，由①知，，，由【操作探究】知，，，又，，，，，是的中點，，，，中，，中，，由①知，，，，，，，．15．〖探究〗解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，；〖應用〗解：（1），設，，，，點是的中點，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖，作于，設，，則，，，，由（1）知：，，設，，，，，由得，，，，，故答案為：．16．（1）解：∵，，∴，∴，∵折疊，∴垂直平分，又點與點重合，∴；（2）∵，∴，∵折疊，∴，∵，∴，過點作，交于點，則：，

∵，∴，∴，又，∴，∴，∴，∴，∵，∴設，則：，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）過點作，

∵折疊，∴，，∴，∵，∴，即：當時，，此時最小，過點作，則：，

∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，當時，由（2）可知：，∴，∵，∴，∴．17．解：（1）①，，，故答案為：；②如圖，延長交于，令交于，由①可得，由旋轉的性質可得：，，，，所在直線較小夾角的度數為，故答案為：；（2）延長，相交于點，連接．四邊形是矩形，，，∴，，∴，∴，∴點為中點，，∵于點，∴在中，，∵在中，，且為定值，∴當，三點共線時取得最小值，∵，∴，此時為等邊三角形，．（3）如圖，分別過點和作垂線，兩線相交于點，連接、、，則，，，，，為中點，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，四點共圓，