PAGEPAGE4求曲線、曲面積分的方法與技巧一.曲線積分的計算方法與技巧計算曲線積分一般采用的方法有：利用變量參數(shù)化將曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分、利用格林公式將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分、利用斯托克斯公式將空間曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分、利用積分與路徑無關(guān)的條件通過改變積分路徑進(jìn)行計算、利用全微分公式通過求原函數(shù)進(jìn)行計算等方法。例一．計算曲線積分其中是圓上從原點到的一段弧。本題以下采用多種方法進(jìn)行計算。解1：的方程為由由分析：解1是利用變量參數(shù)化將所求曲線積分轉(zhuǎn)化為求定積分進(jìn)行計算的，選用的參變量為因所求的積分為第二類曲線積分，曲線是有方向的，在這種解法中應(yīng)注意參變量積分限的選定，應(yīng)選用對應(yīng)曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解2：在弧上取點，的方程為由由的方程為由由分析：解2是選用參變量為利用變量參數(shù)化直接計算所求曲線積分的，在方法類型上與解1相同。不同的是以為參數(shù)時，路徑不能用一個方程表示，因此原曲線積分需分成兩部分進(jìn)行計算，在每一部分的計算中都需選用在該部分中參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解3：的參數(shù)方程為由由解4：的極坐標(biāo)方程為因此參數(shù)方程為由由分析：解3和解4仍然是通過采用變量參數(shù)化直接計算的。可見一條曲線的參數(shù)方程不是唯一的，采用不同的參數(shù)，轉(zhuǎn)化所得的定積分是不同的，但都需用對應(yīng)曲線起點的參數(shù)的起始值作為定積分的下限。解5：添加輔助線段，利用格林公式求解。因于是而解1：由于當(dāng)積分變量輪換位置時，曲線方程不變，而且第一類曲線積分與弧的方向無關(guān)，故有由曲線是球面上的大圓周曲線，其長為故由于關(guān)于原點對稱，由被積函數(shù)為奇函數(shù)，得于是解2：利用在上，，原式再由對稱性可得（同解1），于是上式分析：以上解1解2利用對稱性，簡化了計算。在第一類曲線積分的計算中，當(dāng)積分變量在曲線方程中具有輪換對稱性（即變量輪換位置，曲線方程不變）時，采用此法進(jìn)行計算常常是有效的。例四．求其中為橢圓曲線上在上半平面內(nèi)從的弧。解：添加輔助線為的順時針方向的上半圓周以及有向線段，其中是足夠小的正數(shù)，使曲線包含在橢圓曲線內(nèi)。由于，由格林公式，有設(shè)有再由于是分析：利用格林公式求解第二類曲線積分往往是有效的，但必須要考慮被積函數(shù)和所考慮的區(qū)域是不是滿足格林公式的條件。由于本題中在點附近無定義，于是采用在橢圓內(nèi)部附近挖去一個小圓，使被積函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)域上滿足格林公式條件。這種采用挖去一個小圓的方法是常用的，當(dāng)然在內(nèi)部挖去一個小橢圓也是可行的。同時在用格林公式時，也必須注意邊界曲線取正向。例五．求八分之一的球面的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度解：設(shè)邊界曲線在三個坐標(biāo)面內(nèi)的弧段分別為則的質(zhì)量為設(shè)邊界曲線的重心為，則由對稱性可知分析：這是一個第一類曲線積分的應(yīng)用題。在計算上要注意將曲線分成三個部分：另一方面由曲線關(guān)于坐標(biāo)系的對稱性，利用可簡化計算。二.曲面積分的計算方法與技巧計算曲面積分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三換”的法則，將第一類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分、利用“一投，二代，三定號”的法則將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為求二重積分，利用高斯公式將閉曲面上的積分轉(zhuǎn)化為該曲面所圍區(qū)域上的三重積分等。例六．計算曲面積分其中為錐面在柱體內(nèi)的部分。解：在平面上的投影區(qū)域為，曲面的方程為因此對區(qū)域作極坐標(biāo)變換則該變換將區(qū)域變成坐標(biāo)系中的區(qū)域因此分析：以上解是按“一投，二代，三換”的法則，將所給的第一類曲面積分化為二重積分計算的。“一投”是指將積分曲面投向使投影面積不為零的坐標(biāo)面。“二代”是指將的方程先化為投影面上兩個變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式。“三換”是指將換成投影面上用直角坐標(biāo)系中面積元素表示的曲面面積元素，即或或上解中的投影區(qū)域在平面上，因此用代換由于投影區(qū)域是圓域，故變換成極坐標(biāo)計算。例七．設(shè)半徑為的球面的球心在定球面上，問為何值時，球面在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？解：不妨設(shè)的球心為，那么的方程為它與定球面的交線為即設(shè)含在定球面內(nèi)部的上那部分球面在面上的投影區(qū)域為，那么且這部分球面的方程為則的面積為以下只需求函數(shù)在上的最大值。由令得唯一駐點且由問題的實際意義知在處取得最大值。即時，的面積最大，為分析：本題是第一類曲面積分的應(yīng)用題，在計算中關(guān)鍵是利用了球面的對稱性，和確定了含在定球面內(nèi)部的上那部分球面在面上的投影區(qū)域。在此基礎(chǔ)上，按上題分析中的“一投，二代，三換”的法則即可解得結(jié)果。例八．計算曲面積分其中為有向曲面其法向量與軸正向的夾角為銳角。解1：設(shè)分別表示在平面，平面上的投影區(qū)域，則，其中令，又所以分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，常按“一投，二代，三定號”法則將各單一型化為二重積分這里的“一投”是指將積分曲面投向單一型中已指定的坐標(biāo)面。“二代”是指將的方程先化為投影面上兩個變量的顯函數(shù)，再將這顯函數(shù)代入被積表達(dá)式。“三定號”是指依曲面的定側(cè)向量，決定二重積分前的“+”，“-”符號，當(dāng)?shù)亩▊?cè)向量指向坐標(biāo)面的上（右，前）方時，二重積分前面取“+”，反之取“-”。解2:利用化組合型為單一型.因的法向量與軸正向的夾角為銳角,取故有于是原式因為所以上式分析：計算第二類曲面積分，若是組合型，也可利用公式，先化組合型為統(tǒng)一的單一型，再按“一投，二代，三定號”法則將單一型化為為二重積分求得。解3：以表示法向量指向軸負(fù)向的有向平面，為在平面上的投影區(qū)域，則設(shè)表示由和所圍成的空間區(qū)域，則由高斯公式得因此分析：利用高斯公式，可將曲面積分化為三重積分求得。但必需滿足在閉區(qū)域上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是邊界曲面的外側(cè)。本題中的曲面不是封閉曲面，故添加了，使為封閉曲面，并使的側(cè)符合高斯公式對邊界曲面的要求。例九：計算曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，其法向量與軸正向的夾角恒大于解：設(shè)表示上與軸正向同側(cè)的曲面，由和所圍立體記為由高斯公式得因此由于在面上的投影區(qū)域為注意到在面，面上的投影不構(gòu)成區(qū)域，且在上從而分析：是旋轉(zhuǎn)曲面且指向外側(cè)，在上補(bǔ)上曲面指向與軸正向相同，那么由高斯公式就可將原式化成三重積分和上的曲面積分進(jìn)行計算。例十．設(shè)空間區(qū)域由曲面與平面圍成，其中為正常數(shù)