9/26杭州市濱江區2024年八年級《數學》上學期期末試題與參考答案一.選擇題本大題有10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（3分）下列圖形中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：選項B、C、D的圖形不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．選項A的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：A．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是正確確定對稱軸位置．2．（3分）已知三角形的兩邊長分別為5cm和7cm，則第三邊的長可以是（）A．1cm B．2cm C．6cm D．12cm【分析】設三角形第三邊的長是x，由三角形三邊關系定理得到2＜x＜12，即可得到答案．【解答】解：設三角形第三邊的長是x，所以7﹣5＜x＜3+5，所以2＜x＜12，所以第三邊的長可以3cm．故選：C．【點評】本題考查三角形三邊關系定理，關鍵是掌握三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊3．（3分）若a＜0，b＞0，則點（a，b+1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據點在平面直角坐標系中第二象限的坐標特點解答即可．【解答】解：因為a＜0，b＞0，所以b+8＞0，點（a，b+1）在第二象限．故選：B．【點評】本題主要考查了平面直角坐標系中各個象限的點的坐標的符號特點，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．（3分）等腰三角形的一個外角是80°，則其底角等于（）A．40° B．80° C．100° D．40°或100°【分析】根據三角形的外角性質和等腰三角形的性質求解．【解答】解：因為等腰三角形的一個外角為80°，所以相鄰角為180°﹣80°＝100°，因為三角形的底角不能為鈍角，所以100°角為頂角，所以底角為：（180°﹣100°）÷2＝40°．故答案為：A．【點評】本題考查三角形的內角和定理、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．5．（3分）已知a＜b＜0，則下列各式中，正確的是（）A．3a＞3b B．a2＜b2 C．﹣4a+1＞﹣4b+1 D．【分析】運用不等式的性質進行逐一辨別、求解．【解答】解：因為a＜b＜0，所以根據不等式的性質2，得3a＜3b；根據不等式的性質3，得a5＞ab＞b2，即a2＞b8；根據不等式的性質1和3，得﹣7a+1＞﹣4b+6；根據不等式的性質3，得，所以選項C符合題意，選項A，B，故選：C．【點評】此題考查了不等式性質的應用能力，關鍵是能準確理解并運用該知識進行辨別．6．（3分）點M（3，﹣3）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（3，﹣3） B．（3，3） C．（﹣3，3） D．（﹣3，﹣3）【分析】讓橫坐標為原來點的相反數，縱坐標不變即可得到關于y軸對稱的點的坐標．【解答】解：因為是關于y軸對稱，原來點的坐標為（3，所以所求點的橫坐標為﹣3，縱坐標為﹣2，即（﹣3，﹣3），故選：D．【點評】考查關于y軸對稱的點的特點；用到的知識點為：兩點關于y軸對稱，橫坐標互為相反數，縱坐標不變．7．（3分）對于一次函數y＝﹣5x+3，下列結論正確的是（）A．圖象經過（﹣1，1） B．y隨x的增大而減小 C．圖象經過一、三、四象限 D．不論x取何值，總有y＜0【分析】根據一次函數y＝﹣5x+3的圖象和性質，對所給選項依次判斷即可．【解答】解：將x＝﹣1代入函數解析式得，y＝﹣5×（﹣3）+3＝8≠8，所以點（﹣1，1）不在一次函數的圖象上．故A選項錯誤．因為﹣4＜0，所以一次函數y＝﹣5x+6中y隨x的增大而減小．故B選項正確．因為一次函數與y軸交于點（0，3），所以該一次函數的圖象經過第一、二、四象限．故C選項錯誤．當x＝﹣8時，y＝﹣5×（﹣1）+2＝8＞0．故D選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查一次函數的圖象和性質，熟知一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．8．（3分）根據下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（）A．∠A＝90°，∠B＝30° B．AB＝3，BC＝4 C．∠A＝20°，∠B＝120°，∠C＝40° D．∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝3【分析】由全等三角形的判定，即可判斷．【解答】解：A、C中的條件沒有邊的長度，故A；B、只是知道兩邊的長度，不能畫出唯一的△ABC；D、已知兩角和這兩角的夾邊，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．9．（3分）已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為直線y＝2x﹣1上的三個點，且x1＜x2＜x3，則以下判斷正確的是（）A．若x1x3＜0，則y1y2＞0 B．若x1x2＞0，則y2y3＞0 C．若x2x3＜0，則y1y2＞0 D．若x2x3＜0，則y1y3＞0【分析】根據一次函數y＝2x﹣1的圖象和性質即可解決問題．【解答】解：一次函數y＝2x﹣1的圖象如圖所示，因為x3x3＜0，且x3＜x2＜x3，所以x3＜0，x3＞2．結合函數圖象可知，此時y1＜0，但y4的正負無法確定．故A選項錯誤．因為x1x2＞6，則x1＞0，x3＞0或x1＜6，x2＜0，當x3＞0時，y2和y7的正負都無法確定．故B選項錯誤．因為x2x3＜2，所以x2＜0，x2＞0，則x1＜8．結合函數圖象可知，y1＜0，y2＜0，所以y1y7＞0．故C選項正確．結合上述過程，當x3＞4時，y3的正負無法確定，故D選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查一次函數的圖象和性質，根據所給條件，進行正確的討論是解題的關鍵．10．（3分）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝8，∠C＜90°，點D，E，AC，AB上，DE．已知點B和點E關于直線DF對稱，若ED＝CD，則CE的長為（）A． B． C． D．【分析】如圖，連接EB，過點C作CJ⊥AB于點J．首先證明BE⊥AC，利用面積法求出BE，再利用勾股定理求出CE．【解答】解：如圖，連接EB．因為B，E關于DF對稱，所以DB＝DE，因為ED＝DC，所以DB＝DE＝DC，所以∠BEC＝90°，所以BE⊥AC，因為CA＝CB＝6，CJ⊥AB，所以AJ＝JB＝AB＝3，所以CJ＝＝＝，所以S△ABC＝?AB?CJ＝，所以BE＝＝，所以CE＝＝＝．故選：B．二.填空題本大題有6個小題，每小題3分，共18分.11．（3分）函數的自變量x的取值范圍是x≠﹣2．【分析】根據分式的分母不為0可得x+2≠0，即可得出答案．【解答】解：由題意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故答案為：x≠﹣2．【點評】本題考查了函數自變量的取值范圍，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．12．（3分）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），若測量得A'B'＝10cm，則工件內槽寬AB為10cm．【分析】根據全等的SAS定理證得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，進而得出答案．【解答】解：連接A′B′，如圖，因為點O分別是AA′、BB′的中點，所以OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，所以△AOB≌△A′OB′（SAS）．所以A′B′＝AB，因為A'B'＝10cm，所以AB＝10cm，故答案為：10．【點評】本題考查全等三角形的應用，根據已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．13．（3分）將“對頂角相等”改寫為“如果…那么…”的形式，可寫為如果兩個角是對頂角，那么它們相等．【分析】命題中的條件是兩個角相等，放在“如果”的后面，結論是這兩個角的補角相等，應放在“那么”的后面．【解答】解：題設為：對頂角，結論為：相等，故寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個角是對頂角，那么它們相等；故答案為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等．【點評】本題考查了命題與定理的知識，將原命題寫成條件與結論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結論，解決本題的關鍵是找到相應的條件和結論，比較簡單．14．（3分）一次生活常識知識競賽一共有10道題，答對一題得5分，不答得0分，小濱有1道題沒答，競賽成績超過30分，則小濱至多答錯了2題．【分析】設小濱答錯了x道題，則答對（10﹣1﹣x）道題，利用總分＝5×答對題目數﹣2×答錯題目數，結合小濱的競賽成績超過30分，可列出關于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整數值，即可得出結論．【解答】解：設小濱答錯了x道題，則答對（10﹣1﹣x）道題，根據題意得：5（10﹣4﹣x）﹣2x＞30，解得：x＜，又因為x為自然數，所以x的最大值為7，所以小濱至多答錯了2道題．故答案為：2．【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．15．（3分）已知關于x的一次函數y1＝ax+b與y2＝bx+a（a，b為常數，a＞b且ab≠0），下列結論：①點（1，a+b）在函數y1＝ax+b圖象上；②若y1＞y2，則x＞1；③若a+b＝0，則函數y1＝ax+b一定不經過第二象限；④若函數y2＝bx+a經過點（2，0），則函數y1＝ax+b一定經過點．其中正確結論的序號是①②④．【分析】①將點（1，a+b）代入y1＝ax+b即可判斷；②根據題意列不等式，求解即可；③若a+b＝0，又a＞b，則a＞0，b＜0，根據一次函數圖象的性質判斷即可；④將點（2，0）代入y2＝bx+a，可得a＝﹣2b，將a＝﹣2b代入y1＝ax+b，得到y1＝﹣2bx+b，再判斷其是否經過（，0）即可．【解答】解：將x＝1代入y1＝ax+b，得y2＝a+b，所以點（1，a+b）在函數y1＝ax+b圖象上，故①正確；若y6＞y2，即ax+b＞bx+a，解得x＞1，故②正確；若a+b＝8，又a＞b，b＜0，所以y1＝ax+b的圖象占一、三、四象限，所以函數一定不經過第二象限，故③正確；將（8，0）代入y2＝bx+a，得y2＝2b+a＝0，所以a＝﹣2b，所以y1＝﹣2bx+b，當x＝時，y1＝﹣7b×+b＝3，所以函數y1＝ax+b一定經過點，故④正確．故答案為：①②③④．【點評】本題主要考查了一次函數的圖象與性質，一次函數與一元一次不等式的聯系，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．16．（3分）清代數學家李銳在其著作《勾股算術細草》中利用三個正方形出入相補的方法證明了勾股定理．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC和BC為邊，按如圖所示的方式作正方形ABKH，KH與CI交于點J，AB與DF交于點E．若四邊形BCFE和△HIJ的面積和為5，則AC+BC的值為．【分析】可證明△AEF與△HJI全等，進而得出△ABC的面積，再將所給的面積全部相加，得出正方形BCFD和梯形ACIH的面積之和，用AC和BC的長將其表示出來即可解決問題．【解答】解：由題知，令BC＝a，AC＝b，因為四邊形ABKH和四邊形ACIG是正方形，所以∠BAH＝∠CAG＝90°，AB＝AH，所以∠BAH﹣∠CAH＝∠CAG﹣∠CAH，即∠BAC＝∠HAG．在△BAC和△HAG中，，所以△BAC≌△HAG（SAS），所以HG＝BC＝a．又因為AF＝b﹣a，IH＝b﹣a，所以AF＝IH．因為∠HAG+∠AHG＝∠AHG+∠JHI＝90°，所以∠HAG＝∠JHI，所以∠BAC＝∠JHI．在△EAF和△JHI中，，所以△AEF≌△HJI（ASA），所以S△AEF＝S△HJI．又因為四邊形BCFE和△HIJ的面積和為5，所以S四邊形BCFE+S△AEF＝5，即S△ABC＝4，所以，則ab＝10．又因為四邊形BCFE和△HIJ的面積和為5，四邊形ACJH和△BDE的面積和為12，將四部分的面積相加得，S正方形BDFC+S梯形ACIH＝17，所以a2+b8﹣，則a3+b2＝22．所以（a+b）2＝a3+b2+2ab＝22+5×10＝42，則a+b＝（舍負），即AC+BC的值為．故答案為：．三.解答題本大題有8個小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（6分）解不等式（組）：（1）5x﹣3＜1﹣3x；（2）．【分析】（1）先去分母，再去括號，接著移項、合并同類項，然后把x的系數化為1得到不等式的解集即可；（2）先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分就是不等式組的解集．【解答】解：（1）5x﹣3＜8﹣3x，移項得5x+4x＜1+3，合并得6x＜4，系數化為1得x＜；（2），解①得x，解②得x≤3，所以不等式組的解集為x≤．【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．也考查了解一元一次不等式．18．（6分）如圖，已知∠β和線段a，b，用直尺和圓規作△ABC，BC＝a，AC＝b（保留作圖痕跡）【分析】先作∠MBN＝∠β，再在OM上截取BC＝a，然后以C為圓心，b為半徑畫弧交BN于A和A′，則△ABC和△A′BC滿足條件．【解答】解：這樣的三角形能作2個．如圖，△ABC和△A′BC為所作．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．19．（8分）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高線（1）若∠B＝60°，∠C＝40°，求∠DAE的度數．（2）若∠B＝α，∠C＝β（α＞β），請直接寫出∠DAE的度數（用含α，β的代數式表示）．【分析】（1）由高線可得∠ADB＝90°，再由三角形的內角和可求得∠BAD＝30°，∠BAC＝80°，利用角平分線的定義可求得∠BAE＝40°，從而可求∠DAE的度數；（2）參照（1）進行求解即可．【解答】解：（1）因為AD是△ABC的高線，所以∠ADB＝90°，因為∠B＝60°，∠C＝40°，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝30°，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，因為AE是△ABC的角平分線，所以∠BAE＝∠BAC＝40°，所以∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°；（2）因為AD是△ABC的高線，所以∠ADB＝90°，因為∠B＝α，∠C＝β，所以∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣α﹣β，因為AE是△ABC的角平分線，所以∠BAE＝∠BAC＝90°﹣，所以∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝．【點評】本題主要考查三角形的內角和定理，解答的關鍵是結合圖形分析清楚各角之間的關系．20．（8分）一次函數的圖象經過M（3，2），N（﹣2，﹣8）兩點．（1）求此函數的表達式．（2）試判斷點P（3a，6a﹣4）是否在此函數的圖象上，并說明理由．【分析】（1）利用待定系數法求直線MN的解析式即可；（2）利用（1）中的解析式，通過計算自變量為3a對應的函數值可判斷點P是否在此函數的圖象上．【解答】解：（1）設一次函數解析式為y＝kx+b，把M（3，2），﹣6）分別代入得，解得，所以一次函數解析式為y＝2x﹣4；（2）點P（7a，6a﹣4）此函數的圖象上．理由如下：因為當x＝4a時，y＝2x﹣4＝5a﹣4，所以點P（3a，7a﹣4）在直線y＝2x﹣7上．【點評】本題考查了待定系數法求一次函數解析式：求一次函數y＝kx+b，則需要兩組x，y的值．也考查了一次函數圖象上點的坐標特征．21．（10分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，BE⊥AC于點E，CD與BE相交于點F．（1）求證：BF＝AC；（2）若∠A＝60°，△ADC的中線DG＝1，求BC的長．【分析】（1）根據直角三角形的性質及等腰三角形的性質求出∠DAC＝∠DFB，BD＝CD，利用AAS證明△ACD≌△FBD，根據全等三角形的性質即可得解；（2）根據含30°角的直角三角形的性質求出AC＝2，AD＝1，再根據勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：因為CD⊥AB，所以∠CDA＝∠BDF＝90°，所以∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝90°，又因為BE⊥AC，所以∠BEA＝90°，所以∠DBF+∠DAC＝180°﹣∠BEA＝90°，所以∠DAC＝∠DFB，又因為∠ABC＝45°，所以∠DCB＝180°﹣∠ABC﹣∠BDF＝45°＝∠ABC，所以BD＝CD，在△ACD和△FBD中，，所以△ACD≌△FBD（AAS），所以AC＝BF；（2）解：如圖，在Rt△ACD中，中線DG＝1，所以AC＝2DG＝8，因為∠A＝60°，∠ADC＝90°，所以∠ACD＝30°，所以AD＝AC＝2，所以CD＝＝＝BD，所以BC＝＝．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質等知識，利用AAS證明△ACD≌△FBD是解題的關鍵．22．（10分）甲、乙兩車分別從相距200km的A，B兩地相向而行，乙車比甲車先出發，兩車分別以各自的速度勻速行駛．甲從A地出發，行駛80千米到達C地（A，B，C三地在同一直線上）時小時后，按原速度繼續前往B地，甲車也到達了B地．甲、乙兩車距A地的路程分別記為y1（km），y2（km），它們與乙車行駛的時間x（h）的函數關系如圖所示．（1）分別求出甲、乙兩車的速度及y2關于x的函數表達式．（2）試求乙車在出發多長時間后與甲車相遇．【分析】（1）根據路程除以時間可得甲，乙的速度；用中路程減去乙行駛的路程可列出y2關于x的函數表達式；（2）通過計算可知乙車在甲車停留時和甲車相遇；再列出式子計算即可．【解答】解：（1）甲車速度為200÷（4﹣﹣）＝80（km/h）；根據題意，y3＝200﹣50x；（2）當甲車行駛80千米到達C地時，x＝，此時乙車行駛的路程為×50＝62.5（km），因為甲車有事停留了小時，所以甲車停留時，乙車又行駛了，因為62.6+62.5+80＞200，所以乙車在甲車停留時和甲車相遇；因為＝2.6（h），所以乙車在出發2.4h后與甲車相遇．【點評】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能從函數圖象中獲取有用的信息．23．（12分）如圖，為了測量一條兩岸平行的河流寬度，由于跨河測量困難，三個數學研究小組設計了不同的方案，他們在河南岸的點B處，測量方案如下表：課題測量河流寬度工具測量角度的儀器（儀器的高度忽略不計），標桿，皮尺等小組第一小組第二小組第三小組測量方案觀測者從B點向正東走到C點，此時恰好測得：∠ACB＝45°觀測者從B點向正東走到E點，O是BE的中點，繼續從點E沿垂直于BE的EF方向走，O，F在一條直線上.測量示意圖（1）第一小組認為，河寬AB的長度就是線段BC的長度．（2）第二小組方案靈感來源于古希臘哲學家泰勒斯，他們認為只要測得EF的長就是所求河寬AB的長，你認為第二小組的方案可行嗎？如果可行請給出證明；如果不可行，請說明理由．（3）請你代表第三小組，設計一個測量方案，把測量方案和測量示意圖填入上表，只要測出哪條線段的長，就能推算出河寬AB長【分析】（1）判定△ABC是等腰直角三角形，即可得到BC＝AB，（2）由ASA證明△ABO≌△FEO，推出EF＝AB，（3）由ASA證明△ABC≌△DBC，推出BD＝AB．【解答】解：（1）因為AB⊥BC，∠ACB＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以BC＝AB，所以河寬AB的長度就是線段BC的長度．故答案為：BC；（2）第二小組的方案可行，理由如下：因為O是BE中點，所以OB＝OE，因為AB⊥BE，EF⊥BE，所以∠ABO＝∠FEO＝90°，在△ABO和△FEO中，，所以△ABO≌△FEO（ASA），所以EF＝AB，所以河寬AB的長度就是線段EF的長度．（3）見表格，課題測量河流寬度工具測量角度的儀器（儀器的高度忽略不計），標桿小組第一小組第二小組第三小組測量方案觀測者從B點向正東走到C點，此時恰好測得：∠ACB＝45°觀測者從B點向正東走到E點，O是BE