PAGE1-課后限時集訓(五十六)(建議用時：60分鐘)A組基礎達標一、選擇題1．設某項試驗的勝利率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的勝利次數，則P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)C[由已知得X的全部可能取值為0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq\f(1,3).]2．若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c則常數c的值為()A.eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．1C[依據離散型隨機變量分布列的性質知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3).]3．從4名男生和2名女生中任選3人參與演講競賽，設隨機變量ξ表示所選3人中女生的人數，則P(ξ≤1)等于()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)D[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).]4．在15個村莊中有7個村莊交通不便利，現從中隨意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不便利的村莊數，下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)C[X聽從超幾何分布，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(10－k,8),C\o\al(10,15))，k＝4.]5．若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X＜a)＝0.8時，實數a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)C[由隨機變量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，則當P(X＜a)＝0.8時，實數a的取值范圍是(1,2]．]二、填空題6．(2024·洛陽模擬)袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量ξ，則P(ξ≤6)＝________.eq\f(13,35)[P(ξ≤6)＝P(取到3只紅球1只黑球)＋P(取到4只紅球)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＝eq\f(13,35).]7．已知隨機變量X的概率分別為p1，p2，p3，且依次成等差數列，則公差d的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))[由已知得p1＝p2－d，p3＝p2＋d，由分布列性質知(p2－d)＋p2＋(p2＋d)＝1，得p2＝eq\f(1,3)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).]8．甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，競賽規定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得－1分)．若X是甲隊在該輪競賽獲勝時的得分(分數高者勝)，則X的全部可能取值是________．－1,0,1,2,3[X＝－1，甲搶到一題但答錯了．X＝0，甲沒搶到題，或甲搶到2題，但答時一對一錯．X＝1時，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對．X＝2時，甲搶到2題均答對．X＝3時，甲搶到3題均答對．]三、解答題9．有編號為1,2,3，…，n的n個學生，入坐編號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，已知X＝2時，共有6種坐法．(1)求n的值；(2)求隨機變量X的概率分布列．[解](1)因為當X＝2時，有Ceq\o\al(2,n)種坐法，所以Ceq\o\al(2,n)＝6，即eq\f(nn－1,2)＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因為學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為X，由題意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)×1,A\o\al(4,4))＝eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝1－eq\f(1,24)－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(3,8)，所以X的概率分布列為：X0234Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(3,8)10.(2024·天津模擬)在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產品中任取3件，求：(1)取出的3件產品中一等品件數X的分布列；(2)取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率．[解](1)由于從10件產品中任取3件的結果數為Ceq\o\al(3,10)，從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的結果數為Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么從10件產品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)設“取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數”為事務A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事務A1，“恰好取出2件一等品”為事務A2，“恰好取出3件一等品”為事務A3.由于事務A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120).∴取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).B組實力提升1．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，則P(x1≤X≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)B[明顯P(X＞x2)＝β，P(X＜x1)＝α.由概率分布列的性質可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X＞x2)－P(X＜x1)＝1－α－β＝1－(α＋β)．]2．一只袋內裝有m個白球，n－m個黑球，連續不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了X個白球，下列概率等于eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n))的是()A．P(X＝3) B．P(X≥2)C．P(X≤3) D．P(X＝2)D[由超幾何分布知P(X＝2)＝eq\f(n－mA\o\al(2,m),A\o\al(3,n)).]3．設ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1，則隨機變量ξ的分布列為________．ξ01eq\r(2)Peq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11)[ξ的可能取值為0,1，eq\r(2).P(ξ＝0)＝eq\f(8C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(4,11)，P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11).P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq\r(2))＝1－eq\f(4,11)－eq\f(1,11)＝eq\f(6,11).所以隨機變量ξ的分布列為ξ01eq\r(2)Peq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11)]4．(2024·安慶模擬)為了了解高一學生的體能狀況，某校隨機抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出了頻率分布直方圖如圖所示，已知次數在[100,110)間的頻數為7，次數在110以下(不含110)視為不達標，次數在[110,130)間的視為達標，次數在130以上視為優秀．(1)求此次抽樣的樣本總數為多少人？(2)在樣本中，隨機抽取一人調查，則抽中不達標學生、達標學生、優秀學生的概率分別是多少？(3)將抽樣的樣本頻率視為總體概率，若優秀成果記為15分，達標成果記為10分，不達標成果記為5分，現在從該校高一學生中隨機抽取2人，他們的分值和記為X，求X的分布列．[解](1)設樣本總數為n，由頻率分布直方圖可知：次數在[100,110)間的頻率為：0.014×10＝0.14，所以eq\f(7,n)＝0.14，解得n＝50.(2)記抽中不達標學生的事務為C，抽中達標學生的事務為B，抽中優秀學生的事務為A.P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20；P(B)＝0.028×10＋