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文檔簡介

上海市師大附中2025屆高三3月綜合練習(一模)數學試題試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置.3.請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設、,數列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數,使得恒成立B.對于任意,都存在實數,使得恒成立C.對于任意,都存在實數,使得恒成立D.對于任意,都存在實數,使得恒成立2.已知,,分別為內角,,的對邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.3.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.函數的圖象大致為()A. B.C. D.5.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.6.在函數:①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③7.已知點(m,8)在冪函數的圖象上,設,則()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b8.已知函數,若,,,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.9.已知函數是上的偶函數,且當時,函數是單調遞減函數,則,,的大小關系是()A. B.C. D.10.一個超級斐波那契數列是一列具有以下性質的正整數:從第三項起,每一項都等于前面所有項之和(例如:1,3,4,8,16…).則首項為2,某一項為2020的超級斐波那契數列的個數為()A.3 B.4 C.5 D.611.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-812.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據統計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態分布,則直徑在內的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.9544二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的系數為__________(用具體數據作答).14.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓的焦距為2c,過C外一點P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.15.雙曲線的左右頂點為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點的任一點,連接交圓于點,設直線的斜率分別為,若,則_____.16.已知數列是等比數列,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數,(1)當,,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.18.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.19.(12分)已知橢圓的右頂點為,點在軸上,線段與橢圓的交點在第一象限,過點的直線與橢圓相切,且直線交軸于.設過點且平行于直線的直線交軸于點.(Ⅰ)當為線段的中點時,求直線的方程;(Ⅱ)記的面積為,的面積為,求的最小值.20.(12分)在中,角的對邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圓半徑,求的周長.21.(12分)已知函數(1)求函數的單調遞增區間(2)記函數的圖象為曲線,設點是曲線上不同兩點,如果在曲線上存在點,使得①;②曲線在點M處的切線平行于直線AB,則稱函數存在“中值和諧切線”,當時,函數是否存在“中值和諧切線”請說明理由22.(10分)已知函數,其中.(1)討論函數的零點個數;(2)求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

取,可排除AB;由蛛網圖可得數列的單調情況,進而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數列恒單調遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當時,數列單調遞增,則;當時,數列單調遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點睛】本題考查遞推數列的綜合運用,考查邏輯推理能力,屬于難題.2.D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出,結合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數的基本關系.本題的關鍵是通過正弦定理結合已知條件,得到角的正弦值余弦值.3.D【解析】

過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.4.A【解析】

根據函數的奇偶性和單調性,排除錯誤選項,從而得出正確選項.【詳解】因為,所以是偶函數,排除C和D.當時,,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點睛】本小題主要考查函數圖像的識別,考查利用導數研究函數的單調區間和極值,屬于中檔題.5.D【解析】

根據集合的混合運算,即可容易求得結果.【詳解】,故可得.故選:D.【點睛】本題考查集合的混合運算,屬基礎題.6.A【解析】逐一考查所給的函數:,該函數為偶函數,周期;將函數圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數的周期為;函數的最小正周期為;函數的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數的式子,否則很容易出現錯誤.一般地,經過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.7.B【解析】

先利用冪函數的定義求出m的值,得到冪函數解析式為f(x)=x3,在R上單調遞增,再利用冪函數f(x)的單調性,即可得到a,b,c的大小關系.【詳解】由冪函數的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數解析式為f(x)=x3,在R上單調遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點睛】本題主要考查了冪函數的性質,以及利用函數的單調性比較函數值大小,屬于中檔題.8.D【解析】

根據題意,求出函數的導數,由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數,又由,分析可得答案.【詳解】解:根據題意,函數,其導數函數,則有在上恒成立,則在上為增函數;又由,則;故選:.【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系,涉及函數單調性的性質,屬于基礎題.9.D【解析】

利用對數函數的單調性可得,再根據的單調性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為,,故.又,故.因為當時,函數是單調遞減函數,所以.因為為偶函數,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查抽象函數的奇偶性、單調性以及對數函數的單調性在大小比較中的應用,比較大小時注意選擇合適的中間數來傳遞不等關系,本題屬于中檔題.10.A【解析】

根據定義,表示出數列的通項并等于2020.結合的正整數性質即可確定解的個數.【詳解】由題意可知首項為2,設第二項為,則第三項為,第四項為,第五項為第n項為且,則,因為,當的值可以為;即有3個這種超級斐波那契數列,故選:A.【點睛】本題考查了數列新定義的應用,注意自變量的取值范圍,對題意理解要準確,屬于中檔題.11.B【解析】

根據交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【點睛】本題考查交集的概念,屬于基礎題.12.C【解析】

根據服從的正態分布可得,,將所求概率轉化為,結合正態分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據正態分布求解待定區間的概率問題,考查了正態曲線的對稱性,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

利用二項展開式的通項公式可求的系數.【詳解】的展開式的通項公式為,令,故,故的系數為.故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數,注意利用通項公式來計算,本題屬于容易題.14.【解析】

根據條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點A為橢圓上頂點,則有b=c,解出B的坐標即可得到比值.【詳解】因為|PA|=|AF1|,所以點A是線段PF1的中點,又因為點O為線段F1F2的中點,所以OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因為點P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以OA⊥x軸,則點A為橢圓上頂點,所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質,考查直線位置關系的判斷,方程思想,屬于中檔題.15.【解析】

根據雙曲線上的點的坐標關系得,交圓于點,所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設,交圓于點,所以易知:即.故答案為:【點睛】此題考查根據雙曲線上的點的坐標關系求解斜率關系,涉及雙曲線中的部分定值結論,若能熟記常見二級結論,此題可以簡化計算.16.【解析】

根據等比數列通項公式,首先求得,然后求得.【詳解】設的公比為,由,得,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式的基本量計算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)或;(2)證明見解析【解析】

(1)將化簡,分類討論即可;(2)由(1)得,,展開后再利用基本不等式即可.【詳解】(1)當時,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根據,當且僅當時,等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題,考查學生基本的計算能力,是一道基礎題.18.(1)(2)【解析】

(1)先利用同角的三角函數關系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因為,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因為且,即,解得,因為,所以,所以,所以,所以【點睛】本題考查已知三角函數值求值,考查三角函數的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數關系的應用,考查運算能力.19.(Ⅰ)直線的方程為(Ⅱ)【解析】

(1)設點,利用中點坐標公式表示點B,并代入橢圓方程解得,從而求出直線的方程;(2)設直線的方程為:,表示點,然后聯立方程,利用相切得出,然后求出切點,再設出設直線的方程,求出點,利用兩點坐標,求出直線的方程,從而求出,最后利用以上已求點的坐標表示面積,根據基本不等式求最值即可.【詳解】解:(Ⅰ)由橢圓,可得:由題意:設點,當為的中點時,可得:代入橢圓方程,可得:所以:所以.故直線的方程為.(Ⅱ)由題意,直線的斜率存在且不為0,故設直線的方程為:令,得:,所以:.聯立:,消,整理得:.因為直線與橢圓相切,所以.即.設,則,,所以.又直線直線,所以設直線的方程為:.令,得,所以:.因為,所以直線的方程為:.令,得,所以:.所以.又因為..所以(當且僅當,即時等號成立)所以.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關系,考查直線方程以及求橢圓中的最值問題,最值問題一般是把目標式求出,結合目標式特點選用合適的方法求解,側重考查數學運算的核心素養,本題利用了基本不等式求最小值的方法,運算量較大,屬于難題.20.(1)(2)3+3【解析】

(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函數關系式化簡整理并結合范圍0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周長.【詳解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周長a+b+c=3+3.【點睛】本題考查三角函數恒等變換的應用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的應用,考查了轉化思想,屬于中檔題.21.(1)見解析(2)不存在,見解析【解析】

(1)求出函數的導數,通過討論的范圍求出

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