二次根式的化簡求值

1.(2023春?東陽市月考)當久=病一1時，代數式/+2x+2的值是()

A.19B.20C.21D.22

【分析】利用完全平方公式配方，再代入計算即可解答.

【解答】解：當x=1時，

/+2x+2

=(x+1)2+1

=(V19-1+I)2+1

=(V19)2+1

=20.

故選：B.

2.(2024春?慈溪市期中)己知x+y=-2,xy=l,則代數式J|+的值是()

A.2B.0C.4D.1

【分析】由x+y=-2,xy=l,可得x<0,y<0,把J|+變形為再代入計算即可.

【解答】解：-2,中=1,

.*.x<0,><0,

???R+區

_V%y+V^y

-r十一y

機歹Q+y)

-xy

Vlx(-2)

一1

=2；

故選：A.

3.(2024秋?西湖區校級期中)已知口=板+1,Z?=V3-1,則/12+爐+就的值為()

A.4B.V10C.3D.2V2

【分析】根據二次根式的加法法則求出a+b,根據乘法法則求出仍，根據完全平方公式把原式變形，代入計算

即可.

【解答】解：*?'a=V3+1,b-V3—1,

：.a+b=（V3+1）+（V3-1）=2V3,ab=（V3+1）X（V3-1）=3-1=2,

則迎2+>2+

=不（a+b）2—ab

=J（2V3）2-2

=Vio,

故選：B.

4.（2024春?下城區校級月考）已知％=魚—遍，y=魚+百，則代數式J%2+2%y+y2+%—y—4的值為（）

A.哼B.IC.V3-1D.牛

【分析】根據已知，得到X+y=魚一遮+魚+遮=2近，x-y=V2-V3-V2-V3=-2V3,整體思想代

入求值即可.

【解答】解：<％=我■—遮\y—V2+V3,

.*.%+y=y/2—y/3+V2+y/3=x—y=y/2—^3—V2—=—2V^,

Jx2+2xy+y2+x—y—4=^/（x+y）2+（x—y）—4

=J（2V2）2-2V3-4

=78-2V3-4

=74-2V3

=J(V^)—2A/3^+1

=J(V3-1)2

=V3—1.

故選：C.

5.(2024秋?東陽市期末)設久=丫；上,則代數式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值是()

A.6V29B.5V29+9C.33D.35

【分析】利用完全平方公式把含x的等式變形，再根據多項式乘多項式的運算法則把原式變形，代入計算得到答

案.

【解答】解：??"=退產，

2x=V29—5,

2x+5=V29，

：.(2x+5)2=29,即4/+20x+25=29,

.'.X2+5X=1,

則原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=(X2+5X+4)(X2+5X+6)=(1+4)(1+6)=35,

故選：D.

6.(2024春?義烏市校級月考)計算J14+6函一J14一6函的值是()

A.1B.V5C.2V5D.5

【分析】將原式的被開方數配成完全平方式，再開平方，合并.

【解答】解：原式=J(眄+遮J(我一遍)2

=(3+V5)-(3-V5)

=2V5.

故選：C.

11

7.(2024春?余杭區校級月考)我們知道形如石，不后的數可以化簡，其化簡的目的主要是把原數分母中的無理

數化為有理數?如：石=際=苧==Q一總2+4)=2+技這樣的化簡過程叫做分母有理

化.我們把魚叫做血的有理化因式，2+遮叫做2—g的有理化因式.利用有理化因式，可以得到如下結論：①

==皆與②設有理數。，6滿足京+目=-6魚+4,則"6=6；③局示工嬴〉

1____________,____________

/2021-<2020；④已知，43—%—V11—%=4,則“43——+V11——=6；以上結論正確的有()

A.①③B.①②C.①④D.③④

【分析】利用有理化因式進行變形計算后即可判斷.

13+V53+V5八

【解答】解：^Vf=(3-V5)(3+V5)=^故①正確,符合題意；

aba(V2-l)+b(V2+l)「一

V^T+V^1=(V2+1)(V2-1)=V2(a+fo)+(fo-a)=-6V2+4

:.a+b=6,故②錯誤，不符合題意；

______1_________A/2023+02022________________

V2023-V2022-(V2023+V2022)(V2023-V2022)-^2023+^2022,

1_________V^T+V^U________________

V2021-V2020-(V2021+V2020)(V2021-V2020)-"021+'2020'

11

?',V2023-V202f>V2021-V20iU，故③正確'符合題意；

VV43—%—V11—x=4,(>43—x—V11—%)(V43—%+V11—%)=43—%—11+%=32,

.'.V43—%+V11—%=8,故④錯誤，不符合題意;

故選：A.

8.（2024春?柯橋區期末）已知久=魚+2,則代數式/一叫+4的值為2.

【分析】根據完全平方公式把原式變形，把x的值代入計算即可.

【解答】解：x2-4x+4

=（x-2）2,

當x=&+2時，

原式=（V2+2-2）2

=2.

9.（2024?錢塘區一模）已知x=l—VLy=l+V2,則/+3盯+/的值為

【分析】根據二次根式的加法法則、乘法法則分別求出x+八？，根據完全平方公式把所求的式子變形，代入計

算即可.

【解答】解：1—y=1+V2,

.\x+y=（1—V2）+（1+V2）=2,xy=（1—V2）（1+V2）=1-2=-1,

則x2+3xy+y2

=x2+2xy+y2+xy

=（x-Fj）2+xy

=22-1

=3,

故答案為：3.

10.（2024春?義烏市期中）若規定符號的意義是Q*b=ab-b2,貝!）2*（金+1）的值是-1.

【分析】利用新定義得到原式=2（金+1）-（V2+1）2,然后根據二次根式的乘法法則和完全平方公式計算.

【解答】解：根據題意得原式=2（魚+1）-（V2+1）2

=2近+2-（2+2V2+1）

+2-3-2ypi

=-1.

故答案為：-1.

11.（2024春?海曙區期中）已知％=遍+1,y=V3—L則/”-村2=4.

【分析】由x與〉的值，求出盯與x-y的值，原式提取公因式變形后，將各自的值代入計算即可求出值.

【解答】解：,?h=遮+1,=V3—L

???孫=（V^+i）（V^—1）

=3-1

=2,

x-y—(V^+1)+(V3—1)

=V3+1-V3+1

=2,

則原式=盯(x-y)=4.

故答案為：4.

______11

12.(2023秋?樂清市校級期中)已知實數m使得-2y3—僧+，12—;m=y9成立,則-23/-》一，12-zn=—與一

【分析】利用平方差公式得到(—23—m+V12—m)(—23—m—712—m)=11,然后利用＜23—m4-V12—m

=9可得到A/23—m—712—m的值.

【解答】解：?.?(V23-m+V12-m)(V23-m-V12-m)=23-m-(12-m)=11,

而=23—m+V12—m=9,

___11

Vy23—m/—V12—m=-.

11

故答案為：—.

11

13.(2024春?平湖市期末)已知。=水后，=2^Vf，則3修-10仍+3內的值為32.

【分析】先將。，b分母有理化，再對代數式進行變形后代入求解即可.

11

【解答】解：???。=/7'=2—g，b==2+V3,

??q+b=4,cib--1,

???3〃2—10ab+3b2=3(〃+b)2-16^=3X42-16=32,

故答案為：32.

14.(2024春?長興縣期中)已知。=魚+1,h=V2—求下列式子的值：

(1)a2-b2；

11

(2)一+工.

ab

【分析】(1)先計算a+6=2?,a-b=2,再把修-乂變形為(。+方)(0_帥最后整體代入計算即可得到

答案；

11a+b

(2)求出仍=1,把一+7變形為一丁，再整體代入計算即可得到答案

abab

【解答】解：(1)*.*a=V2+1,b=V2—1,

?'.a+/?—yp2+1+y/2,—1—,a—b—y/2,+1—(V2^—1)—2,

a2—b2—(a+6)(a—Z?)=2V2x2=4V2；

(2)Va=V2+1?b=V2—1,

a+h=V2+1+V2—1=2V2,ab=(V2+1)x(V2—1)=2—1=1,

r-

：-1+1-=-a+-b=^2V-2=2^2

abab1

15.(2024春?西湖區校級期中)按要求解下列問題：

(1)計算：VT2—V3

2_______________

(2)若a=右_],求代數式：——4a+4的值.

【分析】(1)根據二次根式的性質、二次根式的減法法則計算；

(2)利用分母有理化把。化簡，根據二次根式的性質計算，得到答案.

【解答】解：(1)V12-V3

=2y/3-V3

=V3；

22(b+1)「

(2)Va=V3-1=(V3-1)(V3+1)=+b

則原式=Va2—J(a—2)2

=a-（a-2）

=2.

16.（2024?浙江模擬）問題：先化簡，再求值：2〃+迎2一10口+25,其中Q=3.

小宇和小穎在解答該問題時產生了不同意見，具體如下.

小宇的解答過程如下：

解：2tz+Va2-10a+25

=2〃+J（a-5）2……（第一步）

=2a+a-5.........（第二步）

=3a-5..........（第三步）

當a=3時,

原式=3X37=4.……（第四步）

小穎為驗證小宇的做法是否正確，她將。=3直接代入原式中：

2a+Va2—10a+25

=6+V32-10x3+25

=6+2

=8.

由此，小穎認為小宇的解答有錯誤，你認為小宇的解答錯在哪一步？并給出完整正確的解答過程.

【分析】根據二次根式的性質將二次根式進行化簡后，再代入求值即可.

【解答】解：錯在第二步，

原式=2。+飛（a—5尸=1a+\a-5|,

Va=3<5,

：.a-5<0,

.,.原式=2a+（5-a）

=a+5,

當a=3時，

原式=3+5

=8.

17.（2024?蒼南縣校級自主招生）（1）已知方程①V*+2023+W-2023='2024,

②〃—2022+Vx-2023+V%-2024=3請判斷這兩個方程是否有解？并說明理由；

（2）已知V3久+2023+73x-2023=2023,求-3X+2023—73x—2023的值.

【分析】（1）根據二次根式的性質得到x的取值范圍，結合根式最值求解即可得到答案；

（2）本題考查平方差公式，設-3久+2023一>3支—2023=y,乘以V3x+2023+73x—2023=2023求解即可

得到答案；

【解答】解：（1）由題意可得：

[%+2023>0

lx-2023>O'

解得:尤>2023,

/.Vx+2023+-2023的最小值為“4046,

V4046>2024,

方程①無解；

由題意得：

（%-2022>0

]x-2023>0,

U-2024>0

解得xN2024,

.3—2022+Vx-2023+7x-2024的最小值為魚+1,

VV2+K3,

，方程②有解；

(2)73x+2023—73x—2023的值是2；理由如下，

設V3x+2023-V3x-2023=y,

VV3x+2023+V3x-2023=2023,

/.(V3x+2023+V3x-2023)(73%+2023-V3x-2023)=2023y,

即：(3x+2023)-(3x-2023)=2023”

解得：y=2,

.?.V3x+2023-2023的值是2.

18.(2024春?浙江期中)己知久=通，y=V20>求(x+3)?+y的值.

【分析】把x,y的值代入所求代數式，然后利用完全平方公式進行計算即可.

【解答】解：=逐，y=V20，

(x+3)2+y

=(V5+3)2+V20

=(V5)2+32+6V5+2V5

=5+9+6V5+2V5

=14+8V5.

19.(2023春?上城區期中)已知x=2—巡，y=2+V3.

(1)求/+y2一砂的值；

(2)若x的小數部分是a,y的整數部分是6,求ax-力的值.

【分析】(1)利用完全平方公式，進行計算即可解答；

(2)先估算出2—g與2+遮的值的范圍，從而求出a,b的值，然后代入式子中進行計算即可解答.

【解答】解：(1)'."x=2-y=2+y/3>

?'?xy—(2—V3)(2+V3)=4-3=1,

(x-y)2=(2-V3-2-V3)2=(-2V3)2=12,

.".jr+y1-xy

=(x-y)2+孫

=12+1

=13；

(2)Vl<3<4,

.,.1<V3<2,

.\3<2+V3<4,

；.2+g的整數部分是3,

:.b=3,

V1<V3<2,

-2<——1,

.\0<2-V3<l,

A2-b的整數部分是0,小數部分=2-V3-0=2-V3,

。=2—y/3t

ax-by

=(2-V3)(2-V3)-3(2+V3)

=7-4V3-6-3V3

=1-7V3,

-by的值為1-7遮.

20.（2024春?寧波期中）先化簡，再求值：a+Yl—2a+a2,其中a=1007.

如圖是小亮和小芳的解答過程.

（1）的解答過程是錯誤的;

（2）先化簡，再求值：m+2Vm2-6m+9,其中加=-2024。

【分析】（1）當。=1007時，,（1—砌2=1,再得出答案即可；

（2）根據機=-2024求出他-3<0,根據二次根式的性質得出m+23n2一6m+9=加+2|加-3|,求出爪+2

Vm2—6m+9=6-m,最后代入求出答案即可.

【解答】解：（1）小亮的解答過程是錯誤的，

理由是：：a=1007,

1-。（0,

a+V1—2a+a2

=a+J(1—a)2

—6Z+|1-6Z|

=Q+Q-1

=2a-1

=2X1007-1

=2014-1

=2013.

故答案為：小亮；

(2)u：m=-2024,

???加-3V0,

m+2Vm2—6m+9

=m+2yl(m—3)2

=m+2\m-3|

=m+2(3-m)

=m+6-2m

=6-m

=6-(-2024)

=6+2024

=2030.

21.(2024春?路橋區期中)對于任意實數Q,b,定義一種運算“十”如下：Q十仁修一接.如：遮十&=(遮＞_(

V2)2=3-2=1.

(1)2十V3=1y2V2十V5=3；

(2)已知(?n+J2)十(2金一7H)=3逐，求(血+魚)一(2遮一7H)的值.

【分析】(1)根據已知條件中的新定義，列出算式，根據二次根式的性質進行計算即可；

(2)根據新定義，列出含有加的等式，再根據平方差公式分解因式，然后進行解答可.

22

【解答】解：⑴?：a?b=a-bf

.?.2十g=2?—(V3)2=4—3=1,2V2十遍=(2V2)2—(V5)2=8—5=3,

故答案為：1,3；

(2)V(m+V2)?(2V2-m)=3V6,

(m+V2)2—(2V2—m)2=3V6,

[(772+V2)+(2V2—?n)][(TH4~—(2，^—?7l)]—3V6?

(ZM+V2+2V^—TTl)[(771+V^)—(2V2—Tfl]=3^6>

3V2[(m+V2)—(2V2—m)=3V6,

(m+V2)-(2V2-m)=V3.

22.(2024春?義烏市期中)閱讀材料，并解決問題：定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化.

1V3+V2-L

如：將存正分母有理化’解：原式=(6-煙(7+二)=8+叵

運用以上方法解決問題：

11

已知：爪=彳萬'n="

(1)化簡m,n；

(2)求加2+加〃十九2的值.

【分析】(1)仿照已知把加，〃化簡即可；

1

(2)求出加十幾=3,mn=~,再把所求式子變形后代入計算即可.

【解答】解：⑴*(3+73—7V7)5)T3—V7

3+夕3+V7

(3-77)(3+77)2'

G??3—V73+V7

1

m+n=3,mn=

rr^+mn+n2

=(.m+n)2-mn

=32--

2

17

=T'

23.(2024秋?余姚市期中)閱讀下列材料：

通過探究知道：V2?1,414-,它是個無限不循環小數，也叫無理數，因此魚的小數部分我們不可能全部寫出來,

于是小明用四一1來表示魚的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為

魚的整數部分是1,將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，又例如：：22<7<32,即2<V7<3,.?.V7的

整數部分是2,小數部分是V7-2.

(1)舊的整數部分是1.

(2)已知8+g=x+y,其中x是一個整數，0<y<l,求2x+(y—舊產。〃的值.

【分析】(1)仿照材料估算即可得到答案；

(2)結合(1)求出x,y的值，再代入計算即可.

【解答】解：(1)Vl2<3<22,即1<b<2,

...板的整數部分為1；

故答案為：1；

(2)V1<V3<2,

.?.9<8+V3<10,

.,.x=9,y=8+V^—9—V3—1,

.\2%+(y-V3)2017

=2X9+(V3-1-V3)2017

=18+(-1)2017

=18-1

=17.

24.(2024?金華模擬)已知a=VL6=乎，顯然仍=1,觀察下列等式:

11

Pi=G+市=1,

11

02=1+。2+1+反=L

11

「3=1+。3+1+13=L

^11

(1)猜想：①-4=1+a4+1+.4=-1—?

C11

②尸”=一1+逆+1+9一=---'

(2)請證明猜想②成立.

【分析】(1)①根據分式的加法法則計算即可；

②利用(1)得出的規律猜想即可得出結果；

(2)根據分式的加法法則計算即可.

【解答】解：(1)猜想：①：a6=l,

.11

,1+a4+1+64

l+M+1+a4

=(l+a4)(l+M)

2+a4+b4

l+a4+b4+a4b4

2+a4+Z?4

2+a4+b4

=1;

②尸"=哀標+=而=1;

11

故答案為：①1;②云獲+不而，1;

11〃+1+那+12+a"+bn2+/+歹

Pn—l+an+l+bn-(an+l)(bn+l)-anbn+an+bn+l—2+an+bn

1

25.（2024春?西湖區期中）小辰在解決問題：己知a=*后，求2a2-80+1的值.他是這樣分析與解的:

12s.「

=2+近=(2+4)(2-舊)=2—幅.-.a-2=-V3.

(a-2)2=3,a2-4a+4=3,'.a1-4a--1,

：.2a2-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

請你根據小辰的分析過程，解決如下問題：

1

(1)①化簡a=丁_1=_V2+1_.

1

②當a=m"時，求3a2-6a-1的值.

e111]

(2)化向b+i+歸/+夕+e+…+礪+同藥

【分析】(1)①先將。分母有理化得出。=魚+1;

②再代入3a2-6a+l=3(a-1)2-4計算可得；

(2)將各式分母有理化，再計算加法即可得.

1V2+1「

【解答】解：⑴①一瓦7(41)即)=魚+1；

(2)3a^~6a~1—3(層一2。+1-1)-1

=3(a-1)2-4

=3(V2+1-1)2-4

=3X2-4

=2,

故答案為：2；

四-I迎-遮夕一①

++++

(2)原式=(V3+1)(V3-1)(V5+V3)(V5-V3)(V7+V5)(V7-V5)-"

________A/2025—V^U^________

(V2025+V2023)(V2025-V2023)

V3-1V5-V3V7-V5V2025-V2023

=------1---------1--------1—4----------------

2222

「2025-1

2

=22.

26.（2023春?玉環市期中）在數學課外學習活動中，小明和他的同學遇到一道題：

1

己知。=爾后’求2層-8。+1的值.他是這樣解答的：

12「

*=2+愿=（2+圾（2—何=2-技'a-2=一技

（。-2）2=3,-4]+4=3?\。2-4。=-1,

：.2a2-8。+1=2（層-4。）