因式分解一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練-2025年中考數(shù)學(xué)

一、單選題

1.下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（）

A.a^x-y)=ax-ayB.x2+2x+l=x(x+2)+l

C.(x+l)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+l)(x-l)

2.下列各式中，分解因式正確的是（

A.=〃2一爐B.m3-m2+m=m(m2-m)

D.x2+2x-3=x(x+2)-3

3.下列多項(xiàng)式能用完全平方公式分解的是（）

A.a2-abT—Z?2B.(龍一封(丁一尤)_4

4

1

C.9Q—2aH—D.+2a—1

4

4.已知a、b、c是VABC的三邊，且滿足/一從+收一6c=0,則VABC的形狀是（）.

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

5.關(guān)于x的代數(shù)式2d+?u-15分解因式得（x-3）（nx+5）,則心的值為（）

A.1B.0.5C.-1D.-2

6.把多項(xiàng)式4〃—1分解因式，結(jié)果正確的是（）

A.(2〃+lfB.(2a-IpC.(4a+l)(4a—1)D.(2a+1)(2〃-1)

7.在學(xué)習(xí)對復(fù)雜多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時，蘇老師示范了如下例題:

因式分解：（爐+2x—3）（Y+2%+5）+16.

解：^x2+2x=y,

原式="3)(y+5)+16

=/+2y—15+16

=y2+2y+l

=(爐+2%+1)2

=[(x+l)2]2

=（尤+1）4.

例題中體現(xiàn)的主要思想方法是（）

A.函數(shù)思想B.整體思想

C.分類討論思想D.數(shù)形結(jié)合思想

8.小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：

a-b,x-y,x+y,a+b,%2-y~,/一片分別對應(yīng)下列六個字：華、愛、我、中、游、美.現(xiàn)將

（彳2_y”2_（*2一產(chǎn)）爐因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（）

A.我愛美B.中華美C.愛我中華D.美我中華

二、填空題

9.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3X2-1=

10.若rm=2,m—n=l,則代數(shù)式相，-根/的值是.

11.若多項(xiàng)式*2+〃a+4在整數(shù)范圍內(nèi)可分解因式，則機(jī)的值是.

12.已知實(shí)數(shù)〃、b、x、y滿足公—》y=3,ay+bx=^,貝!!（"十⑹任十力的值為_.

13.如果多項(xiàng)式的一個因式是-gab,那么另一個因式是.

14.若2是方程組：的解，則/一/的值是__.

[y=-l\bx+ay=3

15.如果一個四位自然數(shù)N各個數(shù)位的數(shù)字都不為0,把它前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為x,后兩位

數(shù)字組成的兩位數(shù)記為y,規(guī)定/（"）=詈工G（N）=2x-y,當(dāng)/（N）為整數(shù)時，稱這個四位數(shù)

為“齊心數(shù)貝!]b（1421）+G（1421）=.若“齊心數(shù)"S=1020a+1006+c+6,（lWaV4,

04c<3,a,b,c為整數(shù)），且G（S）除以7余數(shù)為1,則S最大值為.

三、解答題

16.將下列式子分解因式:

（l）x3—x

(2)3Q2—6ab+3Z?2

17.請你觀察下列多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果與原多項(xiàng)式的關(guān)系，然后回答問題:

(T)a?+5〃+4=++4)；

②/—10〃+21=(a-3)(〃-7)；

(3)/+4a-12=(〃+6)(a-2)；

④片一7〃-18=("-9)(〃+2).

(1)請用一個式子表示你觀察到的規(guī)律：f.

⑵請用你觀察并總結(jié)出來的結(jié)論把下面各式分解因式：

①%2+2%-3;

②/-xy-i2y2.

18.一個正整數(shù)p能寫成〃=(加+〃)(根-孔)(m、〃均為正整數(shù)，且相W"),則稱p為“平方差數(shù)”,

機(jī)、〃為p的一個平方差變形，在p的所有平方差變形中，若加+1最大，則稱機(jī)、〃為p的最佳平

方差變形，止匕時方(2)=祇2+》.例如：24=(7+5)(7-5)=(5+1)(5-1),因?yàn)??+5?>5?+心，所以

7和5是24的最佳平方差變形，所以尸(24)=74.

⑴尸(32)=_；

(2)若一個兩位數(shù)q的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別為羽y(l<x<y<7)f9為“平方差數(shù)”且％+V能被7

整除，求隙(q)的最小值.

19.某數(shù)學(xué)興趣小組將如下一些關(guān)于。的多項(xiàng)式因式分解后，發(fā)現(xiàn)各因式的常數(shù)項(xiàng)是兩個連續(xù)的整數(shù),

且與多項(xiàng)式的系數(shù)之間存在著某種聯(lián)系：

々2—a=—1)

a2+a=a(a+l)

a?+3cl+2=(a+1)(a+2)

a2+5a+6=(a+2)(a+3)

我們定義具有這種規(guī)律的多項(xiàng)式為“關(guān)于〃的連續(xù)式”.觀察上述規(guī)律，思考以下問題：

⑴請根據(jù)上述規(guī)律，再寫一個“關(guān)于。的連續(xù)式”，并寫出其因式分解的形式：=;

(2)已知左為整數(shù)，多項(xiàng)式4+(%+1)。-^左-9能否成為“關(guān)于a的連續(xù)式”？若能，請求出片的值，并

將該式寫成因式分解的形式；若不能，請說明理由.

20.閱讀理解:

定義：若分式A和分式B滿足A-B=〃（〃為正整數(shù)），則稱A是B的“〃差分式”.

3尤33

例如:蕓―'=3,我們稱里二的“3差分式”,

x—1x—1x-l

解答下列問題:

1x

（1）分式■—是分式*的、差分式”.

1-x1-x

（2）分式Ac是分式8=2#x的“2差分式”.

9-x3-x

①C=_（含X的代數(shù)式表示）；

②若A的值為正整數(shù)，x為正整數(shù)，求A的值.

⑶已知所1,分式十是-號的“4差分式”（其中X，，為正數(shù)），求一的值.

參考答案:

題號12345678

答案DCACBDBC

1.D

【分析】本題考查因式分解的定義.因式分解就是把一個多項(xiàng)式化為幾個整式的積的形式，據(jù)此對各

項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，不符合題意；

B.右邊結(jié)果不是積的形式，不符合題意；

C.是多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，不符合題意；

Dj3—x=x(x+l)(x—1)屬于因式分解，符合題意.

故選：D.

2.C

【分析】本題考查因式分解，根據(jù)因式分解的概念和方法，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A選項(xiàng)是多項(xiàng)式的乘法，不是因式分解，錯誤；

B選項(xiàng)分解時，漏項(xiàng)，應(yīng)為m3-*+m錯誤；

C選項(xiàng)分解正確；

D選項(xiàng)的結(jié)果沒有化成整式乘積的形式，也不是因式分解，錯誤.

故選C.

3.A

【分析】此題主要考查了公式法分解因式，注意。2±2乃+廿=(a.根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特

點(diǎn)即可得出答案.

22

【詳解】解：A、a-ab+^b=^a-^,故此選項(xiàng)符合題意；

B、(x-y)(y-x)-4=-(x-y)2-4=-[(x-y)2+4],無法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；

C、該多項(xiàng)式不是完全平方公式的結(jié)構(gòu)，無法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；

D、第三項(xiàng)不是正數(shù)，無法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

4.C

【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的判定.利用因式分解將已知等式變形為

(a-b)(a+b+c)=Of即可得到〃=b,由此判斷三角形的形狀.

【詳解】角麻,**a2—b2+ac—bc=Oj

由平方差公式得：(。+))(?！?+c(?！?)=0,

(a—/?)(〃+/?+c)=0,

???〃、b、c三邊是三角形的邊，

a+b+cw0,

a-b=O,即a=b,

???VABC一定是等腰三角形，

故選：C.

5.B

【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘法與因式分解，代數(shù)式求值，負(fù)整數(shù)指數(shù)嘉，根據(jù)題意可得

2x2+mx-15=(x-3)(nx+5),再利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則把等式右邊展開得到

m=-(3n-5),n=2,據(jù)此求出小、〃的值即可得到答案.

【詳解】解：,?,關(guān)于元的代數(shù)式2一十蛆—15分解因式得(%-3)(%+5),

/.2x2+mx-15=(x—3)(nx+5),

2x2+mx-15=nx2—3nx+5%—15,

2x2+mx-15=wc2—(3n—5)x—15,

/.m=—(3n—5),n=2,

m=—l,

???心=2-1=0.5,

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)平方差公式求解即可.

【詳解】解：4<72-1=(2a)2-12=(2a+1)(2a-1).

故選：D.

7.B

【分析】本題主要考查了分解因式，對解答的過程進(jìn)行分析，結(jié)合相應(yīng)的思想方法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)分解因式的過程可知，把f+2x看做一個整體，通過多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法

則先去括號，然后合并同類項(xiàng)后利用完全平方公式分解因式，體現(xiàn)的主要思想方法是整體思想，

故選：B.

8.C

【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式(V-y2)分解因式，再利用平方差分解因式得到最

多因式分解的結(jié)果，再根據(jù)每個因式對應(yīng)的字即可得到答案.

【詳解】解：(x2-y2)a2-(x2-/)62

=(比_力儂_從)

=(尤+y)(x-y)(a+6)(a-6),

結(jié)果呈現(xiàn)的密碼是由愛，我，中，華這四個字組成的，

???四個選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合題意，

故選：C.

9.+

【分析】本題考查的是利用平方差公式分解因式，把原式化為(后丁-F,再分解因式即可.

【詳解】解：3/一1=(&『一仔=(4+1)(瓜一1)；

故答案為：(括x+l)(石彳-1)

10.2

【分析】本題考查代數(shù)式求值.先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：：〃?”=2,m-n=l,

nrn-mn2=m?(m-n)=2xl=2,

故答案為：2.

11.4,5,—5,—4

【分析】本題主要考查因式分解的意義和十字相乘法分解因式，對常數(shù)項(xiàng)的不同分解是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)可知：加的值應(yīng)該是4的兩個因數(shù)的和，從而得出m的值即可.

【詳解】解：???4=2X2=1X4=(-1)X(T)=(-2)X(—2),

...根的值可能為：2+2=4,1+4=5,-1-4=-5,-2-2=-4,

故機(jī)的值可能為：4,5,-5,-4.

故答案為：4,5,-5,-4.

12.73

【分析】本題主要考查了完全平方式，因式分解的應(yīng)用，將依-⑺=3,毆+及=8這兩式兩邊平方

后相加，最經(jīng)過提取公因式，左邊可得（"+片）（爐+y），至此問題解決.

【詳解】解：由題意得，ax-by=3,①

ay+bx=8,②

①式兩邊同平方得：a2x2+b2y2-labxy=9,③

②式兩邊同平方得：a2y2+b2x2+labxy=64,④

③+④得。與2+/72y2+〃2y2+〃/=73,

a2(x2+y2^+b2(x2+y2)=73,

(a2+fe2)(x2+y2)=73,

故答案為：73.

13.c-b+5ac

【分析】本題考查了提取多項(xiàng)式公因式；關(guān)鍵在于能夠找到公因式并正確的提取公因式.該多項(xiàng)式提

取-：必，即可求解.

【詳角星】解：—abc+ab2—c^bc

=-^ab^c—b+5ac),

/.--abc+^ab2-a2be一個因式是一(ab,另一個因式是c-b+5ac,

故答案為：c-b+5ac.

14.9

x=2ax+by=6

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，把"弋入方程組,。得關(guān)于a，b的方

"Tbx+ay=3

程組,利用加減消元法求出a+b和4-6的值,再把所求代數(shù)式分解成（。+切3-?,再代入計(jì)算即可.

x=2ax+by=672a-b=6①

【詳解】把"弋入方程組Zzx+ay=3倚'

"T2b-a=3②'

①+②得：a+b=9,

①一②得：a-b=l,

:.a2-b2

=(a+b)(a—b)

=9x1

=9

故答案為：9.

15.14188

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，能夠理解新定義內(nèi)容，再根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)分類討論是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)定義分別求出尸(1421)=8,G(1421)=7,再代入求解即可；根據(jù)所給的條件結(jié)合定義可得

F(s)=50a+b+2c+\2G(S)=2b-c-6,由題意可得2b—C能被7整除，貝腦=1,c=2或b=4,c=l

或b=5,c=3,再分情況討論即可.

14-1-?x

【詳解】解：4421)—十;4=8,0(1421)=2x14-21=7,

/.尸(1421)—G(1421)=8-7=1；

S=1020a+100Z?+c+6,l<a<4,1</?<6,0<c<3,

:.x=10a+b,y=20〃+c+6,

10。+Z?+2(20。+c+6)_50。+Z?+2c+12

〃(3)=~~

77

G(S)=2(10+b)—(20Q+C+6)=4—c—6,

G(S)除以7余數(shù)為1,

.?.2〃一c—7能被7整除，

了.沙—c能被7整除，

\<b<6,0<c<3,

:.-2<2b-c<12,

.,.2b-c=0或2b—c=7,

「2=1,c=2或0=4,c=l或Z?=5,c=3,

當(dāng)b=l,c=2時，尸(S)=5.17,

當(dāng)a=4時，P(S)是整數(shù)，符合題意；

.'.5=4188；

當(dāng)6=4,c=l時，F(xiàn)(S)=50；18,

當(dāng)。=3時，/(S)是整數(shù)，符合題意；

.'.5=3467；

50a23

當(dāng)6=5,c=3時，F(xiàn)(s)=+,

l<a<4,

，尸(S)不是整數(shù)，

此時不符合題意；

綜上所述：S為4188或3467,貝收的最大值為4188,

故答案為:1,4188.

16.(l)x(x+l)(x-l)

⑵3(°-6)2

【分析】本題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合應(yīng)用，熟練掌握因式分解是關(guān)鍵.

(1)先提取公因式X,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)先提取公因數(shù)3,進(jìn)而利用完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：V-x

=尤(尤2-1)

=x(x+l)(x-l);

(2)解：3cr-6ab+3b1

=3(/-2ab+b]

=3(o-6)~.

17.(l)(x+a)(.x+&)

(2)@(x+3)(x-l)；②(x+3y)(x-4y)

【分析】本題考查因式分解-十字相乘法，根據(jù)給出的多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果總結(jié)出規(guī)律是銀題的關(guān)

鍵.

(1)通過觀察分析總結(jié)出規(guī)律％2+(a+b)x+而=(x+a)(x+b)即可；

(2)利用(1)總結(jié)的規(guī)律求解即可.

【詳解】(1)解：X2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

答案為：(x+a)(x+b).

(2)解：①無2+2無一3

=X2+(3-1)X+3X(-1)

=(x+3)(x-l)；

②九2—xy—l2y2

=d+(3y-4y)尤+(3y)-(Ty)

=(x+3y)(x-4y).

18.(1)130

(2)34

【分析】本題考查因式分解在新定義題型中的應(yīng)用，能根據(jù)新定義將一個正整數(shù)進(jìn)行分解是解決問題

的前提.

（1）32=（9+7）（9-7）=（6+2）（6-2）,根據(jù)尸⑷的定義即可得到答案；

（2）根據(jù)題意對x、y的取值進(jìn)行分類討論，再根據(jù)尸（4）的定義即可得到答案.

【詳解】（1）32=（9+7）（9-7）=（6+2）（6-2）.

1/92+72>62+2\

F(32)=92+72=130,

故答案為：130.

（2）能被7整除，

.?.兀+y=7或x+y=14,

x=l、x=2x=3x=7

y=6或口或y=4或

y=7

當(dāng)x=l,y=6時，^=16=(54-3)(5-32,F(^)=52+32=34；

當(dāng)x=2,y=5時，q=25=(13+12)(13—12),F(^-)=132+122=313；

當(dāng)x=3,y=4時，q=34,此時q不是平方差數(shù)，不符合題意；

當(dāng)x=7,y=7時，4=77=(39+38)(39—38)=(9+2)(9—2),

392+382>92+22,

???/⑷=39?+38?=2965.

???34<313<2965,

/的最小值為34.

19.⑴/+74+12,(a+3)(a+4)

(2)能，k——6,a?—5〃+6=(a—2)(a—3)

【分析】本題考查因式分解:

(1)參照題干寫出一個“關(guān)于。的連續(xù)式”即可;

(2)設(shè)儲+(k+I)a—^k—9=(6z+m)(?+m+l),得至！Ja2+(k+I)a——k—9=d！2+(2m+l)?+m(m+l),

k+l=2m+1

進(jìn)而得到57c(進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：(a+3)(a+4)=/+7。+12,

丁?/+7a+12=(a+3)(a+4),

故答案為：/+7Q+12,(a+3)(a+4)；

(2)能,

由^^意，I?+(k+Y)CI—5左一9=(Q+771)(Q+根+1),

則："2+(k+l)a——k—9—Q?+(2根+1)々+根(771+1),

k+l=2m+1