自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院5.5閉環系統的頻域性能指標閉環系統的頻域性能指標如下圖所示閉環系統頻域性能指標一、閉環系統的頻域性能指標定義零頻幅值：ω=0時的閉環幅頻特性M(ω)的值，用M0表示。帶寬頻率ωb：對數幅頻特性的幅值下降到ω=0時幅值的0.707倍所對應的頻率；帶寬BW：是指0到ωb的頻率范圍。帶寬反映了系統對噪聲的濾波特性，同時也反映了系統的響應速度。帶寬愈大，暫態響應速度愈快。反之，帶寬愈小，只有較低頻率的信號才易通過，則時域響應往往比較緩慢；諧振峰值Mr：表征系統相對穩定性的指標，定義為閉環幅頻特性的最大值Mm與零頻幅值M0之比，用Mr表示，即Mr=Mm/M0

。在Ⅰ型和Ⅰ型以上系統，M0=1，則諧振峰值是幅頻特性最大值。它反映了系統的相對穩定性。一般而言，Mr值愈大，則系統階躍響應的超調量也愈大。通常希望系統的諧振峰值在1.1至1.4之間，相當于二階系統的ζ為：0.4<ζ<0.7。諧振頻率ωr：產生諧振峰值對應的頻率。它在一定程度上反映了系統暫態響應的速度。ωr愈大，則暫態響應愈快。二、一階系統的頻域性能指標具有單位反饋的一階系統的開環和閉環傳遞函數分別是:響應的閉環幅頻特性是：和不難看出，M(ω)將隨ω的增大而單調衰減，即對于一階系統而言不存在Mr和ωr。令，可求得：一階系統的調整時間為ts=3τ~4τ，可以看出ts與ωb成反比關系。三、二階系統的頻域性能指標二階系統的開環傳遞函數和閉環傳遞函數是閉環頻率特性為：式中令當產生諧振時M(ω)為最大，即g(ω)為最小。令得當時，可見g(ω)有最小值。令得系統的頻域性能指標在使用上存在以下兩方面的問題：其一是系統頻域性能指標往往不如時域性能指標那樣直觀，最好能將兩者聯系起來以便于應用；對于二階系統有：其二是須求得系統閉環幅頻特性。對于二階系統，開環幅頻特性和相頻特性為：令可求得剪切頻率：將剪切頻率代入相頻特性的表達式中，即得于是可求得系統的相角裕度為：四、高階系統的閉環頻率特性和頻域性能指標對于高階系統，取得其開環頻率特性，尤其是對數頻率特性并無多大困難，由此去分析系統的穩定性，尤其是相對穩定性，如系統的相角和幅值裕度就很方便。當欲求得系統閉環頻率特性的解析式并進而得到系統全面的性能指標則非易事。在計算機尚未普及應用時，求取高階系統的閉環頻率特性主要是利用尼柯爾斯圖?，F在則利用計算機和控制系統計算機輔助設計軟件去求取系統閉環頻率特性和各項性能指標。由于利用尼柯爾斯圖手工繪制系統閉環頻率特性的方法目前已不多見，故在此不作介紹。5.6頻率特性的實驗確定法系統是在正弦輸入信號作用下，利用頻譜分析儀或傳遞函數分析儀，測量控制系統的開環頻率響應，得到幅值和相角隨頻率的變化曲線。根據這兩條曲線，可以導出系統的開環頻率特性函數G(jω)H(jω)，再令s=jω

，得到系統的開環傳遞函數G(s)H(s)。同樣，也可以測量系統的閉環頻率響應，從而導出閉環傳遞函數Φ(s)。由于從對數頻率特性上更較容易求出系統的傳遞函數，所以，一般都將測量得到的幅值和相角隨頻率的變化曲線繪制成Bode圖，再對該Bode圖經過一定的分析和測算等處理，確定系統所包含的各個典型環節，從而建立起被測系統的開環傳遞函數或閉環傳遞函。一般只對最小相位系統用實驗的方法確定系統的傳遞函數。根據系統開環對數幅頻特性和相頻特性確定傳遞函數的步驟如下：將用實驗方法取得的對數幅頻特性用斜率±20νdB/dec(ν=0、1、2、…）的直線段近似，此即對數幅頻特性的漸近線形式。根據低頻段對數幅頻特性漸近線的斜率確定系統開環傳遞函數中含有積分環節的個數。當低頻段對數幅頻特性漸近線的斜率呈現為－20νdB/dec時，系統即為ν型系統。ν即是系統中串聯積分環節的個數。根據對數幅頻特性漸近線在交接頻率處斜率的變化，確定系統的串聯環節。進一步根據對數幅頻特性的形狀及參量，計算二階振蕩環節的阻尼比ζ?；蛘吒鶕钚∠辔幌到y對數幅頻特性的斜率與相頻特性之間的單值對應關系，檢驗系統是否串聯有滯后環節，并計算滯后環節的參量。根據頻率軸以上部分的對數幅頻特性的形狀與相應的分貝值及頻率值確定系統的開環增益K。例5－15已知最小相角系統開環對數漸近幅頻曲線，求開環傳遞函數。120lgK解由上圖可寫出開環傳遞函數為：根據上圖確定開環增益K。例5-16

下圖實線是某系統用實驗測出的頻率特性伯德圖，試求系統的傳遞函數。由實驗測出的頻率特性解由幅頻特性低頻段可見，該系統為0型系統，且K=1。用折線（見圖中虛線）作為漸近線逼近幅頻特性曲線，其高頻段為－40dB/dec，兩個交接頻率為ω1=1(rad/s)，ω2=2.4(rad/s)。由此可知，該系統為二階系統，且對于最小相位系統，二階系統的相頻特性不會小于－180°，但該系統在高頻段已小于－180°，且呈現不斷下降的趨勢，故可斷定該系統是非最小相位系統，存在遲后環節，系統的頻率特性有如下形式：由圖可見，φ

(1)=－85°，故解得

另由圖可見，φ(2.4)=－155°，故解得取所以即傳遞函數為：5.7Matlab在系統頻域分析中的應用分析系統附加零、極點前、后的頻率特性。

例5-17

設有單位負反饋，Ⅰ型系統的對象傳遞函數為：現在系統中附加一個零點和一個極點，其傳遞函數為解：原系統的Bode圖和相角裕度、增益裕度可求得如下：

num=5;den=[1,5,4,0];G=tf(num,den);

margin(G);grid;

結果如圖1所示。圖1原系統的Bode圖附加零、極點后系統的Bode圖和相角裕度，增益裕度可求得如下：

z=[-1.2];p=[0,-1,-4,-4.95];k=29.7;G=zpk(z,p,k);

margin(G);grid;

結果如圖2所示。附加零、極點后，系統的開環傳遞函數為圖2系統附加零、極點后的Bode圖比較可知，附加零、極點后相角裕度和增益裕量都有所增大。較大的相角裕度對應較小的最大超調量。這點可以通過求系統的單位階躍響應驗證。求原系統單位階躍響應的基本命令：

num1=5;den1=[1,5,4,0];G1=tf(num1,den1);G=feedback(G1,tf(1,1));

step(G);grid;結果如圖3所示.求附加零、極點后系統單位階躍響應的命令：

z=[-1.2];