第二章方程與不等式

第05講一次方程（組）及其應用

（思維導圖+5考點+3命題點15種題型（含5種解題技巧））

01考情透視?目標導航＞題型03加減法解二元一次方程組

02知識導圖?思維引航??題型04整體法解二元一次方程組

03考點突破?考法探究＞題型05解二元一次方程組--同解方程組

考點-----元一次方程基礎??題型06解二元一次方程組一已知二元一次方程組

考點二解一元一次方程的解的情況求參數(shù)

考點三二元一次方程（組）基礎＞題型07中考最熱考法之以注重過程性學習的形式

考點四解二元一次方程（組）考直一次方程（組）

考點五一次方程（組）及其應用命題點三一元一次方程（組）的應用

04題型精研?考向洞悉＞題型01列一元一次方程組

命題點一一元一次方程（組）的相關概念＞題型02一元一次方程的應用

＞題型01等式的性質??題型03二元一次方程組的應用

＞題型02一元一次方程的相關概念?題型04中考最熱考法之以跨學科背景考直一元

?題型03二元一次方程的相關概念一次方程的實際應用

命題點二解一元一次方程（組）■題型05中考最熱考法之以真實問題情境為背景考

＞題型01一元一次方程的解法查二元一次方程組的實際應用

??題型02代入法解二元一次方程組

考情透視?目標導航

中考考點考查頻率新課標要求

一元一次方程

★★

掌握等式的基本性質；能解一元一次方程.

及其解法

二元一次方程掌握消元法，能解二元一次方程組；

★★

及其解法*能解簡單的三元一次方程組；

一次方程（組）

★★

能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程

的應用

【考情分析1］一元一次方程屬于初中的基礎內容，試題形式多樣，難度不大，主要以解決實際問題為

考查背景，多出現(xiàn)在銷售、行程、工程等問題中，確定題目中的等量關系，正確地列出方程是解題的關

鍵.此外,準確的計算能力也是得分所必不可少的技能.

【考情分析2］中考對二元一次方程組的考查包括解方程組和利用二元一次方程組解決實際問題，其關

鍵是"消元"思想，即將"二元"轉化為"一元"，這也體現(xiàn)在用二元一次方程組可解決的問題用一元一

次方程也可以解決，考查形式多樣，難度不大，多以解決實際問題為出題背景.

知識導圖?思維引航

等

式

的

相同的數(shù)

性

實際問題理生數(shù)學問題至近*已知fit,未知量.等量關系?加、減T相同式子

質等式仍然成立

等號兩邊同時

學I?乘、除相同非。數(shù)

III）g法

解釋?._解的合理性?^亟方程的解方程

指一元一數(shù)

一次方程4^1

（組）應導效一次次數(shù)期

用一

含有未知數(shù)

元

一概合方程I

等式等號兩邊都是知：

次---------1

方

一方程臃的值的讓李邊相等

程

知

次

識

方

梳?去括號

程

理

解方程步驟?移項

組

?合并同類項

及

其?系數(shù)化為1

應

一移譬誕演學二元有兩個未知數(shù)

習

用

蕨用舌號渤HI—次次數(shù)為］

--誤

方程組兩個方程組成

去分母時，漏給不含分母的項秉公分母次方程的區(qū)

忽視鈉線的?1括號"作用現(xiàn)事?二定義未知數(shù)的值使方程兩邊相等

二元一次方程|--------------------------------------------

元

---------假磁個

"0"的特性:任何數(shù)與。相乘都得0一

解

次

把d強以數(shù)也跟著擴大——言兩個方解公共解

一〃激化為堿時方二次方程組I------------------

同一分jS中的分子，分母擴大的倍數(shù)不同F(xiàn)-------程------------=~j個數(shù)一組

由多化少二欣一元

清元將未知數(shù)的個數(shù)|----------------------------

----------------------------逐一解決求一m^f

代人消元

解方程代人清元法?

?回解

?變換關系

加濡肖族?加減滿元

?回代得解

考點突破?考法探究I

考點一一元一次方程基礎

一、一元一次方程的相關概念

一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1,這樣的整式方程叫一元一次方程.

一元一次方程的標準形式：ax+b=0（a、b是常數(shù)，且aWO）.

方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

解方程：求方程的解得過程叫做解方程.

【易錯易混】

1）方程的解與解方程是兩個不同的概念，方程的解是一個具體的數(shù)值，而解方程是求方程的解的過程；

2）方程的解是通過解方程求得的.

3）方程的解可能不止一個（如x=2和x=-2都是方程/=4的解），也有可能無解（如/=—4無解）.

二、等式的性質

等式的性質1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或同一個式子），所得的結果仍是等式.即：

如果a=b,那么a±c=a±c

等式的性質2：等式兩邊都乘以同一個數(shù)，或都除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等.即:

如果a=b,那么ac二be；如果a=b（cWO）,那么-=-

cc

等式的性質3：如果a=b,則b=a（對稱性）

等式的性質4：如果a=b,b=c,則a=c（傳遞性）

【易錯易混】

1）利用等式的性質進行變形時，等式兩邊都要參加運算，而且是同一種運算.

2）等式兩邊同時除以一個字母時，字母不能為0,若題目沒有注明該字母不為0,那么這個變形就不成立.

針對訓練

1.（2023?湖南永州?中考真題）關于x的一元一次方程2%+血=5的解為x=l,則根的值為（）

A.3B.-3C.7D.-7

【答案】A

【分析】把x=1代入2久+m=5再進行求解即可.

【詳解】解：把x=1代入2%+=5得：2+m=5,

解得：m=3.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左

右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟.

2.（2024?山東濟南.模擬預測）若關于x的方程（爪―1）/+2x—1=0有根，則根的取值范圍是.

【答案】m>0

【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，分類討論思想是關鍵.由于方程有實數(shù)根，當

方程為一元二次方程時，令△>（）,即可求出機的取值范圍，要注意，m-1^0.再令方程為一元一次方

程，進行解答.

【詳解】解：當方程（巾-l）x2+2%-1=0為一元二次方程時，方程有解，

則加一1力0且公=22-4x（m-1）x（-1）>0,

解得：m>0且mH1,

當方程（m-l）x2+2x-1-0為一元一次方程時，

方程有解，則只需m—1=0,即m=1,

綜上：當加20時，方程有實數(shù)根.

故答案為：m>0.

3.（2024.貴州?中考真題）小紅學習了等式的性質后，在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入▲”三

種物體，如圖所示，天平都保持平衡.若設“■”與“?”的質量分別為尤，y,則下列關系式正確的是（）

、■”。勺▲/\BAz

A~△1

甲乙

A.x=yB.x=2yC.x=4yD.x=5y

【答案】C

【分析】本題考查等式的性質，設“▲”的質量為。，根據(jù)題意列出等式x+y=y+2a,x+a=x+2y,然

后化簡代入即可解題.

【詳解】解：設“▲”的質量為

由甲圖可得x+y=y+2a,即x=2a,

由乙圖可得x+a=x+2y,即a=2y,

.".x=4y,

故選C.

4.（2022?青海?中考真題）下列說法中，正確的是（）

A.若ac=be,貝！Ja=bB.若a?=]j2,則a=b

C.若巴=貝!|a—bD.若一工x=6,則無=2

cc3

【答案】c

【分析】直接利用等式的基本性質以及結合絕對值的性質分析得出答案.

【詳解】解：A、若ac=bc,當存0,貝IJ故此選項錯誤；

B、若a2=》2,則。=±萬，故此選項錯誤；

C、若2=2,則（1=依故此選項正確；

CC

D、若—（x=6,則％=-18,故此選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等式的基本性質，正確把握等式的基本性質是解題關鍵.

5.（2022?山東濱州?中考真題）在物理學中，導體中的電流I跟導體兩端的電壓U,導體的電阻R之間有以

下關系：I=3去分母得IR=U,那么其變形的依據(jù)是（）

A.等式的性質1B.等式的性質2C.分式的基本性質D.不等式的性質2

【答案】B

【分析】根據(jù)等式的性質2可得答案.

【詳解】解：/=（去分母得/R=U,其變形的依據(jù)是等式的性質2,

故選:B.

【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式仍然成立.

考點二解一元一次方程

基本思路：通過適當?shù)淖冃?，把一元一次方程化簡為ax=b（a、b為常數(shù)，且aWO）的形式，得出方程的解

步驟具體做法

去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)

去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號

移項把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，其它項都移到方程另一邊

合并同類項把方程變?yōu)閍x=b（aWO）的形式

系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a,得到方程的解x=-

a

【補充說明】解具體的一元一次方程時，要根據(jù)方程的特點靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟,

有分母的去分母，有括號的去括號.

針對訓練

1.（2024.海南.中考真題）若代數(shù)式x-3的值為5,貝ijx等于（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據(jù)題意可知X-3=5,解方程即可得到答案.

【詳解】解：???代數(shù)式工一3的值為5,

%—3=5,

解得％=8,

故選：A.

2.（2024.河北?模擬預測）下面是嘉淇同學解一元一次方程芋-1=?的過程，請認真閱讀并回答相應的

63

問題.

解：去分母，得5%—6=2（3支一2）,……第一步

去括號，得5%—6=6比—2,...第二步

移項，得5%—6x=-2—6,..…第三步

合并同類項，得—x=—8,...…第四步

解得％=8.

以上解題步驟中，開始出錯的一步是()

A.第一步B.第二步C.第三步D.第四步

【答案】B

【分析】本題考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，

系數(shù)化為1進行計算，即可解答.

【詳解】去分母，得5%-6=2(3.2),……第一步

去括號，得5刀—6=6%—4,.........第二步

???第二步開始出錯，

故選：B.

3.(2024?貴州貴陽?二模)已知關于無的方程2久-m=。的解是％=-3,則瓶的值為.

【答案】-6

【分析】把方程的解代入原方程，方程左右兩邊相等得到關于m的方程，解方程即可.本題考查了一元一次

方程的解，解題的關鍵是知道使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的