專題07全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在小ABC中，D為AC中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)到E使得DE=BD,連接AE則：BC平行

且等于AE.

特點(diǎn)

【證明】

延長(zhǎng)BD到E,使DE=BD,連接CE,

,：AD是斜邊5c的中線

：.AD=CD

?:ZADE=ZBDC

：./\ADE^/\BDC（SAS）

：.AE=BC,ZDBC=ZAED

：.AE//BC

倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，

則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證

結(jié)論

明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中

線的時(shí)候）。

【模型證明】

又?.?NA4E=N￡>,

：.ZF=ZD.

：.CF=CD.

fZAEB=ZFEC

???<ZF=ZBAE,

BE=CE

???AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，_ABC中，是2C邊上的中線，E,尸為直線上的點(diǎn)，連接BE,CF,且3E〃CF.

⑴求證：BDE沿一CDF；

⑵若AE=15,Ab=8,試求DE的長(zhǎng).

2.如圖，在RdABC中，/ACB=90。，點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的“倍長(zhǎng)中線”加倍構(gòu)造全

等，就可以測(cè)量與A8數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)小明的思路，寫出C。與A8的數(shù)景關(guān)系，并證明這個(gè)結(jié)論.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形.如圖，OA=OB,OC=OD,

ZAOB=ZCOD=90°,回答下列問題:

B

P

(1)求證：△O4C和△是兄弟三角形.

(2)“取2。的中點(diǎn)尸，連接。尸，試說(shuō)明AC=20P”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講

的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列問題.

①請(qǐng)?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造4BPE必DPO,并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

4.【發(fā)現(xiàn)問題】

小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

如圖1,是AABC的中線，若AB=8,AC=6,求的取值范圍.

【探究方法】

小強(qiáng)所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使連接BE.可證出AAOC與△即B,利用全等

三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化到同一個(gè)AABE中，進(jìn)而求出AD的取值范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種

方法叫做倍長(zhǎng)中線法.

【應(yīng)用方法】

(1)請(qǐng)你利用上面解答問題的方法思路，寫出求AO的取值范圍的過程；

【拓展應(yīng)用】

(2)已知：如圖2,是△ABC的中線，3A=BC,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EC=BC.寫出與AE之

間的數(shù)量關(guān)系并證明.

B

D

圖1

圖2

5.［問題背景］

①如圖1,CD為△ABC的中線，則有&&。=必氏工）；

②如圖2,將①中的/AC2特殊化，使NACB=90。，貝1）可借助“面積法”或“中線倍長(zhǎng)法”證明AB=2C。；

［問題應(yīng)用］如圖3,若點(diǎn)G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點(diǎn)），CGLBG,若AGxBC=16,則4BGC

面積的最大值是（）

圖3

A.2B.8C.4D.6

6.先閱讀，再回答問題：如圖1,己知△ABC中，AD為中線.延長(zhǎng)至E,使。E=AO.在△AB。和△EC。

中，AD=DE,NADB=/EDC,BD=CD,所以，△A3。名△EC。（SAS）,進(jìn)一步可得到A8=CE,AB//CE

等結(jié)論.

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算

或證明題.

解決問題：如圖2,在△ABC中，是三角形的中線，尸為上一點(diǎn)，S.BF^AC,連結(jié)并延長(zhǎng)B尸交AC

于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

A

7.(1)如圖1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,

連接CE,可以得到△ABD04ECD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長(zhǎng)中線法”.求證：△ACE是直

角三角形

(2)如圖2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，

且DE_LDF.試說(shuō)明BE2+CF2=EF2；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面積.

8.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條

件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

(2)請(qǐng)你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

（3）思考：已知，如圖2,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=90°.試探究線段

AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明.

圖I圖2

9.在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在AABC中，AB

=8,AC=6,點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，怎樣求的取值范圍呢？我們可以延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使AD=DE,

AD=DE

然后連接BE（如圖①），這樣，在AADC和AEDB中，由于＜/ADC=/EDB,:.△ADCdEDB,：.AC

BD=CD

=EB,接下來(lái)，在△48E中通過AE的長(zhǎng)可求出AD的取值范圍.

請(qǐng)你回答：

圖①圖②圖③

（1）在圖①中，中線的取值范圍是.

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，作。交AC邊于點(diǎn)R連

接ER若BE=4,CF=2,請(qǐng)直接寫出所的取值范圍.

②如圖③，在四邊形ABC。中，ZBCD=150°,NAOC=30。，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)尸在。C上，且滿足

CF,DF=AD,連接CE、ED,請(qǐng)判斷CE與區(qū)＞的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

10.閱讀材料，解答下列問題.

如圖1,已知△ABC中，AD為中線.延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD.在4ADC和小EDB中，AD=DE,

ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，4ACD出LEBD,進(jìn)一步可得到AC=8E,AC//8E等結(jié)論.

圖1圖2

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算

或證明題.

解決問題：如圖2,在△ABC中，是三角形的中線，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，且8F=AC,連結(jié)并延長(zhǎng)交

AC于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

11.(1)如圖1所示，在&ABC中，。為3c的中點(diǎn)，求證：AB+AO2AD

甲說(shuō)：不可能出現(xiàn)△鈿￡>/△ACD,所以此題無(wú)法解決；

乙說(shuō)：根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使得QE=AQ，

連接應(yīng)、CE,由于BD=DC,所以可得四邊形ABEC是平行四邊形，請(qǐng)寫出此處的依據(jù)

________________________________________(平行四邊形判定的文字描述)

所以AC=3E,AABE中，AB+BE>AE,

AB+AC>2AD

請(qǐng)根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：

(2)如圖2,在一ABC中，。為BC的中點(diǎn)，AB=5,AC=3,AD=2,求ABC的面積；

(3)如圖3,在［ABC中，。為8C的中點(diǎn)，〃為AC的中點(diǎn)，連接交AD于尸，若=求證:

BF=AC.

12.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1,在△ABC中，AB=8,AC=6,

求BC邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

E

圖1圖2圖3

①延長(zhǎng)到使得。

②連接通過三角形全等把AB、AC、2AO轉(zhuǎn)化在中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)你寫出圖2中AC與8M的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)深入思考：如圖3,是△ABC的中線，AB^AE,AC^AF,ZBAE^ZCAF^90°,請(qǐng)直接利用(2)

的結(jié)論，試判斷線段與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

13.【閱讀理解】倍長(zhǎng)中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在sMC中，AD是2c邊上的中線,

若延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE,可根據(jù)5AS證明/△ECD,則AB=EC.

(1)【類比探究】如圖②，在￡>￡尸中，DE=3,￡>歹=7,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，求中線OG的取值范圍；

(2)【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD,點(diǎn)E是2C的中點(diǎn).若AE是ZBAD的平分線.試

探究AB,AD,DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

14.閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,△ABC中，AB=6,AC=4,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求

AD的取值范圍.

p

(1)小軍發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問題.他的做法是：如圖2,延長(zhǎng)AD到E,使DE=

AD,連接BE,構(gòu)造ABED會(huì)Z\CAD,經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決.

請(qǐng)回答：AD的取值范圍是.

(2)參考小軍思考問題的方法，解決問題：如圖3,△ABC中，E為AB中點(diǎn)，P是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

連接PE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：PA?CD=PC*BD.

15.在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

(1)如圖1,AD是ABC的中線，AB=1,AC=5求AO的取值范圍.我們可以延長(zhǎng)AD到點(diǎn)M■，使=

連接BM,易證△ADCZ&WDB,所以3M=AC.接下來(lái)，在上ABM中利用三角形的三邊關(guān)系可求得40

的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是.

⑵如圖2,AD是.ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE交AO于點(diǎn)F,S.AE=EF,求證：AC^BF■,

16.在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,AD是AABC的中線，43=7,4?=5,求40的取值范圍.我們可以延長(zhǎng)4。到點(diǎn)加，使0胡=4>

連接易證AADCMAMDB,所以3M=AC.接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的

取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是;

A

(2)如圖2,AD是ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE■交AO于點(diǎn)尸，且AE=￡F,求證：AC=BF；

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AZJ//BC,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接CE,ED且CELDE,試猜想線段

8C,CD,AO之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

17.問題探究：數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們解決這樣的一個(gè)問題：如圖①，已知E是3c的中點(diǎn)，點(diǎn)A在。E上，

^.ZBAE=ZCDE.求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或者等腰三角形的性質(zhì).本題中要證相等的兩條

線段不在同一個(gè)三角形中，所以考慮從全等三角形入手，而AB與CO所在的兩個(gè)三角形不全等.因此，要

證AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形.以下是兩位同學(xué)添加輔助線的方法.

第一種輔助線做法：如圖②，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使DE=￡F,連接BF；

第二種輔助線做法：如圖③，作CGLOE于點(diǎn)G,所，上交。E延長(zhǎng)線于點(diǎn)反

D

4

圖③

(1)請(qǐng)你任意選擇其中一種對(duì)原題進(jìn)行證明：

方法總結(jié)：以上方法稱之為“倍長(zhǎng)中線”法，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線

構(gòu)造全等三角形來(lái)解決問題.

(2)方法運(yùn)用：如圖④，AD是ABC的中線，BE與交于點(diǎn)/且求證：BF=AC.

專題07全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在△ABC中，D為AC中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)到E使得DE=BD,連接AE

特點(diǎn)貝hBC平行且等于AE.

【證明】

延長(zhǎng)BD到E,使DE=BD,連接CE,

\'AD是斜邊BC的中線

：.AD=CD

'：ZADE=ZBDC

:.AADE/ABDC（SAS）

：.AE=BC,ZT）BC=ZAED

J.AE//BC

倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接

相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法

結(jié)論

多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是

原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。

【模型證明】

方法一：

解決方

案已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且/BAE=/CDE,貝hAB=CD.

fZAEB=ZFEC

ZF=ZBAE,

BE=CE

/.AABE義AFCE.

：.AB^CF.

：.AB^CD.

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，ABC中,4。是2C邊上的中線,EI為直線AD上的點(diǎn)，連接BE,CE且助〃CF.

⑴求證：BDE沿CDF-,

⑵若A￡=15,AF=8,試求。E的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；全等三角形的判定（角角邊）；即可證明；

（2）由（1）結(jié)論計(jì)算線段差即可解答；

⑴

證明：■:BE//CF,：.ZBED=ZCFD,

?:NBDE=NCDF,BD=CD,

:.ABDE2ACDF（AAS）；

（2）

解：由（1）結(jié)論可得。E=OR

'：EF=AE-AF=15-8=1,

7

：.DE=~；

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定（AAS）和性質(zhì)；掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在放AABC中，NAC8=90。，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過的“倍長(zhǎng)中

線”加倍構(gòu)造全等，就可以測(cè)量與4B數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)小明的思路，寫出CD與的

數(shù)景關(guān)系，并證明這個(gè)結(jié)論.

【答案】CD=：AB,證明過程詳見解析

【分析】延長(zhǎng)8到點(diǎn)E,使助=8,連接BE,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：CD=^AB,證明：如圖，延長(zhǎng)C。到點(diǎn)E,使a=8,連接3E,

在45OE1和△ADC中，

BD=AD

<ZBDE=ZADC

ED=CD

：.ABDE^AADQSAS),

：.EB=AC,ZDBE=ZA,

J.BE//AC,

???ZACB=90°,

???ZEBC=180°-ZACB=90°,

；?NEBC=NACB,

在aEC3和△ABC中，

EB=AC

<ZEBC=ZACB

CB=BC

：.AECB^AABQSAS),

:?EC=AB,

：.CD=^EC=^AB.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形.如圖，

=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=90°,回答下列問題:

⑴求證：△CMC和△是兄弟三角形.

(2)“取的中點(diǎn)尸，連接0P,試說(shuō)明AC=20P.”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想

起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問題，按照這個(gè)思路回答下列

問題.

①請(qǐng)?jiān)趫D中通過作輔助線構(gòu)造^BPE冬ADPO,并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②見解析

【分析】(1)證出NAOC+N8OO=180。，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；

(2)①延長(zhǎng)0P至E,使PE=OP,證明△8PE四△OP。(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出

BE=OD；

②證明△EBOgZXCOA(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC,則可得出結(jié)論.

(1)

證明：VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC+ZBOD=36Q°-ZAOB-ZCOD=360o-90°-90°=180°,

5L'：AO=OB,OC=OD,

08。是兄弟三角形；

(2)

①證明：延長(zhǎng)OP至E,使尸E=OP,

：.BP=PD,

又；/BPE=/DPO,PE=OP,

:.ABPE名ADPO(SAS),

：.BE=OD；

②證明：:LBPE咨ADPO,

.".ZE=ZDOP,

：.BE//OD,

：.ZEBO+ZBOD=\SO0,

又,:ZBOD+ZAOC=ISO°,

：.ZEBO=ZAOC,

;BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

^?：OB=OA,

:.XEBO叁XCOk(SAS),

OE=AC,

又：OE=2OP,

：.AC=2OP.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.【發(fā)現(xiàn)問題】

小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

如圖1,是AABC的中線，若AB=8,AC=6,求的取值范圍.

【探究方法】

小強(qiáng)所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn):延長(zhǎng)AO至點(diǎn)E,^ED=AD,連接BE.可證出△ADC^AEDB,

利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化到同一個(gè)△ABE中，進(jìn)而求出AD的取值

范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問題的關(guān)鍵是將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角

形，我們把這種方法叫做倍長(zhǎng)中線法.

【應(yīng)用方法】

(1)請(qǐng)你利用上面解答問題的方法思路，寫出求AD的取值范圍的過程；

【拓展應(yīng)用】

(2)已知：如圖2,是AABC的中線，BA=BC,點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，EC=BC.寫

出與AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖1

圖2

【答案】(1)1<AD<7；(2)2AD=AE.理由見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,證明△BDE^△CDA(SAS),得出AC=BE=6,

由三角形三邊關(guān)系可得出答案；

(2)延長(zhǎng)至尸，使。尸=40,由SAS1證明△8O/Wz^CD4,利用已知條件推出/尸B4=/ACE,

再由SAS證明△ACE四△FBA即可得到2A

【詳解】(1)證明：延長(zhǎng)AO至E,使。E=AZ),

是邊上的中線，

：.BD=CD,

在48￡)￡和4CDA中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA,

DE=DA

：./\BDE^/\CDA(SAS),

：.AC=BE=6,

在小ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,

.,.8-6<2AD<8+6,

：.1<AD<1；

(2)2AD=AE.理由如下：

證明：延長(zhǎng)A￡)至尸，使DF=AD,

E

〈AO是的中線，

：.BD=CD,

在/和△CD4中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDA,

DF=DA

:?ABDF咨ACDA(SAS),

：.AC=BFfZCAD=ZF,

：.AC//BF,

：.ZFBA+ZBAC=180°,

,：BA=BC,

:?/BAC=/BCA,

NACE+N3cA=180。，

J/FBA=/ACE,

9：BA=BC,EC=BC,

：.BA=EC,

在△FR4中，

CE=BA

<NACE=NFBA,

AC=BF

：.^ACE^/\FBA(SAS),

：.AE=AF,

*：2AD=AFf

：.2AD=AE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

5.［問題背景］

①如圖1,CD為AABC的中線，則有QACD=S〃BC。；

②如圖2,將①中的NACB特殊化，使NAC2=90。，則可借助“面積法”或“中線倍長(zhǎng)法”證明

AB=2C￡>；

［問題應(yīng)用］如圖3,若點(diǎn)G為小ABC的重心（△ABC的三條中線的交點(diǎn)）,CG±BG,若AGxBC

=16,則△8GC面積的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

【答案】［問題背景］①見解析；②見解析；［問題應(yīng)用］C

【分析】［問題背景］①設(shè)A3邊的高長(zhǎng)為九可得548=34。*九588=；2。'〃，再由

AD=BD,即可求證；

②延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,使￡>E=CD連接AE,BE,根據(jù)AZ）=B￡）,可得四邊形AC2E是平行四

邊形，再由NACB=90。，可得到四邊形AC2E是矩形，即可求證

［問題應(yīng)用］如圖，過點(diǎn)G作GHLBC于點(diǎn)〃，根據(jù)題意可得點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，AG=2DG,

從而得至lJOG=gBC,得至!!AG=BC,再由4GxBC=16,可得至U4G=8C=4,再由GH_L8C,

可得GHSDG,從而得到當(dāng)G8=OG時(shí)，ABGC面積的最大，即可求解.

【詳解】解：［問題背景］①設(shè)AB邊的高長(zhǎng)為人，

SACD=；ADxh,SBCD=；BDxh,

,.?CD為△ABC的中線,BPAD=BD9

,??0qACD.—uvBCD；

②如圖，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E,使DE=CD,連接AE,BE,

???CO為△A3C的中線，

：.AD=BDf

■:DE=CD,

四邊形ACBE是平行四邊形,

NACB=90。，

四邊形AC8E是矩形，

：.AB=CE,

'：DE=CD,

：.AB=CD+DE=2CD；

［問題應(yīng)用］如圖，過點(diǎn)G作GHLBC于點(diǎn)H,

圖3

:點(diǎn)G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點(diǎn)）,

...點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AG=2DG,

:CGLBG,

：.DG=-BC,

2

：.AG=BC,

,：AGxBC=16,

：.AG=BC=4,

：.DG=2,

"SGHLBC,

：.GH<DG,

：.GH<2,

.,.當(dāng)GH=2,即G8=￡）G時(shí)，ABGC面積的最大，最大值為

-￡>GxBC=-x2x4=4.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理，

重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.先閱讀，再回答問題：如圖1,已知AABC中，為中線.延長(zhǎng)AD至E,?DE=AD.在

△48。和4E0）中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，△4800△EC。（SAS）,

進(jìn)一步可得到A8=CE,A8〃CE等結(jié)論.

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決

一些相關(guān)的計(jì)算或證明題.

解決問題：如圖2,在△ABC中，AD是三角形的中線，尸為上一點(diǎn)，且研=AC,連結(jié)

并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

A

【答案】證明見試題解析.

【分析】延長(zhǎng)A。到G,使DF=DG,連接CG,得到BD=DC,根據(jù)SAS推出△BDF會(huì)ACDG,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BP=CG,ZBFD^ZG,求出CG=AC,推出

ZG=ZCAF,求出ZAFE=ZCAF即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)AD到G,使DF=DG,連接CG,

是中線，

：.BD=DC,

在小8。尸和4CZJG中，

;BD=DC,NBDF=/CDG,DF=DG,

：.ABDFm叢CDG,

,BF=CG,NBFD=NG,

:ZAFE=ZBFD,

：.NAFE=NG,

,；BF=CG,且已知BP=AC,

CG=AC,

：.ZG=ZCAF,

，ZAFE=ZCAF,

：.AE=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了倍長(zhǎng)中線法、三角形全等的判定、性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等，本題的

關(guān)鍵是借助閱讀材料中提供的方法延長(zhǎng)到G,使。尸=。6,進(jìn)而構(gòu)造三角形全等.

7.(1)如圖1,若△ABC是直角三角形，/BAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)

E,使DE=AD,連接CE,可以得到△ABD絲AECD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍

長(zhǎng)中線法”.求證：AACE是直角三角形

(2)如圖2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、

AC邊上的點(diǎn)，且DE_LDF.試說(shuō)明BE2+CF2=EF2；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)—.

4

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定解答即可；

(2)延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接FG,CG,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解

答；

(3)連接AD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】(1)VAABD^AECD

/.ZECD=ZB

??ZBAC=90°

ZB+ZBCA=90°

ZBCE+ZBCA=90°,ZACE=90°

/.△ACE是直角三角形

(2)延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

???DF垂直平分DE,

/.EF=FG,

???D是BC中點(diǎn)，

ABD=CD,

在^BDE和^CDG中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

AABDE^ACDG(SAS),

ABE=CG,NDCG=NDBE,

VZACB+ZDBE=90°,

AZACB+ZDCG=90°,即NFCG=90。,

,.,CG2+CF2=FG2,

.\BE2+CF2=EF2；

(3)連接AD,

圖2

TAB=AC,D是BC中點(diǎn)，

.?.ZBAD=ZC=45°,AD=BD=CD,

,ZZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

ZADE=ZCDF,

在^ADE和^CDF中，

/BAD=/C

<AD=CD,

ZADE=ZCDF

AAADE^ACDF(ASA),

AAE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

S四邊形AEDF=]SaABC,

.'.SAAEF=—X5X12=30,

2

，ADEF的面積=：SAABC-SAAEF=——.

24

【點(diǎn)睛】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等

是解題基礎(chǔ)，將待求線段轉(zhuǎn)化成求等長(zhǎng)線段是解題的關(guān)鍵.

8.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

(2)請(qǐng)你寫出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

(3)思考：已知，如圖2,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=

90。.試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明.

圖1圖2

【答案】(1)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由見解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由見解

析

【分析】(1)先判斷出8r>=C￡>,進(jìn)而得出△QDBgzXAOC(&4S),得出8Q=AC=5,最

后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)由(1)知，△QDB^/\ADC(SAS),得出即可得出結(jié)論；

(3)同(1)的方法得出ABDQ0aCZM(SAS),則/。2。=NACZ),BQ=AC,進(jìn)而判斷

出進(jìn)而判斷出△ABQgZXEAR得出ZBAQ^ZAEF,即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)至!I。使得連接8。，

：4￡>是44BC的中線，

:,BD=CD,

BD=CD

在△QD3和△AOC中，\ZBDQ=ZCDA,

DQ=DA

：./\QDB^AADC(SAS),

：.BQ=AC=5,

在△AB。中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

：.4<AQ<14,

：.2<AD<7,

故答案為2VADV7；

(2)AC//BQf理由：由(1)知，△QDB^/\ADC,

：.ZBQD=ZCAD.

：.AC//BQ；

(3)EF=2AD,ADA.EF,

理由：如圖2,延長(zhǎng)AO到。使得3Q=AO,連接5Q,

由(1)知，△BDQ^/XCDA(SA5),

：.ZDBQ=ZACD,BQ=AC,

9

：AC=AFf

：.BQ=AFf

在△ABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

???ZBAC+ZABC+ZDBQ=180°,

???NBAC+A3Q=180。，

VZBAE=ZMC=90°,

.\ZBAC+ZEAF=180°,

ZABQ=ZEAF,

AB=EA

在△A8Q和△￡4尸中，IZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：./\ABQ^/\EAF,

：.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF,

延長(zhǎng)D4交所于尸，

,：ZBAE=90°,

：.ZBAQ+ZEAP=90°f

：.ZAEF+ZEAP=90°,

：.ZAPE=90°,

J.ADLEF,

'CAD^DQ,

：.AQ=2AD,

'：AQ^EF,

:.EF=2AD,

即：EF=2AD,ADLEF.

Q

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線法，構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)鍵.

9.在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在

△ABC中，48=8,AC=6,點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，怎樣求AD的取值范圍呢？我們可以

延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使AZ）=QE,然后連接BE（如圖①），這樣，在AAOC和AEDB中，由于

AD=DE

<NADC=/EDB,AADC^/^EDB,J.AC^EB,接下來(lái)，在△A2E中通過AE■的長(zhǎng)可求

BD=CD

出AO的取值范圍.

請(qǐng)你回答：

圖①圖②圖③

（1）在圖①中，中線的取值范圍是.

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問題

①如圖②，在AABC中，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是A2邊上的一點(diǎn)，作。交

AC邊于點(diǎn)P,連接所，若3E=4,CF=2,請(qǐng)直接寫出跖的取值范圍.

②如圖③，在四邊形ABC。中，ZBC￡>=150°,N4OC=30。，點(diǎn)E是A2中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)在。C

上，且滿足BC=CRDF=AD,連接CE、ED,請(qǐng)判斷CE與即的位置關(guān)系，并證明你的

結(jié)論.

【答案】(1)1<AD<7；(2)①2<EF<6；@CELED,理由見解析

【分析】(1)在△ABE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；

(2)①延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N,使ED=DN,連接CN、FN,由SAS證得NVDC三AEDB,得出

BE=CN=4,由等腰三角形的性質(zhì)得出￡F=7W,在ACFN中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定

理即可得出結(jié)果；

②延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,易證DG〃BC,得出/G4E=NCBE,由ASA證得

AGAE=ACBE,得出GE=CE,AG=BC,即可證得CD=GD,由GE=CE,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)可得出CELEZ).

【詳解】(1)在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

8—6<AE<8+6,即2<AE<14

.-.2<2AD<14,gpi<AZ)<7

故答案為：1<AD<7；

(2)①如圖②，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N,使ED=DN,連接CN、FN

?.,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)

:.BD=CD

CD=BD

在4NDC和4EDB中，<ZCDN=ZBDE

DN=ED

:.ANDC=AEDB(SAS)

：.BE=CN=4

DF±DE,ED=DN

是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

:.4-2<FN<4+2,即2<網(wǎng)<6

:.2<EF<6；

②CELED；理由如下：

如圖③，延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G

???點(diǎn)E是AB中點(diǎn)

:.BE=AE

ZBCD=150°,ZADC=30°

:.DG//BC

.\ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在AGAE和ACBE中，|AE=BE

ZAEG=ZBEC

:.AGAE=ACBE(ASA)

:.GE=CE,AG=BC

BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC+AD=AG+AD,即CD=GD

GE=CE

s.CELED.(等腰三角形的三線合一)

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、等腰三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）②，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

10.閱讀材料，解答下列問題.

如圖1,已知AABC中，AD為中線.延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD.在AAOC和AEQB中，

AD=DE,/ADC=NEDB,BD=CD,所以，4ACD%MEBD,進(jìn)一步可得至UAC=B￡,AC//BE

等結(jié)論.

圖1圖2

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決

一些相關(guān)的計(jì)算或證明題.

解決問題：如圖2,在AABC中，AO是三角形的中線，點(diǎn)E為AO上一點(diǎn)，且8QAC,連

結(jié)并延長(zhǎng)8歹交AC于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

【答案】詳見解析

【分析】延長(zhǎng)AD到M,使DM=AD,連接BM,根據(jù)SAS推出△BDMg/\CDA,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得出BM=AC,NCAD=NM,根據(jù)BF=AC可得BF=BM,推出NBFM=NM,

求出NAFE=NEAF即可.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)〃，使得=并連結(jié)旅，

是三角形的中線，

，BD=CD,

在Al〃出和"OC中，

BD=CD,

<ZBDM=ZCDA,

DM=DA,

：.^MDB^AADC,

AAC=MB,ZBMD=ZCAD,

,/BF=AC,

：.BF=BM,

；?ZBMD=ZBFD,

VZBFD=ZEFA,ZBMD=ZCAD,

：.ZEFA=ZEAF,即AE=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查

學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長(zhǎng)中線”法作出輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形.

11.(1)如圖1所示，在“LBC中，。為BC的中點(diǎn)，求證：AB+AC>2AD

圖1圖2圖3

甲說(shuō)：不可能出現(xiàn)絲△ACD,所以此題無(wú)法解決；

乙說(shuō)：根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,

使得DE=AD,連接3E、CE,由于HZ)=￡)C,所以可得四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫

出此處的依據(jù)（平行四邊形判定的文字描述）

所以AC=BE,AABE中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

請(qǐng)根據(jù)乙提供的思路解決下列問題：

（2）如圖2,在ABC中，。為2C的中點(diǎn)，AB=5,AC=3,AD=2,求ABC的面積；

（3）如圖3,在ABC中，。為2C的中點(diǎn)，”為AC的中點(diǎn)，連接交AO于尸，若

AM=MF.求證：BF=AC.

【答案】（1）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（2）6；（3）見解析.

【分析】（1）根據(jù)題意，DE=AD,=即可得四邊形的對(duì)角線相等，根據(jù)平行四邊形

的判定定理即可寫出；

（2）根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)G,使得DG=AD,可以求得AG,AC,GC,再根據(jù)勾

股定理的逆定理可知，AGC為Rd,繼而即可求得面積

（3）根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)N,證明四邊形ABNC是平行四邊形，由=即可

證明取=AC.

【詳解】解：（1）DE=AD,BD=DC

四邊形ABEC是平行四邊形

依據(jù)是：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

（2）如圖，根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)4。至點(diǎn)G,使得OG=A￡>,

由（1）可知，四邊形ABGC是平行四邊形

\GC=AB,AC//BG

AB=5,AC=3,AD=2

:.AG=4,GC=5

AC2+AG2=32+不=25

CG2=52=25

AC2+AG2=CG2

.?.△AGC是Rr

AC//BG

???SZXMC=5"歐=gAC-AG=gx3x4=6

(3)如圖，根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)N,使AD=DN,

由(1)可知：四邊形ABNC是平行四邊形，

ACIIBN、AC=BN

:.ZMAF=ZBNF

AM=MF

:.ZMAF=ZMFA

X-ZMFA=ZBFN

:"BNF=NBFN

BF=BN

BF=AC

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理，等角對(duì)等邊，運(yùn)用倍長(zhǎng)

中線法是解題的關(guān)鍵.

12.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1,在AABC中，

AB=8,AC=6,求邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下

的解決方法(如圖2),

E

圖1圖2