專題10用三角函數(shù)解決實際問題

-一【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一仰角俯角求距離問題】.............................................................1

【考向二情景模擬抽象出三角形求解】......................................................4

尸;1

.言【直擊中考】

【考向一仰角俯角求距離問題】

例題：(2022?江蘇淮安?淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模)我市里運河風(fēng)光帶的國師塔，高大挺拔，古樸雄渾，

別具一格.小明想知道國師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測得國師塔塔頂。處的俯角NRW=9.7。,

塔底C處俯角440=26.6。，小明所在位置高度=95%

VS

⑴求兩棟建筑物之間的水平距離BC；

(2)求國師塔高度8.(結(jié)果精確到1根)(參考數(shù)據(jù)：

sin9.7°?0.17,tan9.7°?0.17,sin26.6°?0.45,tan26.6°?0.50)

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，保定市某中學(xué)在實施"五項管理"中，將學(xué)校的"五項管理"做成宣傳牌

（CD）,放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部。的仰

角為60。，沿該中學(xué)圍墻邊坡A3向上走到8處測得宣傳牌頂部C的仰角為45。.已知山坡A3的坡度為i=

A3=2函相,AE=8m.

⑴求點B距水平面AE的高度3”；

⑵求宣傳牌CO的高度.（結(jié)果保留根號）

2.（2022?四川成都?成都市樹德實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）王珊同學(xué)用航拍無人機幫小區(qū)物管測二號樓高，如

圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面8的中點8垂直起飛到達(dá)點A處，測得一號樓頂部E的俯角為60。,

測得二號樓頂部廠的俯角為37。，此時航拍無人機的高度為60米，已知一號樓的高CE為20米，求二號樓

的高?！敖Y(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)5M37。。0.60,cos37。。0.80,tan37°?0.75,若"73,V2?1.41）

cBD地面

3.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）如圖，小明在大樓45m高（即尸H=45m,且的窗口P處進行觀

測，測得山坡上A處的俯角為15。，山腳5處的俯角為60。，已知該山坡的坡度i（即tanNABC）為1：6（點

P,H,B,C,A在同一個平面上，點B,C在同一條直線上）.

⑴NPBA的度數(shù)等于度（直接填空）

⑵求A,3兩點間的距離（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：0=1.414,石a1.732）

4.（2022?浙江舟山?統(tǒng)考二模）我市的白沙島是眾多海釣人的夢想之地.小明的爸爸周末去白沙島釣魚，將

魚竿A3擺成如圖1所示.已知AB=4.8m,魚竿尾端A離岸邊0.4m,即AD=0.4m.海面與地面平行

3433

且相距1.2m,即=1.2m.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=cos53°,cos37°=sin53°?-,tan37°?-,sin22°=-,

5548

152

cos22°^=—,tan22°=-)

165

⑴如圖1,在無魚上鉤時，魚竿A3與地面AD的夾角440=22。，海面上方的魚線8C與海面成一定

角度.求點8到海面"C的距離；

（2）如圖2,在有魚上鉤時，魚竿與地面的夾角NRS=53。，此時魚線被拉直，魚線30=5.46m,點。恰好

位于海面.求點。到岸邊的距離.

5.（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）交通安全心系千萬家.高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測速儀，如圖

所示的是該段隧道的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間的距離CD=EF=7m,測速儀C和E之

間的距離CE=750m,一輛小汽車在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入

口A點的俯角為25。，在測速儀E處測得小汽車在B點的俯角為60。，小汽車在隧道中從點A行駛到點B所

用的時間為38s（圖中所有點都在同一平面內(nèi)）.

隧道入口

⑴求A,8兩點之間的距離（結(jié)果精確到1優(yōu)）；

（2）若該隧道限速22/77/5,判斷小汽車從點A行駛到點3是否超速？通過計算說明理由.（參考數(shù)據(jù)：6。1.7,

sin25°?0.4,cos25°?0.9,tan25°?0.5,sin65°?0.9,cos65°?0.4）

【考向二情景模擬抽象出三角形求解】

例題：（2022?遼寧盤錦??？家荒＃┤鐖D1,圖2分別是網(wǎng)上某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據(jù)商品介

紹，獲得了如下信息：滑桿。E、箱長8C、拉桿的長度都相等，即OE=BC=A8,點8、尸在線段AC

上，點C在。E上，支桿。尸=30cmC￡：CD=1：3,0Z）CF=45°,0C￡）F=3O°,請根據(jù)以上信息，解決

下列問題；參考數(shù)據(jù)：72=1.41,73=1.73,46=2.45.

⑴求AC的長度（結(jié)果保留根號）；

⑵求拉桿端點A到水平滑桿即的距離（結(jié)果保留到1cm）.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋,浙江舟山?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）桔椽俗稱"吊桿""稱桿"（如圖1）,是我國古代農(nóng)用工具，始

見于《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔槨示意圖，是垂直于水平地

面的支撐桿，OM=3米，A3是杠桿，且鉆=6米，OA:OB=2:1.當(dāng)點A位于最高點時，ZAOM=127°.

⑴求點A位于最高點時到地面的距離；

⑵當(dāng)點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5。到達(dá)最低點Ai時，求此時水桶B上升的高度.

（考數(shù)據(jù)：sin37。g0.6,sin17.5°?0.3,tan37°?0.8）

2.（2022?江西贛州?統(tǒng)考二模）"為夢想戰(zhàn)，決戰(zhàn)中考"，如圖①是尋烏縣第三中學(xué)的中考倒計時牌，圖②為

它的側(cè)面圖，圖③為它的側(cè)面簡意圖，已知A8=3。=8￡>=600111,NCBD=30P.

（1）如圖③，A處離地面多高?

（2）如圖④，芳芳站在倒計時牌前的點X處觀察倒計時牌（點。、C、反在同一水平線上），測得芳芳的身高

GH為158cm,當(dāng)芳芳的視線恰好落在點8處時（忽略眼睛到頭頂?shù)木嚯x）視線俯角為45。，求此時C"的

距離.（結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.256,cos15°?0.966,tan15°?0.268,V2?1.414,V3?1.732）

3.（2022?九年級單元測試）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結(jié)合自身地理優(yōu)勢架

設(shè)風(fēng)力發(fā)電機利用風(fēng)能發(fā)電.王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場的各個山頭上布滿了大大小小的

風(fēng)力發(fā)電機，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機塔架的高度.如圖，王芳站在C點測得C點與塔底。點的距離為25機,

李華站在斜坡8c的坡頂5處，已知斜坡的坡度i=坡面8c長30相，李華在坡頂5處測得輪轂A

點的仰角&=38。，請根據(jù)測量結(jié)果幫他們計算：

⑴斜坡頂點B到8所在直線的距離；

⑵風(fēng)力發(fā)電機塔架AD的高度.（結(jié)果精確到01加，參考數(shù)據(jù)41138。70.62,cos38°?0.79,tan38°?0.78,

y/2?1.41,y/3?1.73）

4.（2022?湖南株洲?統(tǒng)考模擬預(yù)測）有一只拉桿式旅行箱（圖1）,其側(cè)面示意圖如圖2所示，己知箱體長

AB=50cm,拉桿的伸長距離最大時可達(dá)35c7打點A、B、C在同一條直線上，在箱體底端裝有圓形的滾

筒0A,0A與水平地面切于點。，在拉桿伸長至最大的情況下，當(dāng)點B距離水平地面38c機時，點C到水平

地面的距離CE為59cm.設(shè)AF//MN.

⑴求0A的半徑長；

⑵當(dāng)人的手自然下垂拉旅行箱時，人感覺較為舒服，某人將手自然下垂在C端拉旅行箱時，CE為80c〃z,

9

sinZCAF=—.求此時拉桿BC的伸長距離.

5.（2022?湖南永州??？寄M預(yù)測）某市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品牌

共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中A3、都與地面/平行，車輪半徑為32c加,

回BCD=64。，BC^60cm,坐墊E與點B的距離BE為15cm.

⑴求坐墊E到地面的距離；

（2）根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)坐墊E到的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適.小明的腿長約為80cm,現(xiàn)

將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E',求EE'的長.

（結(jié)果精確到0.1c參考數(shù)據(jù)：s歷64°=0.90,cos64°=0.44,3?64°=2.05）

6.（2022?貴州六盤水?統(tǒng)考中考真題）“五一"節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮陽和防雨會搭

建一種"天幕"，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿A2,用繩子拉直AD后系在樹干

EF上的點E處，使得A,D,E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制"天幕”的開合，AC=AD=2〃z,

BF-3m.

⑴天晴時打開"天幕"，若/1=65。，求遮陽寬度。（結(jié)果精確到0.1%）；

⑵下雨時收攏"天幕"，/a從65。減少到45。，求點E下降的高度（結(jié)果精確到0.L”）.

（參考數(shù)據(jù)：sin650-0.90,cos65°?0.42,tan650~2.14,72?1.41）

7.（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號"載人航天飛船搭載“明星"機械臂成功發(fā)

射.如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，AB.8C為機械

臂，OA=lm,AB=5m,BC=2m,ZAfiC=143°.機械臂端點C到工作臺的距離CD=6〃z.

⑴求A、C兩點之間的距離；

⑵求長.

（結(jié)果精確至iJO.Lw,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,y/5?2.24）

8.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽

項目.滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)回。與

水平地面相切于點C,推桿A8與鉛垂線的夾角為SB4。，點O,A,B,C,。在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿

與鐵環(huán)回。相切于點8時，手上的力量通過切點8傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果.

⑴求證：0BOC+0BA￡）=9O°.

⑵實踐中發(fā)現(xiàn)，切點8只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動.圖中點8是該區(qū)域內(nèi)最低位

3

置,此時點A距地面的距離AD最小,測得cosNBAD=-.已知鐵環(huán)回。的半徑為25cm,推桿AB的長為15cm,

求此時AO的長.

專題10用三角函數(shù)解決實際問題

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一仰角俯角求距離問題】.............................................................1

【考向二情景模擬抽象出三角形求解】.......................................................4

尸；1

?學(xué)【直擊中考】

【考向一仰角俯角求距離問題】

例題：(2022?江蘇淮安?淮陰中學(xué)新城校區(qū)校聯(lián)考二模)我市里運河風(fēng)光帶的國師塔，高大挺

拔，古樸雄渾，別具一格.小明想知道國師塔的高度，在附近一高層小區(qū)頂樓A處，測得

國師塔塔頂。處的俯角/以。=9.7。，塔底C處俯角NE4C=26.6。，小明所在位置高度

AB=95m.

⑴求兩棟建筑物之間的水平距離;

(2)求國師塔高度CO.(結(jié)果精確到1根)(參考數(shù)據(jù)：

sin9.7°?0.17,tan9.7°?0.17,sin26.6°?0.45,tan26.6°?0.50)

【答案】⑴190〃2

(2)63m

【分析】(1)延長8交AE于點F,根據(jù)題意得：CF=AB,C尸，AE,從而在吊ACF中,

CF

利用tanZCAF=—,求得兩建筑物底部之間水平距離；

AF

(2)在用AFD中利用NE4D=9.7。，求得。尸，然后即可求得8的長.

【詳解】(1)解：延長8交AE于點/，根據(jù)題意得：CF=AB,CFLAE,

/l：RtACF中，tan/CAF=---,

AF

95

.-.tan26.6°=—?0.5,

AF

AF?190,

BC=AF=190m,

答：兩建筑物底部之間水平距離8。的長度為190加

(2)解：在RfAFD中，ZFAD=9.7°,

:.DF=AFtanZFAD=190x0.17-32.3,

FC=95m,

CD=95-323-63（m）.

答：國師塔高度為63〃z.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確標(biāo)注仰角和俯角、熟記銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，保定市某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管

理"做成宣傳牌（。），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示），該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的

坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60。，沿該中學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌

頂部C的仰角為45。.已知山坡的坡度為i=l:3,AB=2?m,AE=Sm.

⑴求點B距水平面AE的高度BH；

⑵求宣傳牌co的高度.（結(jié)果保留根號）

【答案】⑴2米

⑵(16-8右)米

【分析】⑴根據(jù)，=1：3得到度/:的=1:3,^BH=x,HA=3x,利用勾股定理計算即可.

(2)過點2作曲'LCD,垂足為R判定四邊形班E"是矩形，解直角三角形計算

計算即可.

【詳解】(1)0?=1:3,

^BH=x,HA=3x,

0AB=2710m,

Elx2+(3x)2=(2A/10)2,

解得x=2,x=—2(舍去)，

=2(m).

(2)如圖，過點8作班」CD,垂足為尸，

則四邊形瓦即是矩形，

田BF=EH,BH=FE,

團BH=2m,HA=6m,AE=8m,

^BF=EH=14m,BH=FE=2m；

團NCB尸=45。，ZDAE=60°fAE=8m,

OFr)Fr-

0BF=CF=14m,tan6O0=—=—

AE8

0CF=14m,DE=8Gm,

^DF=DE-FE=(Sy/3-2^m,

0CZ)=CF-DF=14-(8^-2)=(16-8A/3)m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?四川成都?成都市樹德實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）王珊同學(xué)用航拍無人機幫小區(qū)物管

測二號樓高，如圖為實踐時繪制的截面圖，無人機從地面。的中點B垂直起飛到達(dá)點A處,

測得一號樓頂部E的俯角為60。，測得二號樓頂部b的俯角為37。，此時航拍無人機的高度

為60米，己知一號樓的高CE為20米，求二號樓的高（結(jié)果精確至八米）（參考數(shù)據(jù)

sin37°a0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75,>/3?1.73,A/2?1.41）

【答案】二號樓的高。尸約為43米

【分析】過點E,產(chǎn)分別作垂足分別為“，N,由題意可得AM=40

米，在RtAAEM中，求出EM,從而求出NF,然后在RtaAFN中，求出AN,從而求出BN,

即可解答.

【詳解】解：過點E、尸分別作初/1.45、FN1AB,垂足分別為M、N,

由題意得，3M=CE=20米，ZAEM=60°,ZAFN=3T,CB=DB=EM=FN,AB=60

米，

AM=AB-MB=60-20=40(?e),

..,AM

在RtAAAEM中，tan/AEM=——，

EM

AM_40?40?

EM=23.12(米),

tan60°一6~1.73~

:.FN=EM=23.12米,

在RtaARV中，tanZAFN=——,

:.AN=tan37°x23.12a0.75x23.12=17.34（米），

，近=BN=AB-AZV260-17.34a43（米），

答：二號樓的高小約為43米.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形

是解此題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇泰州,模擬預(yù)測）如圖，小明在大樓45m高（即尸〃=45m,且PHLHC）的

窗口尸處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15。，山腳8處的俯角為60。，已知該山坡的坡

度i（即tanNABC）為1:若（點尸，H,B,C,A在同一個平面上，點〃，B,C在同

一條直線上）.

⑴NP8A的度數(shù)等于度（直接填空）

（2）求A,8兩點間的距離（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：也=1.414,/21.732）

【答案】⑴90

（2）4、8兩點間的距離約為52.0米

【分析】（1）根據(jù)坡度求得N鉆尸=30。，結(jié)合題意，得出/9=60。，進而得出

NPBA=90°,ZBAP=45°

（2）根據(jù)NPBA=90o,N3AP=45。，得出尸3=解△尸〃B即可求解.

【詳解】（1）如解圖所示；過點A作A尸13C于點R

回山坡的坡度i（即tanNABC）為1:退，

0tanZABF=—=^=—,

BFV33

0ZABF=3O°,

團在窗口尸處進行觀測，測得山坡上A處的俯角為15。，山腳5處的俯角為60。，

團ZHPB=30°,ZAPB=45°,

0ZHBP=6O°,

0ZPBA=90°,/BAP=45°,

故答案為：90；

(2)0ZPBA=90°,ZBAP=45°

^\PB=AB,

13PH=45米，sin60°=—=—=—,

PBPB2

解得：PB=30C,

AB=30A/3-52.0(米)，

答：A、2兩點間的距離約為52.0米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.(2022?浙江舟山?統(tǒng)考二模)我市的白沙島是眾多海釣人的夢想之地.小明的爸爸周末去

白沙島釣魚，將魚竿AB擺成如圖1所示.已知AB=4.8m,魚竿尾端A離岸邊0.4m,即

AD=0.4m.海面與地面AD平行且相距L2m,即Z)"=L2m.(參考數(shù)據(jù)：

3433152

sin37°=cos53°?—,cos37°=sin53°,tan37°?—,sin22°=—,cos220心一,tan22°^-)

5548165

⑴如圖1,在無魚上鉤時，魚竿A5與地面AD的夾角440=22。，海面上方的魚線3c與

海面HC成一定角度.求點8到海面"。的距離；

⑵如圖2,在有魚上鉤時,魚竿與地面的夾角ABAD=53°,此時魚線被拉直，魚線80=5.46m,

點0恰好位于海面.求點。到岸邊DH的距離.

【答案】⑴點3到海面"C的距離為3米

⑵4.58m

【分析】（1）過點8作3CH,垂足為凡延長交班于E,垂足為E,首先根據(jù)

sinZBAE=不求出班的長度，然后加上所的長度即可求出點B到海面8C的距離；

AB

（2）過點8作BNLOa,垂足為N,延長AD交于點垂足為M,由cos/BAM=4吆

AB

求出40,即得。暇，由sin/BAA/二則■求出MB,從而求出=+的長，利用

AB

勾股定理求出ON,利用OH=QV+/iN=QV+。M即可求解.

【詳解】（1）解：過點5作5尸，C”,垂足為尸，延長A。交所于應(yīng)

0sin/BAE---,

AB

RF

0sin22°=——,

4.8

3BE

0-=——,BPBE=1.8m,

84.8

0BF=BE+EF=1.8+1.2=3（m）,

答：點B到海面HC的距離為3米

（2）解：過點B作8NLOH,垂足為N,延長AD交BN于點M,

B

ccAM

團cos53=-----

4.8

3AM

團一B---,

54.8

即AMa2.88m,

SDM=AM-AD=2.88-0.4=2.48(m),

.…BM

團sinZBAM=-----

AB

4BM…

團一b---,即RBnMx3.84m，

54.8

回BN=BM+MV=3.84+1.2=5.04（m）,

回ON=\/OB2-BN2=7441=2.1（m）,

SOH=ON+HN=ON+DM=4.58（m）,

即點。到岸邊的距離為4.58m.

【點睛】本題以釣魚為背景，考查了學(xué)生運用三角函數(shù)知識解決實際問題的能力，解決關(guān)鍵

在于構(gòu)造合適的直角三角形，運用三角函數(shù)的運算，根據(jù)一邊和一角的已知量，求其他邊;

再根據(jù)特殊的幾何位置關(guān)系求線段長度.

5.（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）交通安全心系千萬家.高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝

了測速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖.測速儀C和測速儀E到路面之間的距離

CD=EF=7m,測速儀C和E之間的距離CE=750m,一輛小汽車在水平的公路上由西向

東勻速行駛，在測速儀C處測得小汽車在隧道入口A點的俯角為25。，在測速儀E處測得小

汽車在8點的俯角為60。，小汽車在隧道中從點A行駛到點8所用的時間為38s(圖中所有

點都在同一平面內(nèi)).

隧道入口

⑴求A,3兩點之間的距離(結(jié)果精確到1根)；

(2)若該隧道限速22〃z/s,判斷小汽車從點A行駛到點8是否超速？通過計算說明理由.(參

考數(shù)據(jù)：>/3?1,7,sin25°?0.4,cos25°?0.9,tan25°?0.5,sin65°?0.9,cos65°?0.4)

【答案】⑴760米

(2)未超速，理由見解析

【分析】(1)分別解求得AD,根據(jù)AF-砥即可求解；

(2)根據(jù)路程除以速度，進而比較即可求解.

【詳解】(1)CD//EF,CD=EF,

四邊形CDEE是平行四邊形

CDLAF,EF1AF

二四邊形CDEE是矩形，

：.DF=CE=150

CD

在Rt^ACD中，NC4O=25°,tanNC4O=——

AD

A*八D=--C-Dx—7

tan25°0.5

EF

在RtABEF中，/EBF=60°,tanZEBF=—

BF

clEF7

二.BF=--------?——

tan601.7

77

AB=AF-BF=AD+DF-BF=——+750——?760

0.51.7

答：A,8兩點之間的距離為760米；

(2)—=20<22,

38

二.小汽車從點A行駛到點5未超速.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【考向二情景模擬抽象出三角形求解】

例題：（2022?遼寧盤錦?校考一模）如圖1,圖2分別是網(wǎng)上某種型號拉桿箱的實物圖與示意

圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信息：滑桿箱長BC、拉桿的長度都相等，即DE

=BC=AB,點、B、E在線段AC上，點C在。E上，支桿。尸=30cm,CE：CD=1：3,0DCF

=45。，0CDF=30°.請根據(jù)以上信息，解決下列問題；參考數(shù)據(jù)：72=1.41,51.73,

#=2.45.

圖1圖2

（1）求AC的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）求拉桿端點A到水平滑桿EZ）的距離（結(jié)果保留到1c機）.

【答案】⑴（40+40石卜機

（2）77cm

【分析】（1）過尸作用，即于解直角三角形即可得到結(jié)論；

（2）過A作AGLED交即的延長線于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：過尸作于H

國NFHC=NFHD=90。

EZ7\DC=30°,DF=30cm

SFH=sin30°DF=^DF=15,DH=cos30。?DF=￡DF=156

回/FC”=45°

SCH=FH=15

ECZ)=CH+DH=15+15A/3

0C￡：CD=13

0D￡=-CD=2O+2OA/3

3

SiAB=BC=DE=20+20^/3

回AC=2AB=(40+40@c〃？

(2)解：過A作AG，ED交ED的延長線于G

A

0ZACG—45°,AC=40+406cm

EAG=sin45°AC=—AC=200+20面

2

國021.41，y/6?2.45

回AG=fAC=20A/2+2076=20xl.41+20x2.45=77.2=77（cm）

答：拉桿箱點A到水平滑桿即的距離為77cm

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角形函數(shù)的基本概念和運算，關(guān)鍵是用

數(shù)學(xué)知識解決和實際問題.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?浙江舟山?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）桔棒俗稱"吊桿""稱桿"（如圖1）,是我國古

代農(nóng)用工具，始見于《墨子?備城門》，是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔

棒示意圖，是垂直于水平地面的支撐桿，OA1=3米，A3是杠桿，且AB=6米，

04:03=2:1.當(dāng)點A位于最高點時，ZAOM^m°.

知2

⑴求點A位于最高點時到地面的距離；

⑵當(dāng)點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5。到達(dá)最低點4時，求此時水桶B上升的高度.

（考數(shù)據(jù)：sin370工0.6,sinl7.5°?0.3,tan370工0.8）

【答案】（1）點A位于最高點時到地面的距離為5.4米；

（2）水桶B上升的高度為1.8米.

【分析】（1）作出如圖的輔助線，在Rt^AOG中，利用正弦函數(shù)求解即可；

（2）作出如圖的輔助線，在RtAOBC中和在3中，分別利用三角函數(shù)求出BC和BXD

的長即可.

【詳解】（1）解：過。作過A作AGLEF于G,

回筋=6米，04:03=2:1,

回04=4米，03=2米，

0ZAOM=127°,NEOM=90°,

EZAOE=127°-90°=37°,

在Rt^AOG中，AG=AOxsin37°~4x0.6=2.4（米），

點A位于最高點時到地面的距離為24+3=5.4（米），

答：點A位于最高點時到地面的距離為5.4米；

（2）解：過。作EFJ_QW,過8作3C_LEF于C,過用作4r>_L斯于D,

回NAOE=37°,

回4OC=ZAOE=37°,N2|OD=N4OE=17.5°,

EOB[=OB=2（米），

在RtZkOBC中，BC=sinZOCBxOB=sin37°xOB?0.6x2=1.2（米），

在Rt△。耳。中，B1D=sinl7.5°xOB1?0.3x2=0.6（米），

SBC+BtD=12+0.6=1.8（米），

回此時水桶B上升的高度為1.6米.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江西贛州?統(tǒng)考二模）"為夢想戰(zhàn)，決戰(zhàn)中考"，如圖①是尋烏縣第三中學(xué)的中考倒

計時牌，圖②為它的側(cè)面圖，圖③為它的側(cè)面簡意圖，已知AB=BC=3r>=60cm,

ZCB￡>=30°.

“A

r

H

InKdD加192in的kiKCO

⑴如圖③，A處離地面多高？

（2）如圖④，芳芳站在倒計時牌前的點7/處觀察倒計時牌（點。、C、反在同一水平線上）,

測得芳芳的身高G”為158cm,當(dāng)芳芳的視線恰好落在點8處時（忽略眼睛到頭頂?shù)木嚯x）

視線俯角為45。，求此時CH的距離.（結(jié)果精確到1cm.參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.256,

cosl5°~0.966,tan15°?0.268,V2?1.414,5/3?1.732）

【答案】（l）116cm

（2）85cm

【分析】（1）連接AZ）,先證明NADC=90。，在Rt_ADC中，再根據(jù)AD=ACcosNA即可

求解；

（2）過點8作座，?！辏居邳c￡,過點3作3歹，G”于點尸，則可得四邊形3EHF是矩形,

即有班'=團，BE=FH,根據(jù)CEuBCsinNCBE,BE=BC-cosZCBE,可得

3E=M=58（cm）,即有GR=G"—fH=158—58=100（cm）,在RtZXGBF中，

BF=GFxtanZG,根據(jù)CH=EH-EC=BF-EC即可求解.

（1）

解：連接A￡）,圖①，

DC

如用③

^BD=BC=AB=60cm,NCBD=30°,ZCBD=ZA+ZADB,

0ZA=ZADB=IZCBD=15°,ZBDC=1(180°-ZCBD)=75°,AC=2BC=120(cm),

EZADC=ZADB+ZCDB=90°,

團在RtADC中，

AD=AC-cosZA=120xcos15O?120x0.966=115.92~116(cm),

即A處離地面116cm；

（2）

解：過點8作3ELCD于點E,過點8作于點己圖②,

圉1

根據(jù)題意有：GH1DH,則可得四邊形BEHF是矩形，

即有所=團，BE=FH,

0ZCBD=30°,BD=BC,

ZCBE=ZDBE=15°,

ECE-BC-sinZ.CBE~15.36（cm）,BE-BC-cosZ.CBE~58（cm）,

0BE=FH=58（cm）,

0GF=GH-FH=158-58=lOO（cm）,

在RtZXGB尸中，BF-GFxtanZG=100xtan45°=100（cm）,

0CH=EH-EC=BF—EC=100—1536=84.64cm-85（cm）.

答：8的長度約為85cm.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，明確題意，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，靈活運用三角函

數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

3.（2022?九年級單元測試）風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國的重視，我市結(jié)合

自身地理優(yōu)勢架設(shè)風(fēng)力發(fā)電機利用風(fēng)能發(fā)電.王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場的

各個山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機塔架的高度.如圖，王

芳站在C點測得C點與塔底。點的距離為25m，李華站在斜坡BC的坡頂8處，已知斜坡BC

的坡度i=括:l,坡面BC長30小，李華在坡頂8處測得輪轂A點的仰角a=38。，請根據(jù)測

量結(jié)果幫他們計算：

⑴斜坡頂點8到C。所在直線的距離；

⑵風(fēng)力發(fā)電機塔架AC的高度.（結(jié)果精確到0.1根，參考數(shù)據(jù)5m38。。0.62,8538。。0.79,

tan38°?0.78,0它1.41,A/3-1.73）

【答案】⑴15鬲;

⑵57.2m.

【分析】（1）在RfABCE中，；君：1,可得NBCE=60。，根據(jù)解直角三角形進行求解即

可；

（2）根據(jù)AT）=AF+ED求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，過點8分別作A38的垂線，垂足分別為歹，E,

則BE為坡頂B到8所在直線的距離,

則3￡=。尸，BF=ED,

在川△3CE中，，=百:1,

0ZBCE=60°,

EBC=30m,

0BE=sin6O°.BC=1573：

（2）由題意得，四邊形3EDP是矩形,

由勾股定理得：EC=S!BC2-BE2=15m?

0CD=25m,

團￡Z)=石C+CD=15+25=40m,

0BF=ED=40m,

在H一45方中，ZABF=3809AF=tanZABF.BF=tan38°.4O?0.78x40=31.2m,

0AD=AF+ro?31.2+15xl.73?57.2m,

答：塔架高度AD約為57.2m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用以及勾股定理，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解

本題的關(guān)鍵.

4.（2022?湖南株洲?統(tǒng)考模擬預(yù)測）有一只拉桿式旅行箱（圖1）,其側(cè)面示意圖如圖2所示，

己知箱體長AB=50c",拉桿BC的伸長距離最大時可達(dá)35c",點A、B、C在同一條直線

上，在箱體底端裝有圓形的滾筒0A,她與水平地面切于點，在拉桿伸長至最大的情況下，

當(dāng)點B距離水平地面38cm時，點C到水平地面的距離CE為59cm.設(shè)AF//MN.

⑴求EIA的半徑長；

（2）當(dāng)人的手自然下垂拉旅行箱時，人感覺較為舒服，某人將手自然下垂在C端拉旅行箱時,

9

CE為8Qcm,sinZCAF=—.求此時拉桿BC的伸長距離.

【答案】（1）她的半徑長為8cm

⑵此時拉桿BC的伸長距離為30cm

【分析】（1）如圖所示，過點8作2麗W于H交A尸于K,設(shè)0A的半徑長為比機，證明

RKAR—二3

^ABK^ACG得至!J—=—,,由此求解即可;

fCGBC59—x50+35

（2）先解直角三角形ACG求出AC的長即可求出8C的長.

（1）

解：如圖所示，過點B作8H3MN于“交AF于K,設(shè)0A的半徑長為xc/n,

^\BH.LMN,CE±MN,MN//AF,AD^MN,

田BH〃CE,四邊形AQHK和四邊形A0￡G都是矩形，

^\AD=HK=GE=xcm,

^\BH=38cm,CE=59cm,

團BK二(38-x)cm,CG=(59-x)cm,

^BH//CEf

甌

BKABnn38-x50

團一二一，BP--------=----------，

CGBC59-x50+35

解得尤=8,

EEL4的半徑長為8cm；

(2)

解：在RZEIACG中，CG=CE-GE=72cm,

CG9

0sinZC4F=sinZG4G=—=—,

AC10

0AC=—CG=80cm,

9

0BC=AC-AB=30cm,

回此時拉桿BC的伸長距離為30cm.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判

定，切線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?湖南永州??？寄M預(yù)測)某市政府為了方便市民綠色出行,推出了共享單車服務(wù).圖

①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中A3、C。都與地面

/平行，車輪半徑為32cm,西。。=64°,BC=60cm,坐墊E與點8的距離BE為15cH.

E

'B

圖①圖②

⑴求坐墊E到地面的距離;

⑵根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)坐墊E到C。的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，坐騎比較舒適.小明的腿長

約為80cm現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置求EF的長.

(結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):s沅64°=0.90,cos64°=0.44,加〃64°精.05)

【答案】⑴99.5cm

(2)3.9cm

【分析】(1)通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解即可;

(2)根據(jù)坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長的0.8時，由小明的腿長約為80cm,求出BE',

進而求出EE即可.

(1)

圖1

由題意知EIBCM=64。、EC=BC+BE=60+15=75c/n,

^\EM=ECsm^BCM=15sin64°~61.5(cm),

則單車車座E到地面的高度為67.5+32=99.5(cm)；

(2)

如圖2所示，過點E'作E'HSCD于點H,

圖2

由題意知EH=80x0.8=64,

EH64

則E'C=一71.1(cm),

sinZECHsin64

^\EEf=CE-CEr=75-71.1=3.9（cm）.

【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意構(gòu)建直角三角形并熟練

掌握三角函數(shù)的定義.

6.（2022.貴州六盤水.統(tǒng)考中考真題）“五一"節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為

遮陽和防雨會搭建一種"天幕"，其截面示意圖是軸對稱圖形,對稱軸是垂直于地面的支桿A3,

用繩子拉直AD后系在樹干所上的點E處，使得A,D,E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的

高度可控制"天幕"的開合，AC=AD=2m,BF=3m.

⑴天晴時打開"天幕"，若4z=65。，求遮陽寬度。（結(jié)果精確到0.1祖）；

⑵下雨時收攏"天幕"，從65。減少到45。，求點E下降的高度（結(jié)果精確到0.L"）.

（參考數(shù)據(jù)：sin65°?0.90,cos65°?0.42,tan650~2.14,72?1.41）

【答案】（1）遮陽寬度8約為3.6m

⑵點E下降的高度約為1.6m

【分析】（1）在Rt_AOD中，利用正弦可得的長，由此即可得；

（2）設(shè)點E下降到點已，過點E作于點過點E'作E'NJ_AB于點N,先根

據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得EM=BF=3m,E'N=BF=3m,BM=EF,BN=E'F,從而可得

MN=EE',再分別解直角三角形可得4%⑷V的長，然后根據(jù)線段和差即可得.

【詳解】（1）解：由題意得：一ACD是軸對稱圖形，

ZAOC=ZAOD=90°,OC=OD=-CD,

2

AC=AD=2m,Za=65°,

OD=ADsina=2sin65°?1.80（m）,

/.CD=2OD?3.6m,

答:遮陽寬度CD約為3.6m.

（2）解：如圖，設(shè)點E下降到點過點石作㈤以上至于點過點￡作E'NLAB于

點N,

則四邊形BFEM和四邊形BFE'N都是矩形，

EM=BF=3m,E'N=BF=3m,BM=EF,BN=E'F,

:.BM-BN=EF-E'F,即=

當(dāng)/a=65。時，AM=EM?1.40m,

tan65°

E'N

當(dāng)Ntz=45。時，AN=------=3m,

tan45°

則EE'=ACV=AV-W6m,

答：點E下降的高度約為1.6m.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、軸對稱圖形、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握解直

角三角形的方法是解題關(guān)鍵.

7.（2022?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）2022年6月5日，"神舟十四號"載人航天飛船搭載"明星"

機械臂成功發(fā)射.如圖是處于工作狀態(tài)的某型號手臂機器人示意圖，Q4是垂直于工作臺的

移動基座，AB,為機械臂，OA^lm,AB=5m,