機密★啟用前

紅河州、文山州2025屆高中畢業生第一次復習統一檢測

數學

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、學校、班級、考場號、座位號在答題卡上

填寫清楚，并將條形碼準確粘貼在條形碼區域內.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將答題卡交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合”=3—2<X<2},B={X\xe^}t則zn”（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<2}

2.已知向量，=（0,2）,6=（1,-1）,若口+砌，則實數力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.已知圓錐的體積為（，其側面積是底面積的、萬倍，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.72C.V3D.2百

4.已知雙曲線。：二一5=1（4>0,6>0）的左、右焦點分別為片，F2,漸近線方程為底土y=0,

ab

且拋物線/=4x的焦點與與重合.若p為雙曲線C上一點，則歸國一|尸引=（）

A.1B.2C.3D.4

5.在自然界廣泛存在且較為常見的元素包含氫（H）、氧（0）、鈉（N）、鎂（Mg）、鋁（A1）、硅（Si）、

磷（P）、硫（S）、氯（C1）、鉀（K）這10種，現從這10種元素中隨機選取3種，若選取的3種元素中

至少包含1種金屬元素，則不同選取方法種數是（）

A.60B.85C.100D.120

6.函數/（x）=e'-+lg^--是

A.偶函數且在（0,3）上單調遞減B.奇函數且在（-3,0）上單調遞減

C.偶函數且在（0,3）上單調遞增D.奇函數且在（-3,0）上單調遞增

7.已知aeR,使得命題“曲線y=/+d在點（0,1）處的切線與曲線了=爾+2辦+2沒有公共點”成立的

一個充分不必要條件是（）

39

8.已知正四棱錐的高為〃，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且一《/?4一,則該正四棱錐

22

體積的最大值是（）

27636481

A.—B.—C.—D.—

4434

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某學校為了了解高三學生參加志愿者活動的次數，隨機抽取了該年級30名學生，對他們參加志愿者活

動的次數進行了統計，并繪制成了如下統計圖.則下列對這30名學生參加志愿者活動的次數的敘述正確的

是（）

人數10

<9678910次數

A.極差是7B.眾數是8

C.第一四分位數是7D.平均數是9

10.已知。為坐標原點，。為圓。：/+/—4》+3=0上的動點，點尸（3,—3）,則下列選項正確的是

（）

A.點尸在圓C外

B.線段尸。中點的軌跡方程為[x—*]+L+-^=1

C.若圓C關于直線辦+勿=1對稱，則a=g

D.當N。尸。最小時，cosZOPQ=^-

11.記V4SC中的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知加inO±C=asiiL8,則下列說法正

2

確的是()

A.A,=—兀

3

B.若a=G，V4SC的周長為36，則V4SC一定為等邊三角形

C.若VN5c是銳角三角形，且6=1,則V/5C面積的取值范圍是2，/

_82,

D.若。=6，則V4SC內切圓周長的最大值為兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復數z=(亞+則三的虛部為.

13.已知函數/(x)=2Gcosxsin(x+9)-t°<0<|■)圖象的一個對稱中心是［，°］，貝1。=

；寫出函數/(x)圖象的一條對稱軸的方程.

14.已知函數=g(x)=lnx+x+2,用〃'(x)表示/(x),g(x)中的較大者，記作

M(x)=max(/(x),g(x)},若=則實數。的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐S—48。中，底面N5CD是平行四邊形，CD=SD=曰SB=BC=BD=1,

平面SBD1平面ABCD,￡是棱宏的中點.

(2)求平面BDE與平面SBD的夾角的大小.

16.設數列｛%｝的前〃項和為工，滿足%+S“=32.

(I)求數列｛%｝的通項公式；

(2)在數學中，常用符號“口”表示一系列數的連乘，例如：口卬=。1義。2、。3*。4義生.求集合

Z=1

《〃|口4〉石1卜中元素的個數.

I，=132

17已知函數/(x)=x2(alnx-l),其中aeR.

(1)當a=l時，求函數/(x)的極小值；

(2)若關于x的方程/(x)+f=l有兩個不相等的實數根，求。的取值范圍.

18.為節約水資源，某市對居民用水實行“階梯水價”制度，其標準如下：

污水處理

基礎水價價到戶綜合水價

項目月用水量

(元/n?)(元/m(元/m3)

3)

第一階梯不超過15m3的部分3.31.14.4

超過15nP但不超過27m3

第二階梯4.91.16.0

的部分

第三階梯超過27m3的部分6.41.17.5

例如：該市某戶居民家庭某月用水量為18m3,則其該月應繳納的綜合水費(包括基礎水費、污水處理

費)合計為4.4x15+6.0x(18—15)=84(元).

(1)若該市某戶居民某月用水30m3,則該月應繳納的綜合水費為多少元？

(2)為了解該市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了該市100戶居民某月的用水量數據(單位：m

3),整理得到如下頻數分布表：

月用水

(3司(7刈(11,15](15,19](19,23](23,27](27,31]

量

頻數141828181255

（i）若該市相關部門采取分層抽樣的方法，在這100戶居民中，從月用水量在（15,19］和（19,23］兩組內

選10戶居民參與節水宣傳活動，并決定在這10戶居民中按抽簽方式選出5戶進行深度調研，設X,y分

別為月用水量在（15,19］和（19,23］中被選中進行深度調研的居民戶數，記隨機變量Z=|X-丫|,求Z的

分布列和數學期望.

（ii）以上表中的100戶居民月用水量作為樣本估計該市居民月用水量.現從該市隨機抽取20戶，記取到

第一階梯水量的戶數為當/=左時對應的概率為匕，求凡取得最大值時左的值.

19.法國數學家蒙日發現：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心為橢圓的

中心，半徑等于橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根該圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓

C:\+4=l（a〉b〉0）的蒙日圓方程為爐+/=3,且尸1—為C上一點.

礦I2,

（1）求C的方程；

（2）過點尸作傾斜角互補的兩直線分別交橢圓。于A,B兩點（異于點P）,求直線48的斜率；

（3）若〃為C上的動點，片，耳分別為C的左、右焦點，過“作C的切線/,判斷/片〃片的角平分

線是否與/垂直，并說明理由.

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1,已知集合”=3—2<X<2},B={X\xe^}t則zn”（）

A,{0,1}B.{-1,0,1}C.{x|0<x<2}D.{x|0<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】由交集的運算求解即可.

【詳解】由已知得：2口8={0,1}.

故選：A.

2.已知向量;=（0,2）,6=（1,-1）,若（￡+阿則實數4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據向量垂直的坐標表示計算即可；

【詳解】由題意可知5+痛=（42—4）,且茄）Z=0,所以2+（—1）X（2—4）=O,解得4=1.

故選：C.

3.已知圓錐的體積為（，其側面積是底面積的、萬倍，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.72C.73D.2出

【答案】B

【解析】

【分析】根據圓錐的側面積公式及體積公式化簡得出r=1最后計算母線即可.

【詳解】由%=一?兀/.力=—兀，得/./J,

33

由5側=31-2"=血71/,得/=也「，

因為/2=/+*，解得井=1,所以/=行.

故選：B.

22_

4.己知雙曲線。：?一｝=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為片，F2,漸近線方程為底土了=0,

且拋物線y2=4x的焦點與月重合.若p為雙曲線C上一點，則歸周一戶用=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】由拋物線的性質，雙曲線的性質，漸近線方程求解即可；

【詳解】由題意知拋物線的焦點為（1,0）,所以c=l,

又漸近線方程為Gx土y=0,所以2=百，

a

又因為02=°2+62,所以a=g,所以歸用_|尸曰=1.

故選：A.

5.在自然界廣泛存在且較為常見的元素包含氫（H）、氧（O）、鈉（N）、鎂（Mg）、鋁（A1）、硅（Si）、

磷（P）、硫（S）、氯（Cl）、鉀（K）這10種，現從這10種元素中隨機選取3種，若選取的3種元素中

至少包含1種金屬元素，則不同選取方法種數是（）

A.60B.85C.100D.120

【答案】C

【解析】

【分析】由組合數的計算先求出總的選取方法，再求出全是非金屬元素的選取方法，作差即可；

【詳解】總的選取方法有C：o=120種.

全是非金屬元素的選取方法有C：=20種.

所以至少包含1種金屬元素的選取方法有120-20=100種.

故選：C.

6.函數/（耳=/一尸+炮二是（）

3-x

A.偶函數且在（0,3）上單調遞減B.奇函數且在（-3,0）上單調遞減

C.偶函數且在（0,3）上單調遞增D.奇函數且在（-3,0）上單調遞增

【答案】D

【解析】

【分析】由奇函數的性質判斷其奇偶性，再由復合函數的單調性結合對數的運算性質可得；

【詳解】由題意可知，答〉0n（x+3）（x—3）<0,所以/（x）的定義域為（一3,3）,

/（—X）=b一e，+1g盧=心—d+1g1產丫=—/（X）,

3+XXJ

所以/（X）是奇函數.

由/（x）=e*-尸+lg（x+3）-lg（3-x）,XG（-3,3）,

由復合函數的單調性易知/（x）在（-3,3）上單調遞增，所以/（x）在（-3,0）上單調遞增.

故選：D.

7.已知aeR,使得命題“曲線y=d+d在點（0,1）處的切線與曲線>=爾+2辦+2沒有公共點”成立的

一個充分不必要條件是（

A.B,C,ae（l,2）D.ae（2,3）

【答案】B

【解析】

,fy=x+l,,、

【分析】求出曲線＞在點（0,1）處的切線方程，聯立〈J2cc得。/+（2。-1）》+1=0,

y=ax+2ax+2

使方程無解即可求出實數。的范圍，再根據充分不必要條件的定義即可確定選項.

【詳解】因為y=d+ex,所以了=3—+/,則切線斜率左=J/LR=1,

故曲線y=d+e*在點（0,1）處的切線方程為j-l=l-（x-0）,即y=x+1,

V=x+l9/\

聯立《9,得QX+（2〃—1）X+1=0,

y=axlax+2

因為切線歹=%+1與曲線＞=Q/+2辦+2沒有公共點，

所以方程辦2+（2a-l）x+l=0沒有實數解,

當a=0時，方程-x+1=0有唯一解，不滿足題意,

當aHO時，A=（2a-l）2-4a<0,可得2丁<”2丁.

（2-V32+⑨

綜上所述,

由是——的真子集，符合題意.

（2）［22J

故選：B.

39

8.已知正四棱錐的高為“，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36兀，且一W/z4一,則該正四棱錐

22

體積的最大值是（）

27636481

A.—B.—C.—D.—

4434

【答案】C

【解析】

【分析】根據正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得32=2/+（”—3）2,

進而由體積公式轉化為關于〃的函數，利用導數求函數的最值.

【詳解】如圖：

4,

設正四棱錐的高為力，球的體積為一兀&=36兀，所以球的半徑R=3,

3

設正四棱錐的底面邊長為2a,則32=’2x（2"）+（〃-3）2,解得/=生二忙,

2V'2

\7

所以正四棱錐的體積匕=；5力=；*4/義力=1（6/一力3）,

則廠'=8〃一2/J=2〃（4—〃），

當|w/iW4時，r>0,「=g（6小—始）單調遞增；當4<場〈^時，r<0,「=g（6"—始）單調

遞減，

64

故當〃=4時，正四棱錐的體積「取得最大值，最大值為一.

3

故選：C

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是依據幾何體的結構特征求出正四棱錐的底面邊長與高的關系.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某學校為了了解高三學生參加志愿者活動的次數，隨機抽取了該年級30名學生，對他們參加志愿者活

動的次數進行了統計，并繪制成了如下統計圖.則下列對這30名學生參加志愿者活動的次數的敘述正確的

是（）

B.眾數是8

C.第一四分位數是7D.平均數是9

【答案】BC

【解析】

【分析】根據統計圖中數據求出極差、眾數、第一四分位數以及平均數，對選項中結論逐一判斷即可.

【詳解】對于A,極差為10-6=4,故A錯誤;

對于B,8出現10次，出現次數最多，眾數是8,故B正確;

對于C,因30x25%=7.5,所以第一四分位數是第8個數7,故C正確;

6x3+7x5+8x10+9x8+10x4

對于D,平均數為。8.17,故D錯誤.

30

故選：BC.

10.已知。為坐標原點，。為圓。：/+/一4x+3=0上的動點，點尸(3,-3),則下列選項正確的是

)

A.點尸在圓C外

B.線段尸O中點的軌跡方程為1x—〈J+［了+||=1

C,若圓C關于直線ax+勿=1對稱，則a=g

D.當/。尸。最小時，cosNOPQ=f^

【答案】ACD

【解析】

【分析】將點的坐標代入圓的方程即可求解A,根據相關點方法即可求解B,根據圓的對稱性即可求解C,

利用相切時，銳角三角函數，結合二倍角公式即可求解D.

【詳解】對于A,把點尸代入圓C,可得3?+(—3)2—4X3+3=9〉0,所以點尸在圓C外，故A正確;

m+3

x=------

2m=2x-3

對于B,設點。（機,〃），線段尸。中點為M（x,y）,貝卜、,即《①

n-3[n=2y+3

y=-----

2

因為點。（機力）在圓C上，所以加2+〃2一4機+3=0②，將①代入②式得,

（2X-3）2+（2J+3）2-4（2X-3）+3=0,即4爐+4/-20%+12>+33=0,

整理得—+[了+1]=:，故B錯誤；

對于C,圓C的圓心（2,0）在直線辦+勿=1上，所以2。=1,。=5，故C正確;

對于D,如圖，

當尸。與圓C相切時（圖中P0位置），NOP0最小,

設8（3,0）,ZCPB=e,則/。P5=28,

ZOPQ=^-20,因為|。尸|=麗，圓C的半徑r=l,

…?CrV10

所以sm”西=而，

43

所以cos29=l-2$也2。=—,sin28=—,

55

cosZOPQ=cos--20=cos—cos26,+sin—sin26）=-----,故D正確.

UJ4410

故選:ACD.

11.記V45C中的內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知加inO±C=asin5,則下列說法正

2

確的是（

,71

A.A=—

3

B.若。=百，V4SC的周長為3石，則V4SC一定為等邊三角形

、

C.若V4SC是銳角三角形，且3=1,則V48C面積的取值范圍是

D.若口=道，則V48C內切圓周長的最大值為兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】應用正弦定理及誘導公式得出角判斷A,應用余弦定理計算邊長即可判斷B,應用銳角三角形得出角

的范圍，進而得出面積范圍判斷C,應用正弦定理結合三角恒等變換應用正弦函數的值域即可判斷D.

【詳解】對于A,在V/8C中，由加in史C=asin5及正弦定理，得sia8sin[=-二■]=siMsiag,

2(22)

/44

因為sin8>0,所以cos—=2sin—cos一,

222

A(兀、AA1jr

又因為二所以cos—〉0,貝i]sin—=—,即4=一，故A正確；

2\2)2223

對于B,由。=百及余弦定理，得/+。2一bc=3,

因為V48C的周長為36，即b+c=2g，解得b=c=百，所以V45C為等邊三角形，故B正確;

a

1=csinC

對于C,由正弦定理：.兀sinBsin。，^asinB=lxsin—=——和。=

sm—sin5

332

V3sin^5+y

則<1.V3V3sinC3V3

=—acsinBn=—c=-----------------1-----

244sirtS4sia88tanS8

.,7T-7T

因為V48C是銳角三角形，所以<故一<3<一，

o62

0八<-2--7--1Bn<—兀

[32

則tanS>,即0<--—<也，故3+￡

,即V4SC面積的取值范圍為

3tariS8tariS8

對于D,由4=工，。=百及正弦定理：—^―==2,

3SIILSsinCSIIL4

可得b=2sin5,c=2sinC,因為面積8=J6（4欣=J§sin5sinC,周長

2

/=Q+Z?+C=2sin3+2sinC+，

25_2V3sin^sinC

所以內切圓半徑一二

I2siiiS+2sinC+G

2Gsi"si”11-"總五5+3sin^cos8

2sin5+2sin^y-^+V33sin5+V§cos8+百

V3（l-^os2^）+3s.n2^.25+；]

2百sin[5+；）+百2sin[5+：）+1

Zsin?’+；4sin23^5+^-1

2sin^+^+l22sin^+^+l

2sin[5+[]-12sin^5+^+l

22sin15+j+1

n1

=smBD+———，

I62

L八T-42兀.7Cc兀57r廣一Ir\?ij-*兀）1/1

由0<5<—,得一<B—<—,所以0<sinBT——V—,

3666I6J22

即V48C內切圓半徑的取值范圍為10,g,則V48C內切圓周長的最大值為兀，故D正確;

故選:ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復數z=(亞-2i)(Ji+i),則三的虛部為.

【答案】V2

【解析】

【分析】先應用復數乘法得出z=4-"，再應用共輾復數定義得出虛部.

【詳解】由題意可得z=(、歷—2i)(、歷+i)=4—",所以彳=4+"，故三的虛部為JL

故答案為：A/2.

13.已知函數/(x)=2Gcosxsin(x+9)—||o<e<')圖象的一個對稱中心是1］，°］，則0=

；寫出函數/(x)圖象的一條對稱軸的方程.

TTTT

【答案】①.§X=—(寫出一個符合條件的即可)

【解析】

【分析】先把點代入函數化簡得出sin［g+e］=孚再結合角的范圍得出"=g,再結合正弦函數的對稱

軸計算即可.

【詳解】根據題意將1,0"弋入/(x)=2Gcosxsin(x+9)-小得：

ITjr

2A/3COS]sin+05=0,所以sin]；+0因為0<0<萬，所以夕=§

故/(x)=26cosxsin[%+g[-g

=——sin2x+—cos2x=百sin2x+—

22I3

,兀7兀A7JZPIkll兀/7r-7\

由2xH—=kitH—,解傳：x=---1---(左wZ).

32212v7

故所求對稱軸方程為X=—+4(^eZ).

212v7

....,7T7C

故答案為：—;X=——.

312

14.已知函數/(x)入?“111》，g(x)=lnx+x+2,用M(x)表示/(x),g(x)中的較大者，記作

M(x)=max{/(x),g(x)},若〃(x)=/(x),則實數。的取值范圍是.

【答案】［e,+co)

【解析】

1n丫I-y*Io

【分析】由題意得不等式。二+「2111》+》+2(》〉0)恒成立，等價于a2，令f=x+lnx,

/?2

令h(t)=丁，通過導數求函數〃(7)的單調性并求最值即可.

e

1「-yIYIo

【詳解】由題意得不等式aeAMx21nx+x+2(x〉0)恒成立，等價于一前「，

e

令，=x+lnx,易知，=x+Inx在(0,+8)是增函數，

且x趨近于0時，/趨近于-8,%趨近于+8時，，趨近于+8,即％wR.

令=則/⑺二［1,

ee

當tc(—叫—1)時，〃'(/)>0,〃(7)單調遞增，

當fe(-l,+oo)時，〃'(/)<0,〃(7)單調遞減，

所以力⑺max="(T)=e，

所以aNe,即ae［e,+oo).

故實數a的取值范圍是［e,+co).

故答案為：［e,+oo).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐S—48。中，底面幺3CD是平行四邊形，CD=SD=4i，SB=BC=BD=1,

平面S3。，平面45CD,￡是棱笫的中點.

(2)求平面ADE與平面SBD的夾角的大小.

【答案】(1)證明見解析

⑵-

4

【解析】

【分析】(1)連接NC交8。于點。，連接OE,由三角形中位線定理結合線面平行的判定定理可得結論;

(2)以B為坐標原點，以及，瓦5,說的方向分別為x軸，7軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，求出

平面BDE與平面SBD法向量，再利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

【小問1詳解】

連接ZC交AD于點。，連接

因為四邊形48CD為平行四邊形，點。為NC的中點，點E為&7的中點，

所以S4〃0￡,

又因為￡4?平面ADE,OEu平面BDE,

所以S4//平面

【小問2詳解】

在△5CD中，CD=6，BC=BD=T,CD2=BC2+BD2,即8cl?8。,

因為SB=BC=BD,CD=SD,由十$^2,得SB上BD,

又平面SAD,平面48C。，平面SADA平面48CZ>=AD,S3u平面SAD,

所以S8J_平面幺5CD,8Cu平面N5CQ,故S8L8C,

所以8C,BD,5s兩兩互相垂直，以B為坐標原點，以及，麗，麗的方向分別為x軸，7軸，z軸正

方向，建立如圖所示空間直角坐標系,

則8(0,0,0),C(l,0,0),5(0,0,1),D(0,l,0),^(-1,1,0),F(|,0,|)

麗=(0,1,0),而=go*.

設訪=Q,y,z)為平面BDE的一個法向量，則

y=0

m-BD=0

_，即11八，令x=l,則z=-l,>=。，

-x+-z=0

in-BE=0[22

所以玩=(1,0,-1),

取平面SBD的一個法向量為=(1,0,0),

設平面ADE與平面S3。的夾角為凡則

cos9=|cos應㈤=用=t±^=/,

1同同V22

IT7T

因為0,-,所以，=1.

7T

故平面BDE與平面SBD的夾角的大小為一.

4

16.設數列｛%｝的前九項和為S,，滿足a“+S“=32.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

5

(2)在數學中，常用符號“口”表示一系列數的連乘，例如：口6.求集合

1=1

"ifl丹〉白|中元素的個數?

?=132J

【答案】(1)4=&:'

(2)9

【解析】

S,,n=1

【分析】⑴利用％=二。、c求解即可；

[Sn-Sn_x,n>2

(2)先求出jjq2，再求解不等式立為〉上■即可.

/=i(2)汩32

【小問1詳解】

當〃=1時，=16；

當“22時，由%+S.=32,得。,_]+5"_]=32,

兩式相減得：%=g4_i(〃22),

所以數列｛%｝是以16為首項，：為公比的等比數列,

【小問2詳解】

由題可知:門q=%X%X%X…X

i=l

所以集合〉《,

<5'

z=l2

=^n\-\<n<10,neN*}={123,4,5,6,7,8,9},

f?]

故集合彳〃I口卬>子汁中元素的個數為9.

I/=i32

17.已知函數/(x)=%2(alnx—l),其中QER.

(1)當Q=1時，求函數/(%)的極小值；

(2)若關于X的方程/(x)+/=l有兩個不相等的實數根，求。的取值范圍.

【答案】(1)--e

2

(2)(-co,-2e)

【解析】

【分析】(1)利用導數研究/(x)的單調性，求出極值即可；

(2)將條件參變分離后轉化為工=/lnx有兩個不相等的實數根，即>=,與函數〃("=

flnx的圖象有

aa

兩個交點，利用導數研究函數h(x)的單調性、值域即可求解.

【小問1詳解】

由題可知：函數/(x)的定義域為(0,+8),

當a=l時，/(x)=x2(lnx-l),

所以/'(X)=2x(lnx-l)+x2?—=2x(lnx-l)+x=x(21nx-l),

JC

令廣(x)=0,解得》=五

則x,f'(x),/(x)的變化情況如下表.

X(0,Ve)Ve(五,+“)

—0+

1

/(X)單調遞減——e單調遞增

2

所以函數/(X)在(0,五)上單調遞減，在(五,+。)上單調遞增，

故函數/(x)的極小值為/(五)=—ge；

【小問2詳解】

因為/(力+/=x2(alnx-1)+爐=辦21n%,且關于x的方程/⑴+必=1有兩個不相等的實數根,

所以ax21nx=1(》>0)有兩個不相等的實數根，

當a=0時，顯然不成立；

當QWO時，即一=/inx有兩個不相等的實數根，

a

令/z(x)=必Inx,(x>0),則〃(x)=x(21nx+l),

令l(x)=0,解得『=十,

(1、

當xe0,7時，/i'(x)<0；當xeh.'(x)>0；

則函數/l(x)在上單調遞減，在上單調遞增,

11

所以/1(%)在》=處可以取到最小值人

2e

又由〃(%)=、2出1的零點僅有％=1,且當％趨近于0時，h(%)趨近于0,

所以----<—<0,解得a<—2e，

2ea

所以。的取值范圍為(一“，一2e).

18.為節約水資源，某市對居民用水實行“階梯水價”制度，其標準如下:

項目月用水量基礎水價污水處理到戶綜合水價

(元/n?)價(元/m3)

(元/m

3)

第一階梯不超過15m3的部分3.31.14.4

超過15nP但不超過27m3

第二階梯4.91.16.0

的部分

第三階梯超過27m3的部分6.41.17.5

例如：該市某戶居民家庭某月用水量為18m3,則其該月應繳納的綜合水費(包括基礎水費、污水處理

費)合計為4.4x15+6.0x(18-15)=84(元).

(1)若該市某戶居民某月用水30m3,則該月應繳納的綜合水費為多少元？

(2)為了解該市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了該市100戶居民某月的用水量數據(單位：m

3),整理得到如下頻數分布表：

月用水

(3,7](7，川(11,15](15,19](19,23](23,27](27,31]

量

頻數141828181255

(i)若該市相關部門采取分層抽樣的方法，在這100戶居民中，從月用水量在(15,19］和(19,23］兩組內

選10戶居民參與節水宣傳活動，并決定在這10戶居民中按抽簽方式選出5戶進行深度調研，設X,y分

別為月用水量在(15,19］和(19,23］中被選中進行深度調研的居民戶數，記隨機變量Z=|X-，求Z的

分布列和數學期望.

(ii)以上表中的100戶居民月用水量作為樣本估計該市居民月用水量.現從該市隨機抽取20戶，記取到

第一階梯水量的戶數為當。="時對應的概率為匕，求凡取得最大值時上的值.

【答案】(1)160.5元

34

(2)(i)分布列見解析，—；(ii)12

【解析】

【分析】(1)根據階梯收費的制度即可求解，

(2)根據超幾何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列和期望,

（3）利用二項分布的概率公式，利用不等式求解最值.

【小問1詳解】

由題意可得，該戶居民該月用水30立方米分三個階梯收費,

4.4x15+6.0x(27-15)+7.5x(30-27)=160.5(元)

故該戶居民該月應繳納的綜合水費為160.5元.

【小問2詳解】

（i）由表可知：月用水量為。5,19］和（19,23］的用戶分別為18戶和12戶,

根據分層抽樣，參與節水宣傳活動的居民總共抽10戶,

1Q12

所以用水量在（15,19］的應抽取10x元=6戶，用水量在（19,23］的應抽取10x茄=4戶

根據題意選出5戶進行深度調研，可知隨機變量Z的可能取值為1,3,5.

C"C：+C：xC；_180_5

尸(z=l)=尸(X=2,y=3)+P(X=3,y=2)=

252—7

C；xC：+C：xC；_66_11

尸(z=3)=尸(x=i,y=4)+0(x=4,y=i)=

25242

尸(z=5)=尸(x=5,y=o)=*=[=3

故Z的分布列為

z135

5111

p

74242

￡(Z)=lx—+3x—+5x—=—

J7424221