專題08特殊平行四邊形的綜合問題

一【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】.....................................................1

【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】.......................................................3

【考向三特殊平行四邊形中定值問題】.......................................................4

【考向四特殊平行四邊形最小值問題】.......................................................6

【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】...................................................7

【考向六特殊平行四邊形中的動態問題】....................................................10

或1

I*【直擊中考】

【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】

例題：（2022秋?甘肅蘭州?九年級統考期中）將矩形紙片ABCD沿3D折疊得到△BCD,C'D與交于點E,

若4=35。，則N2的度數為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【變式訓練】

1.（2022秋?九年級課時練習）如圖，把菱形ABCD沿折疊，使8點落在3c上的E點處，若NB=70°,

則的大小為（）.

A.15°B.20°C.30°D.25°

2.（2021?云南紅河?統考一模）如圖，菱形A3CD的周長為8厘米，ZZ）=120o,點M為AB的中點，點N

是邊AD上任一點，把/A沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當AN=________厘米時，BCE是

直角三角形.

B

3.(2022?安徽合肥?校考二模)如圖，在菱形A3CZ)中，ZA=120°,AB=2,點E是邊AB上一點，以DE

為對稱軸將D4E折疊得到―DGE,再折疊BE使座落在直線EG上，點B的對應點為點H,折痕為即且

交3c于點尸.

(1)ZDEF=；

(2)若點E是AB的中點，則。尸的長為.

4.(2023春?江蘇?八年級專題練習)如圖1,在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接DE,把DEC沿

OE折疊得到DEF,延長E尸交AB于G,連接。G.

⑴求證：ZEDG=45°.

(2)如圖2,E為2c的中點，連接族.

①求證：BF//DE；②若正方形邊長為6,求線段AG的長.

【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】

例題：（2021秋,陜西渭南?九年級統考階段練習）如圖，四邊形ABCD是矩形，以點B為旋轉中心，順時針

旋轉矩形ABCD得到矩形GBEF,點A,D,C的對應點分別為點G,F,E,點。恰好在歹G的延長線

上.

⑴求證：空△&）G：

（2）若A￡＞=2,求D尸的長.

【變式訓練】

1.（2022秋廣東廣州?九年級廣州市第一一三中學校考期中）如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°后,

得到矩形AB'C'。'，如果CD=2D4=2,那么CC'=.

2.（2022秋?天津河北?九年級天津二中校考期末）在平面直角坐標系中，四邊形AO3c是矩形，點。（0,0）,

點4（3,0）,點3（0,4）.以點A為中心，順時針旋轉矩形AO3C,得到矩形ADEF,點。，B,C的對應點

分別為，E,F,記旋轉角為。（0°＜打＜90。）.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當&=30。時，求點。的坐標;

（2）如圖2,當點E落在AC的延長線上時，求點。的坐標;

（3）當點。落在線段OC上時，直接寫出點E的坐標.

3.（2022秋,山西呂梁?九年級統考期中）綜合與實踐

【情境呈現】如圖1,將兩個正方形紙片ABCD和AEFG放置在一起.若固定正方形ABCD,將正方形AEFG繞

著點A旋轉.

D1CI

kJ

/B

圖3

⑴【數學思考】如圖1,當點E在AB邊上,點G在邊上時，線段仍與DG的數量關系是—，位置關

系是?

（2）如圖2,是將正方形A￡FG繞著點A逆時針旋轉1度得到的，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，

請證明；若不成立，請說明理由.

（3）【拓展探究】如圖3,若點。，E,G在同一條直線上，且AB=2AE=20，求線段BE的長度（直接寫

出答案）.

【考向三特殊平行四邊形中定值問題】

例題：（2022秋?山東棗莊?九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,M是AD上異

于A和D的任意一點，且ME_LAC于E,于尸，則為

【變式訓練】

1.（2023秋?吉林長春?八年級長春外國語學校校考期末）如圖，菱形ABC。的周長為20,面積為24,尸是

對角線上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF,則PE+尸尸等于

2.（2022春?四川成都,九年級成都市第二十中學校校考階段練習）如圖，已知點尸是菱形ABCD的對角線AC

延長線上一點，過點尸分別作AD,。。延長線的垂線，垂足分別為點E,F若NAfiC=120。，AB=2,則

PE-PF的值為.

3.（2022?全國?八年級專題練習）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=5叵,點E為對角線AC上一動

點，連接。E,過點￡作歷，上交3C于點尸，以。區EF為鄰邊作矩形。跳G,連接CG.

⑴求證：矩形DEFG是正方形；

⑵探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

4.（2022春?四川德陽?八年級統考期末）已知，如圖，矩形ABC。中，4）=3,DC=4,菱形EFG8的三個

頂點E,G,H分別在矩形的邊AB,CD,D4上，AH=1,連接CF.

備用圖

⑴當點G在邊。C上運動時；探究：點尸到邊。C的距離是否為定值？如果是，請求出這個值；如果

不是，請說明理由.

⑵當。G為何值時，SFCG的面積最小，并求出這個最小值.

【考向四特殊平行四邊形最小值問題】

例題：（2022秋?重慶沙坪壩?八年級重慶市鳳鳴山中學校聯考期末）如圖，E為正方形ABCD邊AD上一點,

AE=1,DE=3,P為對角線8。上一個動點，則F4+PE的最小值為（）

4.5B.4.72C.2.710D.10

【變式訓練】

1.（2022秋?江西新余?九年級新余四中校考階段練習）如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=14,M,N分

別是直線BC,AB上的兩個動點，AE=2,△?即沿EM翻折形成△EEW,連接NF,ND,則DN+NR

的最小值為（）

￡n

2.（2022秋?吉林長春?八年級校考期末）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90。，ZB=30°,BC=273.點。

為邊AB上一個動點，作OEL3C、DF1AC,垂足為￡、F,連接所.則斯長度的最小值為.

3.（2022秋?重慶大渡口?九年級校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,點E在邊AZ）上，點

尸在邊上，且AE=CF,連接CE,DF,則CE+。歹的最小值為

4.（2022秋?陜西漢中?九年級校考期中）如圖，在正方形ABCD中，的=12,E為BC邊上一點，CE=1.F

為對角線8。上一動點（不與點5、。重合），過點歹分別作FM,3c于點M、FNLCD于點、N,連接EF、

MN,則EF+MN的最小值為

5.（2022春?江西贛州?八年級統考期末）如圖所示，在菱形ABC。中，AB=6,園區4。=120。，點E,P分別在

菱形的邊8C,C。上滑動，滿足回胡尸=60。，連接斯，且E,尸不與2,C,￡）重合.

⑴求證：不論E,尸在BC,C￡）上如何滑動，總有BE=CR

⑵當點E,尸在BC,8上滑動時，分別探討四邊形AECT的面積和回CEF的周長是否發生變化？如果不變,

求出這個定值；如果變化，求出最小值.

【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】

例題：（2022春?安徽合肥?八年級校考期中）如圖，E、F、G、//分別是四邊形ABCD四條邊的中點，順

次連接E、F、G、H得四邊形KFG/f,連接AC、BD,下列命題不正確的是（）

BFC

A.當四邊形ABCD是矩形時，四邊形跳‘GH是菱形

B.當四邊形ABCD是菱形時，四邊形瓦GH是矩形

C.當四邊形ABCD滿足ZB4D=NABC=90。時，四邊形￡FG”是菱形

D.當四邊形ABCD滿足=CB=CD時，四邊形EFG”是矩形

【變式訓練】

1.（2022春?北京西城?八年級校考期中）四邊形A3CD的對角線AC,BD交于點O,點、M,N,P,。分

別為邊A3,BC,CD,D4的中點.有下列四個推斷：

①對于任意四邊形ABCD,四邊形MNP。都是平行四邊形；

②若四邊形ABCD是平行四邊形，則MP與NQ交于點。；

③若四邊形A3CD是矩形，則四邊形MNP。也是矩形；

④若四邊形MNPQ是正方形，則四邊形ABCD也一定是正方形.

所有正確推斷的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

2.（2022秋?九年級課時練習）如圖，在四邊形A3CD中，E,尸分別是AD,8C的中點，G,H分別是

對角線8。，AC的中點，依次連接E,G,F,H,連接所，GH.

（2）當AB=CD時，斯與GH有怎樣的位置關系？請說明理由;

3.（2021春?上海長寧?八年級統考期末）如圖，BD、AC是四邊形ABCD的對角線，點E、F、G、X分別

是線段AO、DB、BC、AC上的中點

8

G

(1)求證：線段EG、FE互相平分；

(2)四邊形ABCD滿足什么條件時，EG，FW?證明你得到的結論.

4.(2021秋?陜西寶雞?九年級統考期末)已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H,

順次連接收、FG、GH、HE,得到四邊形屏8〃(即四邊形ABCD的中點四邊形).

⑴四邊形瓦6"的形狀是,請證明你的結論；

⑵當四邊形ABCD的對角線滿足條件時，四邊形EFGH是菱形;

⑶你學過的哪種特殊的平行四邊形的中點四邊形是菱形？請寫出一種.

5.(2021春?河北石家莊?八年級統考期中)四邊形ABC。中，點E、F、G、X分別為A3、BC、CD、DA邊

的中點，順次連接各邊中點得到的新四邊形EFGH稱為中點四邊形.

(1)我們知道：無論四邊形A8CQ怎樣變化，它的中點四邊形EFGH都是平行四邊形.特殊的：

①當對角線AC=時，四邊形ABCD的中點四邊形為形；

②當對角線AC1BD時，四邊形ABCD的中點四邊形是形.

(2)如圖：四邊形ABC。中，己知ZB=NC=60。，S.BC=AB+CD,請利用(1)中的結論，判斷四邊

形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀并進行證明.

【考向六特殊平行四邊形中的動態問題】

例題：（2022春?河北保定?八年級統考期末）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,/ZMB=60。，點E是AD邊的

中點.點〃是邊上一動點（不與點A重合），連接A/E并延長交。的延長線于點M連接MD、AN.

⑴求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）當A〃=l時，求證：四邊形AMDN是矩形；

（3）填空：當40的值為時，四邊形4WDN是菱形.

【變式訓練】

1.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級校考期末）如圖①，在矩形A3C。中，AB>AD,對角線AC,3。相交于

點。動點尸由點A出發，沿A-8玲C運動.設點尸的運動路程為x,A4。尸的面積為y,y與x的函數關

系圖象如圖②所示，則AB邊的長為（）

圖②

B.6.4C.7.2D.8

2.（2023秋?河南鄭州?九年級校考期末）如圖1,菱形ABC。中，,3=60。，動點尸以每秒1個單位的速度

自點A出發沿線段A2運動到點B,同時動點Q以每秒2個單位的速度自點8出發沿折線3-C-D運動到

點。.圖2是點P、。運動時，SBP。的面積S隨時間f變化關系圖象，則a的值是（）

3.(2022秋,廣西防城港?九年級統考期中)如圖，已知E是正方形ABCD內一點，EA=3,EB=2,EC=1.

將」EBC繞點B旋轉至，FBA,連結

⑴直接寫出E4、9的長度和々BE的度數.

(2)求E尸的長.

(3)試判斷ZXA正的形狀并說明理由.

4.(2022春?廣東江門?八年級校考期中)如圖，在矩形A3CD中，AB=6cm,AD=10cm,點尸在AZ)邊上

以每秒1c機的速度從點A向點。運動，點。在BC邊上，以每秒的速度從點C出發，在CB之間往返

運動，兩個動點同時出發，當點尸到達點。時停止(同時點。也停止運動)，設運動時間為t秒?>0).

A__P________________D

BQ__C

⑴用含f的式子表示線段的長度：PD=cm,

(2)當0</<2.5時，運動時間/為秒時，以A、P、Q、3為頂點的四邊形是矩形.

⑶當5</<10時，以P、D、0、B為頂點的四邊形有沒可能是平行四邊形？若有，請求出f；若沒有，請說

明理由.

專題08特殊平行四邊形的綜合問題

..【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】.....................................................1

【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】.......................................................3

【考向三特殊平行四邊形中定值問題】.......................................................4

【考向四特殊平行四邊形最小值問題】.......................................................6

【考向五特殊平行四邊形中點四邊形問題】...................................................7

【考向六特殊平行四邊形中的動態問題】....................................................10

瓢簟【直擊中考】

【考向一特殊平行四邊形中的折疊問題】

例題：（2022秋?甘肅蘭州?九年級統考期中）將矩形紙片ABC。沿3。折疊得到△BC'O,CD

與A3交于點E,若4=35。，則N2的度數為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】根據矩形的性質，可得NAB￡>=/1=35。，ZABC=90°,進而求得NDBC=55。,

根據折疊可得NDBC=ZDBC=55°,最后根據Z2=ZDBC-ZABD進行計算即可.

【詳解】解:回四邊形ABCD是矩形，

SCD//AB,ZABC=90°,

0ZABD=Z1=35°,

0ZDBC=ZABC-ZABD=55°,

由折疊可得ZDBC=ZDBC=55°,

EZ2=ZDBC-/DBA=55°-35°=20°,

故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的性質，平行線性質，折疊性質，角的有關計算等知識，解題的關

鍵是求出ZDBC和ZDBA的度數.

【變式訓練】

1.（2022秋?九年級課時練習）如圖，把菱形ABCD沿折疊，使瓦點落在5c上的E點處，

若々=70。，則的大小為（）.

A.15°B.20°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根據菱形的性質，已知菱形的對角相等，故推出N4DC=ZB=70。，從而得出

ZAED=ZADE.又因為AP//8C,故ZZME=ZA￡B,ZADE=ZAED,易得解.

【詳解】解：根據菱形的對角相等得ZADC=N8=70。.

AD—AB=AE，

:.ZAED=ZADE.

根據折疊得ZAEB=/B=70°.

AD//BC,

:.ZDAE=ZAEB=1O°,

ZADE=ZAED=(180°-ZZME)4-2=55°.

ZEDC=70°-55°=15°.

故選：A.

【點睛】此題要熟練運用菱形的性質得到有關角和邊之間的關系.在計算的過程中，綜合運

用了等邊對等角、三角形的內角和定理以及平行線的性質.注意：折疊的過程中，重合的邊

和重合的角相等.

2.（2021?云南紅河?統考一模）如圖，菱形ABC。的周長為8厘米，ZD=120°,點、M為AB

的中點，點N是邊AD上任一點，把—A沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當AN=

厘米時，3CE是直角三角形.

B

【答案】［或1

【分析】根據菱形ABCD的周長為8厘米可得菱形的邊長為2厘米，根據翻折的性質可得

/MBE=NMEB,根據題意分兩種情況進行討論：①當NEBC=90。時，根據菱形的性質可

得/ABC=120。，/A=60。，從而得至l」NAAW=N￡W=30。，ZMNA=90°,根據直角三角

形的性質求得AN的值；②當NBEC=90。時，點E落在菱形對角線AC上，根據點M為A3

的中點，MN為折痕，此時3D，AC于點E,可得點N為AD的中點，從而得到AN的值.

【詳解】解：國菱形ABCD的周長為8厘米，

S^B=BC=CD=AD=2厘米，

回點M為AB的中點，

13AM=BM=1厘米.

由翻折可知==

0/MBE=/MEB.

①當NEBC=90。時，Zr）=120°,

0ZABC=120°,ZA=60°,

SZMBE=ZMEB=30°,

EINaWE=120°,

0ZAMN=ZEMN=30°,

SZMNA=90°,AN=-AM

22

②當ZBEC=90。時，點E在以M為圓心，AM為半徑的圓上，也在以2C為直徑的圓上，根

據菱形A8CO的特點，可知點E落在菱形對角線AC上，

回點M為AB的中點，MN為折痕，此時3DLAC于點E,

回點N為AD的中點，AN=gAO=l厘米.

當.=；或1厘米時，3CE是直角三角形.

【點睛】本題考查了菱形的性質，翻折變換，直角三角形的性質.解題關鍵是熟練掌握各個

知識點.

3.（2022?安徽合肥?校考二模）如圖，在菱形ABCZ）中，ZA=120°,AB=2,點E是邊A3

上一點，以DE為對稱軸將.D4E折疊得到一DGE,再折疊BE使座落在直線EG上，點8的

對應點為點折痕為政且交BC于點F.

⑴ZDEF=；

(2)若點E是AB的中點，則DF的長為

【答案】90。##90度y

【分析】(1)由翻折可得NA￡D=N￡)￡GNBEF=NHEF,則

Z.DEG+NHEF=ZAED+NBEF,根據ZDEG+ZHEF+ZAED+ZBEF=180°,可得

ZDEG+NHEF=90°,即NDEF=90°.

(2)根據題意可得點G與點X重合，且點DG,尸三點在同一條直線上.過點D作

DMYBC,交8C的延長線于點M.由NA=120。，AB=2,可得NOCN=60。，CD=2,

則CM=!c￡)=l,DM=^Cr>=>/^,由翻折可得BF=FG,AD=DG=2,設3尸=x,則

22

4

MF=2-x+l=3-x,DF=2+x,由勾股定理可得(2+勸2=(3-媛+(6)2,解得了=子，

進而可得出答案.

【詳解】解：(1)由翻折可得/A￡D=/D￡G,ZBEF=ZHEF,

:.ZDEG+ZHEF=ZAED+ZBEF,

ZDEG+ZHEF+ZAED+ZBEF=180°,

ZDEG+ZHEF=90°,

gpZDEF=90°.

故答案為：90°.

(2)四邊形ABC。為菱形，

.-.AD//BC,

.-.ZA+ZB=180°,

由翻折可得AE=EG,BE=EH,ZA=ZEGD,NB=ZEHF,

點E是AB的中點，

AE=BE9

:.EG=EH,

即點G與點H重合.

ZEGD+/EHF=ZA+N5=180。，

???點。，G,尸三點在同一條直線上.

過點。作交5C的延長線于點

ZA=120°,AB=2,

:.ZDCM=60°,CD=2,

.-.CM=icD=l,DM=BcD=6,

22

由翻折可得即=FG,AD=DG=2,

設W=x,

貝ljA!F=2-x+l=3-x,DF=2+x,

由勾股定理可得(2+x)2=(3-媛+(V3)2,

4

解得％=二，

DF=—.

5

14

故答案為：y.

【點睛】本題考查翻折變換(折疊問題)、菱形的性質、勾股定理，熟練掌握翻折的性質是

解答本題的關鍵.

4.(2023春?江蘇?八年級專題練習)如圖1,在正方形ABCD中，點E為BC上一點，連接OE,

把一DEC沿。E折疊得到延長斷交AB于G,連接DG.

⑴求證：NEDG=45°.

(2)如圖2,E為BC的中點，連接

①求證：BF//DE；②若正方形邊長為6,求線段AG的長.

【答案】⑴證明見解析；

⑵①證明見解析，②線段AG的長為2

【分析】(1)由正方形的性質可得DC=ZM./A=/3=NC=NADC=90。，由折疊的性質

得出/￡)EE=/C,DC=DF,Z1=Z2,再求出NDPG=NA,DA=DF,然后由“HL”

證明RtADGA=RtADGF，由全等三角形對應角相等得出—3=/4,得出N2+N3=45°即可;

C2)①由折疊的性質和線段中點的定義可得CE=EF=BE,ZDEF=ZDEC,再由三角形

的外角性質得出/5="EC,然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；

②設AG=x,表示出GP、BG,根據點E是BC的中點求出BE、EF,從而得到GE的長

度，再利用勾股定理列出方程求解即可；

【詳解】(1)證明：如圖1：回四邊形A3C。是正方形，

圖1

:.DC=DA.ZA=ZB=ZC=ZADC=90°,

ADEC沿DE折疊得到ADEF,

/DFE=NC,DC=DF,N1=N2,

:.ZDFG=ZA=90°fDA=DF,

在RtADGA和RtADGF中，

(DG=DG

[DA=DF'

...Rt.DGA^Rt?DGF(HL),

.?.N3=N4,

/.ZEDG=Z3+Z2=-ZADF+-ZFDC,

22

=^(ZADF+ZFDC),

=-x90°,

2

=45°；

(2)證明：如圖2所示:

ADEC沿DE折疊得到ADE/，E為8C的中點，

:.CE=EF=BE,NDEF=/DEC,

Z5=Z6,

ZFEC=Z5+Z6,

ZDEF+NDEC=Z5+Z6,

:.2Z5=2ZDEC,

即N5=NDEC,

:.BF//DE-,

②解：設AG=x,貝！］GF=x,BG=6-x,

；,正方形邊長為6,E為BC的中點，

:.CE=EF=BE=-x6=3,

2

:.GE=EF+GF=3+x,

在RtZXGBE中，根據勾股定理得：(6-x)2+32=(3+x)2,

解得：x=2,

即線段AG的長為2.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性

質、勾股定理、翻折變換的性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證與計算是解決

問題的關鍵.

【考向二特殊平行四邊形中旋轉問題】

例題：(2021秋,陜西渭南?九年級統考階段練習)如圖，四邊形ABCD是矩形，以點B為旋

轉中心，順時針旋轉矩形ABCD得到矩形GBEF,點A,D,C的對應點分別為點G,F,

E,點。恰好在FG的延長線上.

⑴求證：ABDA咨ABDG：

(2)若AD=2,求D尸的長.

【答案】⑴見解析

(2)4

【分析】(1)由旋轉矩形ABCD可得AB=3G,ZA=NBGF=NDGB=90°,再根據斜邊為

公共邊，利用"印/可證得結論；

(2)由可知OG=AD,由旋轉矩形ABCD可知GV=AD,即可求得DF

的長度.

【詳解】(1)證明：回旋轉矩形ABCD得到矩形G3EF,

0AB=BG,ZA=NBGF=NDGB=90°,

在Rt和RtNBDG中，

BD=BD,BA=BG.

ERtAB^^RtABDG(HL).

(2)解：由RtaBZM/RtZXBDG可得DG=AO=2,

回旋轉矩形ABCD得到矩形GBEF,

S\GF=AD=2,

SDF=DG+GF=4.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、矩形的性質、解題關鍵是證明RtZkBDA空RtZkBDG,

利用矩形和旋轉性質求解.

【變式訓練】

1.(2022秋?廣東廣州?九年級廣州市第一一三中學校考期中)如圖，將矩形ABCD繞點A順

時針旋轉90。后，得到矩形AB'C'。'，如果CD=2ZM=2,那么CC'=.

【答案】710

【分析】連接CC',先根據矩形的性質和勾股定理求出AC,然后根據旋轉的性質和勾股定

理求出CC'即可.

【詳解】解：連接CC,

回矩形ABCD,CD=2DA=2,

0ZCZM=9O°,AD=1,

^AC=^AD2+CD2=5/5>

團將矩形ABCD繞點A順時針旋轉90。后，得到矩形AB'C力'，

0AC=AC'=75，ZCAC'=90°,

iscc=VAC2+AC,2=>/io.

故答案為：A/TO.

【點睛】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理等知識，掌握矩形的性質，旋轉的

性質，勾股定理是解題的關鍵.

2.（2022秋?天津河北?九年級天津二中校考期末）在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩

形，點。（0,0）,點4（3,0）,點3（0,4）.以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC,得到矩形

ADEF,點、O,B,C的對應點分別為。，E,F,記旋轉角為。（0°<夕<90。）.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當￡=30。時，求點。的坐標；

⑵如圖2,當點E落在AC的延長線上時，求點。的坐標;

⑶當點。落在線段OC上時，直接寫出點E的坐標.

【答案】⑴

⑶（6,4）

【分析】（1）過點。作。G_Lx軸于G,由旋轉的性質得出AD=AO=3,?=Z6HZ）=30°,

DE=0B=4,由直角三角形的性質得出。G=』AD=3,AG=^3DG=^-,得出

222

OG=OA-AG=2芋,即可得出點。的坐標為［上手，口；

(2)過點。作Z)G，x軸于G,,于H,則則G4=DH,HA=DG,由勾股定理得

1239

出AE=10,由面積法求出OH二不，得出OG=g,由勾股定理得出OG=g,即可得出點。

的坐標為;

(3)連接AE,作ECx軸于G,由旋轉的性質得：ZDAE=ZAOC,AD^AO,

由等腰三角形的性質得出NAOC=NADO,得出/ZME=NAOO,證出AE〃OC,由平行

線的性質的NG4￡=ZAOD,證出//ME=NGAE,證明AEG=AED,得出AG=A￡>=3,

EG=ED=4,得出OG=6,即可得出答案.

【詳解】(1)解：過點。作DGLx軸于G,如圖所示：

回點4(3,0),點3(0,4),

0AO=3,OB=4,

團以點A為中心，順時針旋轉矩形AO3C,得到矩形

0AD=AO=3,oc—Z.OAD=30°,DE=OB=4,

13qC

在心ZVIDG中，DG=—AD=—,AG=6DG=出,

222

6-3百

團CG=CA—AG=",

2

回點D的坐標為［"產，（］；

(2)過點。作軸于G,,于H,如圖所示:

貝|JG4=D〃，HA=DG,

團Z)E=O5=4,ZADE=ZAOB=90°,

0AE=VAD2+Z)E2=V32+42=5,

^\-AEDH=-ADDE,

22

ADDE3x4_12

團OH=

AE丁一《

(3)連接AE1,作EG_L無軸于G,如圖所示:

由旋轉的性質得：ZDAE=ZAOC,AD=AO,

^\ZAOC=ZADO,

^1ZDAE=ZADO,

^\AE//OC,

^Z.GAE=ZAOD,

BZDAE=ZGAE,

在△AEG和△AED中，

ZAGE=ZADE=90°

<ZGAE=ZDAE,

AE=AE

AEG^AED(AAS),

團AG=AZ>=3,EG=ED=4,

團OG=Q4+AG=3+3=6,

回點E的坐標為（6,4）.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理、全等三角

形的判定與性質、旋轉變換的性質、含30。角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是理

解題意，正確作出輔助線，屬于中考壓軸題.

3.（2022秋?山西呂梁?九年級統考期中）綜合與實踐

【情境呈現】如圖1,將兩個正方形紙片ABCD和AEFG放置在一起.若固定正方形ABCD,

將正方形A￡FG繞著點A旋轉.

DCDCDC

mi圖2G圖3

⑴【數學思考】如圖1，當點E在A3邊上，點G在AD邊上時，線段BE與OG的數量關系

是—，位置關系是.

⑵如圖2,是將正方形A￡FG繞著點A逆時針旋轉a度得到的，則（1）中的結論是否仍然

成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（3）【拓展探究】如圖3,若點。，E,G在同一條直線上，且AB=2AE=20,求線段8E的

長度（直接寫出答案）.

【答案1Q）BE=DG,BE1DG

⑵（1）中的結論成立，證明見解析；

⑶1+近

【分析】（1）由正方形性質可以得到BE與DG相等且垂直；

（2）由SAS可證△ABE/△ADG,可得3E=DG,ZABE=ZADG,由余角的性質可證

BE1DG-,

（3）由（2）問結論連接5。，表示出三邊即可利用勾股定理列方程解題.

【詳解】（1）回四邊形ABCD和AE尸G均為正方形，

SiBE±DG,AB=AD,AG=AE,

^1AB-AE=AD-AG,

即班1二次，

團3E與DG的數量關系是相等；位置關系是垂直

故答案為：相等；垂直

(2)(1)中結論成立，理由如下：

設BE交AD于。，DG于N,

團四邊形ABCD和A￡FG均為正方形，

團AE=AG,A5=AD,ZBAD=NE4G=90°,

^\ZBAE=ZDAG,

在和△ADG中，

AB=AD

<NBAE=NDAG,

AE^AG

EAABE^AADG(SAS),

BBE=DG,ZABE=ZADG,

^ZABE+ZAOB=90°,

ElZADG+ZAOB=ZADG+ZDON=90°,

回/￡WO=90°,

SBEJ.DG-,

(3)連接BD,

^AB=2AE=2y/2,

0AE=V2，

0EG=&AE=2,BD=yfiAB=4，

由(2)可得：ZBED=90°,BE=DG,

團在RtZXBED中，ED=DG—EG=BE—EG=BE—2,

貝1。62+防2=5￡)2,

0(BE-2)2+BE2=42

解方程得：BE=±77+1,

0BE=V7+1,

即線段BE的長度為力'+1.

D

B

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，旋轉的性

質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

【考向三特殊平行四邊形中定值問題】

例題：（2022秋?山東棗莊?九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,

M是AD上異于A和。的任意一點，且ME_LAC于E,M于尸，則ME+MP為

【分析】根據矩形的性質，AB=3,AD=4,可求出矩形的面積，AC,m的長，由此可知

△AOD的面積，根據SAAOD=S^OM+SwoM=|OA.ME+1OD.MF,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設AC與3D相交于點。，連接OM,

國在矩形ABCD中，AB=3,AD=BC=A,

?AC=BD=VAB2+BC2=732+42=5-S矩形4叱。==3x4=12,

回SAAOD=：S矩形g=：X12=3,OA=C>r)=1AC=|x5=|,

0ME1AC,MFLBD,

回S/\AOD=SAAOM+SWOM=°A.ME+—OD.MF,

回5AA0。--OA.ME+-OD.MF=-OA^ME+MF)=-x-x(ME+MF)=3,

^\ME+MF=—,

5

12

故答案為：—

【點睛】本題主要考查矩形的性質，等面積法求高，掌握矩形的性質，三角形的等面積法求

高是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023秋?吉林長春?八年級長春外國語學校校考期末）如圖，菱形ABCD的周長為20,面

積為24,尸是對角線上一點，分別作尸點到直線AB、AD的垂線段PE、PF,則PE+尸尸

等于______

【答案】y

【分析】首先利用菱形的性質得出Afi=M>=5,sABD=12,進而利用三角形面積求法得

出答案.

【詳解】解：連接AP,如圖，

團菱形A8C。的周長為20,

0AB=AD=5,

團S菱形ABC。=ABD，

X

回^VABD=_24=12,

而S^ABD=S^APB+S△虹D,PE_LAB,PF_LAD,

0-PEAB+-PFAD=12,

22

回5PE+5Pb=24,

24

^\PE+PF=-f

24

故答案為：y.

【點睛】本題考查了菱形的性質：菱形的對邊分別平行，四條邊都相等，兩條對角線互相垂

直平分，并且分別平分兩組內角.也考查了三角形的面積公式.

2.（2022春?四川成都,九年級成都市第二十中學校校考階段練習）如圖，已知點尸是菱形

ABCD的對角線AC延長線上一點,過點尸分別作AD,DC延長線的垂線，垂足分別為點E,

E若/ABC=120。，AB=2,則尸E—尸尸的值為.

【答案】6

【分析】設AC交3。于。，根據已知可得AC=2A/L而

PE-PF=|AP-1CP=1（AP-CP）=|AC,即可得至答案.

【詳解】設AC交3D于。，如圖：

在菱形ABCD中，

ZABC=120°,AB=2,

:"BAD=/BCD=60°,ZDAC=ZDCA=30°,AD=AB=2,BDLAC,

中，

Rt"C?0￡)=^AZ)=1,0A=5

2

AC=2OA=273,

RjAPE中，ZDAC=30°,PE=-AP,

2

Rt^CP尸中，ZPCF=ZDCA=30°,PF=-CP,

2

.■.PE-PF^AP-\CP^AP-CP^AC,

PE-PF=5

故答案為：＞/3.

【點睛】本題考查菱形的性質及應用，解題的關鍵是求出AC,把PER轉化為京仁

3.（2022?全國?八年級專題練習）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB=5丘,點E為對

角線AC上一動點，連接DE,過點E作EFLDE交BC于點R以OE、EF為鄰邊作矩形

DEFG,連接CG.

⑴求證：矩形DEFG是正方形；

⑵探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)是定值，CE+CG=10

【分析】(1)作出輔助線，得到=m，然后再判斷得到DENwFEM,

則有DE=￡F,即可判斷矩形DEFG為正方形；

(2)由四邊形ABCD為正方形，四邊形DEFG是正方形可知AD=CD,DE=DG,故可

得aADE.CDG,得到AE=CG,即可判斷CE+CG=10,為定值.

【詳解】(1)解:如圖所示，過E作硼，8。于加點，過E作EN_LCD于N點，

四邊形ABCD為正方形，

:.ZBCD=90°,

EM±BC,ENLCD,

ZEMF=ZENC=ZEND=90°,

.-.ZMEN=90°,

四邊形DEbG為矩形，

:.ZFED=90°,

ZMEN—/FEN=/FED—/FEN,即ZMEF=ZNED,

E是正方形ABCD對角線的點，

:.EN=EM,

在/DEN和似中，

NEMF=ZEND

<EM=EN,

NMEF=NNED

:._DEN工FEM(ASA),

ED=EF,

...矩形D￡FG為正方形.

(2)CE+CG的值為定值，

■矩形D￡FG為正方形，

:.DE=DG,ZEDG=9Q0,

?四邊形ABC。是正方形，

.\AD=DC,ZADC=90°f

ZEDG-ZEDC=ZADC-ZEDC,^ZADE=ZCDG,

在VAT■和QDG中，

AD=DC

</ADE=ZCDG,

DE=DG

.?一AD石MCDG(SAS),

:.AE=CG,

.\CE+CG=CE+AE=AC=y/2AB=10^

/.CE+CG=10.

【點睛】本題考查了正方形的性質與判定，矩形的性質，關鍵是結合圖形得出三角形全等.

4.(2022春?四川德陽?八年級統考期末)已知，如圖，矩形ABC7)中，AD=3,￡>C=4,菱

形EFG”的三個頂點E,G,H分別在矩形A8CO的邊A5,CD,QA上，AH=1,連接CR

備用圖

⑴當點G在邊DC上運動時；探究：點尸到邊。C的距離是否為定值？如果是，請求出

這個值；如果不是，請說明理由.

⑵當。G為何值時，arcG的面積最小，并求出這個最小值.

【答案】⑴點尸到邊DC的距離是定值，定值為1

(2)當。G=歷時，MCG的面積最小值為2-1岳

【分析】(1)連接GE,根據AB〃CD得到0AEG=I3MGE,”E〃GF得至膽]HEG=I3FGE之

后證明0AH￡I20M尸G即可得到結論；

(2)由題易知SMCG=；FM,CG=〈CG,要使SFCG的面積有最小值則需CG最小，于是

DG應最大，在RAAE”中，根據勾股定理可得"E的最大值，即施的最大值，在RfADGH

中，根據勾股定理可求0G的最大值，進而求得CG最小值，進而得到答案.

(1)

解：點尸到邊。C的距離是定值.

理由：連接GE

0AB//CD,

00A￡G=0A/G￡

0HE〃GF,

EBHEG=I3FGE

SSAEG-^HEG^MGE-^FGE,即E1AE//=I3MGF,

在她HE和EIMPG中，EA=[W=90°,HE=FG,

回回A/ffi非M/G,

^\FM=HA=\,

即無論菱形EFG”如何變化，點/到直線CD的距