新定義題型01壓軸小題全面歸納與解析

目錄

01模擬基礎練.....................................................2

題型一：集合新定義................................................2

題型二：函數與導數新定義..........................................2

題型三：立體幾何新定義............................................3

題型四：三角函數新定義............................................4

題型五：平面向量與解三角形新定義..................................4

題型六：數列新定義................................................5

題型七：圓錐曲線新定義............................................5

題型八：概率與統計新定義..........................................6

重難點突破：高等數學背景下新定義..................................7

02重難創新練.....................................................9

題型一：集合新定義

1.對于非空數集A,B,定義Ax8={(x,y)|xeA,ye3},將Ax3稱為“A與B的笛卡爾積”.記非空數集M

的元素個數為|凹，由笛卡爾積的定義可知若A,B是兩個非空數集，則

|AxA|+4|BxB|

的最小值是

\AxB\

2.已知集合&={%,%,…<%，"eN*,”23)具有性質P：對任意，、j(l<z<j<

與%-q至少一個屬于A.記/'(")=…4則Zb—

題型二：函數與導數新定義

3.曲率是數學上衡量曲線彎曲程度的重要指標，對于曲線y=/(無)，其在點5,/(%))處的曲率

K-丁，其中((x)是f(x)的導函數，/'⑺是尸(x)的導函數.則拋物線無2=2py(p>0)上的

22

{i+[/V0)]}

各點處的曲率最大值為()

-12

A.2PB.pC.-D.一

PP

4.丹麥數學家琴生是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別在函數的凹凸性與不等式方面留下了

很多寶貴的成果.若占,3,…，當為(。力)上任意“個實數，滿足

fQ+了+…+X,]<++…+"(,則稱函數“X)在(4,6)上為“凹函數”.也可設可導函數

\njn

/(x)在(。力)上的導函數為1f(x)J'(x)在(a,"上的導函數為4(x),當尸(力>0時,函數在(a,。)

上為“凹函數”.已知國,馬，…,％>0,?>2,且%+%+…+x“=1,令卬="^匚+丁"+…+/匚的最小值為

]一玉]-/1Z

，則"2024為()

202320242024n2025

C.D.----

2024202320252024

題型三：立體幾何新定義

5.在空間中，定義向量的外積：Gx方叫做向量M與5的外積，它是一個向量，滿足下列兩個條件：

@al（axb\b且落B和3x5構成右手系（即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指

的指向一致，如圖所示）；

②汗x5的模|MxB|=|1||5|sin〈萬,5〉，（〈。石〉表示向量。,B的夾角）.

在正方體ABC。-A片GA中，有以下四個結論，其中正確的個數是（）

①畫*相=畫、的；@（AB+AD）xA^=ABxA^-vADxAA^；

③荏乂而二而X；W；④%CDiCQ=（荏

A.1B.2C.3D.4

6.由空間一點。出發不共面的三條射線Q4,OB,OC及相鄰兩射線所在平面構成的幾何圖形叫三面

角，記為O-ABC.其中。叫做三面角的頂點，面AQB,BOC,CQ4叫做三面角的面，ZAOB,

NBOC,/AOC叫做三面角的三個面角，分別記為a,B,Y,二面角A—Q3—C、B-OA-C.

A-OC-5叫做三面角的二面角，設二面角A-OC-5的平面角大小為元,則一定成立的是（）

cosa-cos6cos/cosa+cos^cosy

A.cosx=----；---J---B.cosx=----；---J--

sin夕sin/sin/sin/

sina-sin￡sin/sincr+sin/?siny

C.cos%=--------------D.cosx=--------------

COSy^COS/,cos尸cos/

題型四：三角函數新定義

7.對集合｛知生，…,總和常數機，把刀=呼—二辿-M+?士吧”二，。定義為集合

k

｛4%,…9｝相對于相的“正弦方差”，則集合卜?。皆相對于根的“正弦方差”為（）

A.|B.正C.1D.與，〃有關的值

222

8.在數學史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經出現過下列兩種三角函數：定義

1-cos。為角。的正矢，記作誣41141-$皿6為角e的余矢，記作coversine,則下列命題中正確的是

JI

A.函數y二以^^八足工一世二皿了在—,7r上是減函數

B.若三：\二=2,則cosm2x.wsin2尤[

函數/ver2020x-三

C.(x)=sin1+coversin2020x+—，則/（%）的最大值2+0

I6

versin[^--0

D.=coversin

題型五：平面向量與解三角形新定義

9.托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內

接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其

意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和

差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.已知四邊形ABC。的四個頂點

在同一個圓的圓周上，AC、2。是其兩條對角線，BD=4拒,且AACD為正三角形，則四邊形ABC。的面

積為（）

D

A.1673B.16C.12A/3D.12

10.如圖，定義&、5的向量積［或可=同限!11,a為當百、萬的起點相同時，由方的方向逆時針旋轉到

與5方向相同時，旋轉過的最小角，對于"=（占,％）,。=（丐,/2）,。=伉,%）的向量積有如下的五個結論：

③區可:占%一々%；④[a,后+c]=[a,可+[a,c]；

其中正確結論的個數為（

A.1個B.2個

C.3個D.4個

題型六：數列新定義

11.定義：對給定的數列｛4｝、數列也｝和正整數機（"后2）,當〃x）=Z|啊aI取最小值時，對應的

則稱不為也｝對｛叫的前機項正比例近似系數.已知可=￡,bn=4-n,

和S,=,數列也,｝對｛%｝的前2項正比例近似系數為.

12.某個軟件公司對軟件進行升級，將序列A=升級為新序列A*=（%-%,%-的，%-%，…），

A*中的第"項為a.+i-%,若（A*）*的所有項都是3,且2=11，%=?則6=.

題型七：圓錐曲線新定義

13.（多選題）中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀

念，故命名為中國結.中國結有著復雜曼妙的曲線，我們可以將其簡化成單純的二維線條，其中的八字結對

應著數學曲線中的雙紐線，如圖，曲線C:（/+y2）2=912->2）是雙紐線，則下列結論正確的是（）

A.曲線C的圖象關于原點對稱

B.曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）

C.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

D.若直線>=履與曲線C只有一個交點，則實數%的取值范圍為

14.（多選題）在平面直角坐標系xOy中，到定點耳（-GO）,8（c,0）（c>0）距離之積等于c?的動點的軌跡稱

為伯努利雙紐線，片，入為該曲線的兩個焦點.已知曲線C：（好+y）2=8（》2一、2）是一條伯努利雙紐線，點

P（馬,"）是曲線C上一點，則（）

A.c=2

B.V2e{yJ(^,yJeC)

C.當N耳尸乙=60"時，|尸耳|+|P瑪|=2近

D.C上存在兩個點A8,使得Q4_LO3

題型八：概率與統計新定義

15.定義空間直角坐標系中的任意點P（x,y,z）的“N數”為:在尸點的坐標中不同數字的個數，如：

=1,N（1,1,2）=2,N（1,2,3）=3,點P的坐標x,%ze{0,2,4,6},則所有這些點P的“N數”的均值與最小值之

差為.

16.設隨機變量X所有可能的取值為1,2,n,且P（X=i）=R>01=l,2,…㈤，上>=1,定義

Z=1

n1

M（X）=￡PM+I.若PR=3,貝當”=3時，〃（X）的最大值為.

1=1”

17.在“維空間中（”》2,〃eN）,以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為"維坐標

（q,%,…，%）,其中%e{O,l}（lWiW〃,/eN）.定義：在“維空間中兩點…與也L，2）的曼哈頓

距離為k-R+l%-匈+…+|%-￡|?在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取

兩點間的曼哈頓距離，則E（X）=.

重難點突破：高等數學背景下新定義

18.（多選題）群論，是代數學的分支學科，在抽象代數中有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數

的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則

是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“■”是G上的一個代數運算，如果該運

算滿足以下條件：

①對所有的。、beG,有。

②Va、b、ceG,有（。力）七=。?（力c）；

③meeG,使得VaeG,有e-a=a-e=a,e稱為單位元；

④VaeG,mbeG,^_a-b=b-a=e,稱。與6互為逆元.

則稱G關于“?”構成一個群.則下列說法正確的有（）

A.G={-1,1}關于數的乘法構成群

B.實數集R關于數的加法構成群

C.G=,%卜='^■，機EZ,機wO,u{%,二〃，〃￡Z,〃w0}關于數的乘法構成群

D.G={a+J5“a,6eZ}關于數的加法構成群

19.（多選題）記"）（x）為函數“X）的〃階導數，/（"）（x）=,T（x）］（心2,〃eN*），若/■⑺⑺存在，

則稱“X）”階可導.英國數學家泰勒發現：若“X）在X。附近”+1階可導，則可構造

7；（同=/（%）+上）?-/）+小工?（彳一%）2+...+/^^（彳一七）"（稱其為/（x）在/處的“次泰勒多

項式）來逼近/（X）在無。附近的函數值.下列說法正確的是（）

A.若/（x）=sinr,則/⑺（x）=sin（x+即）B.若〃尤）=：,則/（"）⑺=（一1）"（曲3研

c.〃x）=cosx在X。=0處的3次泰勒多項式為心（元）=1D.e01-1.105

㈤2

//

1.（吉林省吉林地區普通中學2024-2025學年高三上學期第二次模試考試數學試題）定義：到定點（。山）的

距離為定值d的直線系方程為（尤-a）cos0+（y-Z?）sin9=d（0eR）,此方程也是以（。,切為圓心，d為半徑的

圓的切線方程.則當。變動時，動直線xcos2e+ysin20=2cos2e（9eR）圍成的封閉圖形的面積為（）

A.1B.2C.兀D.4TI

2.（上海市青浦區2024-2025學年高三上學期期終學業質量調研（一模）數學試卷）已知函數y=/（x）是

定義在R上的奇函數，且當x>0時，f（x）=（x-l）（x-3）+0.01,則關于函數y=/（x）在R上的零點的

說法正確的是（）.

A.有4個零點，其中只有一個零點在區間（-3,-1）上

B.有4個零點，其中兩個零點在區間上，另外兩個零點在區間（1,3）上

C.有5個零點，兩個正零點中一個在區間（0,1）上，一個在區間（3,+8）上

D.有5個零點，都不在（0,1）上

ac

3.《福建省龍巖市一級校聯盟2。24-2。25學年高三上學期11月期中聯考數學試題）已知人-兒,

a/W+l

定義運算@"(x)@g(x)=，其中廣（x）是函數f（x）的導數.若以無）=（ln元）設實

/(尤)g(x)

數。>0,若對任意尤>0,O（x）20恒成立，貝I。的最小值為（）

A.—B.—C.eD.2e

2ee

4.（浙江省湖州、衢州、麗水等3地市2024-2025學年高三上學期11月教學質量檢測數學試題）雙曲線的

另一種定義：動點”（蒼丫）與定點F（GO）的距離和它與定直線/：x=式的距離的比是常數￡（0<a<c）,

ca

則點M的軌跡是一個雙曲線.動點M與定點F（A/3,0）的距離和它與定直線/：x=/的距離的比是石，則

點M的軌跡方程為（）

2

r丫2

C.—-y2=1D.y2--=l

2-2

5.（四川省2025屆高三上學期入學摸底考試數學試題）定義：如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合

的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集A，&，…,A^eN*）,且AU&ULU4=。，那么稱子集族

｛4,…構成集合U的一個女劃分.已知集合/=｛xeN|d_6x+5<0｝,則集合/的所有劃分的個數

為（）

A.3B.4C.14D.16

6.（安徽省2024屆新高考數學預測模擬卷（六））給出定義：若函數/（X）在。上可導，即/'（X）存在，且

導函數/（X）在D上也可導，則稱〃尤）在D上存在二階導數，記〃⑴=（廣（以.若廣⑺<0在。上恒成

立，則稱/（X）在。上為凸函數.以下四個函數在（。胃）上不是是凸函數的是（）

A./（x）=sinx+cosxB./（x）=lnx-2x

C./（x）=-x3+2x-lD./（x）=-xe-x

7.（2025屆高三天樞杯第二屆線上聯考數學試題）我們稱兩個正整數〃和人互素，當且僅當〃和〃的最大

公因數是1,我們定義。⑺（〃eZ+）是小于〃的正整數中和〃互素的數的個數，例如即6）=2.是因為小于

6的數中只有1與5和6互素.那么以下說法錯誤的是（）

A.有無限多個正整數況使。（〃）

B.有無限多個正整數鼠使。（"）<]

C.。（〃）=1的解只有1和2

D.對于任意正整數力，都有機使得肢（相）=〃

8.（新疆維吾爾自治區2025屆高三上學期11月新課標卷大聯考數學試卷）定義：對于數列｛玉｝若存在

M>0,使得對一切正整數“，恒有同<〃成立，則稱｛招｝為有界數列.設數列｛%｝的前力項和為工，則

下列選項中，滿足⑸｝為有界數列的是（）

1

A.a=2n-lB.

nJ幾+1+?

9.（多選題）（遼寧省2024-2025學年高三上學期第二次聯合調研數學試題）已知函數/（尤）是定義在

（-s,O）U（。,一）上的奇函數，且當x>0時，/（尤）=e，ox+e3,對于數列｛/區）｝5=1,2,3,4）,若

xt<x2<x3<x4,下列說法不正確的是（）

A.存在a<0的等比數列｛%｝,使得｛/（%）｝為等比數列

B.VaeR,均存在等差數列｛x.｝,使得｛/（4）｝為等差數列

C.V?eR,均不存在等比數列｛%｝,使得｛/（七）｝為等差數列

D.若存在等差數列｛相｝,使得｛/（%"）｝為等比數列，且％+電=0,則。的最小值為:e'+^e

10.（多選題）（山東省煙臺市2024-2025學年高三上學期1月期末學業水平診斷數學試題）若數列｛。“｝滿

足㈤<1,則稱其為“H數列”.給定數列4T小?N*）,若A-為“H數列”，定義心上的T變換：從如中

a+a-

任取兩項即力,將T2―添加在A-所有項的最前面，然后刪除知力,記新數列為《（約定：一個數也

1+aQj

視作數列），下列結論正確的有（）

A.若aie（O,l）,%+i=2a,-sina“，則數列｛4｝為““數列”

B.若4e（0,l）,a“+i=ln（2_a“）+a”,則數列｛%｝為數列”

C.若無窮數列為為“//數列”，則4+/為“我數列”

D.若數列4為則4.2為"：+"2（〃>2）

234n匯+〃+2'7

11.（多選題）（山東省荷澤市2022屆高三二模考試數學試題）設。，匕為兩個正數，定義。，b的算術平

均數為A（a,6）=審，幾何平均數為G（q,6）=疝.上個世紀五十年代，美國數學家D.H.Lehmer提

出了均值”，即（）其中為有理數，則下列結論正確的是（）

“Lehmer4a,b=plpxP

八'a~+b~

A.4.5（。3）V4（a,>）B.4（a,6）4G（a,b）

C.C（a，6）VA（a，，）D.Ln+i(a,b)<Ln(a,b)

12.（多選題）（安徽省淮南市和淮北市2024-2025學年高三上學期第一次質量檢測數學試題）如圖，點

P(",3是以(1,0),(0,1),(TO),(OT)為頂點的正方形邊上的動點，角。以Ox為始邊，。尸為終邊，定義

bZT

s(o)=麗，c⑻=麗?則(

A.s']=g,C⑺=1

B.s[+?=C⑻

C.函數y=S(x),xe0弓的圖象關于點j對稱

D.函數y=S(x),xe[0,2可的圖象與無軸圍成封閉圖形的面積為兀

13.(湖北省襄陽市部分學校2022-2023學年高二下學期3月聯考數學試題)現代建筑講究的線條感，曲線

之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若/'⑺是