重難點突破03陰影部分面積求解問題

目錄

方法一直接公式法

方法二和差法

題型01直接和差法

題型02構造和差法

題型03割補法

類型一全等法

類型二等面積法

類型三平移法、旋轉法

類型四對稱法

題型04容斥原理

【基礎】設。0的半徑為R,n°圓心角所對弧長為I,n為弧所對的圓心角的度數，則

扇形弧長公式[=噤（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關，且n表

lol）

示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位.）

nnR21,

扇形面積公式Sc扇形=360=2ZR

圓錐側面積公式S圓錐側=Tirl（其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=nrl+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h,圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

【方法技巧】

1）利用弧長公式計算弧長時，應先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結果.在弧長公式

[=峭中，已知1,必R中的任意兩個量，都可以求出第三個量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時，關鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數或扇形的弧長，然

后直接代入公式S扇形=嘿或S扇形=中求解即可.

3602

3）扇形面積公式S扇形=|ZR與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形、

把弧長1看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，1,n,R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量.

5）在解決有關圓錐及其側面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，即

27TL寢，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側面展開圖扇形圓心角n。之間的關系，有時也根據圓

錐的側面積計算公式來解決問題.

6）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的

弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長.注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開

后的扇形半徑兩個概念.

【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規則的圖

形的面積轉化為規則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構造和差法

法全等法

等面積法

和差法割補法平移法

旋轉法

對稱法

容斥原理

1）直接用公式求解.

圖形公式

S陰影=S扇形ABC

A)c

VB

S陰影=SAABC

4

B

S陰影=S四邊形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面積的圖形是一個不規則圖形，可將其轉化變成多個規則圖形面積的和或差，進行求解.

①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形士S常見圖形）

圖形面積計算方法圖形面積計算方法

AS陰影=S、ACB-S扇0S陰影一S扇形AOB—

形ABDSAAOB

BXc

S陰影=SaAOB-S扇,4,^______,DS陰影=S扇形BAD-

形COD以S半圓AB

S陰影=S半圓AB-CLs陰影=s扇形之和

_nnR2_TIR2

SAAOB

3602

ABJvJ

S陰影=S扇形EAF-

SAADE

巨l

,4^---------R

②構造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構造扇形、三角形或特殊四邊形，然后進行相加減。）

圖形公式

國心S陰影=S扇形AOC+SABOC

S陰影=SAODC-S扇形DOE

S陰影二S扇形AOB-S^AOB

S陰影=S扇形BOE+SAOCE-S扇形COD

3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用

公式法或和差法創造條件，從而求解.

①全等法

圖形公式

S陰影=SAAOB

r

a，心%S陰影=S扇形BOC

eD,

S陰影=S矩形ACDF

力士A

0LCA()c

S陰影=S正方形PCQE

②等面積法

圖形公式

S陰影=S扇形COD

圖形公式

當陰影部分是由幾個圖形疊加形成時,

1）需先找出疊加前的幾個圖形；

2）然后理清圖形之間的重疊關系.

圖形（舉例）公式

S陰影=S扇形BAB，+S半圓AB-S半圓AB

11

AB

B

S陰影=S半圓AC+S半圓BC-SAACB

CA

CS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD-SAACB

ADEB

方法一直接公式法

1.（2022?湖北武漢?校考三模）如圖，4B是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、CA為半徑向內作直角

扇形，再以。為圓心、DC為半徑向內作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若4B=10,則陰影部分的面積

為（）

A.167rB.127rC.87rD.47r

2.（2023?四川成者B?校考三模）如圖，在矩形ABC。中，AB=1,BC=2,以8為圓心，BC的長為半徑畫弧，

交4。于點E若將一骰子（看成一個點）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為

3.（2023?吉林長春?吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在RtAZBC中，^BAC=90°,BC=6,點。是

BC的中點，將力。繞點A按逆時針方向旋轉90。得4）.那么圖中陰影部分的面積為

D'

A

D

方法二和差法

題型01直接和差法

4.（2019上?河北石家莊?九年級統考期中）已知點C在以48為直徑的半圓上，連接AC、BC,AB=10,

5.（2023?青海?統考中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長是4,分別以點A,B,C,。為圓心，2為半徑

作圓，則圖中陰影部分的面積是（結果保留兀）.

6.（2023?湖南婁底?統考一模）如圖，在等腰直角三角形4BC中，ZC=90°,AC=V2,以點C為圓心畫弧

與斜邊力B相切于點D,交力C于點E,交BC于點F,則圖中陰影部分的面積是.

7.（2023?山東濟南?統考中考真題）如圖，正五邊形48CDE的邊長為2,以4為圓心，以AB為半徑作弧BE,

則陰影部分的面積為（結果保留兀）.

A

B、E

題型02構造和差法

8.（2023?四川瀘州?統考模擬預測）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,。。為RtAABC的

內切圓，則圖中陰影部分的面積為（結果保留n）（）

A

b\

CB

A-TB.6一￥C.5—胡D.3+與

9.（2022?湖北恩施?統考模擬預測）如圖，在平行四邊形4BCD中，AD=2,AB=4,乙4=30。，以點4為

圓心，4D的長為半徑畫弧交力B于點E,連接CE,則陰影部分的面積是（）

D/

AEB

A.3fB.3n-jC.|nD.*3

10.（2023?安徽?模擬預測）如圖，。。的半徑為2,AB=2<3,則陰影部分的面積是.（結果保留兀）

11.（2023上?安徽六安?九年級校考期末）如圖，在RtAABC中，乙C=90°,乙4=60°,AC=2.點、D為BC邊

的中點，以點。為圓心，CB長為直徑畫半圓，交AB于點E,則圖中陰影部分的面積為.（結

果保留兀）

12.（2022?廣東江門?鶴山市沙坪中學校考模擬預測）如圖，在半徑為花，圓心角等于45。的扇形40B內部作

一個正方形CDEF,使點C在。力上，點D、E在OB上，點F在上，則陰影部分的面積為.

13.（2022?福建?一模）如圖，在平行四邊形紙板4BCD中，點E,F,。分別為力B,CD,BD的中點，連接

DE,OF,BF.將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為.

14.（2023?廣東梅州?校考二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知經過原點。，與x軸、y軸分別交于

A、8兩點，點8坐標為（0,2百），OC與。D交于點C,AOCA=30°,則圓中陰影部分的面積

為.

15.（2023?河南周口?淮陽第一高級中學校考模擬預測）如圖，扇形力MB的圓心角=60。，將扇形4MB

沿射線MB平移得到扇形CMD,已知線段CN經過48的中點E,若=2g，則陰影部分的周長為.

16.（2024?西藏拉薩?統考一模）如圖，等腰△力BC的頂點A,C在O。上，BC邊經過圓心0且與。。交

于。點，乙B=30°.

(1)求證：4B是O。的切線；

(2)若A8=6,求陰影部分的面積

17.(2023?山西長治?統考模擬預測)如圖，在AZBC中,CA=CB,AB=4,點。是4B的中點，分別以點4、

B、C為圓心，4D的長為半徑畫弧，交線段2C、BC于點、E、F、(；、H,若點E、F是線段力C的三等分點時，

圖中陰影部分的面積為()

C

A

M

A.8V2-2TTB.16V2-4TTC.8/一4nD.16V2-2TT

18.(2022?湖北武漢?校考模擬預測)己知AB是。。的直徑,D4D1入BC是。。的三條切線，切點分別為4、E、

B,連接0E.

ADAD

BCBC

圖1圖2

(1)如圖1,求證：0E2=DE-CE；

(2)如圖2,AD=1,BC=3,求圖中陰影部分的面積.

題型03割補法

類型一全等法

19.（2022上?安徽阜陽?九年級校考期末）是。。的直徑，弦6148,“=30。，CD=4百，則S陰影=

C.-71D.4兀

3

20.（2023?山西晉城?模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=1,以點4為圓心，矩形的長4。為半徑畫弧,

交BC于點E,交48的延長線于點F,若力E恰好平分NBA。，則陰影部分的面積為（）

7T-V2-1C2V2+7T

A.1D.V2-1

.4

21.（2023?內蒙古?統考中考真題）如圖，正方形4BCD的邊長為2,對角線相交于點。，以點8為圓心,

對角線BD的長為半徑畫弧，交BC的延長線于點E,則圖中陰影部分的面積為.

22.（2022?青海?統考中考真題）如圖，矩形力BCD的對角線相交于點。，過點。的直線交4。，BC于點E,F,

若48=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為

23.（2022上?江西南昌?九年級統考期末）如圖，半徑為10的扇形04B中，AAOB=90°,C為弧4B上一點,

CD1OA,CE1OB,垂足分別為D,E.若NCDE=40。，則圖中陰影部分的面積為（）

.40_110_100r

A.—ITB.—nC.—TCD.10TT

399

類型二等面積法

24.（2023?遼寧錦州?統考二模）如圖，在A4BC中,AB=AC,以■為直徑的。。與ZB,BC分別交于點

E,連接AE,DE,若NBED=45。，AB=2,則陰影部分的面積為（）

25.（2023?山西大同?校聯考模擬預測）閱讀與思考

下面是小明的數學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應的任務：

通過構造全等三角形來解決圖形與幾何中的問題

在圖形與幾何的學習中常常會遇到一些問題無法直接解答，需要作輔助線構造全等三角形才能得到解決，

比如下面的題目中出現了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交，構造全等三

角形，再運用全等三角形的性質解決此問題.

例：如圖1,。是A/IBC內的點，且2D平分NB4C,CD1AD,連接BD.若AABC的面積是10,求圖中陰影

部分的面積.

A

圖1

該問題的解答過程如下：

解：如圖2,延長CD交于點E

〈AO平分NR4C,

/.DAB=乙DAC.

*：AD1CD,

：./-ADC=乙ADE=90°.

在△ADE和△ADC中，

\LDAB=乙DAC

AD=AD

/ADC=Z-ADE

：.△ADEADC(ASA).

^^ADE=S^ADC(依據*)，ED=DC.

任務：

(1)上述解答過程中的“依據*”是指」

(2)請將上述解答過程的剩余部分補充完整；

(3)如圖3,在△ABC中，^ABC=90°,AB=BC,2。平分NB4C交BC于點Z),CE1力。交4。的延長線于點

E,連接BE.若BE=5,請直接寫出力D的長.

A

圖3

26.（2023上?遼寧撫順?九年級統考期末）如圖,C,。是以AB為直徑的半圓上的兩點，連接8C,CD,AC,BD,

BC=CD,^ACD=30°,AB=12,則圖中陰影部分的面積為.

類型三平移法、旋轉法

27.（2023?山西大同?校聯考模擬預測）如圖，正六邊形A8CDEF內接于半徑為8cm的O。中，連接CE,4C,

AE,沿直線CE折疊，使得點。與點。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

A.32V5cm2B.8V5cm2C.8Tlem2

28.（2023?浙江?模擬預測）如圖，△ABC是直角邊長為2的等腰直角三角形，直角邊力B是半圓內的直徑,

半圓。2過C點且與半圓。】相切，則圖中陰影部分的面積（）

29.（2018?山西?統考中考真題）如圖，正方形ABC。內接于。。，。。的半徑為2,以點A為圓心，以AC

長為半徑畫弧交A5的延長線于點肛交A。的延長線于點R則圖中陰影部分的面積為（）

C.8K-4D.8兀一8

類型四對稱法

30.（2017上?山東東營?九年級校聯考期末）如圖，以4B為直徑，點。為圓心的半圓經過點C,若2C=BC=

V2,則圖中陰影部分的面積是

31.（2023?廣西北海?統考三模）如圖，在平行四邊形4BCD中，對角線AC,BD相交于點。，EF過點O,交

4D于點尸，交BC于點E.若力B=3,AC=4,AD=5,則圖中陰影部分的面積是（）

A.1.5B.3C.6D.4

32.（2023?河北保定?統考一模）如圖，在正方形力BCD中，AC和BD交于點0,過點。的直線EF交力B于點E（E

不與2,B重合），交CD于點F.以點。為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點M,N.若4B=1,則圖中陰影

部分的面積為（）

33.（2022?山東荷澤?統考二模）如圖，等邊三角形4BC內接于。0,半徑。4=3,則圖中陰影部分的面積

是，（結果保留it）

A

34.（2023?江蘇南通?統考二模）如圖，在。。中，弦4B垂直于半徑。C,垂足為。，點E在。C的延長線上,

且NEAC=乙CAB.

（1）求證：直線4E是。。的切線；

（2）若。E=6,sinzF=求圖中陰影部分的面積.

題型04容斥原理

35.（2022上?重慶?九年級重慶巴蜀中學校考期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,分別以AB、BC、AC邊

為直徑作半圓，圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”.當AB=8,8c=4時，則陰影部分的面

積為________

36.（2021?廣東江門.校考三模）如圖，28是半圓。的直徑，以。為圓心，OC長為半徑的半圓交4B于C,。兩

點，弦4F切小半圓于點E.已知4B=4,Z.BAF=30°,則圖中陰影部分的面積是（）

ACODB

Av3.71

A.——I--C.六D.AW

23

37.（2023?廣東肇慶?統考三模）如圖，在RtAABC中，乙4c8=90。，NB=30。，AC=2,以點C為圓心,

CA長為半徑畫弧，交BC于點。，交4B于點E,則圖中陰影部分的面積是.（結果保留萬）

38.（2022?河南?統考中考真題）如圖，將扇形AOB沿方向平移，使點。移到。8的中點O處，得到扇

形若/O=90。，OA=2,則陰影部分的面積為

39.（2023?河南信陽?校考三模）如圖，在扇形。48中，^AOB=150°,將扇形OA8繞點A順時針旋轉得到

扇形。%夕，點。的對應點。'恰好落在4B上，若。4=2,則圖中陰影部分的面積為.

40.（2023?山西忻州?統考模擬預測）如圖，將直徑為4的半圓形分別沿CD,EF折疊使得直徑兩端點4B的

對應點都與圓心。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

2

n2

A-28一”3-V3C.2V3-inD.-n-V3

41.（2023?江蘇泰州?校考三模）在RtAABC中，/ABC=90。，以△ABC的三邊為直徑在BC同側作半圓，得

兩個月牙（圖中陰影），過點A作BC的平行線，分別和以4B、BC為直徑的半圓交于。、E兩點，若AD=

4,AE=5,則陰影部分的面積和為

42.（2022?山西長治?統考一模）已知：如圖，在Rt△力BC中，AABC=90°,AC=12,BC=6,以4B為直

徑的圓與以BC為直徑的圓交AC于點D,則圖中陰影部分的面積為.

43.（2023?吉林長春?吉林省第二實驗學校校考二模）如圖，RtAABC中，N4CB=90°,AC=60°,AC=4,

以4為圓心，AC長為半徑畫弧，交力B于點E,以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交2B于點0.則圖中陰影部分

的面積為（結果保留兀）.

重難點突破03陰影部分面積求解問題

目錄

方法一直接公式法

方法二和差法

題型01直接和差法

題型02構造和差法

題型03割補法

類型一全等法

類型二等面積法

類型三平移法、旋轉法

類型四對稱法

題型04容斥原理

【基礎】設。0的半徑為R,n°圓心角所對弧長為I,n為弧所對的圓心角的度數，則

扇形弧長公式[=噤（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關，且n表

lol）

示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位.）

nnR21,

扇形面積公式Sc扇形=360=2ZR

圓錐側面積公式S圓錐側=Tirl（其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=nrl+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

圓錐的高h,圓r2+h2=I2

錐的底面半徑r

【方法技巧】

1）利用弧長公式計算弧長時，應先確定弧所對的圓心角的度和半徑，再利用公式求得結果.在弧長公式

[=峭中，已知1,必R中的任意兩個量，都可以求出第三個量.

180

2）在利用扇形面積公式求面積時，關鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數或扇形的弧長，然

后直接代入公式S扇形=嘿或S扇形=中求解即可.

3602

3）扇形面積公式S扇形=|ZR與三角形面積公式十分類似為了便于記憶，只要把扇形看成一個曲邊三角形、

把弧長1看成底，R看成底邊上的高即可.

4）根據扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，1,n,R中的任意兩個量，都可以求出另外兩個量.

5）在解決有關圓錐及其側面展開圖的計算題時，常借助圓錐底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，即

27TL寢，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側面展開圖扇形圓心角n。之間的關系，有時也根據圓

錐的側面積計算公式來解決問題.

6）求弧長或扇形的面積問題常結合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側面展開即為扇形，而這個扇形的

弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長.注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開

后的扇形半徑兩個概念.

【陰影部分面積求解問題簡介】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規則的圖

形的面積轉化為規則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構造和差法

法全等法

等面枳法

和差法割補法平移法

旋轉法

對稱法

容斥原理

1）直接用公式求解.

圖形公式

S陰影=S扇形ABC

A)c

VB

S陰影=SAABC

4

B

S陰影=S四邊形ABCD=ab

B壬

C

2）和差法：所求面積的圖形是一個不規則圖形，可將其轉化變成多個規則圖形面積的和或差，進行求解.

①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形士S常見圖形）

圖形面積計算方法圖形面積計算方法

AS陰影=S、ACB-S扇0S陰影一S扇形AOB—

形ABDSAAOB

BXc

S陰影=SaAOB-S扇S陰影=S扇形BAD-

形CODS半圓AB

4區k------'（：i

S陰影=S半圓AB-s陰影=s扇形之和

C_nnR2_TIR2

SAAOB

ABL3602

S陰影=S扇形EAF-

SAADE

巨4^---------嗚

②構造和差法（所求陰影部分面積需要添加輔助線構造扇形、三角形或特殊四邊形，然后進行相加減。）

圖形公式

國心S陰影=S扇形AOC+SABOC

S陰影=SAODC-S扇形DOE

S陰影二S扇形AOB-S^AOB

S陰影=S扇形BOE+SAOCE-S扇形COD

3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用

公式法或和差法創造條件，從而求解.

①全等法

圖形公式

S陰影=SAAOB

S陰影=S扇形BOC

D,

S陰影=S矩形ACDF

0（：A0c1

S陰影=S正方形PCQE

②等面積法

圖形公式

S陰影=S扇形COD

圖形公式

4）容斥原理

當陰影部分是由幾個圖形疊加形成時,

1）需先找出疊加前的幾個圖形；

2）然后理清圖形之間的重疊關系.

圖形（舉例）公式

S陰影=S扇形BAB，+S半圓AB-S半圓AB

11

AB

B

S陰影=S半圓AC+S半圓BC-SAACB

CA

CS陰影=S扇形AEC+S扇形BCD-SAACB

\

ADEB

方法一直接公式法

1.（2022?湖北武漢?校考三模）如圖，4B是半圓的直徑，點C在直徑上，以C為圓心、C4為半徑向內作直角

扇形，再以。為圓心、DC為半徑向內作直角扇形，使點E剛好落到半圓上，若4B=10,則陰影部分的面積

為（）

A.167rB.127rC.87rD.47r

【答案】c

【分析】過點E作EF14B于點F,連接4E,BE,首先證明△4E尸?△E8F,設4C=為則4F=2x,BF=

10-2%,EF=x,利用相似三角形的性質列方程即可求出工的值，再利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解:如圖，過點E作EF14B于點F,連接4E,BE,

?MB是半圓的直徑，

：./.AEB=90°,即NEAB+Z.EBA=90°,

?-EF1AB,

...乙4FE=乙EFB=90°,

+^AEF=90°,

'-Z-EBA=Z-AEF9

AEF—△EBF,

BPEF2=AF-BF,

EFBF

設AC=X,

?；EF1AB,且由作圖可知陰影部分是兩個半徑相等的半圓,

???四邊形DCFE是正方形，

-'-CD=DE=EF=CF=AC=x,

-'-AF=2x,

■■.BF=10—2x,

■■x2=2x(10—2x),

=0(舍去)，x2=4,

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形和扇形的面積，熟練掌握相似三角形的判定和性質以及扇形的面積公式是

解題的關鍵.

2.（2023?四川成都?校考三模）如圖，在矩形4BCD中，=1,BC=2,以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，

交4。于點E.若將一骰子（看成一個點）投到矩形2BCD中，則骰子落在陰影部分的概率為.

【分析】本題考查了幾何概率，先根據銳角三角函數求出入4￡8=30。，再根據扇形面積公式求出陰影部分

的面積，最后根據幾何概率的求法解答即可.

【詳解】解：?以8為圓心，BC的長為半徑畫弧，交4D于點E,

：.BE=BC=2,

在矩形4BCD中，Z/1=^ABC=90°,AB=1,BC=2,

AB

???.sixiZ4-lAnEB=—=1一,

BE2

J.Z-AEB=30°,

：.Z.EBA=60°,

:?乙EBC=30°,

...陰影部分的面積：S=§箸

???矩形的面積為2,

1

.??將一骰子（看成一個點）投到矩形ABCD中，則骰子落在陰影部分的概率為弓=；TT,

26

故答案為：

3.（2023?吉林長春?吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在RtAABC中，Z.BAC=90°,BC=6,點。是

BC的中點，將力D繞點A按逆時針方向旋轉90。得力那么圖中陰影部分的面積為.

【答案】v

4

【分析】先根據直角三角形的性質求出力D的長，再由扇形的面積公式即可得出結論.

【詳解】解：；在RtAABC中，/.BAC=90°,BC=6,點。是BC的中點，

：.AD—BC=3,

2

.?_90°TTX32_97r

??3扇形=360。=7，

故答案為：V-

4

【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵.

方法二和差法

題型01直接和差法

4.(2019上?河北石家莊?九年級統考期中)已知點C在以4B為直徑的半圓上，連接AC、BC,AB=10,

BC\AC=3:4,陰影部分的面積為.

【答案】fit-24

【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據48=10,BC-.AC=3-.4,可以

求得4C,BC的長，再根據半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進行計算.

【詳解】解：???4B為直徑，

.-./.ACB=90°,

BC-.AC=3:4,

設=3a,AC=4a(a>0),

AC2+BC2=AB2,即(4a)2+(3a)2=102,

解得：a=2,

BC=6,AC=8,

S陰影—S半圓一^LABC=5X11x52—3X8x6=511—24.

故答案為：§n—24.

【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

5.(2023?青海?統考中考真題)如圖，正方形A8CQ的邊長是4,分別以點A,B,C,。為圓心，2為半徑

作圓，則圖中陰影部分的面積是(結果保留兀).

【答案】16—4兀/—4兀+16

【分析】分析出陰影面積=正方形面積-圓的面積，再利用相應的面積公式計算即可.

【詳解】解：由圖得，陰影面積=正方形面積-4個扇形面積，

即陰影面積=正方形面積一圓的面積，

S陰影=42-7T,22=16—47r.

故答案為：16-4兀.

【點睛】本題考查了扇形面積的求法，正方形面積及圓的面積的求法是解題關鍵.

6.（2023?湖南婁底?統考一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，4。=90。，AC=&,以點C為圓心畫弧

與斜邊力B相切于點D,交2C于點E,交BC于點尸，則圖中陰影部分的面積是.

【答案】1-J

4

【分析】連接CD,利用等腰直角三角形的性質求得扇形的半徑，再利用圖中陰影部分的面積=SA.C-

S扇形CE押可解答?

【詳解】解：連接CD,如圖，

???以點C為圓心畫弧與斜邊相切于點。,

???CD1AB,

???△4CB為等腰直角三角形，

???CD=4D=BD=-AB.

2

AB=y[2AC=V2-V2=2,

??.CD=1,

二?陰影部分的面積=S—BC—S扇形CEF

=ixV2xV2-^

24

=1--.

4

故答案為：1-不

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質、圓的切線的性質定理、扇形、三角形的面積等知識點，

連接經過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線.

7.（2023?山東濟南?統考中考真題）如圖，正五邊形4BCDE的邊長為2,以力為圓心，以4B為半徑作弧BE,

則陰影部分的面積為（結果保留兀）.

D

【答案】Y

【分析】根據正多邊形內角和公式求出正五邊形的內角和，再求出入4的度數，利用扇形面積公式計算即可.

【詳解】解:正五邊形的內角和=（5-2）X180°=540°,

.?.乙/=詈540°=108°,

.r_1087T22_67r

扇形—360-5'

故答案為：y.

【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內角和公式是

解答本題的關鍵.

題型02構造和差法

8.（2023.四川瀘州.統考模擬預測）如圖,在RtAABC中,Z.C=90°,AC=4,BC=3,。。為RtAABC的

內切圓，則圖中陰影部分的面積為（結果保留m（）

A.—B.6--C.5D.3+—

4444

【答案】c

【分析】本題考查了三角形內切圓的性質；勾股定理求得48=5,進而根據等面積法求得，三角形的內切

半徑，根據S陰影=S—BC—[S圓一S正方形，即可求解?

【詳解】解：RtzkZBC中，AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5,

^LABC=54c,BC=6,C^ABC~“0+BC+AB=12,

???內切圓半徑7=￡=1,

2

**?S圓=TIT=719

設。。與ZC切于點。，與BC切于點E,連接。。、OE,

CEB

則四邊形ODCE為正方形,

,,1S陰影=SAABC一1S圓一S正方形=6--TT-1=5--n.

故選：C.

9.（2022?湖北恩施?統考模擬預測）如圖，在平行四邊形48CD中，力。=2,AB=4,乙4=30。，以點2為

圓心，4D的長為半徑畫弧交2B于點E,連接CE,則陰影部分的面積是（）

D____________

AEB

iiii

A.3—/B.3n--C.-nD.-it-3

【答案】A

【分析】利用平行四邊形的面積減去扇形面積和三角形面積即可求解.

【詳解】解：過點。作DF14B于凡

：.DF=-AD=1.

2

???以點A為圓心，ZO的長為半徑畫弧交于點E,

??AE=AD=2,

又???4B=4,

：.BE=2,

??S陰影=SgUBCO一S扇形40E-S^BCE

30nS"1

=AB-DF-----------------BE-DF

3602

30兀x221

=4x1--------------------x2x1

3602

=3/

故選A.

【點睛】本題考查含30。角的直角三角形的性質，平行四邊形和三角形的面積公式，扇形的面積公式，不規

則圖形面積的求法，掌握相關面積公式和定理是解題的關鍵.

10.（2023?安徽?模擬預測）如圖，。。的半徑為2,AB=2V3,則陰影部分的面積是.（結果保留兀）

【分析】過點。作。H148于點m連接。B,求出。H的長和乙4。8的度數，根據S^A0B-SMOB即可求

出答案.

.".sinzXOH=-=—,4AOH=^BOH=L^AOB,OH=VXO2-AH2-22-（V3）2-1,

2022\v7

：.Z.AOH=60°,

：.^AOB=2Z.AOH=120°,

.?.圖中陰影部分的面積為S扇曲WB—sAAOB=12°^Z2-Ix2V3x1=i7T-V3,

360Z3

故答案為：^7T—V3.

【點睛】此題考查了垂徑定理、扇形面積、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，

求出。H的長和N40B的度數是解題的關鍵.

11.（2023上