重難點突破06開放探究與新定義問題

目錄

題型01新定義問題

類型一新定義問題-數、式、方程

類型二新定義問題-函數

類型三新定義問題-圖形的性質與變化

題型02方法遷移題型

題型03歸納概括問題

題型04探究實踐類問題

【命題趨勢】開放探究與新定義問題是近年中考數學的熱點問題.開放探究（閱讀理解）問題通常不會單

獨考查，往往會結合初中數學中某個知識點進行命題，進而既能考查初中數學中某個知識點的掌握情況，

又能考查學生的自學能力和分析問題、解決問題的能力.新定義問題是在問題中定義了初中數學中沒有學

過的一些新概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運

算、推理、遷移的一種題型.一般有三種類型問題：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接新知識;

（3）定義新概念.這類試題考查考生對新定義的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將新

定義的知識與己學知識聯系起來，利用己有的知識經驗來解決問題.

題型01新定義問題

類型一新定義問題-數、式、方程

1.（2022?四川巴中?中考真題）對于實數a,b定義新運算：a助=仍2一兒若關于光的方程1伺％=k有兩個

不相等的實數根，貝丸的取值范圍（）

-1-11-1

A.k>-[B.k<--C,k>--5.k^0D.k>--B.k^0

2.（2022?內蒙古?中考真題）對于實數a"定義運算"軟為a0b=b2-ab,例如302=22-3X2=-2,

則關于x的方程（k-3）?x=k-1的根的情況，下列說法正確的是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.無法確定

3.（2022?浙江寧波?中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數a,6,a區匕=（+1.若。+1）⑤x=

—,則x的值為.

X

4.（2023.山東棗莊.中考真題）對于任意實數a,b,定義一種新運算：a助=[屋，羽,例如：

（a+匕-6（a<Zb）

301=3-1=2,504=5+4-6=3.根據上面的材料，請完成下列問題：

（1）403=,（-1）0（-3）=；

(2)若(3%+2)團。-1)=5求尤的值.

類型二新定義問題-函數

5.（2023?山東濟南?中考真題）定義：在平面直角坐標系中，對于點P（*i，%）,當點滿足23+上）=

為+丫2時，稱點Q（久2，丫2）是點。（的，兒）的“倍增點”，已知點B（l,。），有下列結論：

①點Q1（3,8）,<?2（—2,—2）都是點Pl的“倍增點”；

②若直線y=%+2上的點A是點B的“倍增點”，則點4的坐標為（2,4）；

③拋物線y=%2-2x-3上存在兩個點是點Pi的“倍增點”；

④若點B是點A的“倍增點”，則的最小值是W.

其中，正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2023?江蘇鹽城?中考真題）定義：若一次函數的圖象與二次函數的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，

則稱二次函數為一次函數的軸點函數.

【初步理解】

（1）現有以下兩個函數：①y=/一1；②丫=久2一久，其中，為函數y=K—l的軸點函數.（填

序號）

【嘗試應用】

（2）函數y=%+c（c為常數，c>0）的圖象與汽軸交于點A,其軸點函數y=a/+6%+。與％軸的另一交

點為點B.若。B=工。4求b的值.

4

【拓展延伸】

（3）如圖，函數y=[x+t（t為常數，t>0）的圖象與無軸、y軸分別交于M,C兩點，在x軸的正半軸上

取一點N,使得。N=OC.以線段MN的長度為長、線段M。的長度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE.若函數

y=|x+t（t為常數，t>0）的軸點函數丫=根%2+70；+1的頂點「在矩形用可￡^的邊上，求n的值.

7.（2023?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1.對于O0的弦4B和O。外一點C給

出如下定義：

若直線C4CB中一條經過點。，另一條是。。的切線，則稱點C是弦A8的“關聯點”.

⑴如圖，點4(—1,0),Bi(一患),S2(f,-y)

①在點6(—1,1),C2(-V2,0),。3(。，/)中，弦的“關聯點”是.

②若點C是弦的“關聯點”，直接寫出。C的長；

(2)已知點M(0,3),N(W，0).對于線段MN上一點S,存在。。的弦PQ,使得點S是弦PQ的“關聯點”，記PQ

的長為f,當點S在線段MN上運動時，直接寫出f的取值范圍.

8.(2023?內蒙古赤峰?中考真題)定義：在平面直角坐標系xOy中，當點N在圖形M的內部，或在圖形M

上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”.

(1)如圖①，矩形4BCD的頂點坐標分別是4(—1,2),B(—1,—1),C(3,-l),0(3,2),在點M2(2,2),

M3(3,3)中，是矩形4BCD“夢之點”的是；

⑵點G(2,2)是反比例函數月=￡圖象上的一個“夢之點”，則該函數圖象上的另一個“夢之點''"的坐標是

,直線GH的解析式是.當月＞、2時，X的取值范圍是.

(3)如圖②，已知點A,8是拋物線y=—+x+1上的“夢之點，，，點C是拋物線的頂點，連接力C,AB,BC,

判斷△ABC的形狀，并說明理由.

類型三新定義問題-圖形的性質與變化

9.(2022?黑龍江綏化?中考真題)定義一種運算；sin(a+/?)=sinacos^+cosasin，，sin(a—，)=sinacos/?—

coscrsin/?.例如:當a=45°,p=30。時,sin(45°+30°)=、x1+上義工=叵在，則sinl5。的值為_____.

22224

10.(2023?江蘇?中考真題)綜合與實踐

定義：將寬與長的比值為*1T5為正整數）的矩形稱為n階奇妙矩形.

（1）概念理解:

當n=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1）,這就是我們學習過的黃金矩形，它的寬"D）與長（CD）的

比值是_________

（2）操作驗證：

用正方形紙片4BCD進行如下操作（如圖（2））：

第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF,連接CE；

第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點。的對應點為點”，展開，折痕為CG；

第三步：過點G折疊紙片，使得點4、8分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK.

試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形.

圖⑴圖（3）圖（4）

（3）方法遷移:

用正方形紙片4BCD折疊出一個2階奇妙矩形.要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注.

（4）探究發現:

小明操作發現任一個郃介奇妙矩形都可以通過折紙得到.他還發現：如圖（4）,點E為正方形4BCD邊48上

（不與端點重合）任意一點，連接CE,繼續（2）中操作的第二步、第三步，四邊形力GHE的周長與矩形GDCK

的周長比值總是定值.請寫出這個定值，并說明理由.

11.（2023?浙江寧波?中考真題）定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等

四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

國二一二匚口

IIIIIII

fCl'7'T'

圖1圖2圖3

（1）如圖1,在四邊形4BCD中，AD||BC,^A=90°,對角線BD平分乙4DC.求證：四邊形4BCD為鄰等四邊

形.

(2)如圖2,在6x5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形A8CD是鄰等四邊形，請畫出所有符合

條件的格點D.

(3)如圖3,四邊形力BCD是鄰等四邊形，4DAB=Z.ABC=90°,4BCD為令B等角，連接2C,過B作BE||4C交

ZM的延長線于點E.若AC=Q,DE=10,求四邊形EBCD的周長.

12.(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,6),N,對于點P給出如下定義：將點P向右

(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(b>0)或向下(6<0)平移網個單位長度，得到點P',點P'

關于點N的對稱點為Q,稱點Q為點P的“對應點”.

⑴如圖，點”(1,1)點N在線段0M的延長線上，若點P(-2,0)點Q為點P的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ,交線段ON于點T,求證：NT=RM；

(2)0。的半徑為1,M是O。上一點，點N在線段0M上，且。N=tG<t<l),若P為O。外一點，點Q為

點P的“對應點”，連接PQ.當點M在。。上運動時直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表示).

題型02方法遷移題型

13.(2023?湖南張家界?中考真題)閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+4b,a+24b,a+3VF的正方形面積分別記為S?，S3,S4.

則S2—Si=(a+V^)2—a?

=[(a+Vh)+a]-[(a+Vb)—a\

=(2a+Vb)-Vb

=b+2aVh

例如：當a=l,匕=3時，S2-Si=3+2V3

根據以上材料解答下列問題：

(1)當a=1,6=3時，S3—S2—，S4—S3=；

(2)當a=l,6=3時，把邊長為a+nVF的正方形面積記作%+i，其中〃是正整數，從(1)中的計算結果，

你能猜出土+1-5日等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當a=1,6=3時，令t[=52—S]，t2=S3-52,13=S4—S3,…，tn=Sn+i—Sn,且T=+上+13+

-+t50,求T的值.

14.(23-24九年級上.江蘇宿遷?階段練習)閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程，根據等式的基

本性質，把方程轉化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解：類似的，三元

一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組.求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解.求

解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗.各類方程

的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想--轉化，把未知轉化為已知.用“轉化”的數學思想，

我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/+/-2久=0,可以通過因式分解把它轉化為

x(x2+x—2)=0,解方程x=0和/+久—2=0,可得方程/+x2—2x—0的解.

(1)問題：方程6/+14久2-12%=0的解是：久1=0,久2=>%3=；

(2)拓展：用“轉化”思想求方程=x的解；

(3)應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=14m,寬AB=12m,點尸在AD上(4P>PD),小華把一根

長為28m的繩子一段固定在點8,把長繩PB段拉直并固定在點P,再拉直，長繩的另一端恰好落在點C,

求4P的長.

--，-丹、---

，，、、

---------

15.(2022.湖北黃石.中考真題)閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程(久2尸-13/+36=0,如果我們把久2看作一個整體，然后設y=久2,則原方程可化為必一13y+

36=0,經過運算，原方程的解為均,2=±2,久3,4=±3.我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法.

材料2

2

已知實數機，〃滿足Hl?—7n-1=0,71—n—1=0,且THW幾，顯然根，〃是方程久2一%一1=0的兩個不

相等的實數根，由韋達定理可知m+九=1,mn=-1.

根據上述材料，解決以下問題：

(1)直接應用：

方程/—5/+6=0的解為；

(2)間接應用：

已知實數。，6滿足：2a4—7(?+1=0,一762+1=o且a力b,求6^+〃的值；

(3)拓展應用：

已知實數無，y滿足：二+為=7,層一幾=7且n>0,求二+"的值.

16.(2023?江蘇泰州?中考真題)閱讀下面方框內的內容，并完成相應的任務.

小麗學習了方程、不等式、函數后提出如下問題：如何求不等式一一萬一6<0的解集？

通過思考，小麗得到以下3種方法：

2

方法1方程/-x-6=0的兩根為/=-2,%2=3,可得函數y=x-%-6的圖像與x軸的兩個交點

橫坐標為-2、3,畫出函數圖像，觀察該圖像在無軸下方的點，其橫坐標的范圍是不等式/-久-6<0的

解集.

方法2不等式/一x一6<0可變形為/<%+6,問題轉化為研究函數y=/與y=x+6的圖像關系.畫

出函數圖像，觀察發現：兩圖像的交點橫坐標也是-2、3；y=/的圖像在y=%+6的圖像下方的點，其橫

坐標的范圍是該不等式的解集.

方法3當％=0時，不等式一定成立；當x>0時，不等式變為x-1<之當“<0時，不等式變為x—1>士問

XX

題轉化為研究函數y=x-1與丫==的圖像關系…

任務：

(1)不等式--%-6<0的解集為；

(2)3種方法都運用了的數學思想方法(從下面選項中選1個序號即可)；

A分類討論區轉化思想C特殊到一般。.數形結合

(3)請你根據方法3的思路，畫出函數圖像的簡圖，并結合圖像作出解答.

17.112345模型】(2023?四川涼山?中考真題)閱讀理解題：

閱讀材料：

如圖1,四邊形28CD是矩形，AAEF是等腰直角三角形，記NB4E為a、乙FAD為0,若tana=點則tan￡=}

-1

證明：設BE=k,*.*tana=,9.AB-2k,

〃--------------------------------\D

易證△AEBEFC(AAS)長冷

C

E

圖1

：.EC=2k,CF=k,

：.FD=k,AD=3k

Atan/?

rAD3k3

若a+S=45。時，當tana=則tan/?=

同理：若a+S=45。時，當tana=1,貝ljtan￡=|.

根據上述材料，完成下列問題：

如圖2,直線y=3%-9與反比例函數y=:(%>0)的圖象交于點4與無軸交于點反將直線繞點川順時

針旋轉45。后的直線與y軸交于點E,過點/作ZM1%軸于點M,過點力作4Vly軸于點N,已知。Z=5.

⑴求反比例函數的解析式；

(2)直接寫出tan/BAM、tanNNAE的值;

(3)求直線4E的解析式.

題型03歸納概括問題

18.（2023?浙江嘉興?中考真題）觀察下面的等式：32-I2=8x1,52-32=8X2,72-52=8X3,92-72=

8x4,???

(1)寫出192-"2的結果.

(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論(用含”的等式表示，〃為正整數)

(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的.

19.【中點四邊形模型】(2023?山西?中考真題)閱讀與思考：下面是一位同學的數學學習筆記，請仔細閱讀

并完成相應任務.

瓦里尼翁平行四邊形

我們知道，如圖1,在四邊形4BCD中，點E,F,G,H分別是邊的中點，順次連接

得到的四邊形EFGH是平行四邊形.

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pierrel654—1722)是法國數學家、力學家.瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切.

①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系.

③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.此結論可借助圖1證明如下：

證明：如圖2,連接2C,分別交于點P,Q,過點。作DM1AC于點M,交HG于點N.

?..”,6分別為4。,(7。的中點，：.HG||AC,HG=1AC.(依據1)

,;DG=GC,：.DN=NM=-DM.

NMGC2

,四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，||GF,即HP||GQ.

'：HG||AC,即HGIIPQ,

四邊形"PQG是平行四邊形.(依據2)...S0HPQG="G-MN=}”G

-I1

,^AADC=2^~'^^HPQG=■同理，…

任務：

(1)填空：材料中的依據1是指：.

依據2是指：.

(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形2BCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH,使得四邊形EFG”為

矩形；(要求同時畫出四邊形ABC。的對角線)

(3)在圖1中，分別連接AC,B0得到圖3,請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,8。長度的關

系，并證明你的結論.

20.(2022?吉林?中考真題)下面是王倩同學的作業及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整.

【作業】如圖①，直線川七，△ABC與ADBC的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設4與G之間的距離為八，貝!ISAABC=?%,SADBC=-BC-h.

,,SMBC=SAOBC?

【探究】

(1)如圖②，當點。在k，辦之間時，設點4,D到直線。的距離分別為mh',則受匹=9

S^DBC九

圖②

證明：???$△"一

(2)如圖③，當點。在A,)之間時，連接4。并延長交。于點“，則登型=黑?

b^DBC0”

圖③

證明：過點4作AEIBM,垂足為E,過點D作DF1BM,垂足為F,貝！U4EM=NDFM=90。，

：.AE\\_.

△AEM

,AE_AM

**DF-DM'

由【探究】（1）可知產=_,

S^DBC

?S“BC_-M

S^DBCOM

（3）如圖④，當點。在％下方時，連接4。交%于點E.若點A，E,。所對應的刻度值分別為5,1.5,0,衿空的

S^DBC

值為?

21.（2022?湖南.中考真題）閱讀下列材料：

在A4BC中，乙4、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,求證：—=—.

smAsmB

證明：如圖1,過點。作CD于點。，貝IJ：

在RtABCD中,CD=asinB

在RtAACD中，CD=bsinA

???asinB=bsinA

.a_b

sinAsinB

根據上面的材料解決下列問題:

八A

(1)如圖2,在2L4BC中，乙4、￡B、NC所對的邊分別為a、b、c,求證：—=—；

sinBsinC

(2)為了辦好湖南省首屆旅游發展大會，張家界市積極優化旅游環境.如圖3,規劃中的一片三角形區域需美

化，已知乙4=67°,乙B=53°,AC=80米，求這片區域的面積.(結果保留根號.參考數據：sin53°?0.8,

sin67°-0.9)

題型04探究實踐類問題

22.(2023?山東濰坊?中考真題)［材料閱讀］

用數形結合的方法，可以探究q+q2+q3+…+口幾+…的值，其中。<q<1.

例求1+GY+GY+……的值.

方法1:借助面積為1的正方形，觀察圖①可知

1+(1)+(9+…+G)+-?的結果等于該正方形的面積，

方法2：借助函數y=巳久+巳和y=x的圖象，觀察圖②可知

3+?2+?3+-“+0”+-的結果等于。「a2,a3,....即…等各條豎直線段的長度之和,

即兩個函數圖象的交點到x軸的距離.因為兩個函數圖象的交點(1,1)到x軸的距為1,

所以，1+(1)+?+,--+?+…=1?

圖①

【實踐應用】

任務一完善|+(I)?+(|丫+--+(|)"+…的求值過程.

圖③

方法1:借助面積為2的正方形，觀察圖③可知|+(|『+(|丫+--+(|)"+--=.

方法2：借助函數y=弓尤+1和y=x的圖象，觀察圖④可知

因為兩個函數圖象的交點的坐標為,

所以，l+dy+dY+…+G)n+-=-------

任務二參照上面的過程，選擇合適的方法，求3+(￡)2+(￡)3+…+(|)2+…的值.

任務三用方法2,求0+42+43+...+0“+...的值(結果用4表示).

【遷移拓展】

長寬之比為等：1的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形.

觀察圖⑤，直接寫出(與)2+(^+(當二)6+…+(當二)"+…的值.

23.（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

【思考嘗試】

（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形A3。中，E是邊4B上一點，DF1CE于點F,

GD1DF,AG1DG,AG=CF.試猜想四邊形4BCD的形狀，并說明理由；

【實踐探究】

（2）小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形力BCD中，E是邊AB上一點，DF1CE

于點八4"1。后于點“，GD1DF交AH于點、G,可以用等式表示線段AH,CF的數量關系，請你思

考并解答這個問題；

【拓展遷移】

（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在正方形力BCD中，E是邊力B上

一點，2H1CE于點X,點M在CH上，且連接AM,BH,可以用等式表示線段CM,的數量

關系，請你思考并解答這個問題.

圖1

24.（2023?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐

問題探究：（1）如圖1是古希臘數學家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角.”即：

作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在。4和OB上分別取

點C和。，使得。。=。。，連接CD,以CD為邊作等邊三角形CDE,則。E就是乙4。8的平分線.

請寫出0E平分乙4。8的依據：；

類比遷移：

（2）小明根據以上信息研究發現：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可.他查閱資料：我

國古代已經用角尺平分任意角.做法如下：如圖3,在N40B的邊。40B上分別取。M=ON,移動角尺，

使角尺兩邊相同刻度分別與點N重合，則過角尺頂點C的射線0C是〃。B的平分線，請說明此做法的

理由；

拓展實踐：

（3）小明將研究應用于實踐.如圖4,校園的兩條小路4B和4C,匯聚形成了一個岔路口A,現在學校要在

兩條小路之間安裝一盞路燈E,使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離

和休息椅。到岔路口A的距離相等.試問路燈應該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規在對應的

示意圖5中作出路燈E的位置.（保留作圖痕跡，不寫作法）

25.【手拉手模型】（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規律，再結合其他數學知

識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊的數學天地.

(1)發現問題：如圖1,在AABC和AAEF中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=30°,連接BE,CF,

延長BE交CF于點D.貝UBE與CF的數量關系：,乙BDC=°；

(2)類比探究：如圖2,在△力BC和△力EF中，AB=AC,AE=AF,Z.BAC=Z.EAF=120°,連接BE,CF,

延長BE,FC交于點D.請猜想BE與CF的數量關系及NBDC的度數，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,AABC和ANEF均為等腰直角三角形，NB4C=NE4F=90。，連接BE,CF,且點B,

E,F在一條直線上，過點4作4M1BF,垂足為點M.貝|BF,CF,力M之間的數量關系：；

(4)實踐應用：正方形力BCD中，AB=2,若平面內存在點P滿足NBP。=90。，PD=1,則S“BP=.

重難點突破06開放探究與新定義問題

目錄

題型01新定義問題

類型一新定義問題-數、式、方程

類型二新定義問題-函數

類型三新定義問題-圖形的性質與變化

題型02方法遷移題型

題型03歸納概括問題

題型04探究實踐類問題

【命題趨勢】開放探究與新定義問題是近年中考數學的熱點問題.開放探究（閱讀理解）問題通常不會單

獨考查，往往會結合初中數學中某個知識點進行命題，進而既能考查初中數學中某個知識點的掌握情況，

又能考查學生的自學能力和分析問題、解決問題的能力.新定義問題是在問題中定義了初中數學中沒有學

過的一些新概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運

算、推理、遷移的一種題型.一般有三種類型問題：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接新知識;

（3）定義新概念.這類試題考查考生對新定義的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將新

定義的知識與己學知識聯系起來，利用己有的知識經驗來解決問題.

題型01新定義問題

類型一新定義問題-數、式、方程

1.（2022?四川巴中?中考真題）對于實數a,b定義新運算：。魴=仍2一心若關于X的方程I伺X=k有兩個

不相等的實數根，貝丸的取值范圍（）

-1-11-1

A.k>—B.k<—C.k〉—且k力0D.kN—且k豐0

4444

【答案】A

【分析】根據新定義運算法則列方程，然后根據一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等

式組求解.

【詳解】解：'：l^x=k,

.'.x2-x—k,

即——x—k—0,

???關于X的方程1回久=k有兩個不相等的實數根，

；.△=（-1）2-4x（-fc）>0,

解得：k>故A正確.

4

故選：A.

【點睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式,熟練掌握根的判別式A=b2—4ac當A>0,

方程有兩個不相等的實數根；當A=0,方程有兩個相等的實數根；當△<（）方程沒有實數根.

2.（2022?內蒙古?中考真題）對于實數a,b定義運算“國"為a?b=b2-ab,例如302=22-3x2=-2,

則關于x的方程（k-3）?x=k-1的根的情況，下列說法正確的是（）

A.有兩個不相等的實數根B.有兩個相等的實數根

C.無實數根D.無法確定

【答案】A

【分析】先根據新定義得到關于x的方程為/-伏-3次+1-k=0,再利用一元二次方程根的判別式求

解即可.

【詳解】解：：(k-3)(8)x=k-l,

*,?一(k—3)xk—1,

—(k-3)x+1-/c=0,

A=b2-4ac=(k-3)2—4(1—fc)=fc2-6/c+9—4+4fc=(fc—l)2+4>0,

方程--(fc-3)x+1-fc=0有兩個不相等的實數根，

故選A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實數運算，正確得到關于x的方程為一一

(k-3)x+l-k=0是解題的關鍵.

3.(2022?浙江寧波?中考真題)定義一種新運算：對于任意的非零實數a,6,a⑤b=1+].若Q+1)③x=

—X，則x的值為.

【答案】-j/-0.5

【分析】根據新定義可得(％+1)⑤久=筌|,由此建立方程安=等解方程即可.

【詳解】解：?；a(8)b=L+3

ab

?',3、c1.1x+l+x2x+l

..(X+1)=-----1—=-----=-z-，

'yx+1xx(x+l)x2+x

又,:(%+1)0X=

.2X+1_2X+1

**x2+xx'

(x2+x)(2x+1)—x(2x+1)=0,

(x2+%—x)(2x+1)=0,

.*.x2(2x+1)=0,

?..(>+1)名)％=等即萬力0,

/.2x+1=0,

解得x=—點

經檢驗X=—；是方程等=空11的解，

2x2+xx

故答案為：-1.

【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，解分式方程，正確理解題意得到關于X的方程是解題的關鍵.

4.(2023?山東棗莊?中考真題)對于任意實數a,b,定義一種新運算：a助=，%乙"3例如:

(a+匕-6(a<2b)

3回1=3—1=2,504=5+4-6=3.根據上面的材料，請完成下列問題：

(1)403=,(—1)回(-3)=；

(2)若(3久+2)回(刀-1)=5,求尤的值.

【答案】(1)1;2；

(2)x=1,

【分析】(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定義進行分類討論并列出方程，再計算求出x的值即可.

【詳解】(1)V4<3x2,

.-.403=4+3—6=1,

-1>(-3)x2

(-1)12(-3)=一1一(-3)=2；

故答案為：1；2；

(2)若3x+222"-1)時，即時，貝|

(3%+2)—[x—1)—5,

解得：x=1,

若3%+2V2(%-1)時,即％V—4時，則

(3%+2)+(%—1)—6=5,

解得：x=|,不合題意，舍去，

???%=1,

【點睛】此題考查了實數的新定義運算及解一元一次方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

類型二新定義問題-函數

5.(2023?山東濟南?中考真題)定義：在平面直角坐標系中，對于點PG，%),當點滿足23+%2)=

為+丫2時，稱點Q(久2，丫2)是點。(的，兒)的“倍增點”，已知點B(l,。)，有下列結論：

①點Q1(3,8),<?2(—2,—2)都是點Pl的“倍增點”；

②若直線y=%+2上的點A是點B的“倍增點”，則點4的坐標為(2,4)；

③拋物線y=%2-2x-3上存在兩個點是點Pi的“倍增點”；

④若點B是點A的“倍增點”，則的最小值是W.

其中，正確結論的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①根據題目所給“倍增點”定義，分別驗證Q1，Q2即可；②點43,a+2),根據“倍增點”定義，列出

方程，求出a的值，即可判斷；③設拋物線上點。色產-2-3)是點R的“倍增點”，根據“倍增點”定義列出

方程，再根據判別式得出該方程根的情況，即可判斷;④設點根據“倍增點”定義可得2(巾+l)=n,

根據兩點間距離公式可得心5=(m-I)2+n2,把幾=2(m+1)代入化簡并配方，即可得出此加的最小值

為蔡，即可判斷.

【詳解】解:①；Pi(l,0),(2i(3,8),

2(x1+%2)=2X(1+3)=8,%+=0+8=8,

.*.2(%1+x2)=y1+y2,則Qi(3,8)是點匕的“倍增點”；

VPi(1,0),Q2(-2,-2),

2(%i+x2)=2x(1-2)=—2,y1+y2=0—2=-2,

.,.2(X1+X2)=y1+y2,則Q2J2,—2)是點R的“倍增點”；

故①正確，符合題意；

②設點力(a,a+2),

:點A是點Pi的“倍增點”，

2x(1+ci)=0+a+2,

解得：a=0,

4(0,2),

故②不正確，不符合題意；

③設拋物線上點。(。產-2t-3)是點B的“倍增點”，

.,.2(l+t)-t2-2t-3,整理得：t2-4t-5=0,

=(一4尸-4x1x(-5)=36>0,

二方程有兩個不相等實根，即拋物線y=x2-2x-3上存在兩個點是點A的“倍增點”;

故③正確，符合題意；

④設點B(m,n),

:點8是點Pi的“倍增點”，

2(m+1)=

Pi(1,0),

222

.".P1B=(m—l)+n

=(m—l)2+[2(m+l)2]

=5m2+6m+5

V5>0,

的最小值為

.??PiB的最小值是。=卓，

故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①③④，共3個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點間的距離公式，解題

的關鍵是正確理解題目所給“倍增點”定義，根據定義列出方程求解.

6.(2023?江蘇鹽城?中考真題)定義：若一次函數的圖象與二次函數的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，

則稱二次函數為一次函數的軸點函數.

【初步理解】

(1)現有以下兩個函數：①y=/—1；②y=7—%,其中，為函數y=x—1的軸點函數.(填

序號)

【嘗試應用】

(2)函數y=%+c(c為常數，c>0)的圖象與X軸交于點4其軸點函數y=a/++c與1軸的另一交

點為點B.若。B=；Q4,求b的值.

4

【拓展延伸】

(3)如圖，函數y=+t(t為常數，t>0)的圖象與x軸、y軸分別交于M,C兩點，在x軸的正半軸上

取一點N,使得。N=。仁以線段MN的長度為長、線段M。的長度為寬，在久軸的上方作矩形MNDE.若函數

y=|x+t(t為常數，t>。)的軸點函數y=TH/+*+的頂點p在矩形MNDE的邊上，求n的值.

【答案】(1)①；(2)b=5或一3；(3)n=l或幾=一1一夜或幾=)

4

【分析】(1)求出函數y=x-1與坐標軸的交點，再判斷這兩個點在不在二次函數圖象上即可；

(2)求出函數丫=乂+。與坐標軸的交點，再由。B=；。4求出點B坐標，代入二次函數解析式計算即可;

(3)先求出M,C的坐標，再根據y=zn/+九％+七的頂點p在矩形MNDE的邊上分類討論即可.

【詳解】(1)函數y=%-1交式軸于(1,0),交y軸于(0,-1),

??,點(1,0)、(0,—1)都在丫=%2一1函數圖象上

?,?①y=/_1為函數y=%-1的軸點函數；

點(0,—1)不在y=%2-久函數圖象上

?,?②y=x2-%不是函數y=%-1的軸點函數；

故答案為：①；

(2)函數y=%+c交工軸于4(—c,0),交y軸于(0,c),

函數y=x+c的軸點函數y=ax2+bx+c

，/(—gO)和(0,c)都在y=ax2+b%+c上，

,.,00

AOA=c

=-0A

4f

1

：.0B=-c

4

，B（一%,0）或B（［c,O）

12

當B(-,0)時，把4(-c,0)S(-ic,0)代入y=ax+bx+c得

0=iac2—濁+c,解得6=5,

I0=ac2—be+c

當B([c,0)時，把/(—c,0)8Qc,0)代入y=a/++c得

0=—ac2+工兒+c

164,解得b=-3,

V0=ac2—be+c

綜上，b=5或一3；

（3）函數y=1%+力交式軸于M（—2。0）,交y軸于C（0,t）.

?ON=0C,以線段MN的長度為長、線段M。的長度為寬，在無軸的上方作矩形MNDE

?函數y=+t（t為常數，t>0）的軸點函數y=m%2+nx+1

.M(-2t,0)和C(0,t)在y=mx24-nx+力上

.o=m(—2t)2+n(—2t)+t,整理得47nt—2n+1=0

r.1

.n=2mt+-

2

?y=mx2+nx+1的頂點尸坐標為（一言，電/-

*函數y=mx2+nx+t的頂點尸在矩形MNDE的邊上

.可以分三種情況討論：當P與M重合時；當P在ED上時;當P在DN上時;

'--=-2t

2m

當P與M重合時，即m=o,解得n=i；

4m

n=2mt+-

.2

-2t<--<t

2m

4mt-n2?

當P在ED上時,------=Zt,整理得九2+2幾一1=0,解得71=-1±V2

4m

n=2mt+-

此時二次函數開口向下，則m<0

?,-2t<-/<t整理得：4mt<n<-2mt,

由ri=2mt+[整理得=n—

：.2(n-^<n<-(n-^

解得幾<p

4

/.n=—1—V2,

'——=t

2m

當P在ON上時，<0<47nj.<2t，整理得27nt=—n=n解得九=-

4m24

1?i=2mt+-

??21711=—

4

此時對稱軸左邊y隨x的增大而增大，

/.m<0

2

...0工4加.42t整理得：8mt<4mt—n<0

4m

???代入=-->n=-fn8mt<47nt—n2<0成立

44

?1

..n=-,

4

綜上所述，n—1或九=-1-魚或九=-

4

【點睛】本題綜合考查一次函數與二次函數，解題的關鍵是理解軸點函數的定義.

7.(2023?北京?中考真題)在平面直角坐標系比Oy中，。。的半徑為1.對于O0的弦4B和O。外一點C給

出如下定義：

若直線C4CB中一條經過點O,另一條是O。的切線，則稱點C是弦A8的“關聯點”.

⑴如圖，點4(—1,0),Bi(一患),S2(y,-y)

①在點G(—1,1),C2(-V2,0),。3(。，聲)中，弦AB1的“關聯點”是

②若點C是弦4殳的“關聯點”，直接寫出。C的長；

(2)已知點M(0,3),N(W，O).對于線段MN上一點S,存在。。的弦PQ,使得點S是弦PQ的“關聯點”，記PQ

的長為3當點S在線段MN上運動時，直接寫出/的取值范圍.

【答案】(1)Q,c2；0C=V2

(2)1<t<手或竽<t<V3.

【分析】(1)根據題目中關聯點的定義并分情況討論計算即可；

(2)根據M(0,3),N(等,0)兩點來求最值情況，S共有2種情況，分別位于點M和經過點。的MN的垂線

上，運用相似三角形計算即可.

【詳解】(1)解：①由關聯點的定義可知，若直線C4CB中一經過點O,另一條是。。的切線，則稱點C

是弦48的“關聯點”，

?.?點4(—1,0),當(一今日)，6(—1,1),C2(-V2,o),C3(O,V2),