第02講整式［3大考點13大題型】

知識網絡

題型1實際問題中的代數式

題型2求代數式的值

題型3與代數式有關的規(guī)律探究

題型4整式的相關概念

題型整式的加減與幕的運算

//^**—，，5，■，，，--一?二...“一，……—,一

%」畫型6整式的乘除）

考點二整式及其運算yi題型7乘法公式的應用；

題型8化簡求值

題型9用圖形面積驗證乘法公式

整式題型10提公因式法因式分解）

題型11直接運用公式法因式分解）

考點三因式分解

題型12提公因式后應用公式法因式分解）

題型13因式分解的實際應用）

新考向：新考法）

新考向：新趨勢）

特色專項練新考向：新情境）

新考向：跨學科）

中考真題練

用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或一個字母也是代數式。

2.代數式的值

用數值代替代數式中的字母，按照代數式指明的運算，計算出結果，叫做代數式的值。

典例分析

【題型1實際問題中的代數式】

【例1】(2024中考?湖南長沙?中考真題)為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校

園”的讀書活動.現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀

本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為()

A.8久元B.10(100―久)元C.8(100—%)元D.(100—8x)元

【答案】C

【分析】根據題意列求得購買乙種讀本(100-x)本，根據單價乘以數量即可求解.

【詳解】解：設購買甲種讀本無本，則購買乙種讀本(100-x)本，乙種讀本的單價為8元/本，則則購買乙

種讀本的費用為8(100-x)元

故選C

【點睛】本題考查了列代數式，理解題意是解題的關鍵.

【變式1-1](2024中考?浙江溫州?中考真題)某地居民生活用水收費標準：每月用水量不超過17立方米,

每立方米a元；超過部分每立方米(a+1.2)元.該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米，則應繳水費為()

A.20a元B.(20a+24)元C.(17a+3.6)元D.(20a+3.6)元

【答案】D

【分析】分兩部分求水費，一部分是前面17立方米的水費，另一部分是剩下的3立方米的水費，最后相加

即可.

【詳解】解：心。立方米中，前17立方米單價為。元，后面3立方米單價為(a+1.2)元，

應繳水費為17a+3(a+1.2)=20a+3.6(元)，

故選：D.

【點睛】本題考查的是階梯水費的問題，解決本題的關鍵是理解其收費方式，能求出不同段的水費，本題

較基礎，重點考查了學生對該種計費方式的理解與計算方法等.

【變式1-2](2024中考?四川雅安?中考真題)如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探

究紙杯疊放在一起后的總高度〃與杯子數量"的變化規(guī)律的活動中，我們可以獲得以下數據(字母)，請

選用適當的字母表示H.

①杯子底部到杯沿底邊的高加②杯口直徑。；③杯底直徑1；④杯沿高a.

d

【答案】h+an

【分析】本題考查的是列代數式，由總高度〃等于杯子底部到杯沿底邊的高力加上〃個杯子的杯沿高na即

可得到答案；

【詳解】解：由題意可得：H=h+an,

故答案為：h+an.

【變式1-3]（2024中考?吉林長春?中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同

學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終

點的路程為公里.（用含x的代數式表示）

【答案】（7.5-10%）

【分析】根據題意列出代數式即可.

【詳解】根據題意可得，

他離健康跑終點的路程為（7.5-10久）.

故答案為：（7.5-lOx）.

【點睛】此題考查了列代數式，解題的關鍵是讀懂題意.

【題型2求代數式的值】

【例2】（2024中考?廣西?中考真題）如果a+b=3,ab-1,那么+2a2b2+尤3的值為（）

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本題考查因式分解，代數式求值，先將多項式進行因式分解，利用整體代入法，求值即可.

【詳解】解："a+b=3,ab=1,

.,-a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+Z?2）

=ab（a+b）2

=1x32

=9；

故選D.

【變式2-1]（2024中考?四川瀘州?中考真題）己知點4（a,-1）與點B（-4,b）關于原點對稱，則a-b的值

為（）

A.-5B.5C.3D.-3

【答案】C

【分析】根據關于原點對稱的兩點橫縱坐標都互為相反數，可得出6的值，即可計算a-b的值.

【詳解】"A（a,一1）與點8（—4,b）關于原點對稱,

.??a=4,b=1,

?'-a—b=4—1=3.

故選：C

【點睛】本題考查中心對稱，理解關于原點對稱的兩點的關系是解題的關鍵.

【變式2-2]（2024中考?四川達州?中考真題）如圖是一個運算程序示意圖，若開始輸入％的值為3,則輸出

y值為?

【答案】2

【分析】根據運算程序的要求，將x=3代入計算可求解.

【詳解】解：?.?%=3<4

.,?把x=3代入y=|x|-l（x<4）,

解得：y=|3|-1=2,

??.y值為2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查列代數式，代數式求值，讀懂運算程序的要求是解題的關鍵.

【變式2-3]（2024中考?山東濟寧?中考真題）己知。2一28+1=0,則券的值是.

【答案】2

【分析】本題考查了代數式的求值，解題的關鍵是熟練掌握整體思想的運用.根據對已知條件進行變形得

到a2+1=2b,代入進而即可求解

【詳解】解：a2-2b+1=0,

a2+1=2b

4b4b

‘下n=五=2n,

故答案為：2

【題型3與代數式有關的規(guī)律探究】

【例3】（2024中考?重慶?中考真題）下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定規(guī)律組成，其中第（1）個圖

形的面積為2cm2,第（2）個圖形的面積為8cm2,第（3）個圖形的面積為18cm2,……，由第（10）個圖

A.196cm2B.200cm2C.216cm2D.256cm2

【答案】B

【詳解】尋找規(guī)律：第（1）個圖形由1=口個矩構成；

第（2）個圖形由4=22個矩構成；

第（3）個圖形由9=32個矩構成；

第（4）個圖形由16=42個矩構成；

第（n）個圖形由4=1?個矩構成.

,?,圖形都是由同樣大小的矩形組成，第（1）個圖形的面積為2cm2,

.?.第（n）個圖形的面積為（2xM）cm2.

.,.第（10）個圖形的面積為（2xl（）2）cm2=200cm2.故選B.

【變式3-1］（2024中考?山東?中考真題）已知一列均不為1的數的，a2,a3,廝滿足如下關系：a2=

警"，。3=芝色，。4=芝黃，…，斯+1=關渠，若Cli=2,則。2023的值是（）

j.u-i-Lu-2-L"3"n

11C

A.——B.-C.-3D.2

【答案】A

【分析】根據題意可把的=2代入求解。2=-3,則可得。3=-今?4=！，。5=2……；由此可得規(guī)律求解.

【詳解】解：.?g=2,

1+2Q1-3111+1Q

???劭=口=-3,的=壬=-5,。4=早=］。5=匚1=2,…….

23

由此可得規(guī)律為按2、-3、g四個數字一循環(huán)，

???2023+4=505…3,

??42023=a3=-2；

故選A.

【點睛】本題主要考查數字規(guī)律，解題的關鍵是得到數字的一般規(guī)律.

【變式3-2］（2024中考?青海?中考真題）木材加工廠將一批木料按如圖所示的規(guī)律依次擺放，則第九個圖

中共有木料根.

（））（2，）

第1個第2個第3個第4個

r答空1迎±12

【分析】第一個圖形有1根木料，第二個圖形有1+2=四尹根木料，第三個圖形有1+2+3=四戶根

木料，第四個圖形有1+2+3+4=沼坦根木料，以此類推，得到第九個圖形有也羅根木料.

【詳解】解：???第一個圖形有1=*里2根木料,

第二個圖形有1+2=四”根木料，

第三個圖形有1+2+3=咨里2根木料，

第四個圖形有1+2+3+4=話擔木料,

???第n個圖形有1+2+3+…+a=或羅根木料,

n(n+l)

故答案為:-2~

【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，仔細觀察，分析，歸納并發(fā)現其中的規(guī)律是解本題的關鍵.

【變式3-3］（2024中考?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.按

照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個“小屋子”中圖形“。”個數是圖形“?”個數的3倍.

o

OOO

CDOOOOOO

0OOOOOOOOOOO

0OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

00OOOOOOoo

OOOOOOOooooo

⑴2

(3)(4)(5)

【答案】12

【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應用等知識點，能根據所給圖形發(fā)現“O”和“?”

的個數變化規(guī)律是解題的關鍵.

根據所給圖形，依次求出和“?”的個數，發(fā)現規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可.

【詳解】解：由所給圖形可知，

第1個“小屋子”中圖形"O”的個數為：1=1,“?"的個數為：4=1x2+2；

第2個“小屋子”中圖形"O”的個數為：3=1+2,"?"的個數為：6=2x2+2；

第3個“小屋子”中圖形的個數為：6=1+2+3,“?”的個數為：8=3x2+2；

第4個“小屋子”中圖形"O”的個數為：10=1+2+3+4,“?"的個數為：10=4x2+2；

...J

所以第”個“小屋子”中圖形“O”的個數為：1+2+3+…+九=收羅，"?”的個數為：2n+2；

由題知"-D=3（2幾+2）,解得幾1=-1,n2=12,

又〃為正整數，則n=12,即第12個“小屋子”中圖形“O”個數是圖形“?”個數的3倍.

故答案為：12.

考點二整式及其運算

知識導航

1.單項式

用數或字母的乘積表示的式子叫做單項式。單獨的一個數或一個字母也是單項式。

單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

注意：單項式是由系數、字母、字母的指數構成的，其中系數不能用帶分數表示，如-這種表示

3

17

就是錯誤的，應寫成--a2b.一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。如-5/^0

3

是6次單項式

2.多項式

幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。多項式

里，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。

單項式與多項式統(tǒng)稱整式。

3.同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

4.合并同類項

把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。

合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連同它的指數不變。

5.整式的運算

⑴整式的加減

幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項。

去括號法則：同號得正，異號得負。即括號外的因數的符號決定了括號內的符號是否改變：

如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；

如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。

⑵整式的乘除運算

①同底數塞的乘法：am-an=am+no同底數塞相乘，底數不變，指數相加。

②暴的乘方：（。加）"=。"A塞的乘方，底數不變，指數相乘。

③積的乘方：（。6）"=優(yōu)3。積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘。

④單項式與單項式的乘法：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數累分別相乘，對于只在一個

單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

⑤單項式與多項式的乘法：p（a+b+c）=pa+06+pc。單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每

一項，再把所得的積相加。

⑥多項式與多項式的乘法：（。+6）。+4）=的+的+如+的。多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一

項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

平方差公式：（a+bXa-b）=a2-b\兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。這個公式叫

做平方差公式。

完全平方公式：（。+6）2=。2+2仍+62,（a-by=a2-2ab+b2o兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，

加上（或減去）它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。

⑦同底數塞的除法：a『=a>"-"。同底數幕相除，底數不變，指數相減。

任何不等于0的數的0次募都等于lo

⑥單項式與單項式的除法：單項式相除，把系數與同底數幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式

里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

⑨多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商

相加。

典例分析

【題型4整式的相關概念】

【例4】（2024中考?山東泰安?中考真題）單項式-3ab2的次數是.

【答案】3

【分析】根據單項式次數的定義進行解答即可.

【詳解】解：單項式一3帥2中，a的指數是1,6的指數是2,

此單項式的次數為：1+2=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查單項式的次數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數.理解和掌握單項

式次數的定義是解題的關鍵.

【變式4-1]（2024中考?上海?中考真題）計算：（4/）3=.

【答案】64警

【分析】本題考查了積的乘方以及塞的乘方，掌握相關運算法則是解題關鍵.先將因式分別乘方，再結合

轅的乘方計算即可.

【詳解】解：（4/）3=64*6,

故答案為：64x6.

【變式4-2]（2024中考?湖北荊州?中考真題）下列代數式中，整式為（）

1,1

A-x+1B,—C,V%2+1D.—

【答案】A

【詳解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定義分析得出答案.

【詳解】A、x+1是整式，故此選項正確；

B、x+i是分,式，故此選項錯誤；

c、心"T是二次根式，故此選項錯誤；

D、等是分式，故此選項錯誤，

故選A.

【點睛】本題考查了整式、分式、二次根式的定義，熟練掌握相關定義是解題關鍵.

n

【變式4-3](2024中考?重慶?中考真題)已知整式M:a/+an_!%nT+…+口6+劭，其中n.ciji,…,劭為

自然數，an為正整數，且n+an+斯_1+…+%+&)=5.下列說法：

①滿足條件的整式M中有5個單項式；

②不存在任何一個九，使得滿足條件的整式M有且只有3個；

③滿足條件的整式M共有16個.

其中正確的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應用，由條件可得0W〃W4,再分類討論得到答

案即可.

【詳解】解：…,劭為自然數,On為正整數,且71+即+an_i+…++劭=5,

.,.0<n<4,

當n=4時，則4++a1+a。=5,

**?CL^=1jCZ3—a2=a】=a。=0,

滿足條件的整式有一,

當n=3時，則3++。2+%+a。=5,

,?.(。3"2"1,劭)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),

滿足條件的整式有：2爐，%3+%2,%3+x,x3+1,

當n=2時，則2+a2+臼+a。=5,

???@,由"0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),

滿足條件的整式有：3/,2%2+%,2%2+1,x2+2x,x2+2,%2+x+1；

當n=l時,則l+ai+a()=5,

???(電劭)=(4,0)，(3,1),(1,3),(2,2),

滿足條件的整式有：4%,3x+1,x+3,2%+2；

當n=0時，0+劭=5,

滿足條件的整式有：5；

.??滿足條件的單項式有：%4,2爐，3/,4%,5,故①符合題意；

不存在任何一個期使得滿足條件的整式M有且只有3個；故②符合題意；

滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1=16個.故③符合題意；

故選D

【題型5整式的加減與塞的運算】

【例5】(2024中考?四川資陽?中考真題)下列計算正確的是()

A.2a+3b=SabB.(a+h)(a—￡>)=a2—b2

C.2a2-3b=6abD.(a3)2=a5

【答案】B

【分析】本題考查整式的運算，根據合并同類項，平方差公式，單項式乘單項式，募的乘方的法則，逐一

進行計算，判斷即可.

【詳解】解：A.2a與3b不能合并，原式計算錯誤，故A不符合題意；

B.(a+b)(a-b)=a2-b2,原式計算正確，故B符合題意；

C.2a2-3b=6a2b,原式計算錯誤，故C不符合題意；

D.(。3)2=。6,原式計算錯誤，故D不符合題意；

故選：B.

【變式5-1](2024中考?廣東廣州?中考真題)若aK0,則下列運算正確的是()

aCLCL120u

A.2"I"?=5B.a?a=a

C.---=-D.a3-i-a2=1

acia

【答案】B

【分析】本題考查了分式的乘法，同底數募乘法與除法，掌握相關運算法則是解題關鍵.通分后變?yōu)橥?/p>

母分數相加，可判斷A選項；根據同底數募相乘，底數不變，指數相加，可判斷B選項；根據分式乘法法

則計算，可判斷C選項；根據同底數幕除法，底數不變，指數相減，可判斷D選項.

【詳解】解：A、升三=得+署=/原計算錯誤，不符合題意；

乙DOOO

B、a3.a2=a5,原計算正確，符合題意；

C、原計算錯誤，不符合題意；

D、a3+a2=a,原計算錯誤，不符合題意;

故選：B.

【變式5-2](2024中考?吉林?中考真題)下列各式運算結果為a5的是()

A.a2+d3B.a2-a3C.(a2)3D.a10a2

【答案】B

【分析】本題主要考查合并同類項，塞的乘方，同底數幕的乘除法等計算，掌握運算法則是解題的關鍵.根

據相關運算法則對選項進行運算，并判斷，即可解題.

【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并，故不符合題意；

B、a2-a3=a2+3=a5,符合題意；

C、(a2)3=a2x3=a6,不符合題意；

D、aw^-a2=aw-2=a8,不符合題意；

故選：B.

【變式5-3](2024中考?山東日照?中考真題)下列計算正確的是()

A.(2a2)3-6a6B.a3—a2=aC.d3-a4=a12D.a4a3—a

【答案】D

【分析】本題考查黑的運算及整式加減，解題關鍵是熟練掌握運算法則.

根據幕的運算法則，整式加減運算法則逐選項判斷即可.

【詳解】解：A.(2a2)3=8a6,該選項錯誤，不符合題意；

B.與a2不是同類項，不能合并，該選項錯誤，不符合題意；

C.a3-a4-a7,該選項錯誤，不符合題意；

D.a4-r-a3=a,該選項正確，符合題意.

故選D.

【題型6整式的乘除】

【例6】(2024中考,甘肅蘭州,中考真題)計算：2a(a-1)-2a2=()

A.aB.—aC.2aD.—2a

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解：2a(a-l)-2a2

=2a2—2a—2a2

=—2a

故選：D.

【變式6-1］（2024中考?山東青島?中考真題）若（比+4）Q—2）=/+p%+q,則°、q的值是（）

A.2,-8B.-2,-8C.-2,8D.2,8

【答案】A

【分析】首先把。+4）（x-2）根據多項式乘法法則展開，然后根據多項式的各項系數即可確定小q的值.

【詳解】解：???（％+4）（刀-2）=/+2X一8,

而（久+4）（%-2）=x2+px+q,

.,.p=2,q=-8.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了多項式的乘法法則和多項式各項系數的定義，解題關鍵就是利用它們確定夕、q的

值.

【變式6-2］（2024?河北?模擬預測）如圖1是一個長為"，寬為"的矩形（a>n）.用7張圖1中的小矩

形紙片，按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長是寬的|.

m

圖1圖2

（1）求m與n的關系；

（2）若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

【答案】⑴m=4n

【分析】本題考查列代數式、整式的加減、多項式乘多項式、代數式求值，看懂圖形，正確列出代數式是

解答的關鍵.

（1）先根據圖形，用”、〃表示出矩形的長、寬，再根據長和寬的關系可得結論；

（2）根據圖形，用〃?、〃表示出大矩形的面積，進而求得足，進而可得陰影面積的值.

【詳解】（1）解：由題意，大矩形的長為m+5?1,寬為m+2n,

???大矩形的長是寬的

???m+5n=|(m+2n),

化簡，得血=4幾；

(2)解：,大矩形的面積為(血+2荏)(血+5幾)=血2+7nm+IO*,大矩形的面積為18,m=4n,

.,.16n2+28n2+10n2=54n2=18,

解得話=，

??期影部分的面積為18-76n=18—2加2=學

【變式6-3](2022?江蘇無錫，一模)已知計算(5—3%+mx2—6%3),(―2%2)—%(—3%3+幾%—1)的結果中不含

產和久2的項，求加，〃的值.

【答案】m=f,n=-10

【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式中的無關型問題，先根據單項式乘以多項式的計算法則去括號,

然后合并同類項化簡，再根據結果中不含力和久2的項，即含/和/的項的系數為o進行求解即可.

【詳解】解：(5—3x+mx2—6x3')■(―2x2)—x(—3x3+nx—1)

=-10x2+6x3-2mx4+12x5+3x4—nx2+%

=12x5+(3-2m)x4+6x3-(10+n)x2+x,

???結果中不含一和好的項,

：.3-2m=0,-(10+JI)=0,

?八

：.m=3n=—10.

【題型7乘法公式的應用】

【例7】(2024中考?內蒙古赤峰?中考真題)已知2a2-a—3=0,則(2a+3)(2-3)+(2a-的值是

()

A.6B.-5C.-3D.4

【答案】D

【分析】2a2-。-3=0變形為2a2-a=3,將(2a+3)(2a-3)+(2a-1尸變形為4(2a2-a)-8,然后整體代入

求值即可.

【詳解】解：由2a2一。一3=0得：2a2-a-3,

.,.(2a+3)(2a—3)+(2a—1)2

=4a2-9+4a2-4a+1

=8a2—4a—8

=4(2cz2-a)-8

=4x3-8

=4,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了代數式求值，解題的關鍵是熟練掌握整式混合運算法則，將(2a+3)(2a-3)+

(2a-1)2變形為4(2a2-a)-8.

【變式7-1](2024中考?四川涼山?中考真題)已知產-my+1是完全平方式，則小的值是.

【答案】±2

【分析[根據(a±廳=a2±2ab+b2,計算求解即可.

【詳解】解：-my+1是完全平方式，

m=±2,

解得m=±2,

故答案為：±2.

【點睛】本題考查了完全平方公式.解題的關鍵在于熟練掌握：(a±b)2=a2±2ab+》2.

【變式7-21(2024中考?湖南益陽?中考真題)已知加，"同時滿足2加+〃=3與2"z-〃=l,則4源-層的值

是—.

【答案】3

【分析】觀察已知和所求可知，4m2-n2^(2m+n)(2m-n),將代數式的值代入即可得出結論.

【詳解】解：,；2%+"=3,2m-n—1,

.-.4m2-n2=(2m+n)(2m-n)=3x1=3,

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查代數式求值，平方差公式的應用，熟知平方差公式的結構是解題關鍵.

【變式7-3](2024中考?山東聊城?中考真題)如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣.從

3開始,把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；

(31,37)…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發(fā)現其中的規(guī)律.請寫出

第"個數對：.

???37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【答案】（/+n+l,n2+2n+2）

【分析】根據題意單另把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，可發(fā)現第幾個數對的第一

個數為：n（n+1）+1,第n個數對的第二個位：（n+1）2+1,即可求解.

【詳解】解：每個數對的第一個數分別為3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,...

則第n個數對的第一個數為：n（n+1）+1=n2+n+1,

每個數對的第二個數分別為5,10,17,26,37,...

即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1...,

則第n個數對的第二個位：（n+I）2+1=n2+2n+2,

:.第n個數對為：（層+n+l,n2+2n+2）,

故答案為：（九2+九+1,4+2n+2）.

【點睛】此題考查數字的變化規(guī)律，找出數字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數字的差的規(guī)律解決問題.

【題型8化簡求值】

【例8】（2024中考?吉林?中考真題）某同學化簡a（a+2b）-（a+b）（a-b）出現了錯誤，解答過程如下:

原式=a2+2ab-（a2-b2）（第一步）

=a2+2ab-a2-b2（第二步）

=2ab-b2（第三步）

（1）該同學解答過程從第幾步開始出錯，錯誤原因是什么；

（2）寫出此題正確的解答過程.

【答案】（1）從第二步開始出錯，錯誤原因是去括號時沒有變號；（2）2ab+b2.

【分析】去括號時，括號外面是正號，則去掉括號后，括號里的各項不改變符號，去括號時，括號外面是

負號，則去掉括號后，括號里的各項要改變符號；根據上述法則判斷哪一步錯誤，再正確的去掉括號，合

并同類項即可.

【詳解】解：(1)該同學解答過程從第二步開始出錯，錯誤原因是去括號時沒有變號；

⑵原式=22+221)-但2上2)

=a2+2ab-a2+b2

=2ab+b2.

故答案為(1)第二步，去括號時沒有變號；(2)2ab+b2.

【點睛】本題主要考查整式的運算，解題關鍵要掌握去括號法則.

【變式8-1](2024中考?湖南長沙?中考真題)先化簡，再求值：2爪一爪(小一2)+0n+3)0n—3),其中

5

m=-.

【答案】4m-9；1

【分析】本題考查整式的混合運算及其求值，先根據整式的混合運算法則化簡原式，再代值求解即可.

【詳解】解：+(m+

=2m—m2+2m+m2-9

—4m—9.

當m=|時,原式=4x|-9=10—9=l.

【變式8-2](2024中考?北京?中考真題)已知%2一軌一1=。，求代數式(2%-3)2-(％+)/)(%-37)-372的值.

【答案】12

【分析】將代數式應用完全平方公式和平方差公式展開后合并同類項，將/-4%=1整體代入求值.

【詳解】解：4%—1=0,4%=1.

.,.(2x—3)2—(x+y)(x—y)—y2

=4x2—12%+9—x2+y2—y2

=3x2-12x+9

=3(x2—4x)+9

=3x14-9

=12.

【變式8-3](2024中考?湖北隨州?中考真題)先化簡，再求值：(2+〃)(2-a)+〃(a-5b)

(-a2b)2,其中ab=~.

【答案】5

【分析】原式的第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘以多項式法則計算，第三項先計算乘方

運算，再計算除法運算，合并得到最簡結果，最后把成的值代入化簡后的式子計算即可求出值.

【詳解】解：原式=4-a2+a2-5ab+3ab

=4-lab,

當ab=-9時,

原式=4+1=5.

【點睛】此題考查了整式的混合運算一化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【題型9用圖形面積驗證乘法公式】

【例9】(2024中考?湖北隨州?中考真題)《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學

發(fā)展史的一個里程碑.在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利

用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現在具體的圖形之中.

(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，(下

面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號)

公式①：Qa+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d')=ac+ad+be+bd

公式③：(a—b)2=a2—2ab+b2

公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

圖1對應公式,圖2對應公式,圖3對應公式,圖4對應公式:

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式(a+b)(a-b)=a2-房的方法，如圖5,請寫出

證明過程；(已知圖中各四邊形均為矩形)

圖5

(3)如圖6,在等腰直角三角形4BC中，z.BAC=90°,。為2C的中點，E為邊/C上任意一點(不與端點重

合)，過點E作EG1BC于點G,作EH12D尸點〃過點8作5F//4C交EG的延長線于點足記△8PG與

△CEG的面積之和為Si，AABD與△/叩的面積之和為S2.

①若E為邊/C的中點，則的值為；

②若￡不為邊NC的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理

由.

【答案】⑴①，②，④，③

(2)證明見解析

⑶①2

②結論仍成立，理由見解析

【分析】(1)觀察圖形，根據面積計算方法即可快速判斷；

(2)根據面積關系：矩形/KAD面積=矩形4KLe面積+矩形CLHD面積=矩形D3FG面積+矩形CLHD面

積=正方形BCE尸面積一正方形LEG//面積，即可證明；

(3)①由題意可得A4AD,^AEH,△CEG,AB尸G都是等腰直角三角形，四邊形DG昉■是正方形，設

BD=a,從而用含°的代數式表示出S/、進行計算即可；②由題意可得A4AD,/^AEH,ACEG,ABFG

都是等腰直角三角形，四邊形DGE"是矩形，設BD=a,DG=b,從而用含a、6的代數式表示出$、&進

行計算即可.

【詳解】(1)解：圖1對應公式①，圖2對應公式②，圖3對應公式④，圖4對應公式③；

故答案為：①，②，④，③；

(2)解：由圖可知，矩形8CE產和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=ai,

???S矩形4Kze=S矩形DBFG=a(a—b)，

矩形4KHD=S矩形4KLe+S矩形CD，

矩形矩形正方形正方形22

???S4KHD=S^DBFG+sCLHD=SBCEF—SLEGH=a~b,

又「S矩形4KH。=(a+b)(a—b)，

.,.(a+b)(a—b)=a2—b2；

(3)解：①由題意可得：AABD,AAEH,△CEG,ASFG都是等腰直角三角形，四邊形。GEa是正方形,

設BO=a,

113

?\AD=BD=a,AH=HE=DG=-a,EG=CG=-a,FG=BG=-a,

小，

.\S1=S^BFG+S^CEG=1x(|a)+1x(1a)=9

S2=S△由+SfEH=押+TX(軻2=>2,

?魯=2；

故答案為：2；

②成立，證明如下：

由題意可得：MBD,XAEH,ACEG,都是等腰直角三角形，四邊形QGE〃是矩形，

設BD=a,DG=b,

：.AD=BD=a,AH=HE=DG=b,EG=CG=a—b,FG=BG=a+b,

???Si=S4BFG+S^CEG=+b)2+1(a—h)2=a2+h2,

=與力

s?=S4ABD+S&AEH2+*2=l(a2+2),

得=2仍成立.

【點睛】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質，掌握數形結合思想，觀察圖

形，通過圖形面積解決問題是解題的關鍵.

【變式9-1](2024中考?浙江衢州?中考真題)有一張邊長為。厘米的正方形桌面，因為實際需要，需將正

方形邊長增加b厘米，木工師傅設計了如圖所示的三種方案:

小明發(fā)現這三種方案都能驗證公式：a2+2ab+b2=(a+6)2,對于方案一，小明是這樣驗證的:

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=Ca+b)2

請你根據方案二、方案三，寫出公式的驗證過程.

方案二：

方案三：

【答案】見解析

【分析】根據題目中的圖形可以分別寫出方案二和方案三的推導過程，本題得以解決.

【詳解】解：由題意可得：

方案二：a2+ab+(a+6)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+6)2,

2

方案三：1[a+*b)]b?+ab+?+ab+(a+b).

【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的推導過程.

【變式9-2](2024中考?浙江金華?中考真題)如圖1,從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小

正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形.

(1)設圖1中陰影部分面積為Si，圖2中陰影部分面積為S2,請直接用含a,b的代數式表示Si和S2；

(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式.

22

【答案】解：(1)S!=a—b,S2=1(2a+2b)(a—b)=(a+b)(a—b).

(2)(a+b)(a—b)=a2—b2.

【詳解】解：(1)??,大正方形的邊長為。，小正方形的邊長為6,

=a2—b2.

$2=((2a+26)(a-6)=(。+6)(a-b)；

(2)根據題意得：(a+6)(a-b)=a2-b2.

【變式9-3](2024中考?江蘇常州?中考真題)【閱讀】：數學中，常對同一個量(圖形的面積、點的個數、

三角形的內角和等)用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系，我們把這一思想稱為“算兩次”.“算兩次”

也稱做富比尼原理，是一種重要的數學思想.

【理解】：(1)如圖，兩個邊長分別為a、6、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一

個梯形.用兩種不同的方法計算梯形的面積，并寫出你發(fā)現的結論；

(2)如圖2,n行n列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數，可得等式：n2=

?二

i

【運用】：(3)ri邊形有n個頂點，在它的內部再畫小個點，以(m+n)個點為頂點，把n邊形剪成若干個

三角形，設最多可以剪得y個這樣的三角形.當n=3,m=3時，如圖，最多可以剪得7個這樣的三角形，

所以y=7.

②對于一般的情形，在n邊形內畫小個點，通過歸納猜想，可得y=(用含小、鹿的代數式表示).請

對同一個量用算兩次的方法說明你的猜想成立.

【答案】(1)見解析，故結論為：直角長分別為a、b斜邊為c的直角三角形中a2+/=c2；(2)

1+3+5+7+…+2n—1；(3)①6,3；@n+2(m—1),見解析.

【分析】(1)此等腰梯形的面積有三部分組成，利用等腰梯形的面積等于三個直角三角形的面積之和列出

方程并整理.

(2)由圖可知n行九列的棋子排成一個正方形棋子個數為序,每層棋子分別為1,3,5,7,2n-l.故

可得用兩種不同的方法計算棋子的個數，即可解答.

(3)根據探畫出圖形究不難發(fā)現，三角形內部每增加一個點，分割部分增加2部分，即可得出結論.

【詳解】(1)有三個其面積分別為京仇》b和》2.

直角梯形的面積為+b)(a+b).

由圖形可知：］(a+b)(a+b)=^ab+^ab+^c2

整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2,

???a2+b2—c2.

故結論為：直角長分別為a、b斜邊為c的直角三角形中。2+岳=。2.

(2)n行九列的棋子排成一個正方形棋子個數為"，每層棋子分別為1,3,5,7,2n-l.

由圖形可知：n2=14-3+5+7+■??+2n-l.

故答案為1+3+5+7+…+2n-1.

(3)①如圖，當n=4,巾=2時，y=6,

②方法1.對于一般的情形，在幾邊形內畫m個點，第一個點將多邊形分成了n個三角形，以后三角形

內部每增加一個點，分割部分增加2部分，故可得丫=九+2(巾-1).

方法2.以2MBe的二個頂點和它內部的小個點，共(6+3)個點為頂點，可把ZMBC分割成3+2(小一1)個

互不重疊的小三角形.以四邊形的4個頂點和它內部的m個點，共(巾+4)個點為頂點，可把四邊形分割

成4+2(巾-1)個互不重疊的小三角形.故以71邊形的71個頂點和它內部的m個點，共(山+九)個點作為頂點,

可把原n邊形分割成幾+2(小一1)個互不重疊的小三角形.故可得y=n+2(m-l).

故答案為①6,3；@n+2(m-l).

【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律的問題，讀懂題目信息，找到變化規(guī)律是解題的關鍵.

1.因式分解的定義

把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這

個多項式分解因式。

以上公式都可以用來對多項式進行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；d2+2.ab+b2=(a+b')2；a2-2ab+b2=(a-b)2?

③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：cfi+(p+q)a+pq=(a+q)

2.因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數：2項式可以嘗試運用公式

法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解

法分解因式

(3)分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解

典例分析

【題型10提公因式法因式分解】

【例10】(2024中考?江蘇徐州?中考真題)若nm=2,m-n=1,則代數式小2n一77m2的值是.

【答案】2

【分析】本題考查代數式求值.先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：=m-n-1,

m2n—mn2—mn(m—7i)=2x1=2,

故答案為：2.

【變式10-1】(2024中考?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)分解因式：a+2"+a〃=

【答案】a(1+b)2

【分析】先提公因式，再用完全平方公式.

【詳解】原式=a(l+2b+爐)=a(1+6)2,

故填：a(l+b)2.

【點睛】本題考查因式分解的方法，熟練掌握提公因式和完全平方是關鍵.

【變式10-2］(2024中考?湖北黃石?中考真題)因式分解：+4(l-y)=.

【答案】(?一1)("4)

【分析】將整式x(y—1)+4(1—y)變形含有公因式(y—1),提取即可.

【詳解】解:x(y-l)+4(l-y)

=%(y—1)—4(y—1)

=(y-l)(%-4)

故答案為