PAGEPAGE1729控制系統的非線性問題9.1概述在物理世界中，理想的線性系統并不存在。嚴格來講，所有的控制系統都是非線性系統。例如，由電子線路組成的放大元件，會在輸出信號超過一定值后出現飽和現象。當由電動機作為執行元件時，由于摩擦力矩和負載力矩的存在，只有在電樞電壓達到一定值的時候，電動機才會轉動，存在死區。實際上，所有的物理元件都具有非線性特性。如果一個控制系統包含一個或一個以上具有非線性特性的元件，則稱這種系統為非線性系統，非線性系統的特性不能由微分方程來描述。圖9-1所示的伺服電機控制特性就是一種非線性特性，圖中橫坐標u為電機的控制電壓，縱坐標為電機的輸出轉速，如果伺服電動機工作在A1OA2區段，則伺服電機的控制電壓與輸出轉速的關系近似為線性，因此可以把伺服電動機作為線性元件來處理。但如果電動機的工作區間在B1OB2區段．那么就不能把伺服電動機再作為線性元件來處理，因為其靜特性具有明顯的非線性。圖9-1伺服電動機特性9.1.1控制系統中的典型非線性特性常見典型非線性特性有飽和非線性、間隙非線性、死區非線性、繼電非線性等。9.1.1.1控制系統中的放大環節及執行機構受到電源電壓和功率的限制，都具有飽和特性。如圖9-2所示，其中的區域是線性范圍，線性范圍以外的區域是飽和區。許多元件的運動范圍由于受到能源、功率等條件的限制，也都有飽和非線性特性。有時，工程上還人為引入飽和非線性特性以限制過載。圖9-2飽和非線性9.1.1.2不靈敏區(死區)非線性控制系統中的測量元件、執行元件等一般都具有死區特性。例如一些測量元件對微弱的輸入量不敏感，電動機只有在輸入信號增大到一定程度的時候才會轉動等等。如圖9-3所示，其特性是輸入信號在區間時，輸出信號為零。超出此區間時，呈線性特性。這種只有在輸入量超過一定值后才有輸出的特性稱為不靈敏區非線性，其中區域叫做不靈敏區或死區。圖9-3不靈敏區非線性特性圖9-4具有不靈敏區的飽和特性死區特性給系統帶來穩態誤差和低速運動不穩定影響。但死區特性會減弱振蕩、過濾輸入端小幅度干擾，提高系統抗干擾能力。9.1.1.3在很多情況下，系統元件同時存在死區特性和飽和限幅特性。如電樞電壓控制的直流電動機的控制特性就具有這種特性。具有不靈敏區的飽和非線性特性如圖9-4所示。9.1.1.4繼電器實際繼電器的特性如圖9-5所示，輸入和輸出之間的關系不完全是單值的。由于繼電器吸合及釋放狀態下磁路的磁阻不同，吸合與釋放電流是不相同的。因此，繼電器的特性有一個滯環。這種特性稱為具有滯環的三位置繼電特性。當時，可得到純滯環的兩位置繼電特性，如圖9-6所示。當時，可得到具有三位置的理想繼電非線性特性，如圖9-7所示。圖9-5具有滯環的三位置繼電非線性特性圖9-6具有滯環的兩位置繼電非線性特性9.1.1.5間隙非線性形成的原因是由于滯后作用，如磁性材料的滯后現象，機械傳動中的干摩擦與傳動間隙。間隙非線性也稱滯環非線性。間隙非線性的特點是：當輸入量的變化方向改變時，輸出量保持不變，一直到輸入量的變化超出一定數值(間隙)后，輸出量才跟著變化。齒輪傳動中的間隙是最明顯的例子。間隙非線性如圖9-8所示。圖9-7具有三位置的理想繼電非線性特性圖9-8間隙非線性特性9.1.2非線性系統與線性系統相比，有許多獨有的特點：（1）線性系統的穩定性由系統的閉環極點決定，也就是說一旦系統確定，其穩定性也隨即確定，與初始條件和輸入信號無關。而非線性系統的穩定性除了與系統的閉環極點相關外，還與初始條件和輸入信號相關。對于某一個確定的非線性系統，在一種初始條件下是穩定的，而在另一種初始條件下則可能是不穩定的，或者在一種輸入信號作用下是穩定，而在另一種輸入信號作用下卻是不穩定的。（2）線性系統的運動狀態不是收斂與平衡狀態，就是發散。理論上說，當系統處于臨界時，會出現等幅振蕩。但是在實際情況下，這種狀態不可能維持，外界環境或系統參數稍有變化，系統就會趨于平衡狀態或發散狀態。而非線性系統的運動狀態除了收斂和發散以外，還有等幅振蕩的狀態。這種振蕩狀態在沒有外界作用的情況下，也會存在，而且保持一定的幅度和頻率，稱為自持振蕩、自振蕩或自激振蕩。自持振蕩由系統結構和參數決定，是非線性系統獨有的現象。（3）線性系統在輸入某一頻率的正弦信號時，輸出的穩態分量是同頻率的正弦信，系統只會改變輸入信號的幅度和相位。而在非線性系統中，當輸入信號是某一頻率的正弦信號時，輸出信號不僅含有同頻率的正弦分量，還含有高次諧波分量。因此，在分析線性系統時采用的頻率特性、傳遞函數等方法不能應用于非線性系統的分析。（4）線性系統滿足疊加原理。而非線性系統不滿足疊加原理。對非線性系統的分析，重點是系統的穩定性，系統是否產生自持振蕩，自持振蕩的頻率和幅度是多少，如何減小和消除自持振蕩等。9.1.3目前尚沒有通用的求解非線性微分方程的方法。雖然有一些針對特定非線性問題的系統分析與設計方法，但其適用范圍有限。因此分析非線性系統要根據其不同特點，選用有針對性不同方法。（1）相平面分析法非線性控制系統的相平面分析法是一種用圖解法求解二階非線性常微分方程的方法。相平面上的軌跡曲線描述了系統狀態的變化過程，因此可以在相平面圖上分析平衡狀態的穩定性和系統的時間響應特性。（2）描述函數法描述函數法又稱為諧波線性化法，它是一種工程近似方法。應用描述函數法研究非線性控制系統的自持振蕩時，能給出振蕩過程的基本特性(如振幅、頻率)與系統參數(如放大系數、時間常數等)的關系，給系統的初步設計提供一個思考方向。描述函數法是線性控制系統理論中的頻率法在非線性系統中的推廣。此外還有線性化近似方法，逐段線性近似法等。用計算機直接求解非線性微分方程，以數值解形式進行仿真研究，是分析、設計復雜非線性系統的有效方法。隨著計算機技術的發展，計算機仿真已成為研究非線性系統的重要手段。本章重點討論非線性系統的描述函數分析方法和相平面分析法。9.2描述函數法描述函數法是一種基于諧波線性化概念，將分析線性系統的頻率響應法移植到分析非線性系統中的一種工程近似方法。其基本思想是：當系統滿足某種條件時，系統中非線性環節的輸出信號中的高次諧波分量可以忽略，用基波近似輸出信號，由此導出非線性環節的近似頻率特性，即描述函數。此時的非線性系統就近似為一個線性系統，可以用線性系統分析方法中的頻率響應法對其進行分析。描述函數法主要用于分析非線性系統的穩定性，是否產生自持振蕩，自持振蕩的頻率和幅度，消除和減弱自持振蕩的方法等。9.2.19.2.1.1繼電特性引例理想繼電特性如圖9-9（a）所示，當輸入正弦信號時，其輸出y(t)是一個與輸入正弦函數同頻率的周期方波。圖9-9理想繼電特性及輸入、輸出波形與輸出波形輸出周期函數可展開成富里葉級數=(9-1)由式（9-1）可以看出，方波函數可以看做是無數個正弦信號分量的疊加。這些分量中，有一個與輸入信號頻率相同的分量，稱為基波分量（或一次諧波分量），其幅值最大。其他分量的頻率均為輸入信號頻率的奇數倍，統稱為高次諧波。頻率愈高的分量，振幅愈小，各諧波分量的振幅與頻率的關系稱為該方波的頻譜，如圖9-9（b）所示。9.2.1.2諧波線性化對于任意非線性特性，設輸入的正弦信號為，輸出波形為y(t)。輸出y(t)有富氏形式：式中（9-2）（9-3），對于本章所討論的幾種典型非線性特性，均屬于奇對稱函數，y(t)是對稱的，則A0=0；若為單位奇對稱函數，則A0=A1=0。諧波線性化的基本思想或處理方法是略去輸出高次諧波分量，用輸出y(t)的基波分量y(t)近似地代替整個輸出。即（9-4）式中；（9-4a）(9-4b)因此，對于一個非線性元件，我們可以用輸入和輸出近似描述其基本性質。非線性元件的輸出是一個與其輸入同頻率的正弦量，只是振幅和相位發生了變化。這與線性元件在正弦輸入下的輸出在形式上十分相似，故有些學者（特別是蘇聯學者）也稱上述近似處理為諧波線性化。9.2.1.3描述函數非線性特性在進行諧波線性化之后，可以仿照幅相頻率特性的定義，建立非線性特性的等效幅相特性，即描述函數。非線性元件的描述函數是由輸出的基波分量y1(t)對輸入x的復數比來定義的，即（9-5）式中N——非線性元件的描述函數；X——正弦輸入的幅值；Y1——輸出信號一次諧波的幅值；φ1——輸出信號一次基波與輸入信號的相位差。描述函數的實質是用一個等效線性元件替代原來的非線性元件，而等效線性元件的幅相特性函數N是輸入信號的幅值X的函數。圖9-10所示為包括非線性元件的非線性系統框圖，即非線性系統分成線性部分G（S）與非線性部分N（X）。圖9-10典型非線性系統把非線性元件等效為一個放大倍數為復數的放大器，與頻率ω無關。這相當于線性系統中的放大器，其放大倍數是一個普通常數。系統閉環傳遞函數為閉環系統特征方程為9.2.29.2.2.1理想理想繼電特性的數學表達式為當輸入正弦信號時，繼電特性為過零切換，則理想繼電特性及在正弦信號作用下的輸入、輸出波形，如圖9-11所示。圖9-11理想繼電特性及輸入、輸出波形由于正弦信號是單值奇函數，因此，,及=0。根據式（9-4b）得富氏級數基波分量的系數B，因為y(t)是周期2的方波，且對點奇對稱，故可改寫為因此基數分量為（9-6）顯然，理想繼電特性的描述函數是一個實數量，并且只是輸入振幅X的函數。9.2.2.2假設輸入正弦信號函數為，則輸出特性的數學表達式為：當時，死區特性及其輸入、輸出波形，如圖9-12所示。當輸入信號幅值在死區范圍內時，輸出為零，只有輸入信號幅值大于死區時，才有輸出，故輸出為一些不連續、不完整的正弦波形。圖9-12死區特性及輸入、輸出波形圖9-13死區特性描述函數由于死區特性為單值奇對稱函數，故，，,而并且由于y(t)在一個周期中波形對稱，即當時，y(t)=0,故的積分值只要計算其中，即，代入上式并整理得其描述函數為(9-7)圖9-13所示為與的關系曲線。由圖9-13可見，當時，輸出為零，從而描述函數的值也為零；如死區很小，或輸入的振幅很大時，，，亦即可認為描述函數為常量，恰好等于死區特性線性段的斜率，這表明死區影響可忽略不計。9.2.2.3飽和非線性特性的描述函數假設輸入正弦信號函數為，則飽和非線性特性的數學表達式為：（改,改）式中K為斜率。飽和特性及其輸入、輸出波形如圖9-14所示。圖9-14飽和特性及其輸入、輸出波形圖9-15飽和特性描述函數由圖可見，當正弦輸入信號的振幅時，工作在線性段，沒有非線性的影響。當時才進入非線性區。因此飽和特性的描述函數僅在的情況下才有意義。由于飽和特性為單值奇對稱函數，所以，，且，故描述函數為（9-8）與之間的關系如圖9-15所示。圖9－16非線性系統9圖9－16非線性系統用描述函數法分析非線性系統的穩定性，首先將系統化簡成圖9－16所示的形式。系統的頻率響應為 （9－9）可以看出，當時，系統的特征方程為 （9－10）或者寫成 （8－11）其中，稱為非線性環節的負倒描述函數。與之間的相對位置就決定了非線性系統的穩定性，證明略去。判斷非線性系統的穩定性，首先應在平面上畫出與軌跡，并在上標明增大的方向，在上標明增大的方向。如果非線性系統中的線性部分滿足最小相位條件，則非線性系統穩定性的判定規則如下：如果不包圍的軌跡，如圖9－17a所示，則系統穩定。離越遠，系統的相對穩定性越好。如果包圍，如圖9－17b所示，則系統不穩定。如果與相交，如圖9－17c所示。若交點處，而，設某一時刻有。可以看出，此信號經過系統閉環回路一周回到輸入端仍然為，系統中存在一個等幅振蕩。該振蕩可能是自持振蕩，也可能在一定條件下收斂或發散。圖圖9－17非線性系統穩定性分析ImImImReReRe0abc自持振蕩的確定當與相交時，方程圖9圖9－18自持振蕩分析ImRe的解對應著一個周期運動的信號的振幅和頻率。若這個等幅振蕩在系統受到輕微擾動作用后偏離原來的運動狀態，而當擾動消失后，系統又回到原來頻率和振幅的等幅持續振蕩，則這種等幅振蕩稱為非線性系統的自持振蕩。自持振蕩是一種穩定的等幅振蕩，而不穩定的等幅振蕩在系統受到擾動的時候，會收斂、發散或轉移到另一個穩定的周期運動狀態。如圖9－18所示，與有兩個交點和。假設系統工作在點，當受到輕微的擾動時，使非線性環節的振幅增加，即工作點沿的曲線向增大的方向運動到點。由于點被包圍，屬于不穩定點，系統的響應發散。此時，工作點會繼續沿的曲線向增大的方向運動至點。若系統受到輕微擾動使工作點沿的曲線向減小的方向運動到點。由于點不被包圍，屬于穩定點，系統的響應收斂。此時，工作點會繼續沿的曲線向減小的方向運動，直到減小為零。顯然，屬于不穩定的等幅振蕩點，不是自持振蕩點。假設系統工作在點，當受到輕微的擾動時，使非線性環節的振幅增加，即工作點沿的曲線向增大的方向運動到點。由于點不被包圍，屬于穩定點，系統的響應收斂。此時，工作點會繼續沿的曲線向減小的方向回到點。若系統受到輕微擾動使工作點沿的曲線向減小的方向運動到點。由于點被包圍，屬于不穩定點，系統的響應發散。此時，工作點會繼續沿的曲線向增大的方向回到點。顯然，是一個穩定的等幅振蕩點，是自持振蕩點。圖9－19自持振蕩的判別ImRe不穩定區域穩定區域從上面的分析可以看出，圖9－18所示系統在非線性環節的輸入信號振幅時，系統收斂；當時，系統產生自持振蕩。系統的穩定性與初始條件及輸入信號有關，這是非線性系統與線性系統的一個明顯的區別。判斷周期運動點是否是自持振蕩點的方法為：如圖9－19所示，將包圍的區域看作是不穩定區域，不被包圍的區域看作是穩定區域。當交點處的軌跡沿增大的方向由不穩定區域進入穩定區域時，該交點時自持振蕩點。反之，當交點處的圖9－19自持振蕩的判別ImRe不穩定區域穩定區域9.3相軌跡法相軌跡法是適用于二階非線性系統的幾何解法。對于二階動力學系統，如已知兩個狀態變量，則該系統的動力學性能就完全能被描述。一般的二階系統均可表示為（9-12），二階系統也可以寫成狀態空間方程表示，即（9-13）上式兩邊相除，得（9-14）解上式可得以為橫坐標，以為縱坐標，便構成分析系統的相平面圖。系統每一時刻的狀態即“相”均相應于平面上的一點，以時間作為參變量變化時，該點在平面上對應的曲線就是相軌跡。軌跡的起始點就是初始值，其軌跡表示在某一輸入激勵下系統的反應。如果相軌跡趨于無窮大，則系統不穩定；如果相軌跡趨于原點，則系統穩定；如果相軌跡最后形成圍繞原點不斷循環的環，則系統存在極限環的持續振蕩。對于二階系統狀態變量是兩個，通常選取（廣義位移），和（廣義速度）作為狀態變量（9-15）則（9-16）相平面法的主要工作是作相軌跡圖，有了相軌跡圖，系統的性能也就表示出來了。9.3.19.3.1例9-1單位質量的自由落體運動。當忽略大氣影響時，單位質量的自由落體運動方程為所以即圖9-20兩邊積分得（C為常數）以（即）為橫坐標，以（即）為縱坐標，作相平面圖，如圖9-20所示。能用解析法作相平面圖的系統只有比較簡單的二階線性系統，對于大多數非線性系統很難用解析法示出解。因此，對于分析非線性系統更實用的是圖解法（等傾線法）。9.3.1對于一般的二階系統，令，則系統可表示為上兩式相除得所謂等傾線是指相平面內對應相軌跡上具有等斜率的線。設斜率為k，則相應于不同的k值畫不同的等傾線，則可得到相軌跡切線的方向場。從過初始點的短傾線開始畫，連續相鄰近的短傾線，依次往后連接，即組成相軌跡圖。顯然，等傾線的間隔越密集，相軌跡的精度越高。例9-2非線性方程。設斜率為k，令則即所以（9-17）當短傾線傾角為0o時，其斜率k為0，式（9-17）變為該式表示的曲線上的每一點斜率為0，如圖9-21中所示。當短傾線傾角為45o時，其斜率k為1，式（9-17）變為該式表示的曲線上的每一點斜率為1，如圖9-21中所示。圖9-21等傾線法例如上可以作出其他斜率的傾線，這樣就可以作出如圖9-21所示的斜率分布場。畫每根相軌跡時，先找初始點，再順序把相鄰不同斜率的折線連接起來，即可作出近似的相軌跡圖。9.3.2奇點即平衡點，是系統處于平衡狀態相平面上的點。此時，系統的速度和加速度均為零，以為橫坐標，以為縱坐標，相軌跡在奇點處的斜率為0/0型，與普通點不同，奇點可以有無窮多條相軌跡通過，解的惟一性不適合于奇點。例9-3系統因為則系統奇點需滿足即解得點即為該系統奇點。對于不同類型的阻尼比，二階系統的相平面圖不同，如圖9-22所示。當阻尼比時，系統有一對負實部的共軛復根，系統穩定，其相軌跡呈螺線型，軌跡族收斂于奇點，這種奇點稱為穩定焦點。當阻尼比時，系統有一對正實部的共軛復根，系統不穩定，其相軌跡也呈螺線型，但軌跡族是從奇點螺旋發散出來的，這種奇點稱為不穩定焦點。當阻尼比時，系統有兩個正實根，系統不穩定，相平面內的軌跡族直接從奇點發散出來，這種奇點稱為不穩定節點。當阻尼比時，系統有兩個負實根，系統穩定，相平面內的軌跡族無振蕩地收斂于奇點，這種奇點稱為穩定節點。當阻尼比時，系統有一對共軛虛根，系統等幅振蕩，其相軌跡為一族圍繞奇點的封閉曲線，這種奇點稱為中心點。如果線性二階系統的項和項異號，即則系統有一個正實根，有一個負實根，系統是不穩定的，其相軌跡呈馬鞍形，中心中奇點，這種奇點稱為鞍點。有了奇點的概念，便可以利用對奇點的認識較快地畫出相軌跡的草圖，其步驟為：1）求出奇點；2）在奇點附近通過線性化判斷奇點的類型，并在奇點附近畫出相應的相軌跡線；3）在遠離奇點處用等傾線等方法完成相軌跡圖。例9-4有如下非線性系統方程：即則解得奇點為在（0，0）點附近，因很小，系統可近似為解得可見，，該奇點為穩定焦點。在（-2，0）點附近，令，系統方程為即在（-2，0）點附近，因很小，系統可近似為與異號，故其奇點為鞍點。圖9-23奇點應用例該系統的相平面圖如圖9-23所示。由圖可知，該系統在有些初始狀態下是穩定的，收斂于原點，而在有些初始狀態下是不穩定的。8.3.3通過以下方法求出時間信息：1）則通過積分，可得：當然，上式也可以通過取合理的增量，變成下式求出時間2）則則通過積分